至于第四維與愛因斯坦相對論的關系，那是有目共睹的。龐加萊于1898年發(fā)表的一篇論文探討了如何“在一個以時間為第四維的四維空間里建立一種數(shù)學表述”，其重要性立刻被愛因斯坦在瑞士聯(lián)邦工業(yè)大學的數(shù)學老師閔可夫斯基捕捉到了，并適時傳遞給了學生，盡管數(shù)學家本人對這個經(jīng)常逃學的留小胡子的青年毫無印象。1904年，即發(fā)現(xiàn)狹義相對論的前一年，愛因斯坦讀到《科學與假設》的德文譯本，立刻被書中席卷數(shù)學、科學和哲學的氣勢所感動，從中了解了幾何學的基礎?？墒?，直到1912年（龐加萊去世的那年，此時閔可夫斯基已經(jīng)過世三年），愛因斯坦才恍然領悟到，狹義相對論只有在高度幾何化后才能完全廣義化。而在廣義相對論發(fā)表后的第二年，即1916年，德國數(shù)學家希爾伯特發(fā)出了這樣的感嘆：“物理學家必須要首先成為幾何學家。”

雖然愛因斯坦的相對論誕生已經(jīng)快一個世紀了，人們對它的理解仍十分膚淺，只知道根據(jù)這一理論：時間是相對的，空間是彎曲的，光并不是沿著直線傳播的；物質和能量的分布決定著時空的彎曲，這種時空彎曲等同于萬有引力。這里我想引用一位物理學家舉的例子：“讓我們設想有兩只飛船。飛船X以每秒10萬公里的速度飛離地球。飛船上的觀測者和地球上的觀測者同時對這一速度進行測量，他們得到的結果是一致的。而飛船Y以與飛船X相同的方向運行，地球上的觀測者測量它的速度是每秒18萬公里。可是，愛因斯坦預言，如果兩只飛船上的觀測者來測量它們之間分離的速度時，卻是每秒10萬公里而不是8萬公里?！?/p>

這個結果表面上看起來十分荒謬，但可以用愛因斯坦發(fā)現(xiàn)的質能轉換公式來推導，也即一個質量為M的物質的能量E等于該質量M和光速c（每秒18.6萬公里）的平方的乘積。這個公式為愛因斯坦贏得了持久的聲譽，“政治是暫時的，而方程式是永恒的”。同時，c平方這個龐大的數(shù)字也可以解釋投放在廣島和長崎的那兩顆原子彈的威力。不過，那兩次爆炸使得愛因斯坦痛心不已。正是他在1939年致函美國總統(tǒng)羅斯福，指出研制原子能的必要性，并強調(diào)美國搶在德國之前發(fā)展這一武器的重要性。這封信促進了直接導致第一顆原子彈出現(xiàn)的“曼哈頓計劃”的展開。

如果上述例子仍不足以解釋相對論，還有一種辦法可以幫助我們理解，那就是試圖理解更難的非歐幾何學。直到18世紀末19世紀初，幾何領域仍然是歐幾里得一統(tǒng)天下，笛卡爾的解析幾何只是改變了幾何研究的方法，并使牛頓和萊布尼茨發(fā)明的微積分學表述得更加清晰，卻沒有從本質上改變歐氏幾何本身的內(nèi)容。歐氏幾何賴以存在的前提中有這么一條不那么自明的假設，即“過直線外一點能且只能作一條直線與已知直線平行”，也就是所謂的“第五公設”。這個曖昧的假設引起了數(shù)學家的廣泛關注，其中大多數(shù)人試圖證明它，也有的沿著不同的方向，即試圖給出相反的假設。

俄國人羅巴切夫斯基就是一個叛逆性的人物。1826年，他在偏遠的喀山（那里離哈薩克斯坦比莫斯科更近一些）大學發(fā)表了非歐幾何學的第一篇論文，正是建立在假定“過直線外一點可以引至少兩條直線與已知直線平行”的基礎上?？墒?，由于語言的隔膜和交通的不便，這項成果將近十年以后才傳遞到西歐，幾乎就被匈牙利數(shù)學家鮑耶搶了先。1854年，德國數(shù)學家黎曼發(fā)展了羅氏理論而建立起更廣泛的非歐幾何學。他引進了流形曲率的概念，在三維常曲率空間里有三種情況，即曲率為正常數(shù)、零或負常數(shù)。后面兩種情形分別對應于歐氏幾何和羅巴切夫斯基幾何，而第一種幾何是黎曼本人的創(chuàng)造，它意味著“過直線外一點不能引任何直線與已知直線平行”。

至此，有關非歐幾何學的含義就變得比較明晰了。多年以后，龐加萊等人又先后在歐氏空間中給出非歐幾何的直觀模型，從而揭示出非歐幾何的現(xiàn)實意義。無論是歐氏幾何還是非歐幾何，都存在任意有限維的甚至無限維的空間。龐加萊為物理學家提供了那個以時間為第四維的四維空間，可以看作是非歐幾何學的一個特例。閔可夫斯基進一步指出，在這個四維度量空間的長度計算公式里，第四維時間t的平方前面需要加一個負號。這個公式是如此美妙，愛因斯坦的一位同事、物理學家馬克斯·玻恩這樣感嘆：“從那以后，所有的理論物理學家每天都在使用它。”總之，在廣義相對論里，空間和時間變成了一種四維結構，只不過這個四維結構的形狀被其中的大質量物體扭曲了。這樣一來，宇宙就由一塊剛性的鐵板變成了一個彈性的墊子。