在現(xiàn)代西方主要語(yǔ)言里，“數(shù)學(xué)”一詞均來(lái)源于古希臘語(yǔ)Mathema。在畢達(dá)哥拉斯之前，這個(gè)詞的意思是“可以學(xué)到的知識(shí)”，到了畢達(dá)哥拉斯時(shí)代，這個(gè)詞就成了“數(shù)學(xué)”的意思，不過(guò)僅限于“自然數(shù)的學(xué)問(wèn)”，相當(dāng)于算術(shù)。直到中世紀(jì)，通行于歐洲教育體制的“畢達(dá)哥拉斯四藝”中的第一藝還是算術(shù)，其他三藝依次是幾何、天文學(xué)和音樂(lè)（可見(jiàn)“數(shù)學(xué)”一詞的現(xiàn)代意義至少在文藝復(fù)興以后才形成），而那時(shí)候“代數(shù)學(xué)”一詞還未出現(xiàn)，它首次在阿拉伯語(yǔ)里出現(xiàn)已經(jīng)是9世紀(jì)的事了。

畢達(dá)哥拉斯早年在詩(shī)歌學(xué)校的熏陶豐富了他的寫作能力，因此他才用詩(shī)歌描述了他發(fā)明的第一個(gè)定理（見(jiàn)本文開(kāi)頭）。這個(gè)早已被巴比倫人和中國(guó)人發(fā)現(xiàn)的定理的第一個(gè)證明是由畢達(dá)哥拉斯給出的，據(jù)說(shuō)他當(dāng)時(shí)緊緊抱住啞妻狄亞諾大聲喊道：“我終于發(fā)現(xiàn)了！”畢達(dá)哥拉斯還發(fā)現(xiàn)，三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于兩個(gè)直角之和（這個(gè)命題的否定導(dǎo)出了非歐幾何學(xué)）。他同時(shí)證明了，平面可以用正三角形、正四邊形或正六邊形填滿，用后來(lái)的鑲嵌幾何學(xué)可以嚴(yán)格證明，不可能用其他正多邊形來(lái)填滿平面。

關(guān)于自然數(shù)，畢達(dá)哥拉斯最有意思的發(fā)現(xiàn)和定義是親和數(shù)（Amicable Number）與完美數(shù)（Perfect Number）。所謂完美數(shù)是這樣一個(gè)數(shù)，它等于其真因子的和，例如6和28，因?yàn)?=1+2+3，28=1+2+4+7+14。后來(lái)的《圣經(jīng)》也提到，上帝用六天的時(shí)間創(chuàng)造了世界（第七天是休息日），而相信地心說(shuō)的古希臘人認(rèn)為，月亮圍繞地球旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間是二十八天。必須指出的是，迄今為止，還沒(méi)有人找到哪怕一個(gè)奇完美數(shù)，當(dāng)然也沒(méi)有人能夠否定它的存在。

而親和數(shù)是指這樣一對(duì)數(shù)，其中的任意一個(gè)是另一個(gè)的真因子之和，例如，220和284。后人為親和數(shù)添加了神秘色彩，使其在魔法術(shù)和占星術(shù)方面得到應(yīng)用?！妒ソ?jīng)》里也提到，雅各送孿生兄弟以掃220只羊，以示摯愛(ài)之情。有意思的是，直到兩千多年以后，第二對(duì)親和數(shù)（17926，18416）才由法國(guó)數(shù)論學(xué)家費(fèi)爾馬找到，他的同胞、數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家笛卡爾則找到了第三對(duì)。雖然在電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以前，數(shù)學(xué)家們已發(fā)現(xiàn)了數(shù)十對(duì)親和數(shù)，不過(guò)第二小的一對(duì)（1184，1210）卻是在19世紀(jì)后期才由一位十六歲的意大利男孩帕格尼尼找到的。

畢達(dá)哥拉斯一生做了兩件事，從事神職工作和興辦學(xué)校。他在埃及十年，主要生活在神廟里，必然要關(guān)心神話和宗教，后來(lái)到了克羅托內(nèi)，才開(kāi)始傳道授業(yè)。在那個(gè)年代，數(shù)學(xué)知識(shí)十分有限，因此，他不可能只做一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)家。在薩摩斯的時(shí)候，他就認(rèn)為數(shù)乃神的語(yǔ)言，現(xiàn)在他進(jìn)一步斷定：萬(wàn)物皆數(shù)。確切地說(shuō)，畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為我們生活的世界中的多數(shù)事物只是匆匆過(guò)客，隨時(shí)都會(huì)消亡，唯有數(shù)和神是永恒的。這里的數(shù)是指自然數(shù)，他對(duì)10以內(nèi)的數(shù)都賦予了某種特殊的意義。

1是一切數(shù)的源泉，是陽(yáng)性中的至高者——阿波羅。2是眾神之母。3代表了三維，后來(lái)被基督教用來(lái)表示三位一體。4象征著一年四季和人的四大能力——智性、知識(shí)、判斷、感覺(jué)。5是婚姻數(shù)，它等于最小的偶數(shù)2與1（萬(wàn)物之泉）以外的第一個(gè)奇數(shù)3之和（香煙品牌555是否意味著一個(gè)人要結(jié)3次婚？）。6不僅完美，且是神靈的數(shù)，古希臘人認(rèn)為轉(zhuǎn)世的周期是216年（6的3次方）。7不能分解，是處女?dāng)?shù)。8象征和諧、友誼，正立方體有8個(gè)面。9是10以內(nèi)最大的平方數(shù)，所以是公正的。10是前4個(gè)數(shù)之和，完美又神圣。

在畢達(dá)哥拉斯看來(lái)，數(shù)學(xué)的一切理念都應(yīng)該是美的，不僅如此，音樂(lè)的美也建立在數(shù)的基礎(chǔ)之上。在古希臘，音樂(lè)主要是樂(lè)器伴奏的單聲部樂(lè)，如齊唱。直到畢達(dá)哥拉斯時(shí)代，音樂(lè)才成為一門獨(dú)立的藝術(shù)，今天我們熟悉的術(shù)語(yǔ)如Music（音樂(lè)）、Melody（旋律）、Rhythm（節(jié)奏）、Harmony（和聲）等都是從希臘語(yǔ)來(lái)的。畢達(dá)哥拉斯擅長(zhǎng)演奏的樂(lè)器是里拉琴（Lira）。他是最早把音樂(lè)用于教育的人，學(xué)園里每天上的第一節(jié)課便是音樂(lè)。在他心中，宇宙是一個(gè)龐大的樂(lè)隊(duì)，每顆星都是一個(gè)富于智慧的靈魂、一個(gè)神、一個(gè)數(shù)、一把樂(lè)器。

自文藝復(fù)興以來(lái)，畢達(dá)哥拉斯的觀點(diǎn)如黃金分割、和諧比例均被應(yīng)用于美學(xué)，他的數(shù)學(xué)和哲學(xué)思想得到廣泛傳播，很多人文主義者認(rèn)為他是（包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的）“精密科學(xué)之父”。他從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)去解釋世界，這在總體上確立了自然科學(xué)的發(fā)展方向，影響了后世的科學(xué)家。16世紀(jì)初期，波蘭天文學(xué)家哥白尼自認(rèn)為他的“日心說(shuō)”屬于畢達(dá)哥拉斯的哲學(xué)體系。此后，發(fā)現(xiàn)自由落體定律的意大利物理學(xué)家伽利略也被稱作是畢達(dá)哥拉斯主義者，而17世紀(jì)創(chuàng)建微積分學(xué)的德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨則自認(rèn)為是畢達(dá)哥拉斯主義的最后一位傳人。

由于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)了根號(hào)2的無(wú)理性，使數(shù)學(xué)遇到了第一次危機(jī)。從畢達(dá)哥拉斯定理提煉出的整數(shù)方程（其解答被稱為畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組）引申出了費(fèi)爾馬大定理，在過(guò)去的三個(gè)多世紀(jì)里使得全世界最有智慧的人一籌莫展，而這個(gè)定理的最終證明在20世紀(jì)末曾轟動(dòng)一時(shí)。畢達(dá)哥拉斯留下的不朽之謎尚有：因?yàn)橹两駸o(wú)人破譯古希臘的樂(lè)理，我們無(wú)法知道畢達(dá)哥拉斯時(shí)代的音樂(lè)是什么樣的；究竟是否存在無(wú)窮多個(gè)完美數(shù)或親和數(shù)這類問(wèn)題，仍將在未來(lái)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間里，困惑著人類的頭腦。