現(xiàn)在我們想象自己是一些微小扁平的蟲子,整個(gè)一生都生活在這樣的一塊橡膠膜上。我們不能飛離或跳離它,而且在我們看來,這層薄膜是無限大的。無論沿哪個(gè)方向、以多快的速度運(yùn)動(dòng),我們、我們的祖先以及我們的后代過去不曾,將來也不會到達(dá)薄膜的邊緣(甚至意識不到邊緣的存在)。甚至我們的視線都不能脫離薄膜向上或向下看。換句話說,這塊薄膜就是我們的整個(gè)世界。如果在這個(gè)宇宙中沒有物質(zhì)(暫時(shí)忽略我們自己的身體,或是我們的蟲子朋友和蟲子親戚),這塊薄膜將是處處光滑且平坦的。在這個(gè)世界中,我們在中學(xué)學(xué)過的幾何知識都是成立的:任意兩點(diǎn)間的最短路徑都是一條直線,三角形的內(nèi)角和是180°,且平行線永遠(yuǎn)不會相交。如果我和我的蟲子朋友以完全相同的速度沿平行的跑道賽跑,比賽將會以平局收場。

接下來我們加入一些有趣的物體。想象把一個(gè)6磅保齡球、一個(gè)20磅保齡球和一個(gè)棒球放在橡膠膜的不同位置(假設(shè)相距很遠(yuǎn))。每個(gè)球都會拉伸薄膜,形成一個(gè)(向下的)凹陷,并造成薄膜表面的彎曲。彎曲的程度將取決于球的質(zhì)量(它有多重)。這時(shí),作為蟲子的我們在旅行中將會經(jīng)歷不同的境遇。如果在遠(yuǎn)離這些球的地方運(yùn)動(dòng),我們不會發(fā)現(xiàn)任何區(qū)別;但當(dāng)我們來到某個(gè)球附近時(shí),就不得不求助數(shù)學(xué)專業(yè)的老師才能確定兩點(diǎn)間最短的路徑。除此之外,平行線有可能會相交,而三角形的內(nèi)角和也并不總等于180°。

在這種情況下,我們需要重新定義“直線”——或更準(zhǔn)確地說,重新定義兩點(diǎn)間的最短路徑。在平面空間中,可以用一把直尺確定最短距離。但在彎曲的蟲子世界中,我們需要一把新的尺子——一把可以彎曲和伸縮,能依照薄膜的彎曲輪廓調(diào)整自己的尺子。這種新測量裝置的學(xué)名是測地線(geodesic)。在現(xiàn)實(shí)世界中,每一位乘坐飛機(jī)做長途旅行的人,都可能得益于我們對測地線的理解。由于地球表面是彎曲的(近似呈球形),地面上兩點(diǎn)間的最短距離是大圓上的圓弧(大圓,即在地球表面可能畫出的最大的圓)。因此,洲際航班往往都沿大圓飛行,從而最大限度地縮短飛行距離。例如,美國紐約市和西班牙馬德里市幾乎處在同一緯度上,但它們之間的最短路徑并不是直接沿緯線自東向西橫跨大西洋,而是在平面地圖上彎曲的路徑——先向北,再轉(zhuǎn)回向南。

總而言之,我們的平面蟲子世界已經(jīng)改變。這時(shí)需要一個(gè)新的幾何來輔助我們在新世界中計(jì)算弧形軌跡的距離(特別是兩點(diǎn)間的最短路徑)。除此以外,我們還要準(zhǔn)備接受來自愛因斯坦方程的更奇異的信息。