幾何學和經驗

在所有科學的學科中，數(shù)學是最受人尊重的，這是為什么呢？因為它的命題是唯一的，從來不需要什么爭辯，而其他學科的命題就達不到這種程度。不管什么學科，總是能找到可爭辯的地方，而且還會經常有新發(fā)現(xiàn)去取代它的危險。雖然這樣，其他學科的人也沒有必要去羨慕數(shù)學家，因為他們的命題的對象只是在想象中，根本沒辦法找打實實在在的客體。在數(shù)學界，只要大家對基本命題或公理一致認同，那么必定帶出相同邏輯的其他結論或公理。還有另一個原因賦予了數(shù)學極高的聲譽，那就是數(shù)學可以讓其他自然科學有一個可靠數(shù)據(jù)做支持，如果沒有數(shù)學，其他科學可能就沒有辦法被證實。

下面，我要揭示一個謎，這個謎是歷來探索者都感興趣的。既然數(shù)學與經驗無關，只是靠思維得來的，那么它為什么還能適用于無數(shù)個實際存在的個體呢？是不是只靠思維，而不要經驗，人類就能得出無數(shù)個事實呢？

依照我個人的觀點，需要這樣來解釋：凡是數(shù)學命題涉及實在的東西，那么這種命題可靠程度就值得懷疑了；相反，如果這種命題可靠性強，那么它們的實在性就欠缺了。在數(shù)學中有個叫“公理學”的東西，通過它才能把這種情況弄明白。公理學能夠很清楚分開什么是邏輯—形式，什么是客觀或直觀的內容。在公理學中，數(shù)學題材的構成只有邏輯—形式，而與其他的無關。

下面我們利用這個觀點來解決一條數(shù)學公理：連接空間里的任何兩個點，有而且總有一條直線。具體怎樣解釋這條公理呢？我們分兩種情況，一種是古代的解釋，一種是近代解釋。

古代解釋：

在很早很早以前，什么是直線、什么是點，大家已經非常清楚了。但究竟是怎樣獲得了這種知識，還真不好說清楚。究竟是人類精神能力啟發(fā)的，還是經驗的總結呢？抑或是兩者的結合呢？還是有其他的來源呢？數(shù)學家也很難解決這個問題。于是哲學家接手了這個問題。這條公理估計比一切數(shù)學的知識都早得到，是一種自明的公理。

近代解釋：

幾何學幾本都是由直線、點等概念來組成的。接受這些知識，不需要什么先前的知識或經驗，只要告訴你這樣的公理就行了。對于這些公理的理解，完全是出于純粹形式意義上的，不涉及任何的直覺或經驗。人們通過邏輯思維，就可以自由地創(chuàng)造出這些公理。因此，幾何學的命題基本都是從邏輯上對公理進行推論。在幾何學中，對事物的處理，完全由公理的定義來決定。斯里克曾寫過一本關于認識論的書，他說，公理其實就是“隱形的定義”。

現(xiàn)代公理學的觀點將數(shù)學的一切外在附加因素抹干凈了，使得數(shù)學基礎更加清晰了，之前的種種疑團也被解開了。這是一種被修正過的數(shù)學方面的解釋，不過不能給直覺對象或者實際客體以更明了的解釋。當公理學運用到幾何中的時候，“點”、“直線”等也只能算是沒有內容的空殼。數(shù)學并不能給它們以什么內容。

數(shù)學，特別是幾何學，存在的理由很特別，是為了給實際客體的某些方面一個確切的東西。幾何原意是測量大地，這足以說明上述原因。在做大地測量的時候，還要對一些自然對象，比如地球的某些部分、量繩、量桿等，進行排列組合。因此，這是公理學的幾何概念體系所不能完成的，即它們不能給這些實際客體明確的斷言。為了做到這點，幾何學必須修訂，將那些單純的邏輯形式特征去掉，然后將經驗的實際客體與公理學中幾何概念的空架子一一對應起來。為此，我們希望下面一條命題來完成，這條命題就是“固體間的排列關系，與三維歐幾里得幾何里的形體關系一樣”。加上這一條，關于實際客體行為的斷言就包含在了歐幾里得的命題中。

通過這種方式，幾何學就被稱為一種自然科學了。而事實上，它也可以被看做是一門最古老的物理學。在這種形勢下，經驗的歸納就成了它的斷言的根據(jù)，而不僅僅靠邏輯推理來完成了。經過這樣修改的幾何學應該叫“實際幾何”，這就需要我們弄明白另外一個幾何——“純粹公理學的幾何”，還必須弄清楚二者的區(qū)分。究竟能不能把宇宙的實際幾何歸為歐幾里得幾何，只能靠經驗來回答。我們如果承認“光是沿直線傳播的”這條經驗定律，而且還承認“光實際上是沿著‘實際幾何’意義上的直線傳播的”，那么這種‘實際幾何’就能囊括物理學中的一切長度度量，包括測地學和天文學上的長度量度。

我特別要感謝這種“實際幾何”學的觀點，因為正是有了它，我才建立了現(xiàn)在的相對論。如果沒有這種意義下的幾何學，以下的問題也就不用再考慮了：一個相對于慣性系做運動的參照系，因為存在洛倫茲收縮，使得剛體的排列定律不再與歐幾里得幾何的規(guī)則相吻合，所以，假如非慣性系也得以被承認有同等的地位，那么歐幾里得幾何就必須被放棄。進一步來說，如果缺少上述解釋，那么向廣義協(xié)變方程過渡的決定性一步就很難被確定。假如我們認為在公理學歐幾里得幾何中得到的物體形體，與實際的剛體之間有一定關系，那么正如敏捷的、有想法的思想家彭加勒認為的那樣：歐幾里得幾何的簡單性是其他一切能夠設想的公理學的幾何所不能達到的。

……如果理論與經驗之間真的存在不可調和的矛盾，那么我寧愿保留公理學的歐幾里得幾何，而去將物理定律改變了。……

一些研究者不認為實際剛體和幾何體之間存在等效性，其實很容易能看到這種等效性。他們?yōu)槭裁磿@樣認為呢？經過更深層的考察，他們發(fā)現(xiàn)，在自然界里存在的實際固體身上并沒有表現(xiàn)出剛性，這些固體的幾何性狀是由溫度、外力等因素決定的。這樣一來，存在于幾何與物理實在之間的那種原始、直接的關系就被破壞了，我們必須正視彭加勒的觀點，他的理論是從最一般的原理著眼。實在事物的性狀不能完全用幾何（G）來斷言，要想做到這一點，幾何必須同全部物理定律（P）相結合。我們可以這樣用符號表示：當且僅當（G）與（P）相加時，才能得出實驗的結果。在這里，我們可以任意選?。℅），也可以任意選?。≒）的某些部分。因為所有的物理定律都是無法改變的，要想避開自相矛盾的情況，我們必須把握好其余部分（P）的選取，我們要確保把（G）和全部的（P）合并起來的時候，不與經驗沖突。如果我們站在這方面思考問題的話，從認識角度上說，公理學的幾何同已獲得公認地位的那部分的自然規(guī)律是等效的。

我承認一點，依照永恒的觀點，彭加勒的理論是沒有錯誤的。在現(xiàn)實世界中，我們無法找到與理論確切相對的東西，比如相對論中量桿以及同它搭配的時鐘，我們在現(xiàn)實里是找不到對應物的。顯而易見，在物理學的概念大廈里，固體和時鐘并沒有扮演不可簡約的元素，它們的結構是復合式的。在理論物理學上，這種元素無法擔當起任何獨立的角色。但是，就理論物理學目前的發(fā)展狀況而言，這些概念是被獨立使用的。因為我們在原子結構理論原理方面的知識還非常欠缺，致使我們無法在理論上，把它們當做是構成固體和時鐘的基本概念。

另外，我還注意到一種截然相反的觀點，這種觀點不同意自然界中存在真正的剛體，在這個前提下，剛體性質就無法適用于物理實在。然而，我們沒必要在這種觀點的研究上大費周章，因為它并沒有表面看上去的那樣重要。要想使量具的物理狀態(tài)被準確無誤地測定，并驗證它的性狀可以毫無歧義地替代剛體，是一件很容易的事情。不過，那些有關剛體的陳述恰恰必須參照這種量具。

因此，我們可以說一條為經驗所能及的原理構成了整個實際幾何的基礎，讓我們嘗試著來認識這條原理。我們可以在一個實際的剛體上做出兩個標記，并把這對記號稱為一個截段。我們設想手中有兩個實際剛體，并且這兩個上面各標有一個截斷。倘若一個截斷兩端的記號跟另外一個永遠重合的話，我們可以認為這兩個截斷彼此之間是“相等”的?，F(xiàn)在，我們作這樣一個假定：

假如在某時某地這兩個截斷相等，它們在何時何地都會永遠相等。

對這個理論最接近的推廣是歐幾里得的實際幾何——黎曼的實際幾何。同時，廣義相對論也以這個假定為基礎。有很多實驗可以為這個假定提供依據(jù)，現(xiàn)在只挑選一個講解。光在空虛空間中進行傳播的時候，在每一段的當?shù)貢r間里都會確定一個截斷——光的相應路程。相反的情況也是成立的。從這一點我們可以看出：截斷假定在相對論中時鐘的時間間隔問題上同樣適用。

由此我們可以表述如下：在任何時間和地點，如果兩只理想的鐘走得快慢一致的話，那么不論是什么時間，什么地點，我們再將這兩個鐘表作比較時，它們的快慢還應該相同。假如實際存在的鐘表不遵從這個定律，我們就會發(fā)現(xiàn)，同一種元素中被分割開來的原子的本征頻率并不會嚴格一致，這一點有別于經驗。經實驗我們得知銳光譜線是存在的，這一結果為上述的實際幾何原理提供了有力的證據(jù)。我們談論到現(xiàn)在，終于可以分析一個意味深長的問題：四維空間——時間連續(xù)區(qū)的黎曼度規(guī)的成因。

根據(jù)這里的觀點，我們無法明確地指出這個連續(xù)區(qū)的結構究竟是來自于歐幾里得，或者是黎曼的，也許還是任何別的什么人。要想回答這個有關物理學本身的問題必須依靠經驗，只依據(jù)方便與否而作出約定選擇肯定是不可取的。假如我們僅僅在很小的一片區(qū)域里考察空間—時間問題，那么實際剛體的排列定律就非常接近歐幾里得幾何體的定律，在這種情況下，黎曼的幾何理論才能有立足之地。

誠然，我們把有關這個幾何學的物理釋義，在小于分子數(shù)量級的空間中進行直接運用是行不通的。不過，這一做法也不是毫無益處，至少在解決一些有關基本粒子的組成問題時，還發(fā)揮了一些作用。我們對組成物質的帶電基本粒子進行描述時，可以試圖把場的概念賦予一定的物理意義。在此之前，我們只是將這些概念運用在比分子大得多的物體上，用來描述這些物體的幾何性狀，并給予這些物體一個物理定義。現(xiàn)在，我們想把黎曼幾何的基本原理在物理定義之外的范疇使用，并且希望它仍具有物理實在的意義，可是，此刻我們無法評判這種企圖的成功與否，我們只能去試驗中尋求答案。也許會是這樣的結果：這種外推與溫度概念外推到分子數(shù)量級的物體相比時，缺少了許多依據(jù)。

從表面看來，把實際幾何的概念推廣到宇宙數(shù)量級的空間上，不會出現(xiàn)太多問題。但是，一些反對意見也值得我們注意。這種意見指出：當固體桿組成結構的空間越變越大時，理想剛性就越不可能在這種結構中得以體現(xiàn)。在我看來，這種反對之詞并沒有涉及問題的實質。因為從實際幾何學的意義上看，研究宇宙在空間上的是否有限這一問題，是非常有必要的。甚至，我認為，在不久的將來，天文學未必回答不了這個問題。在這方面，廣義相對論提出了兩種可能性：

其一，就空間而言，宇宙是無限的。這種無限性只有在一定的條件下才會變成可能。當集中在宇宙星體里的物質平均空間密度等于零時，這一條件也就滿足了。這一條件也就意味著：所考察的空間容積逐漸變大，星的總質量對于它們散布著的整個空間容積的比率無限地趨于零。

其二，就空間而言，宇宙也是有限的。這種有限性是通過宇宙空間的重物質平均密度不為零來實現(xiàn)的。因為平均密度愈小，宇宙的容積就愈大。

值得指出的是，關于這個宇宙有限性的假說，我們可以列舉一個理論進行論證。廣義相對論中有這樣一個觀點——既定物體的慣性隨著它附近有重物質的增加而增大。所以，我們很容易把一個物體的總慣性與它同宇宙中其他物體之間的相互作用聯(lián)系起來。依據(jù)廣義相對論的方程我們可以得到以下結論：只有承認宇宙的有限性，才能把慣性完全歸結為物體之間的相互作用。

這種論證并沒有得到物理學家和天文學家的廣泛重視。經過分析，我們最終發(fā)現(xiàn)：經驗決定了這兩種可能性在現(xiàn)實中的存在狀況。那么，為什么唯獨經驗可以驗證這些情況呢？

首先，我們可以設想從我們已經觀察到的部分宇宙入手，進而來測量物質的平均密度?？墒牵@種想法根行不通。因為在宇宙中分布的星體是極其不規(guī)則的，我們無法憑借自己的想當然，認為某一星體的平均物質密度與其他星體或者星系是等價的。需要特別指出的是，無論我們考察了多大的空間，我們依然不能確定在這個空間以外是否還存在星體。如此一來，計算平均密度的愿望也只能落空。

在這里，我想到了另外一個解決辦法，盡管也存在許多困難，但是具有一定的可操作性。如果我們把廣義相對論中那些為經驗所能及的結論，與牛頓理論的結論相對比，并研究這些偏差時，我們首先會在引力物質的近旁發(fā)現(xiàn)一個偏差。水星已經給我們提供了這樣的例子。不過，假如我們承認宇宙空間的有限性，那么我們就得到了遠離牛頓理論的第二個偏差。我們運用牛頓理論的語言將它表述如下：看起來，不僅有重物質可以產生引力場，而且均勻分布在整個空間里的帶負號的質量密度也可以產生引力場。不過，后一種引力場只有在非常廣大的引力體系中才能被覺察，因為這個虛設的質量密度肯定極小。

如果銀河里星體的統(tǒng)計分布和質量已經被我們得知的話，我們可以借助于牛頓定律，計算出引力場以及這些星所必須具有的平均速度。在這里，我們強調必須具有是有原因的。因為只有保持這個速度，銀河系里的各個星體才相互吸引以保證銀河系不會坍塌，并且使銀河系的實際大小得以維持。如果星體的實際速度能測量出來，而且我們發(fā)現(xiàn)這個速度比我們計算出來的速度小的話，我們就可以得出如下結論：遙遠距離之間的實際吸引力小于牛頓定律所定的數(shù)額。宇宙的有限性可以間接地被這個偏差證明，甚至，我們還可以大致估算出宇宙空間的大小。

我們可以把宇宙設想成一個有限但無邊界的三維空間嗎？

一般來說，答案是否定的。下面，我們要通過證明得到一個完全不同的結論。我想強調一點，經過一些實踐，我們用想象的圖像來說明宇宙的有限性理論是沒有什么特殊困難的。過不了多久，我們會習慣這些圖像。

首先，我們要對認識論的性質進行考察。因為這只是一組概念，幾何——物理理論本身不能被直接描繪出來。但是，頭腦中現(xiàn)存的各式各樣的實在的或者是想象的感覺應驗，能夠被這些概念聯(lián)系起來。由此說來，理論形象化實際上是指，為理論尋找系統(tǒng)排列的許多可感覺的經驗。就當前而言，我們要解決的問題是，怎樣對固體相互排列（接觸）的性狀進行描述，才把它同宇宙的有限性理論對應起來。對這個問題，我并沒有什么新鮮的東西可講；不過，許多對這些問題感興趣的人曾向我提出很多疑問，這說明大家的好奇心并沒有得到充分的滿足。所以，我決定在這里繼續(xù)講一下這個問題，如果我講到了大家已經熟知的部分，還請內行人見諒。

我們提到空間無限的時候，我們意在表達什么主旨呢？其實，這只是說明在這個空間里，我們可以一個挨著一個地任意安放同樣大小的物體，而永遠不會把空間填滿。依照歐幾里得幾何，我們把很多個同樣大小的立方盒，在它們彼此的上下、左右、前后堆放起來，把空間中一個任意大小的地方填滿；不過，這種構造是沒有邊際的。那么，這就意味著我們添加無限多個方盒，永遠都有余地?？臻g是無限的，也就是這個意思。我們可以用一種較為貼切的說法來描述：如果剛體的排列定律符合歐幾里得幾何的規(guī)定，那么，對于實際剛體而言，空間是無限的。

另外，我們可以用平面舉一個無限連續(xù)區(qū)的例子。我們可以將許多張方卡片放在一個平面上，使得任何一張卡片的每一邊都被連接。這種構造也是沒有止境的。只要這些卡片的排列定律符合于歐幾里得幾何的平面圖形的排列定律，我們可以無限制地繼續(xù)放卡片。因此，平面對于這些方卡片而言是無限的。我們可以說，平面是二維的無限連續(xù)區(qū)，空間是三維的無限連續(xù)區(qū)。

現(xiàn)在，我們再列舉一個二維連續(xù)區(qū)的特殊例子——有限但無邊界的。我們用一個大球和一些大小相同的紙制小圓片來說明這種情況。我們在大球表面的任意一個地方放一個紙片，并把這個紙片在球的表面隨意移動，在這個過程中，我們就碰不到邊界。因此，我們可以把這個大球的表面看成一個沒有邊界的連續(xù)區(qū)。很顯然，這個連續(xù)區(qū)也是有限的。我們可以想象一下，如果在球的表面貼上所有紙片，并且這些紙片都不會相互交疊，最終會把球面貼滿，而不能再貼上另外的紙片。因此，對于紙片而言，這個球的表面是有限的。

值得指出的是，球面是一個二維的非歐幾里得連續(xù)區(qū)，這也就意味著：歐幾里得平面的定律不能運用在這些剛性圖形的排列上。關于這一點，我們可以用下面的方法證明：我們用六個紙片把一張紙片圍起來，這六個紙片，我們也用同樣的方式將它們圍住，按照這種方式一直繼續(xù)下去。假如我們把這個構造放在平面上，這個構造就能形成一個連綿不斷的排列，在這個排列里，除了那些放在邊上的紙片，每一個紙片都與六個紙片相接觸。然而，假如我們在球面上進行這樣的構造，在起初的時候，因為紙片的半徑比球的半徑小得多，這種構造還是可行的，因為紙片半徑對球半徑的比率愈小，這種希望似乎就愈大?？墒且恢睂⑦@種構造繼續(xù)下去的話，我們會越來越明顯地發(fā)現(xiàn)，紙片無法按照上述的方式不間斷地排列下去。這樣一來，就算是那些不能離開這個球面，甚至不能把球面看成三維空間的人，只要他們用紙片來做實驗，就會發(fā)現(xiàn)他們的二維“空間”不是歐幾里得空間，而是球面空間。

相對論的最新研究成果表明，三維空間很可能跟球體空間類似。要是這樣的話，三維空間里剛體的排列定律就不會符合照歐幾里得幾何的規(guī)定，而應該遵循近似的球面幾何的規(guī)定。當然，這需要我們所考察的那部分空間足夠大。我們講到這里，讀者可能會猶豫。他可能會憤慨地叫喊，認為沒有人能想象出這種東西。他也可能在想：這樣說說也無傷大雅，可是不能這樣去想。想象一個球面，對我而言不是難事。但是，要我想象它的三維類比，可沒那么容易。

這種心理障礙，我們必須克服。但凡是有耐心的讀者，他們都會發(fā)現(xiàn)不難做到這一點。為了使大家明白這一點，接下來，我們需要再看一下二維球面幾何。我們看著附圖，我們假設K為球面，L是球面上的一個圓紙片。我們把球面與平面E相接觸的地方用S表示。為了表示的方便，我們用一個有邊界的面，來表示這個平面?，F(xiàn)在，我們開始設想：球面上，與S徑向相對的N點是會發(fā)光的，它在平面E上投下紙片L的影L′。事實上，球上的每一點都會在平面上留下投影。假如球面上的紙片L發(fā)生移動，平面E上的影L′也會發(fā)生相應的移動。當紙片L移動到S處，它的投影和它就幾乎完全疊合。如果紙片從S處繼續(xù)向上移動，影L′也從S向外移動，而且越變越大。當紙片L接近發(fā)光點N時，影L′就移向無窮遠處，而變得無限大。

看完附圖，我們來思考一個問題——平面E上的紙片的影L′擁有什么樣的排列定律？顯而易見，它們同球面上紙片L的排列定律完全一致。球面上紙片的幾何與平面上投影的幾何是一致的。假如我們把這些投影定義為剛性圖形，那么，球面幾何在平面E上同樣適用。需要指出的是，平面只能接受有限的紙片的投影，因為在紙片上，只有有限個數(shù)的紙片影能占到位置。

至此，有人可能會反對將紙片的影歸入剛性圖形的做法。其實，我們完全可以通過一根尺子在平面E上移動的情況來驗證這一點，當影子在平面上移動的距離S越來越遠時，影子就會越變越長。不過，在平面上如果這根尺也像紙片的影L′那樣能夠伸縮會說明什么？那樣一來，就無法使人看到影子離開S時會變長，這樣的假設也就沒有意義。因此，我們可以得到有關紙片影的唯一客觀判斷：紙片與影之間的關系與歐幾里得幾何意義上的球面上的剛性紙片的關系，是完全相同的。

在這里，我們需要記住一點：我們只有把紙片的影與那些能在平面E上運動的歐幾里得剛體作比較，關于紙片影增大（當它們向無窮遠處移動時）的陳述本身才會有客觀意義。就影L′的排列定律而言，認為S點在平面上，還是在球面上，都不會影響最終的結果。

對我們而言，把球面幾何在平面上表示是非常有必要的，這樣一來，我們很容易把它轉化為三維模式。

我們設想一個空間里有一個點S和很多個小球L′，這些小球彼此之間都能相互重合。不過，這些小球與歐幾里得幾何意義上的剛性球不太一樣：從S向無窮遠的地方移動時，就歐幾里得幾何的意義來說，這些小球的半徑在增長。它在增長過程中所遵循的定律與平面上那些紙片的影L′的半徑增長定律相同。

當我們的腦海里出現(xiàn)這些L′球的幾何性狀的一個生動的映像后，我們假設這個空間里是壓根不存在歐幾里得幾何意義上的剛體，只有L′球性狀的形體。這樣的話，我們就可以在腦海里清晰地勾勒出一幅關于三維球面空間的圖像，準確地說，是關于三維球面幾何的圖像。在此，我們有必要把這些球稱為“剛性”球。當這些小球離開S時，用量桿的量度是無法檢驗它們大小的增長情況，這一點跟紙片影在平面E上的情況相同，這些球的量度標準性狀跟后者的性狀相同。在每一點的附近可以找到同樣的球的排列，因為空間是均勻的。由于這些球會不斷地“增大”，在有限的空間中，只能為一定數(shù)量的球留出位置。

因此，我們的思維和想象的實踐可以從歐幾里得幾何中找到支柱，以便獲得球面幾何的心理圖像。這些特殊的形象構圖，可以給我們的觀念提供很大的幫助，使這些觀念更有深度，更具活力。面對所謂的橢面幾何問題時，我們也能輕易地采取類似方法。現(xiàn)在，我想鄭重地宣布：對非歐幾里得幾何而言，人的形象思維絕對不是無能為力的。

1. 這篇報告作于1921年1月27日，是在普魯士科學院會議上所作的。
2. 公理是通過人們的長期實踐檢驗得出的客觀規(guī)律，不需要證明，并且也無法去證明。公理是推出其他命題的基本命題。
3. 一根物理意義上長度固定的剛尺，當它是以某一個與長度平行的方向的速度v前進的時候，在慣性系內，測得的運動長度要比在靜止時測得的長度要短，這一現(xiàn)象稱為洛倫茲收縮。
4. 在數(shù)學中，度規(guī)是定義在集合的元素之間的距離的函數(shù)。
5. 如果我們再一次用球面上紙片的情況來說明，這是用不著計算就容易了解的——但只限于二維的情況。——原注