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第四維、立體主義與相對(duì)論(2)

難以企及的人物 作者:蔡天新


 

至于第四維與愛(ài)因斯坦相對(duì)論的關(guān)系,那是有目共睹的。龐加萊于1898年發(fā)表的一篇論文探討了如何“在一個(gè)以時(shí)間為第四維的四維空間里建立一種數(shù)學(xué)表述”,其重要性立刻被愛(ài)因斯坦在瑞士聯(lián)邦工業(yè)大學(xué)的數(shù)學(xué)老師閔可夫斯基捕捉到了,并適時(shí)傳遞給了學(xué)生,盡管數(shù)學(xué)家本人對(duì)這個(gè)經(jīng)常逃學(xué)的留小胡子的青年毫無(wú)印象。1904年,即發(fā)現(xiàn)狹義相對(duì)論的前一年,愛(ài)因斯坦讀到《科學(xué)與假設(shè)》的德文譯本,立刻被書(shū)中席卷數(shù)學(xué)、科學(xué)和哲學(xué)的氣勢(shì)所感動(dòng),從中了解了幾何學(xué)的基礎(chǔ)??墒?,直到1912年(龐加萊去世的那年,此時(shí)閔可夫斯基已經(jīng)過(guò)世三年),愛(ài)因斯坦才恍然領(lǐng)悟到,狹義相對(duì)論只有在高度幾何化后才能完全廣義化。而在廣義相對(duì)論發(fā)表后的第二年,即1916年,德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特發(fā)出了這樣的感嘆:“物理學(xué)家必須要首先成為幾何學(xué)家?!?/p>

雖然愛(ài)因斯坦的相對(duì)論誕生已經(jīng)快一個(gè)世紀(jì)了,人們對(duì)它的理解仍十分膚淺,只知道根據(jù)這一理論:時(shí)間是相對(duì)的,空間是彎曲的,光并不是沿著直線(xiàn)傳播的;物質(zhì)和能量的分布決定著時(shí)空的彎曲,這種時(shí)空彎曲等同于萬(wàn)有引力。這里我想引用一位物理學(xué)家舉的例子:“讓我們?cè)O(shè)想有兩只飛船。飛船X以每秒10萬(wàn)公里的速度飛離地球。飛船上的觀(guān)測(cè)者和地球上的觀(guān)測(cè)者同時(shí)對(duì)這一速度進(jìn)行測(cè)量,他們得到的結(jié)果是一致的。而飛船Y以與飛船X相同的方向運(yùn)行,地球上的觀(guān)測(cè)者測(cè)量它的速度是每秒18萬(wàn)公里。可是,愛(ài)因斯坦預(yù)言,如果兩只飛船上的觀(guān)測(cè)者來(lái)測(cè)量它們之間分離的速度時(shí),卻是每秒10萬(wàn)公里而不是8萬(wàn)公里?!?/p>

這個(gè)結(jié)果表面上看起來(lái)十分荒謬,但可以用愛(ài)因斯坦發(fā)現(xiàn)的質(zhì)能轉(zhuǎn)換公式來(lái)推導(dǎo),也即一個(gè)質(zhì)量為M的物質(zhì)的能量E等于該質(zhì)量M和光速c(每秒18.6萬(wàn)公里)的平方的乘積。這個(gè)公式為愛(ài)因斯坦贏得了持久的聲譽(yù),“政治是暫時(shí)的,而方程式是永恒的”。同時(shí),c平方這個(gè)龐大的數(shù)字也可以解釋投放在廣島和長(zhǎng)崎的那兩顆原子彈的威力。不過(guò),那兩次爆炸使得愛(ài)因斯坦痛心不已。正是他在1939年致函美國(guó)總統(tǒng)羅斯福,指出研制原子能的必要性,并強(qiáng)調(diào)美國(guó)搶在德國(guó)之前發(fā)展這一武器的重要性。這封信促進(jìn)了直接導(dǎo)致第一顆原子彈出現(xiàn)的“曼哈頓計(jì)劃”的展開(kāi)。

如果上述例子仍不足以解釋相對(duì)論,還有一種辦法可以幫助我們理解,那就是試圖理解更難的非歐幾何學(xué)。直到18世紀(jì)末19世紀(jì)初,幾何領(lǐng)域仍然是歐幾里得一統(tǒng)天下,笛卡爾的解析幾何只是改變了幾何研究的方法,并使牛頓和萊布尼茨發(fā)明的微積分學(xué)表述得更加清晰,卻沒(méi)有從本質(zhì)上改變歐氏幾何本身的內(nèi)容。歐氏幾何賴(lài)以存在的前提中有這么一條不那么自明的假設(shè),即“過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)能且只能作一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行”,也就是所謂的“第五公設(shè)”。這個(gè)曖昧的假設(shè)引起了數(shù)學(xué)家的廣泛關(guān)注,其中大多數(shù)人試圖證明它,也有的沿著不同的方向,即試圖給出相反的假設(shè)。

俄國(guó)人羅巴切夫斯基就是一個(gè)叛逆性的人物。1826年,他在偏遠(yuǎn)的喀山(那里離哈薩克斯坦比莫斯科更近一些)大學(xué)發(fā)表了非歐幾何學(xué)的第一篇論文,正是建立在假定“過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)可以引至少兩條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行”的基礎(chǔ)上??墒牵捎谡Z(yǔ)言的隔膜和交通的不便,這項(xiàng)成果將近十年以后才傳遞到西歐,幾乎就被匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶搶了先。1854年,德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)展了羅氏理論而建立起更廣泛的非歐幾何學(xué)。他引進(jìn)了流形曲率的概念,在三維常曲率空間里有三種情況,即曲率為正常數(shù)、零或負(fù)常數(shù)。后面兩種情形分別對(duì)應(yīng)于歐氏幾何和羅巴切夫斯基幾何,而第一種幾何是黎曼本人的創(chuàng)造,它意味著“過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)不能引任何直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行”。

至此,有關(guān)非歐幾何學(xué)的含義就變得比較明晰了。多年以后,龐加萊等人又先后在歐氏空間中給出非歐幾何的直觀(guān)模型,從而揭示出非歐幾何的現(xiàn)實(shí)意義。無(wú)論是歐氏幾何還是非歐幾何,都存在任意有限維的甚至無(wú)限維的空間。龐加萊為物理學(xué)家提供了那個(gè)以時(shí)間為第四維的四維空間,可以看作是非歐幾何學(xué)的一個(gè)特例。閔可夫斯基進(jìn)一步指出,在這個(gè)四維度量空間的長(zhǎng)度計(jì)算公式里,第四維時(shí)間t的平方前面需要加一個(gè)負(fù)號(hào)。這個(gè)公式是如此美妙,愛(ài)因斯坦的一位同事、物理學(xué)家馬克斯·玻恩這樣感嘆:“從那以后,所有的理論物理學(xué)家每天都在使用它?!笨傊?,在廣義相對(duì)論里,空間和時(shí)間變成了一種四維結(jié)構(gòu),只不過(guò)這個(gè)四維結(jié)構(gòu)的形狀被其中的大質(zhì)量物體扭曲了。這樣一來(lái),宇宙就由一塊剛性的鐵板變成了一個(gè)彈性的墊子。


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