時光飛逝，我給一屆又一屆的學(xué)生講授概率課。在這些聰明學(xué)生的啟發(fā)下，我慢慢地發(fā)現(xiàn)了一套理解條件概率的更好的辦法。貝葉斯定理看上去很令人迷惑，而這些學(xué)生教我的方法則完全順應(yīng)人的直覺。這個方法的竅門就是，不要去想抽象的概率、機(jī)會、百分比之類的概念，而是直接考慮事情發(fā)生的次數(shù)（顯然，這是一種更為自然的頻率計算法，也可稱為事件的“自然頻率”）。只要轉(zhuǎn)變思路，一切就都豁然開朗了。

就職于柏林馬克思·普朗克人類發(fā)展研究所的認(rèn)知心理學(xué)家捷爾德·蓋格瑞澤寫了一本非常有意思的書，書名為《風(fēng)險的計算》。在這本書中，蓋格瑞澤舉出了很多他在研究中發(fā)現(xiàn)的人類對風(fēng)險和不確定性的誤判和錯誤計算。算錯概率的例子遍及各個領(lǐng)域：從艾滋病治療到脫氧核糖核酸（DNA）指紋圖譜的識別。雖然我們計算概率的時候常常錯得離譜兒，但是這位仁慈的心理學(xué)家并沒有責(zé)罵我們的愚蠢，也沒有哀嘆人類的脆弱，他只是耐心地告訴我們怎樣才能減少這類錯誤。蓋格瑞澤的方法和我的學(xué)生們發(fā)明的方法差不多，那就是，當(dāng)面對條件概率問題的時候，不使用抽象的概率和百分比，而是依賴最自然、最原始的計數(shù)方法：計算事件發(fā)生的次數(shù)（自然頻率）。

在其中一項研究中，蓋格瑞澤和他的同事請德國和美國的醫(yī)生們來解答這樣一個問題：如果一位婦女的乳房X射線檢查結(jié)果呈陽性，但是這位婦女又屬于乳腺癌發(fā)病風(fēng)險較低的人群（年齡在40~50歲，無家族乳腺癌病史，本人無乳腺癌癥狀），那么她罹患乳腺癌的概率到底有多大？為了把問題進(jìn)一步具體化，蓋格瑞澤給受訪的醫(yī)生們提供了如下信息：一是這個人群中乳癌的發(fā)病率，二是乳房X射線檢查的靈敏度和陰性被誤判為陽性的概率。這些信息都是以概率和百分比的形式給出的，具體數(shù)據(jù)如下：在年齡為40~50歲、無家族乳腺癌病史、本人無乳腺癌癥狀的婦女中，乳腺癌發(fā)病率是0.8%。如果一位婦女確實患有乳腺癌，那么乳房X射線檢查呈陽性的概率是90%。如果一位婦女沒有患上乳腺癌，但乳房X射線檢查結(jié)果呈陽性的概率為7%。現(xiàn)在，有一位婦女，她屬于乳腺癌發(fā)病風(fēng)險較低的人群，但是她的乳房X射線檢查結(jié)果呈陽性，請問她實際患有乳腺癌的概率是多少？

蓋格瑞澤詢問的第一位醫(yī)生是一所大學(xué)附屬醫(yī)院某部門的主任，對于乳腺癌的診斷，這位醫(yī)生有著超過30年的專業(yè)經(jīng)驗。根據(jù)蓋格瑞澤的描述，這位醫(yī)生對上述問題的反應(yīng)是這樣的：

我提出這個問題以后，這位醫(yī)生顯得很緊張，他很努力地想要算出正確的數(shù)值。在仔細(xì)研究過我給出的數(shù)據(jù)以后，這位醫(yī)生判斷，在乳房X射線檢查結(jié)果呈陽性的前提下，這位婦女實際患有乳腺癌的概率是90%?；卮鹜赀@個問題以后，這位醫(yī)生又立刻推翻了自己的答案，他緊張地說：“我肯定搞錯了，我根本不會算。你應(yīng)該去問我的女兒，她正在醫(yī)學(xué)院讀書。”顯然，這位醫(yī)生很清楚自己的答案是錯誤的，但是他卻不知道怎么才能算對。雖然他對這個問題冥思苦想了足有10分鐘，但他卻根本不清楚應(yīng)該怎樣使用概率。

同樣的問題，蓋格瑞澤又詢問了24位德國醫(yī)生，這些醫(yī)生給出的答案五花八門。有8位醫(yī)生認(rèn)為，這位婦女實際患有乳腺癌的概率應(yīng)該為10%或者更低；另有8個醫(yī)生認(rèn)為，這位婦女實際患有乳腺癌的概率是90%；剩下的8名醫(yī)生認(rèn)為，這位婦女實際患有乳腺癌的概率為50%~80%。想象一下，如果你是一位病人，聽到這些結(jié)果不一的診斷意見，你的心里會有多么痛苦。