幾何學(xué)和經(jīng)驗(yàn)

在所有科學(xué)的學(xué)科中，數(shù)學(xué)是最受人尊重的，這是為什么呢？因?yàn)樗拿}是唯一的，從來不需要什么爭辯，而其他學(xué)科的命題就達(dá)不到這種程度。不管什么學(xué)科，總是能找到可爭辯的地方，而且還會經(jīng)常有新發(fā)現(xiàn)去取代它的危險(xiǎn)。雖然這樣，其他學(xué)科的人也沒有必要去羨慕數(shù)學(xué)家，因?yàn)樗麄兊拿}的對象只是在想象中，根本沒辦法找打?qū)崒?shí)在在的客體。在數(shù)學(xué)界，只要大家對基本命題或公理一致認(rèn)同，那么必定帶出相同邏輯的其他結(jié)論或公理。還有另一個原因賦予了數(shù)學(xué)極高的聲譽(yù)，那就是數(shù)學(xué)可以讓其他自然科學(xué)有一個可靠數(shù)據(jù)做支持，如果沒有數(shù)學(xué)，其他科學(xué)可能就沒有辦法被證實(shí)。

下面，我要揭示一個謎，這個謎是歷來探索者都感興趣的。既然數(shù)學(xué)與經(jīng)驗(yàn)無關(guān)，只是靠思維得來的，那么它為什么還能適用于無數(shù)個實(shí)際存在的個體呢？是不是只靠思維，而不要經(jīng)驗(yàn)，人類就能得出無數(shù)個事實(shí)呢？

依照我個人的觀點(diǎn)，需要這樣來解釋：凡是數(shù)學(xué)命題涉及實(shí)在的東西，那么這種命題可靠程度就值得懷疑了；相反，如果這種命題可靠性強(qiáng)，那么它們的實(shí)在性就欠缺了。在數(shù)學(xué)中有個叫“公理學(xué)”的東西，通過它才能把這種情況弄明白。公理學(xué)能夠很清楚分開什么是邏輯—形式，什么是客觀或直觀的內(nèi)容。在公理學(xué)中，數(shù)學(xué)題材的構(gòu)成只有邏輯—形式，而與其他的無關(guān)。

下面我們利用這個觀點(diǎn)來解決一條數(shù)學(xué)公理：連接空間里的任何兩個點(diǎn)，有而且總有一條直線。具體怎樣解釋這條公理呢？我們分兩種情況，一種是古代的解釋，一種是近代解釋。

古代解釋：

在很早很早以前，什么是直線、什么是點(diǎn)，大家已經(jīng)非常清楚了。但究竟是怎樣獲得了這種知識，還真不好說清楚。究竟是人類精神能力啟發(fā)的，還是經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)呢？抑或是兩者的結(jié)合呢？還是有其他的來源呢？數(shù)學(xué)家也很難解決這個問題。于是哲學(xué)家接手了這個問題。這條公理估計(jì)比一切數(shù)學(xué)的知識都早得到，是一種自明的公理。

近代解釋：

幾何學(xué)幾本都是由直線、點(diǎn)等概念來組成的。接受這些知識，不需要什么先前的知識或經(jīng)驗(yàn)，只要告訴你這樣的公理就行了。對于這些公理的理解，完全是出于純粹形式意義上的，不涉及任何的直覺或經(jīng)驗(yàn)。人們通過邏輯思維，就可以自由地創(chuàng)造出這些公理。因此，幾何學(xué)的命題基本都是從邏輯上對公理進(jìn)行推論。在幾何學(xué)中，對事物的處理，完全由公理的定義來決定。斯里克曾寫過一本關(guān)于認(rèn)識論的書，他說，公理其實(shí)就是“隱形的定義”。

現(xiàn)代公理學(xué)的觀點(diǎn)將數(shù)學(xué)的一切外在附加因素抹干凈了，使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)更加清晰了，之前的種種疑團(tuán)也被解開了。這是一種被修正過的數(shù)學(xué)方面的解釋，不過不能給直覺對象或者實(shí)際客體以更明了的解釋。當(dāng)公理學(xué)運(yùn)用到幾何中的時候，“點(diǎn)”、“直線”等也只能算是沒有內(nèi)容的空殼。數(shù)學(xué)并不能給它們以什么內(nèi)容。

數(shù)學(xué)，特別是幾何學(xué)，存在的理由很特別，是為了給實(shí)際客體的某些方面一個確切的東西。幾何原意是測量大地，這足以說明上述原因。在做大地測量的時候，還要對一些自然對象，比如地球的某些部分、量繩、量桿等，進(jìn)行排列組合。因此，這是公理學(xué)的幾何概念體系所不能完成的，即它們不能給這些實(shí)際客體明確的斷言。為了做到這點(diǎn)，幾何學(xué)必須修訂，將那些單純的邏輯形式特征去掉，然后將經(jīng)驗(yàn)的實(shí)際客體與公理學(xué)中幾何概念的空架子一一對應(yīng)起來。為此，我們希望下面一條命題來完成，這條命題就是“固體間的排列關(guān)系，與三維歐幾里得幾何里的形體關(guān)系一樣”。加上這一條，關(guān)于實(shí)際客體行為的斷言就包含在了歐幾里得的命題中。

通過這種方式，幾何學(xué)就被稱為一種自然科學(xué)了。而事實(shí)上，它也可以被看做是一門最古老的物理學(xué)。在這種形勢下，經(jīng)驗(yàn)的歸納就成了它的斷言的根據(jù)，而不僅僅靠邏輯推理來完成了。經(jīng)過這樣修改的幾何學(xué)應(yīng)該叫“實(shí)際幾何”，這就需要我們弄明白另外一個幾何——“純粹公理學(xué)的幾何”，還必須弄清楚二者的區(qū)分。究竟能不能把宇宙的實(shí)際幾何歸為歐幾里得幾何，只能靠經(jīng)驗(yàn)來回答。我們?nèi)绻姓J(rèn)“光是沿直線傳播的”這條經(jīng)驗(yàn)定律，而且還承認(rèn)“光實(shí)際上是沿著‘實(shí)際幾何’意義上的直線傳播的”，那么這種‘實(shí)際幾何’就能囊括物理學(xué)中的一切長度度量，包括測地學(xué)和天文學(xué)上的長度量度。

我特別要感謝這種“實(shí)際幾何”學(xué)的觀點(diǎn)，因?yàn)檎怯辛怂也沤⒘爽F(xiàn)在的相對論。如果沒有這種意義下的幾何學(xué)，以下的問題也就不用再考慮了：一個相對于慣性系做運(yùn)動的參照系，因?yàn)榇嬖诼鍌惼澥湛s，使得剛體的排列定律不再與歐幾里得幾何的規(guī)則相吻合，所以，假如非慣性系也得以被承認(rèn)有同等的地位，那么歐幾里得幾何就必須被放棄。進(jìn)一步來說，如果缺少上述解釋，那么向廣義協(xié)變方程過渡的決定性一步就很難被確定。假如我們認(rèn)為在公理學(xué)歐幾里得幾何中得到的物體形體，與實(shí)際的剛體之間有一定關(guān)系，那么正如敏捷的、有想法的思想家彭加勒認(rèn)為的那樣：歐幾里得幾何的簡單性是其他一切能夠設(shè)想的公理學(xué)的幾何所不能達(dá)到的。

……如果理論與經(jīng)驗(yàn)之間真的存在不可調(diào)和的矛盾，那么我寧愿保留公理學(xué)的歐幾里得幾何，而去將物理定律改變了?！?/p>

一些研究者不認(rèn)為實(shí)際剛體和幾何體之間存在等效性，其實(shí)很容易能看到這種等效性。他們?yōu)槭裁磿@樣認(rèn)為呢？經(jīng)過更深層的考察，他們發(fā)現(xiàn)，在自然界里存在的實(shí)際固體身上并沒有表現(xiàn)出剛性，這些固體的幾何性狀是由溫度、外力等因素決定的。這樣一來，存在于幾何與物理實(shí)在之間的那種原始、直接的關(guān)系就被破壞了，我們必須正視彭加勒的觀點(diǎn)，他的理論是從最一般的原理著眼。實(shí)在事物的性狀不能完全用幾何（G）來斷言，要想做到這一點(diǎn)，幾何必須同全部物理定律（P）相結(jié)合。我們可以這樣用符號表示：當(dāng)且僅當(dāng)（G）與（P）相加時，才能得出實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。在這里，我們可以任意選?。℅），也可以任意選?。≒）的某些部分。因?yàn)樗械奈锢矶啥际菬o法改變的，要想避開自相矛盾的情況，我們必須把握好其余部分（P）的選取，我們要確保把（G）和全部的（P）合并起來的時候，不與經(jīng)驗(yàn)沖突。如果我們站在這方面思考問題的話，從認(rèn)識角度上說，公理學(xué)的幾何同已獲得公認(rèn)地位的那部分的自然規(guī)律是等效的。

我承認(rèn)一點(diǎn)，依照永恒的觀點(diǎn)，彭加勒的理論是沒有錯誤的。在現(xiàn)實(shí)世界中，我們無法找到與理論確切相對的東西，比如相對論中量桿以及同它搭配的時鐘，我們在現(xiàn)實(shí)里是找不到對應(yīng)物的。顯而易見，在物理學(xué)的概念大廈里，固體和時鐘并沒有扮演不可簡約的元素，它們的結(jié)構(gòu)是復(fù)合式的。在理論物理學(xué)上，這種元素?zé)o法擔(dān)當(dāng)起任何獨(dú)立的角色。但是，就理論物理學(xué)目前的發(fā)展?fàn)顩r而言，這些概念是被獨(dú)立使用的。因?yàn)槲覀冊谠咏Y(jié)構(gòu)理論原理方面的知識還非常欠缺，致使我們無法在理論上，把它們當(dāng)做是構(gòu)成固體和時鐘的基本概念。

另外，我還注意到一種截然相反的觀點(diǎn)，這種觀點(diǎn)不同意自然界中存在真正的剛體，在這個前提下，剛體性質(zhì)就無法適用于物理實(shí)在。然而，我們沒必要在這種觀點(diǎn)的研究上大費(fèi)周章，因?yàn)樗]有表面看上去的那樣重要。要想使量具的物理狀態(tài)被準(zhǔn)確無誤地測定，并驗(yàn)證它的性狀可以毫無歧義地替代剛體，是一件很容易的事情。不過，那些有關(guān)剛體的陳述恰恰必須參照這種量具。

因此，我們可以說一條為經(jīng)驗(yàn)所能及的原理構(gòu)成了整個實(shí)際幾何的基礎(chǔ)，讓我們嘗試著來認(rèn)識這條原理。我們可以在一個實(shí)際的剛體上做出兩個標(biāo)記，并把這對記號稱為一個截段。我們設(shè)想手中有兩個實(shí)際剛體，并且這兩個上面各標(biāo)有一個截?cái)?。倘若一個截?cái)鄡啥说挠浱柛硗庖粋€永遠(yuǎn)重合的話，我們可以認(rèn)為這兩個截?cái)啾舜酥g是“相等”的?，F(xiàn)在，我們作這樣一個假定：

假如在某時某地這兩個截?cái)嘞嗟龋鼈冊诤螘r何地都會永遠(yuǎn)相等。

對這個理論最接近的推廣是歐幾里得的實(shí)際幾何——黎曼的實(shí)際幾何。同時，廣義相對論也以這個假定為基礎(chǔ)。有很多實(shí)驗(yàn)可以為這個假定提供依據(jù)，現(xiàn)在只挑選一個講解。光在空虛空間中進(jìn)行傳播的時候，在每一段的當(dāng)?shù)貢r間里都會確定一個截?cái)唷獾南鄳?yīng)路程。相反的情況也是成立的。從這一點(diǎn)我們可以看出：截?cái)嗉俣ㄔ谙鄬φ撝袝r鐘的時間間隔問題上同樣適用。

由此我們可以表述如下：在任何時間和地點(diǎn)，如果兩只理想的鐘走得快慢一致的話，那么不論是什么時間，什么地點(diǎn)，我們再將這兩個鐘表作比較時，它們的快慢還應(yīng)該相同。假如實(shí)際存在的鐘表不遵從這個定律，我們就會發(fā)現(xiàn)，同一種元素中被分割開來的原子的本征頻率并不會嚴(yán)格一致，這一點(diǎn)有別于經(jīng)驗(yàn)。經(jīng)實(shí)驗(yàn)我們得知銳光譜線是存在的，這一結(jié)果為上述的實(shí)際幾何原理提供了有力的證據(jù)。我們談?wù)摰浆F(xiàn)在，終于可以分析一個意味深長的問題：四維空間——時間連續(xù)區(qū)的黎曼度規(guī)的成因。

根據(jù)這里的觀點(diǎn)，我們無法明確地指出這個連續(xù)區(qū)的結(jié)構(gòu)究竟是來自于歐幾里得，或者是黎曼的，也許還是任何別的什么人。要想回答這個有關(guān)物理學(xué)本身的問題必須依靠經(jīng)驗(yàn)，只依據(jù)方便與否而作出約定選擇肯定是不可取的。假如我們僅僅在很小的一片區(qū)域里考察空間—時間問題，那么實(shí)際剛體的排列定律就非常接近歐幾里得幾何體的定律，在這種情況下，黎曼的幾何理論才能有立足之地。

誠然，我們把有關(guān)這個幾何學(xué)的物理釋義，在小于分子數(shù)量級的空間中進(jìn)行直接運(yùn)用是行不通的。不過，這一做法也不是毫無益處，至少在解決一些有關(guān)基本粒子的組成問題時，還發(fā)揮了一些作用。我們對組成物質(zhì)的帶電基本粒子進(jìn)行描述時，可以試圖把場的概念賦予一定的物理意義。在此之前，我們只是將這些概念運(yùn)用在比分子大得多的物體上，用來描述這些物體的幾何性狀，并給予這些物體一個物理定義。現(xiàn)在，我們想把黎曼幾何的基本原理在物理定義之外的范疇使用，并且希望它仍具有物理實(shí)在的意義，可是，此刻我們無法評判這種企圖的成功與否，我們只能去試驗(yàn)中尋求答案。也許會是這樣的結(jié)果：這種外推與溫度概念外推到分子數(shù)量級的物體相比時，缺少了許多依據(jù)。

從表面看來，把實(shí)際幾何的概念推廣到宇宙數(shù)量級的空間上，不會出現(xiàn)太多問題。但是，一些反對意見也值得我們注意。這種意見指出：當(dāng)固體桿組成結(jié)構(gòu)的空間越變越大時，理想剛性就越不可能在這種結(jié)構(gòu)中得以體現(xiàn)。在我看來，這種反對之詞并沒有涉及問題的實(shí)質(zhì)。因?yàn)閺膶?shí)際幾何學(xué)的意義上看，研究宇宙在空間上的是否有限這一問題，是非常有必要的。甚至，我認(rèn)為，在不久的將來，天文學(xué)未必回答不了這個問題。在這方面，廣義相對論提出了兩種可能性：

其一，就空間而言，宇宙是無限的。這種無限性只有在一定的條件下才會變成可能。當(dāng)集中在宇宙星體里的物質(zhì)平均空間密度等于零時，這一條件也就滿足了。這一條件也就意味著：所考察的空間容積逐漸變大，星的總質(zhì)量對于它們散布著的整個空間容積的比率無限地趨于零。

其二，就空間而言，宇宙也是有限的。這種有限性是通過宇宙空間的重物質(zhì)平均密度不為零來實(shí)現(xiàn)的。因?yàn)槠骄芏扔。钪娴娜莘e就愈大。

值得指出的是，關(guān)于這個宇宙有限性的假說，我們可以列舉一個理論進(jìn)行論證。廣義相對論中有這樣一個觀點(diǎn)——既定物體的慣性隨著它附近有重物質(zhì)的增加而增大。所以，我們很容易把一個物體的總慣性與它同宇宙中其他物體之間的相互作用聯(lián)系起來。依據(jù)廣義相對論的方程我們可以得到以下結(jié)論：只有承認(rèn)宇宙的有限性，才能把慣性完全歸結(jié)為物體之間的相互作用。

這種論證并沒有得到物理學(xué)家和天文學(xué)家的廣泛重視。經(jīng)過分析，我們最終發(fā)現(xiàn)：經(jīng)驗(yàn)決定了這兩種可能性在現(xiàn)實(shí)中的存在狀況。那么，為什么唯獨(dú)經(jīng)驗(yàn)可以驗(yàn)證這些情況呢？

首先，我們可以設(shè)想從我們已經(jīng)觀察到的部分宇宙入手，進(jìn)而來測量物質(zhì)的平均密度。可是，這種想法根行不通。因?yàn)樵谟钪嬷蟹植嫉男求w是極其不規(guī)則的，我們無法憑借自己的想當(dāng)然，認(rèn)為某一星體的平均物質(zhì)密度與其他星體或者星系是等價的。需要特別指出的是，無論我們考察了多大的空間，我們依然不能確定在這個空間以外是否還存在星體。如此一來，計(jì)算平均密度的愿望也只能落空。

在這里，我想到了另外一個解決辦法，盡管也存在許多困難，但是具有一定的可操作性。如果我們把廣義相對論中那些為經(jīng)驗(yàn)所能及的結(jié)論，與牛頓理論的結(jié)論相對比，并研究這些偏差時，我們首先會在引力物質(zhì)的近旁發(fā)現(xiàn)一個偏差。水星已經(jīng)給我們提供了這樣的例子。不過，假如我們承認(rèn)宇宙空間的有限性，那么我們就得到了遠(yuǎn)離牛頓理論的第二個偏差。我們運(yùn)用牛頓理論的語言將它表述如下：看起來，不僅有重物質(zhì)可以產(chǎn)生引力場，而且均勻分布在整個空間里的帶負(fù)號的質(zhì)量密度也可以產(chǎn)生引力場。不過，后一種引力場只有在非常廣大的引力體系中才能被覺察，因?yàn)檫@個虛設(shè)的質(zhì)量密度肯定極小。

如果銀河里星體的統(tǒng)計(jì)分布和質(zhì)量已經(jīng)被我們得知的話，我們可以借助于牛頓定律，計(jì)算出引力場以及這些星所必須具有的平均速度。在這里，我們強(qiáng)調(diào)必須具有是有原因的。因?yàn)橹挥斜３诌@個速度，銀河系里的各個星體才相互吸引以保證銀河系不會坍塌，并且使銀河系的實(shí)際大小得以維持。如果星體的實(shí)際速度能測量出來，而且我們發(fā)現(xiàn)這個速度比我們計(jì)算出來的速度小的話，我們就可以得出如下結(jié)論：遙遠(yuǎn)距離之間的實(shí)際吸引力小于牛頓定律所定的數(shù)額。宇宙的有限性可以間接地被這個偏差證明，甚至，我們還可以大致估算出宇宙空間的大小。

我們可以把宇宙設(shè)想成一個有限但無邊界的三維空間嗎？

一般來說，答案是否定的。下面，我們要通過證明得到一個完全不同的結(jié)論。我想強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，經(jīng)過一些實(shí)踐，我們用想象的圖像來說明宇宙的有限性理論是沒有什么特殊困難的。過不了多久，我們會習(xí)慣這些圖像。

首先，我們要對認(rèn)識論的性質(zhì)進(jìn)行考察。因?yàn)檫@只是一組概念，幾何——物理理論本身不能被直接描繪出來。但是，頭腦中現(xiàn)存的各式各樣的實(shí)在的或者是想象的感覺應(yīng)驗(yàn)，能夠被這些概念聯(lián)系起來。由此說來，理論形象化實(shí)際上是指，為理論尋找系統(tǒng)排列的許多可感覺的經(jīng)驗(yàn)。就當(dāng)前而言，我們要解決的問題是，怎樣對固體相互排列（接觸）的性狀進(jìn)行描述，才把它同宇宙的有限性理論對應(yīng)起來。對這個問題，我并沒有什么新鮮的東西可講；不過，許多對這些問題感興趣的人曾向我提出很多疑問，這說明大家的好奇心并沒有得到充分的滿足。所以，我決定在這里繼續(xù)講一下這個問題，如果我講到了大家已經(jīng)熟知的部分，還請內(nèi)行人見諒。

我們提到空間無限的時候，我們意在表達(dá)什么主旨呢？其實(shí)，這只是說明在這個空間里，我們可以一個挨著一個地任意安放同樣大小的物體，而永遠(yuǎn)不會把空間填滿。依照歐幾里得幾何，我們把很多個同樣大小的立方盒，在它們彼此的上下、左右、前后堆放起來，把空間中一個任意大小的地方填滿；不過，這種構(gòu)造是沒有邊際的。那么，這就意味著我們添加無限多個方盒，永遠(yuǎn)都有余地?？臻g是無限的，也就是這個意思。我們可以用一種較為貼切的說法來描述：如果剛體的排列定律符合歐幾里得幾何的規(guī)定，那么，對于實(shí)際剛體而言，空間是無限的。

另外，我們可以用平面舉一個無限連續(xù)區(qū)的例子。我們可以將許多張方卡片放在一個平面上，使得任何一張卡片的每一邊都被連接。這種構(gòu)造也是沒有止境的。只要這些卡片的排列定律符合于歐幾里得幾何的平面圖形的排列定律，我們可以無限制地繼續(xù)放卡片。因此，平面對于這些方卡片而言是無限的。我們可以說，平面是二維的無限連續(xù)區(qū)，空間是三維的無限連續(xù)區(qū)。

現(xiàn)在，我們再列舉一個二維連續(xù)區(qū)的特殊例子——有限但無邊界的。我們用一個大球和一些大小相同的紙制小圓片來說明這種情況。我們在大球表面的任意一個地方放一個紙片，并把這個紙片在球的表面隨意移動，在這個過程中，我們就碰不到邊界。因此，我們可以把這個大球的表面看成一個沒有邊界的連續(xù)區(qū)。很顯然，這個連續(xù)區(qū)也是有限的。我們可以想象一下，如果在球的表面貼上所有紙片，并且這些紙片都不會相互交疊，最終會把球面貼滿，而不能再貼上另外的紙片。因此，對于紙片而言，這個球的表面是有限的。

值得指出的是，球面是一個二維的非歐幾里得連續(xù)區(qū)，這也就意味著：歐幾里得平面的定律不能運(yùn)用在這些剛性圖形的排列上。關(guān)于這一點(diǎn)，我們可以用下面的方法證明：我們用六個紙片把一張紙片圍起來，這六個紙片，我們也用同樣的方式將它們圍住，按照這種方式一直繼續(xù)下去。假如我們把這個構(gòu)造放在平面上，這個構(gòu)造就能形成一個連綿不斷的排列，在這個排列里，除了那些放在邊上的紙片，每一個紙片都與六個紙片相接觸。然而，假如我們在球面上進(jìn)行這樣的構(gòu)造，在起初的時候，因?yàn)榧埰陌霃奖惹虻陌霃叫〉枚啵@種構(gòu)造還是可行的，因?yàn)榧埰霃綄η虬霃降谋嚷视?，這種希望似乎就愈大?？墒且恢睂⑦@種構(gòu)造繼續(xù)下去的話，我們會越來越明顯地發(fā)現(xiàn)，紙片無法按照上述的方式不間斷地排列下去。這樣一來，就算是那些不能離開這個球面，甚至不能把球面看成三維空間的人，只要他們用紙片來做實(shí)驗(yàn)，就會發(fā)現(xiàn)他們的二維“空間”不是歐幾里得空間，而是球面空間。

相對論的最新研究成果表明，三維空間很可能跟球體空間類似。要是這樣的話，三維空間里剛體的排列定律就不會符合照歐幾里得幾何的規(guī)定，而應(yīng)該遵循近似的球面幾何的規(guī)定。當(dāng)然，這需要我們所考察的那部分空間足夠大。我們講到這里，讀者可能會猶豫。他可能會憤慨地叫喊，認(rèn)為沒有人能想象出這種東西。他也可能在想：這樣說說也無傷大雅，可是不能這樣去想。想象一個球面，對我而言不是難事。但是，要我想象它的三維類比，可沒那么容易。

這種心理障礙，我們必須克服。但凡是有耐心的讀者，他們都會發(fā)現(xiàn)不難做到這一點(diǎn)。為了使大家明白這一點(diǎn)，接下來，我們需要再看一下二維球面幾何。我們看著附圖，我們假設(shè)K為球面，L是球面上的一個圓紙片。我們把球面與平面E相接觸的地方用S表示。為了表示的方便，我們用一個有邊界的面，來表示這個平面?，F(xiàn)在，我們開始設(shè)想：球面上，與S徑向相對的N點(diǎn)是會發(fā)光的，它在平面E上投下紙片L的影L′。事實(shí)上，球上的每一點(diǎn)都會在平面上留下投影。假如球面上的紙片L發(fā)生移動，平面E上的影L′也會發(fā)生相應(yīng)的移動。當(dāng)紙片L移動到S處，它的投影和它就幾乎完全疊合。如果紙片從S處繼續(xù)向上移動，影L′也從S向外移動，而且越變越大。當(dāng)紙片L接近發(fā)光點(diǎn)N時，影L′就移向無窮遠(yuǎn)處，而變得無限大。

看完附圖，我們來思考一個問題——平面E上的紙片的影L′擁有什么樣的排列定律？顯而易見，它們同球面上紙片L的排列定律完全一致。球面上紙片的幾何與平面上投影的幾何是一致的。假如我們把這些投影定義為剛性圖形，那么，球面幾何在平面E上同樣適用。需要指出的是，平面只能接受有限的紙片的投影，因?yàn)樵诩埰?，只有有限個數(shù)的紙片影能占到位置。

至此，有人可能會反對將紙片的影歸入剛性圖形的做法。其實(shí)，我們完全可以通過一根尺子在平面E上移動的情況來驗(yàn)證這一點(diǎn)，當(dāng)影子在平面上移動的距離S越來越遠(yuǎn)時，影子就會越變越長。不過，在平面上如果這根尺也像紙片的影L′那樣能夠伸縮會說明什么？那樣一來，就無法使人看到影子離開S時會變長，這樣的假設(shè)也就沒有意義。因此，我們可以得到有關(guān)紙片影的唯一客觀判斷：紙片與影之間的關(guān)系與歐幾里得幾何意義上的球面上的剛性紙片的關(guān)系，是完全相同的。

在這里，我們需要記住一點(diǎn)：我們只有把紙片的影與那些能在平面E上運(yùn)動的歐幾里得剛體作比較，關(guān)于紙片影增大（當(dāng)它們向無窮遠(yuǎn)處移動時）的陳述本身才會有客觀意義。就影L′的排列定律而言，認(rèn)為S點(diǎn)在平面上，還是在球面上，都不會影響最終的結(jié)果。

對我們而言，把球面幾何在平面上表示是非常有必要的，這樣一來，我們很容易把它轉(zhuǎn)化為三維模式。

我們設(shè)想一個空間里有一個點(diǎn)S和很多個小球L′，這些小球彼此之間都能相互重合。不過，這些小球與歐幾里得幾何意義上的剛性球不太一樣：從S向無窮遠(yuǎn)的地方移動時，就歐幾里得幾何的意義來說，這些小球的半徑在增長。它在增長過程中所遵循的定律與平面上那些紙片的影L′的半徑增長定律相同。

當(dāng)我們的腦海里出現(xiàn)這些L′球的幾何性狀的一個生動的映像后，我們假設(shè)這個空間里是壓根不存在歐幾里得幾何意義上的剛體，只有L′球性狀的形體。這樣的話，我們就可以在腦海里清晰地勾勒出一幅關(guān)于三維球面空間的圖像，準(zhǔn)確地說，是關(guān)于三維球面幾何的圖像。在此，我們有必要把這些球稱為“剛性”球。當(dāng)這些小球離開S時，用量桿的量度是無法檢驗(yàn)它們大小的增長情況，這一點(diǎn)跟紙片影在平面E上的情況相同，這些球的量度標(biāo)準(zhǔn)性狀跟后者的性狀相同。在每一點(diǎn)的附近可以找到同樣的球的排列，因?yàn)榭臻g是均勻的。由于這些球會不斷地“增大”，在有限的空間中，只能為一定數(shù)量的球留出位置。

因此，我們的思維和想象的實(shí)踐可以從歐幾里得幾何中找到支柱，以便獲得球面幾何的心理圖像。這些特殊的形象構(gòu)圖，可以給我們的觀念提供很大的幫助，使這些觀念更有深度，更具活力。面對所謂的橢面幾何問題時，我們也能輕易地采取類似方法?，F(xiàn)在，我想鄭重地宣布：對非歐幾里得幾何而言，人的形象思維絕對不是無能為力的。

1. 這篇報(bào)告作于1921年1月27日，是在普魯士科學(xué)院會議上所作的。
2. 公理是通過人們的長期實(shí)踐檢驗(yàn)得出的客觀規(guī)律，不需要證明，并且也無法去證明。公理是推出其他命題的基本命題。
3. 一根物理意義上長度固定的剛尺，當(dāng)它是以某一個與長度平行的方向的速度v前進(jìn)的時候，在慣性系內(nèi)，測得的運(yùn)動長度要比在靜止時測得的長度要短，這一現(xiàn)象稱為洛倫茲收縮。
4. 在數(shù)學(xué)中，度規(guī)是定義在集合的元素之間的距離的函數(shù)。
5. 如果我們再一次用球面上紙片的情況來說明，這是用不著計(jì)算就容易了解的——但只限于二維的情況?！?/li>