在17世紀的頭幾十年里，人類對地球與天體的認識大大加深了，這一進程通常被稱為“科學革命”。大學過去非常倚重亞里士多德的哲學，這種倚重此時正在迅速減弱，雖然就整個歐洲而言，亞里士多德的自然哲學與倫理學作為本科生階段的課程，一直要按部就班地講授到17世紀末。在亞里士多德的自然哲學體系中，物體的運動是“按照因果關(guān)系”用物體所擁有的四元素(土、水、氣、火)的多少來解釋的：物體因為自身特定元素的重量優(yōu)勢或升或降，向著各自的“自然”位置運動。人們會習慣性地將自然哲學與數(shù)學或光學、流體靜力學和和聲學等“混合數(shù)學性”科目進行對比。在這些科目中，可用數(shù)字來測量外部量，如長度和持續(xù)時間等。不過，這一切都是在這樣一個宇宙觀中進行的：地球位于中心，周圍則環(huán)繞著太陽和行星。

第一次認識上的巨變發(fā)生在天文學上。哥白尼的日心體系盡管遭到天主教會和許多新教派別的正式反對，但還是獲得了新的皈依者。在1596到1610年之間，約翰尼斯·開普勒和伽利略·伽利雷^[1]的著作引發(fā)了一場天文學革命。開普勒在其1596年發(fā)表的《宇宙的秘密》中假定了一個以太陽為中心的宇宙體系。在這個體系中，行星之間的距離可以通過在正立體中內(nèi)切行星的軌道而求得。1609年，開普勒出版了巨著《新天文學》，提出了一個引人入勝的關(guān)于行星運動的理論，其中就含有后來以“開普勒三定律”而聞名的行星運動定律的頭兩條(行星沿橢圓軌道運行，而太陽則位于其軌道的一個焦點上；所有的行星圍繞著太陽在相等時間內(nèi)掃過同等的面積)。

1609年，伽利略將多個鏡頭組合在一起，發(fā)明了一臺能夠放大物體的儀器。他將這臺“望遠鏡”轉(zhuǎn)向太空，發(fā)現(xiàn)木星周圍有一系列衛(wèi)星繞行，就像行星繞著太陽運行一樣。1610年，伽利略出版了《星際使者》。在這本小書中，伽利略還宣布月球上有山巒和峽谷，而銀河是由成千上萬顆恒星組成的。1613年，伽利略證明太陽也有黑點，而當時的人們普遍認為，天是“永不腐敗的”。1619年，開普勒出版《宇宙諧和論》，提出自己的第三定律，指出對任何行星的軌道而言，行星到太陽的平均半徑的三次方跟行星公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值不變。伽利略的一系列發(fā)現(xiàn)徹底推翻了人們認為天完美無缺的看法，而開普勒定律將在牛頓論證《原理》的關(guān)鍵命題中發(fā)揮至關(guān)重要的作用。

伽利略對17世紀科學的貢獻并不限于他在天文學上的工作。1632年，伽利略勇敢地出版了《關(guān)于兩大世界體系的對話》，該書試圖證明哥白尼的世界體系。就是因為這本書，他被軟禁在家，直到1642年去世。不過，就在軟禁期間，他還是設(shè)法于1638年出版了光輝著作《關(guān)于兩門新科學的談話和數(shù)學證明》。亞里士多德認為，拋出的物體首先會經(jīng)歷“劇烈”的運動，然后便被“自然”運動所取代，而自然運動會促使拋射體中的土粒子向下運動，回到它們的自然位置。亞里士多德還認為，物體下降的速度和物體的重量成正比。然而，伽利略卻在《談話》中宣布拋射體的運動軌跡是拋物線，并且接近地球表面的物體所受的垂直分力可以用一條定律來表示。根據(jù)這一定律，任何重量或“體積”的物體垂直降落的總距離與降落時間的平方成正比。伽利略還清楚地指出，重力的物理起因并不重要，而且要揭示出來的確極其困難，這又一次和亞里士多德的整個學說體系相反。伽利略揭示了地球上的好些現(xiàn)象都是可以用數(shù)學來描述的，從而為力學這門現(xiàn)代科學奠定了基礎(chǔ)。牛頓在其同名巨著《數(shù)學原理》中展示了他的輝煌成就，旨在表明“數(shù)學原理”也是更多自然現(xiàn)象的基礎(chǔ)所在。

現(xiàn)代科學的另一個重要方面則是由弗朗西斯·培根勾勒出來的。在伽利略和開普勒發(fā)展天文學和力學的同時，培根也在提倡這樣一種思想：理解自然的正確方法是直接研究自然，而不應通過亞里士多德的著述(或其他任何文獻)來進行。培根認為自然哲學上的進步只能通過協(xié)作項目來實現(xiàn)，并由此提到了新近發(fā)現(xiàn)美洲和太平洋的壯舉，贊揚了藝術(shù)與貿(mào)易所取得的進步。對迥然不同的事實進行觀察，會增加人們對這個可見世界的認識，而設(shè)計精良的實驗能將自然世界分解為各個組成部分，從而得出有關(guān)大自然真正秘密的信息。培根甚至還贊揚了煉金術(shù)士用以分析自然的方法，不過他同時對煉金術(shù)士們的封閉生活方式和模糊的行話感到悲哀。

并非所有的反亞里士多德主義者都認同伽利略的方案就是發(fā)現(xiàn)科學真理的正確方法。勒內(nèi)·笛卡兒提出了一種復雜的解釋，用以描述這個物理世界背后的各種微結(jié)構(gòu)。笛卡兒認為，我們周圍的世界中存在的那些機械現(xiàn)象也在不可見的層面上運作著。在他的機械哲學中，一個不可見的微觀世界配有許多鉤子和螺絲，將各種元素凝聚在一起。根據(jù)笛卡兒的解釋，一種巨大的太陽“渦旋”通過運動壓出各種物質(zhì)，對地球上的現(xiàn)象產(chǎn)生重大影響，從而產(chǎn)生了諸如磁、熱、重力和電等大規(guī)?，F(xiàn)象。笛卡兒認同伽利略的反亞里士多德學說(同時還秘密地認同伽利略和開普勒信奉的哥白尼學說)，但他又指責這個意大利人的“建構(gòu)缺乏基礎(chǔ)”，聲稱科學解釋需要采用自然界的微觀機械建構(gòu)模塊。我們將會看到，這就是青年牛頓從事的最有影響的工作，雖然它很快就成了對手的批評對象。

數(shù)學新手

最初，牛頓接受的是劍橋大學本科生所受的標準教育。他得閱讀大量規(guī)定的神學文獻和亞里士多德的著作。他對嚴肅數(shù)學的興趣，則很可能是巴羅于1664年春的盧卡斯數(shù)學講座激發(fā)的。根據(jù)牛頓后來的記述，大約就在巴羅開講的那會兒，他學習了威廉·奧特雷德的《數(shù)學之鑰》和笛卡兒的《幾何學》。在1664到1665年的冬天，牛頓認真研究了笛卡兒的分析數(shù)學(以及荷蘭數(shù)學家弗蘭斯·范·斯庫藤在其編譯的笛卡兒的《幾何學》中所加的評注)、弗朗索瓦·韋達的代數(shù)學著作，以及約翰·沃利斯的“不可分割法”。牛頓利用我們所說的笛卡兒坐標幾何學，掌握了定義各種圓錐曲線(圓、拋物線、橢圓和雙曲線)的方程。盡管牛頓最初低估了歐幾里得在《幾何原本》中的成就，但他后來非常欽佩歐幾里得和阿波羅尼奧斯的偉大成就，視他們的方法為從事數(shù)學工作的模板。

到1664年年底，牛頓找到了求曲線任意點上的“曲度”或斜率的方法。這就是所謂的切線問題。詹姆斯·格雷果里和勒內(nèi)·弗朗索瓦·德·斯盧斯等數(shù)學家當時正致力于研究這一問題。笛卡兒發(fā)明了一種通過找出一個大圓在接觸曲線的點上的曲率半徑來確定曲線“法線”(即垂直于切線的直線)的方法。不久，牛頓便改進了這一方法。他利用近距離兩點之間的法線，讓這兩點之間的距離變得任意小，由此便能求出“表達”任意圓錐曲線的方程中任意點的切線，還可求出相關(guān)方程的最大值和最小值。牛頓將這個過程加以推廣，用來表述我們現(xiàn)在稱為微分法的基本要素。根據(jù)微分法，切線的斜率代表著曲線在任何一點的變化率。

圖3　笛卡兒的渦旋：圍繞著太陽S的太陽系，以FFFFGG為界。其他星系也以恒星為中心。

早在1663到1664年的冬天，牛頓已開始研究沃利斯有關(guān)曲線截面下面積求法的分析。沃利斯的方法是將曲線下的區(qū)域分割為無窮小的截面來計算。到沃利斯1655年出版《無窮算術(shù)》的時候，人們已經(jīng)知道對于基本方程式x = yⁿ，其曲線下0到a之間的面積是aⁿ⁺¹/n+1。這就是有名的“求面積法”或“求積法”，也就是我們現(xiàn)在稱為“積分法”的雛形。但對于更復雜的方程式來說，則需要使用不同的技巧，例如利用無窮級數(shù)。在無窮級數(shù)中，隨著一系列項達到極限，就能夠接近一個終值。沃利斯發(fā)展了這一思想，他對拋物線和雙曲線求積，發(fā)現(xiàn)了一系列接近π值的項。

在1664到1665年的冬天，牛頓認真研究了沃利斯的著作，并提出了能夠取得同樣結(jié)果的另一種方法。不久，牛頓對沃利斯的方法加以提煉，開始考慮利用分數(shù)冪(涉及平方根、立方根和其他根)來求曲線面積的方法。牛頓還超越了沃利斯，發(fā)現(xiàn)了求與圓面積相等的正方形面積的正確級數(shù)。他進而拓展了從這一成功中得到的洞察力，最終證明了廣義二項式定理(既適用于整數(shù)冪也適用于分數(shù)冪)，可以用來展開任何(a+x)^n/m形式的方程式。在1676年致萊布尼茨的一封信中，牛頓首次公開宣布了這一發(fā)現(xiàn)。