時(shí)光飛逝，我給一屆又一屆的學(xué)生講授概率課。在這些聰明學(xué)生的啟發(fā)下，我慢慢地發(fā)現(xiàn)了一套理解條件概率的更好的辦法。貝葉斯定理看上去很令人迷惑，而這些學(xué)生教我的方法則完全順應(yīng)人的直覺(jué)。這個(gè)方法的竅門(mén)就是，不要去想抽象的概率、機(jī)會(huì)、百分比之類(lèi)的概念，而是直接考慮事情發(fā)生的次數(shù)（顯然，這是一種更為自然的頻率計(jì)算法，也可稱(chēng)為事件的“自然頻率”）。只要轉(zhuǎn)變思路，一切就都豁然開(kāi)朗了。

就職于柏林馬克思·普朗克人類(lèi)發(fā)展研究所的認(rèn)知心理學(xué)家捷爾德·蓋格瑞澤寫(xiě)了一本非常有意思的書(shū)，書(shū)名為《風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算》。在這本書(shū)中，蓋格瑞澤舉出了很多他在研究中發(fā)現(xiàn)的人類(lèi)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和不確定性的誤判和錯(cuò)誤計(jì)算。算錯(cuò)概率的例子遍及各個(gè)領(lǐng)域：從艾滋病治療到脫氧核糖核酸（DNA）指紋圖譜的識(shí)別。雖然我們計(jì)算概率的時(shí)候常常錯(cuò)得離譜兒，但是這位仁慈的心理學(xué)家并沒(méi)有責(zé)罵我們的愚蠢，也沒(méi)有哀嘆人類(lèi)的脆弱，他只是耐心地告訴我們?cè)鯓硬拍軠p少這類(lèi)錯(cuò)誤。蓋格瑞澤的方法和我的學(xué)生們發(fā)明的方法差不多，那就是，當(dāng)面對(duì)條件概率問(wèn)題的時(shí)候，不使用抽象的概率和百分比，而是依賴(lài)最自然、最原始的計(jì)數(shù)方法：計(jì)算事件發(fā)生的次數(shù)（自然頻率）。

在其中一項(xiàng)研究中，蓋格瑞澤和他的同事請(qǐng)德國(guó)和美國(guó)的醫(yī)生們來(lái)解答這樣一個(gè)問(wèn)題：如果一位婦女的乳房X射線檢查結(jié)果呈陽(yáng)性，但是這位婦女又屬于乳腺癌發(fā)病風(fēng)險(xiǎn)較低的人群（年齡在40~50歲，無(wú)家族乳腺癌病史，本人無(wú)乳腺癌癥狀），那么她罹患乳腺癌的概率到底有多大？為了把問(wèn)題進(jìn)一步具體化，蓋格瑞澤給受訪的醫(yī)生們提供了如下信息：一是這個(gè)人群中乳癌的發(fā)病率，二是乳房X射線檢查的靈敏度和陰性被誤判為陽(yáng)性的概率。這些信息都是以概率和百分比的形式給出的，具體數(shù)據(jù)如下：在年齡為40~50歲、無(wú)家族乳腺癌病史、本人無(wú)乳腺癌癥狀的婦女中，乳腺癌發(fā)病率是0.8%。如果一位婦女確實(shí)患有乳腺癌，那么乳房X射線檢查呈陽(yáng)性的概率是90%。如果一位婦女沒(méi)有患上乳腺癌，但乳房X射線檢查結(jié)果呈陽(yáng)性的概率為7%?，F(xiàn)在，有一位婦女，她屬于乳腺癌發(fā)病風(fēng)險(xiǎn)較低的人群，但是她的乳房X射線檢查結(jié)果呈陽(yáng)性，請(qǐng)問(wèn)她實(shí)際患有乳腺癌的概率是多少？

蓋格瑞澤詢(xún)問(wèn)的第一位醫(yī)生是一所大學(xué)附屬醫(yī)院某部門(mén)的主任，對(duì)于乳腺癌的診斷，這位醫(yī)生有著超過(guò)30年的專(zhuān)業(yè)經(jīng)驗(yàn)。根據(jù)蓋格瑞澤的描述，這位醫(yī)生對(duì)上述問(wèn)題的反應(yīng)是這樣的：

我提出這個(gè)問(wèn)題以后，這位醫(yī)生顯得很緊張，他很努力地想要算出正確的數(shù)值。在仔細(xì)研究過(guò)我給出的數(shù)據(jù)以后，這位醫(yī)生判斷，在乳房X射線檢查結(jié)果呈陽(yáng)性的前提下，這位婦女實(shí)際患有乳腺癌的概率是90%?；卮鹜赀@個(gè)問(wèn)題以后，這位醫(yī)生又立刻推翻了自己的答案，他緊張地說(shuō)：“我肯定搞錯(cuò)了，我根本不會(huì)算。你應(yīng)該去問(wèn)我的女兒，她正在醫(yī)學(xué)院讀書(shū)。”顯然，這位醫(yī)生很清楚自己的答案是錯(cuò)誤的，但是他卻不知道怎么才能算對(duì)。雖然他對(duì)這個(gè)問(wèn)題冥思苦想了足有10分鐘，但他卻根本不清楚應(yīng)該怎樣使用概率。

同樣的問(wèn)題，蓋格瑞澤又詢(xún)問(wèn)了24位德國(guó)醫(yī)生，這些醫(yī)生給出的答案五花八門(mén)。有8位醫(yī)生認(rèn)為，這位婦女實(shí)際患有乳腺癌的概率應(yīng)該為10%或者更低；另有8個(gè)醫(yī)生認(rèn)為，這位婦女實(shí)際患有乳腺癌的概率是90%；剩下的8名醫(yī)生認(rèn)為，這位婦女實(shí)際患有乳腺癌的概率為50%~80%。想象一下，如果你是一位病人，聽(tīng)到這些結(jié)果不一的診斷意見(jiàn)，你的心里會(huì)有多么痛苦。