聰穎的笛卡爾很早就意識到了，數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)是以命題為起點，這些命題能夠通過直覺清晰地得知是真實的，進而可以通過演繹逐步推導(dǎo)出其他結(jié)論。也就是說，他既考慮到了數(shù)學(xué)（可以延伸到科學(xué)）內(nèi)部的嚴(yán)密性，同時又沒有忽視感性知覺。這樣一來，就消除了存在已久的權(quán)威，使人們在自我探尋方面獲得解放。這是一種非經(jīng)驗主義的方法，相比亞里士多德三段論式的形式化，它提供了一種嶄新的時代精神。

正如笛卡爾指出的，三段論法則“只是在交流已經(jīng)知道的事情時才有用，并不能幫助我們發(fā)現(xiàn)未知的事情”。也正由于經(jīng)院哲學(xué)的權(quán)威性，笛卡爾的方法論后來緩慢地通過非正式的渠道流傳西歐。在英國，它啟迪了還在劍橋大學(xué)念書的牛頓。牛頓后來在自己家的農(nóng)場里，從一只落地的蘋果獲得啟示，悟出并得到了萬有引力定律，正是從內(nèi)心里接受笛卡爾新思想的結(jié)果。至于數(shù)學(xué)上的成就，笛卡爾的主要貢獻是在幾何學(xué)方面。

今天我們無法知道，笛卡爾當(dāng)初給他的戰(zhàn)友兼導(dǎo)師信里提到的那四個重大發(fā)現(xiàn)究竟是什么。不過，在由于受伽利略被宗教法庭判決有罪的影響有意推遲出版的《方法論》的附錄里，笛卡爾給出了一些幾何學(xué)上的發(fā)現(xiàn)，其中如二次曲線的分類法、曲線的切線作法以及高次方程的解法等均已經(jīng)過時。如果讓筆者來歸納笛卡爾對數(shù)學(xué)的主要貢獻，可能是以下四點：

其一，算術(shù)的符號化，比如我們現(xiàn)在普遍使用的已知數(shù)a，b，c……和未知數(shù)x，y，z……以及指數(shù)表達式，就是由笛卡爾率先使用的。其二，從某個原點出發(fā)，延伸出x軸和y軸，建立了歷史上第一個傾斜坐標(biāo)系，并給出直角坐標(biāo)系的例子，解析幾何由此得以誕生。其三，凸多面體的頂點數(shù)v、邊數(shù)e和面數(shù)f之間的關(guān)系：v-e+f=2，后人稱之為歐拉-笛卡爾公式。最后，笛卡爾葉形線，如今在微積分學(xué)教程里經(jīng)?？梢?。

不難發(fā)現(xiàn)，笛卡爾對數(shù)學(xué)的熱情主要來源于方法論的需要。在他看來，知識需要確定性，而數(shù)學(xué)正好提供了這一點。因此，在短暫的激情之后，笛卡爾便把興趣轉(zhuǎn)向更為廣泛的問題，即為全部科學(xué)找到解決問題的方法。事實上，笛卡爾一度對數(shù)學(xué)也寄予厚望，正如畢達哥拉斯鐘情于自然數(shù)（他的一句名言是“萬物皆數(shù)”），他認(rèn)為任何問題都可以歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，而數(shù)學(xué)問題又可以通過代數(shù)問題歸結(jié)為方程問題。

相比笛卡爾對直覺和演繹的依戀，帕斯卡爾的數(shù)學(xué)更多來自經(jīng)驗和實踐。十七歲那年，他發(fā)表了《論圓錐曲線》，不久此文失傳，直到一個多世紀(jì)以后才重又被發(fā)現(xiàn)。文中證明了射影幾何學(xué)中幾個深奧的結(jié)果，包括今天被稱為帕斯卡爾定理的一個結(jié)論：圓錐曲線的內(nèi)接六邊形三組對邊的交點共線。盡管這項工作當(dāng)年曾經(jīng)遭到笛卡爾的嘲諷，如今它仍然是整個幾何學(xué)中最豐滿的結(jié)果之一。

兩年以后，為了幫助重新出山擔(dān)任魯昂地方長官的父親計算稅款，帕斯卡爾開始研制計算機并獲得成功，這是人類研制成功的第一臺計算機，雖然笨重異常，但可以進行八位數(shù)的四則運算。此后十年，帕斯卡爾繼續(xù)改良并使之完善，陸續(xù)造出了五十來臺計算機，可惜在廣告營銷方面不甚得力。留存下來的八臺機器，有一臺為IBM公司所擁有。為了紀(jì)念帕斯卡爾，上個世紀(jì)70年代初誕生于美國的一種計算機語言就用他的名字命名。

在帕斯卡爾對計算機的熱情告一段落不久，有個嗜賭如命的騎士向他討教賭博輸贏的幾率問題，由此引導(dǎo)他深入研究，并與地處偏遠南方山區(qū)的費爾馬頻頻通信。數(shù)學(xué)史家一般認(rèn)為，正是這兩個法國人的通信，奠定了概率論這一數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)。隨后，打賭的論證也進入到他最重要的散文著作《思想錄》，成為其中最長最有名的片段之一。他的出發(fā)點是，上帝要么存在要么不存在，這是一個與打賭一樣非此即彼的問題。

作為概率論研究的副產(chǎn)品，帕斯卡爾還獲得了二項式展開系數(shù)之間的相互關(guān)系，這個系數(shù)按升冪排列的形狀在西方叫帕斯卡爾三角，它是組合數(shù)學(xué)的基本結(jié)論。其實，這個三角圖在北宋數(shù)學(xué)家楊輝的著作里就已出現(xiàn)了，而楊輝稱他的結(jié)果出自已經(jīng)失傳的賈憲的著作（早楊輝兩個多世紀(jì)）。因此它在中國的教科書里被命名為“賈憲三角”或“楊輝三角”，至于它是否是賈憲本人親自發(fā)現(xiàn)并論證，就不得而知了。

無論帕斯卡爾還是笛卡爾，在數(shù)學(xué)以外的其他科學(xué)中都有杰出的貢獻。帕斯卡爾定律是流體力學(xué)中的一條重要定律，說的是封閉容器中流體的某一部分壓強如發(fā)生變化，將毫無損失地傳遞至其他部分和容器壁；同時，壓強等于作用力除以作用面積。而帕斯卡爾也成了國際通用的壓強單位，簡稱“帕”。在天氣預(yù)報中，我們經(jīng)常會聽到臺風(fēng)或龍卷風(fēng)中心的氣壓有多少千帕的說法（氣壓越低風(fēng)力越強）。

笛卡爾的興趣更為廣泛（這一點被后來的歌德效仿），他在光學(xué)、氣象學(xué)和生理學(xué)等方面都有涉足。例如，在氣象學(xué)上，他試圖用自己建立起來的光的折射理論解釋彩虹現(xiàn)象，并通過元素微粒的旋轉(zhuǎn)速度來分析顏色。在生理學(xué)方面，他的野心就更大了，消化、呼吸、血液循環(huán)和神經(jīng)系統(tǒng)都是他考慮的范圍，他還研究噴嚏、咳嗽和哈欠的原理、知覺的機理以及眼球的晶狀體，甚至購買尸體用來解剖?？墒?，他有關(guān)心臟功能的描述受到英國醫(yī)生、血液循環(huán)現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)者哈維的責(zé)難。正如羅素所言，笛卡爾在這些學(xué)科上的工作遠不如在數(shù)學(xué)和哲學(xué)方面出色。