有了等效原理這一理論工具，愛因斯坦的相對論研究取得了很大進(jìn)展。這篇題為《相對論原理及其推論》的文章于1907年12月4日寄達(dá)斯塔特手中，它為愛因斯坦從狹義相對論走向廣義相對論邁出了非常關(guān)鍵的一步。所謂等效原理，舉例而言，指的是在一個(gè)封閉空間中的人無法判斷他是否處在引力作用之下，還是在引力之外由非引力的某種力量推動(dòng)下作加速運(yùn)動(dòng)，即引力作用下物體的運(yùn)動(dòng)與其他力作用于同樣質(zhì)量物體作加速運(yùn)動(dòng)的效果是相等的。這種情況使得愛因斯坦能夠用數(shù)學(xué)來表述他的想法而不必?fù)?dān)心復(fù)雜的引力分析。他現(xiàn)在所要做的就是用數(shù)學(xué)方法來描述一個(gè)作勻加速運(yùn)動(dòng)的參照系，然后根據(jù)等效原理，所得的結(jié)果就是引力作用下的結(jié)果。

愛因斯坦把問題繼續(xù)追問下去，即當(dāng)兩個(gè)鐘表相對作變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，它們的走時(shí)會(huì)有什么不同？當(dāng)確認(rèn)兩個(gè)鐘表將發(fā)生走時(shí)差異時(shí)，他把方程進(jìn)行反推，把加速度代之以引力，則可推理出光線在引力場的作用下會(huì)變得更紅，這一現(xiàn)象即為引力作用之下的紅外位移現(xiàn)象，是廣義相對論接受實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的主要對象。更進(jìn)一步，他探討麥克斯韋的電磁方程，這一方程描述了光的性質(zhì)。愛因斯坦弄清了一個(gè)作加速運(yùn)動(dòng)的參照系的內(nèi)涵，并得出結(jié)論認(rèn)為引力場將使光線的運(yùn)行路線發(fā)生彎曲。光線的偏斜也是實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證廣義相對論的主要對象。1907年的圣誕節(jié)前夜，愛因斯坦在寄出這篇文章后不久又想到了另外一個(gè)挑戰(zhàn)性題目。他給好朋友康拉德·哈比希特的信中說，他試圖揭示水星近日點(diǎn)變動(dòng)的原因。此后的四年，愛因斯坦在這方面的研究陷入僵局，在廣義相對論上沒有作出什么顯著的進(jìn)展。

當(dāng)威廉·維恩在《物理學(xué)紀(jì)事》當(dāng)編輯的時(shí)候，刊登了愛因斯坦1911年在布拉格寫成的重要論文《萬有引力對光的傳播的影響》。早在1907年，愛因斯坦便開始嘗試將牛頓的萬有引力整合到他的狹義相對論中。1911年的論文意味著他超越這個(gè)目標(biāo)并更深入地邁進(jìn)了一步，開始利用等效原理為基礎(chǔ)，構(gòu)建一個(gè)新的引力理論。不過當(dāng)他決定這么做時(shí)也預(yù)見到了將會(huì)遇到一些問題。他給同事雅各布·勞爾勃的信中提及此事時(shí)說：“用相對論的觀點(diǎn)來處理萬有引力產(chǎn)生許多大麻煩。”他開始懷疑支撐狹義相對論的基石之一——即光的速度是恒定的——這個(gè)假設(shè)只有在引力也不變的情況下才成立。1911年的論文與1907年的論文所涉及的問題基本上一樣，愛因斯坦再次聲稱引力作用下將發(fā)生紅外位移現(xiàn)象并預(yù)言通過太陽附近的光線將發(fā)生細(xì)微的偏斜，大約偏斜0.08弧秒。愛因斯坦寫道，“非常迫切需要天文學(xué)家對本文所述問題予以充分注意，必要的關(guān)注目前基本上還沒有或遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠”。他當(dāng)時(shí)尚不知道，幾年以后，當(dāng)所倡導(dǎo)的實(shí)驗(yàn)一旦證實(shí)這個(gè)猜想，將給他帶來世界性的聲譽(yù)。

廣義相對論的開創(chuàng)性研究是一項(xiàng)艱苦的進(jìn)程。1912年，愛因斯坦給物理學(xué)家阿諾德·索梅菲爾德的信中提到，“這是我有生以來最艱苦的工作，還沒有比這更苦的”；而在另一封寫給米歇爾·貝索的信中大吐苦水說，“研究工作每進(jìn)展一步都異常艱苦”。不久，當(dāng)愛因斯坦最終弄清楚，產(chǎn)生困難的原因在于自己用了錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)方法構(gòu)建這個(gè)理論，馬上改變策略，許多困難因此迎刃而解。剛開始時(shí)他很自然地用中學(xué)時(shí)就學(xué)過的歐幾里德幾何作為工具，這一幾何分支一般只能解決平面物體的問題如直線、平行線永不相交等等，也稱為歐式幾何或平面幾何。用這種數(shù)學(xué)工具顯然無法解決紛繁復(fù)雜的萬有引力問題。

在歐式幾何中，兩點(diǎn)之間直線距離是最短距離。你打開地圖，在倫敦和紐約之間劃一條直線，那么這條直線將大部分經(jīng)過大西洋的湛藍(lán)的海水?，F(xiàn)在，你再拿出一個(gè)地球儀，在上述兩地間的球面上拉一條能伸縮的線。因?yàn)榈厍蚴莻€(gè)球體，這兩點(diǎn)之間最短的線不是直線，而是一段與球形的一部分相對應(yīng)的曲線，航空公司對此應(yīng)該非常清楚。英國航空公司的飛機(jī)從倫敦起飛，途經(jīng)愛爾蘭最南角，并經(jīng)過格陵蘭島的一角，飛過加拿大新斯科舍省和美國波士頓，最后降落在紐約昆斯區(qū)的約翰·肯尼迪機(jī)場。航空公司使用這條航線就是因?yàn)檫@一線路是最短路程，因而也是最快和最便宜的選擇。物理學(xué)家也知道光線的傳播也是遵循最短路線的原則，就如飛機(jī)一樣，一個(gè)光子在曲面上的傳播路線與在平面上的傳播路線是不同的。曲面的形狀通常由所謂的“度規(guī)”（metric）決定，概括地說，度規(guī)顯示了球面上兩點(diǎn)間的距離。球面上兩個(gè)分開的點(diǎn)之間的最短距離稱為“最短程線”（geodesic）。在平面上，最短程線即為直線，而在球體上，最短程線是大圓弧。愛因斯坦需要補(bǔ)習(xí)一些數(shù)學(xué)技巧來處理最短程線和度規(guī)的問題，以此來進(jìn)行非平面幾何上的研究。

在學(xué)生時(shí)代，愛因斯坦有一個(gè)特別要好的朋友，即后來成為著名數(shù)學(xué)家的馬賽爾·格羅斯曼。格羅斯曼的專業(yè)就是研究幾何學(xué)，他在博士論文中證明了一些非平面的一些性質(zhì)。愛因斯坦從布拉格回到蘇黎世，懇求格羅斯曼說：“你千萬要幫幫我，不然我就要瘋了。”很快，在格羅斯曼的努力相助下，愛因斯坦找到了解決問題的數(shù)學(xué)方法：黎曼幾何。愛因斯坦對此十分感激，他給索梅菲爾德寫信說道：“我開始對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了極大的敬畏，以我的駑鈍，若能從中領(lǐng)會(huì)到它的精妙之處，對我都近乎是一種奢侈的賞賜”。愛因斯坦和格羅斯曼在廣義相對論研究中同心協(xié)力，還共同發(fā)表論文把黎曼幾何這個(gè)工具介紹到物理學(xué)研究中。1913年，他們倆合作將麥克斯韋電磁方程在曲面上進(jìn)行重新推導(dǎo)。一年以后，愛因斯坦發(fā)現(xiàn)了一個(gè)方程可以把曲面上最短路線，即最短程線，與曲面的曲率聯(lián)系起來。如果知道一個(gè)曲面的曲率是多少，那么最短程線將決定曲面的軌道，假設(shè)該曲面有行星繞著旋轉(zhuǎn)的話。