2.3 鋼筋混凝土受彎構件正截面承載力計算
2.3.1 受彎構件正截面承載力計算的基本假定
1.基本假定
正截面承載力計算的基本假定包括：
（1）截面應變保持平面。
（2）不考慮混凝土的抗拉強度。
（3）混凝土受壓的應力-應變關系已知。
目前我國現(xiàn)行《混凝土結構設計規(guī)范》所采用的鋼筋、混凝土應力-應變關系如圖2.3-1、圖2.3-2所示。
圖2.3-1 鋼筋應力-應變曲線
圖2.3-2 混凝土應力-應變曲線
鋼筋應力-應變關系采用理想的彈塑性本構關系，σs＜fy時是彈性的，σs=fy時是理想塑性的；混凝土的應力-應變曲線由兩段組成。
當εc≤ε0時
當ε0＜εc≤εcuσc=fc
式中 σc——混凝土壓應變?yōu)?span >εc時的混凝土壓應力；
fc——混凝土軸心抗壓強度設計值；
ε0——混凝土壓應力達到fc時的混凝土壓應變，ε0=0.002+0.5（fcu，k-50）×10-5，當計算的ε0值小于0.002時，取為0.002；
εcu——正截面的混凝土極限壓應變，當處于非均勻受壓時，εcu=0.0033-（fcu，k-50）×10-5，如計算的εcu值大于0.0033，取為0.0033；當處于軸心受壓時取為ε0；
fcu，k——混凝土立方體抗壓強度標準值；
n——系數(shù)，
，當計算的n值大于2.0時，取為2.0。
2.適筋梁與超筋梁的分界
適筋梁與超筋梁的分界可用兩種方式表達，即：ρ=ρb或ξ=ξb。
（1）相對界限受壓區(qū)高度ξb。適筋梁與超筋梁的分界如圖2.3-3中的界限破壞所示，即梁受拉鋼筋屈服的同時受壓區(qū)混凝土達到極限壓應變。設鋼筋屈服時的應變?yōu)?span >εy，則
。
設界限破壞時中和軸高度為x0b，則根據(jù)平截面假定可得：
令xb為界限破壞時等效矩形應力圖形上的受壓區(qū)高度，
代入上式可得：
圖2.3-3 適筋梁、超筋梁、界限配筋梁破壞時的正截面平均應變圖
相對界限受壓區(qū)高度
，代入上式可得：
式中 fy——鋼筋抗拉強度設計值；
Es——鋼筋彈性模量；
εcu——非均勻受壓時的混凝土極限壓應變，混凝土強度等級小于等于C50時εcu=0.0033，大于C50時εcu=0.0033-（fcu，k-50）×10-5；
β1——與混凝土強度相關的系數(shù)，當混凝土強度等級小于等于C50時β1=0.8，C80時β1=0.74，其間按線性內插法確定。
為便于設計，表2.3-1給出了相對界限受壓區(qū)高度ξb的取值。
表2.3-1 相對界限受壓區(qū)高度ξb取值
對于無明顯屈服點的鋼筋，鋼筋的屈服應變由名義屈服應變代替（應考慮殘余應變0.002的影響），即
（2）界限配筋率ρb。界限配筋率即為適筋梁的最大配筋率，當ξ=ξb時所對應的配筋率ρb就是界限配筋率。ρb可以由圖2.3-4力的平衡關系得出：
α1fcbxb=Asfy=ρbbh0fy
所以
如果去掉腳標b就可得出適筋梁配筋率ρ與相對受壓區(qū)高度的關系即
。式中α1的取值與混凝土強度等級有關，當混凝土強度等級不超過C50時，取α1=1.0；當混凝土強度等級為C80時，取α1=0.94，其間按線性內插法確定。
圖2.3-4 界限破壞時的應力圖
2.3.2 單筋矩形截面正截面受彎承載力計算
1.基本公式及適用條件
（1）基本公式。單筋矩形截面正截面受彎承載力計算簡圖如圖2.3-5所示。由力的平衡關系可得：
α1fcbx=Asfy （2.3-5）
由力矩平衡可得：
（2）適用條件
ξ≤ξb
或 
《混凝土結構設計規(guī)范》（GB 50010—2010）規(guī)定ρmin應取0.2%和45
中的較大值。
圖2.3-5 單筋矩形截面正截面受彎承載力計算簡圖
經濟配筋率的范圍為：
板 ρ=0.4%～0.8%
矩形梁 ρ=0.6%～1.5%
T形梁 ρ=0.9%～1.8%（相對于腹板）。
2.單筋矩形截面配筋設計
根據(jù)式（2.3-5）、式（2.3-6）或式（2.3-7）就可以進行截面配筋設計。為了設計方便，式（2.3-6）、式（2.3-7）可寫成：
M=Asfyh0 （1-0.5ξ）
令 αs=ξ（1-0.5ξ） （2.3-8）
γs=1-0.5ξ （2.3-9）
則 M=α1αsfcbh20 （2.3-10）
或 M=Asfyγsh0 （2.3-11）
截面配筋設計時經常遇到以下兩種情況：
（1）已知M、b、h、fc、fy、…，求As
解：①計算
②計算ξ
由式（2.3-8）可得
，應不大于ξb
③計算配筋率ρ
，應滿足
④計算As
As=ρbh0
⑤繪制配筋圖
設計時應盡量使受彎構件的配筋率落在經濟配筋率范圍之內，如按（4）計算的ρ值與經濟配筋率相差較大也可重新選擇b、h重復（1）～（4）。
（2）已知M、b、fc、fy、…，求As
解：①先假定ρ，使ρ落在經濟配筋率范圍之內。
②根據(jù)配筋率ρ與ξ的關系求ξ
③計算αs
αs=ξ（1-0.5ξ）
④由式（2.3-10）求h0
⑤計算h
h=h0+as
計算出的h取整后（宜符合模數(shù)），變?yōu)橐阎?span >b、h求As的情況。當實際取的h值大于由第5步計算的h值時也可不必重新計算而直接取As=ρbh0。
【例2.3-1】 一矩形截面簡支梁b×h=200mm×500mm，計算跨度l=6m，承受均布活荷載標準值qk=12kN/m，均布恒荷載標準值gk=10kN/m（不含自重），結構安全等級為二級，試進行截面配筋設計。
解答：選C30級混凝土，fc=14.3MPa；HRB400級鋼筋，fy=360MPa。結構安全等級為二級，γ0=1.0。恒載分項系數(shù)γG=1.2；活載分項系數(shù)γQ=1.4。
梁自重標準值 gk′=25×0.2×0.5×1kN/m=2.5kN/m（鋼筋混凝土容重取25kN/m3）
簡支梁跨中彎矩設計值：
，實配
，As=1140mm2。
如圖2.3-6所示。
【例2.3-2】 一矩形截面簡支梁承受彎矩設計值M=230kN·m，采用C20級混凝土，fc=9.6MPa，HRB400級鋼筋，fy=360MPa。試確定梁截面尺寸及配筋。
解答：選b=250mm，假設ρ=1%
則
實取h=600mm。
因實際所取梁高與設計所取梁高相差很小，故不必按b×h=200mm×600mm重新計算As，而可直接取As=ρbh0=1%×250×565mm2=1413mm2。實配3
25，As=1473mm2
如果實際選取梁高（宜符合模數(shù)）與計算梁高相差較大，則應按已知b、h的情況求As。
【例2.3-3】 已知一單跨簡支板，板厚120mm，板上有30mm厚水泥砂漿找平層，板的計算跨度為4.2m，板上活荷載標準值qk=2kN/m2，混凝土采用C30級，鋼筋采用HPB300，試進行截面配筋。
解答：取板寬b=1000mm的板條作為計算單元。安全等級按二級考慮，γ0=1.0
恒載分項系數(shù)γG=1.2；活載分項系數(shù)γQ=1.4
恒載標準值gk=（1×1×0.12×25+1×1×0.03×20）kN/m=3.6kN/m
圖2.3-6 配筋圖
（鋼筋混凝土容重取25kN/m3，砂漿容重取20kN/m3）
設計彎矩
As=ρbh0=0.006×1000×100mm2=600mm2。實配
10@130，As=604mm2。構造筋選用
8@200，如圖2.3-7所示。
圖2.3-7 簡支板配筋圖
2.3.3 雙筋矩形截面正截面受彎承載力計算
1.概述
一般情況下用鋼筋承擔壓力是不經濟的，但遇下列情況之一則可考慮使用雙筋：
（1）截面所承受的彎矩較大，且截面的高度受到限制，此時若采用單筋則會出現(xiàn)超筋現(xiàn)象。
（2）同一截面在不同荷載組合下出現(xiàn)正、負號彎矩。
（3）壓區(qū)配置受壓鋼筋可增加截面的延性，減小徐變，對抗震有利。
圖2.3-8 雙筋截面計算簡圖
2.基本公式及適用條件
雙筋矩形截面受彎承載力的計算公式可以根據(jù)圖2.3-8所示的計算簡圖由力和力矩的平衡條件得出：
式中 αs=ξ（1-0.5ξ）
基本公式的適用條件是：
1.ξ≤ξb
該條件是避免超筋的條件，保證受拉區(qū)鋼筋先屈服，然后混凝土被壓碎。
2.x≥2a′s
如不滿足第二個條件，即x＜2as′，則假定受壓區(qū)混凝土的合力C通過受壓鋼筋As′的重心，此時可以直接對As′取矩求出受拉鋼筋As。
M=Asfy（h0-a′s）
所以 
3.雙筋截面配筋設計
在雙筋截面的配筋設計時經常會碰到以下兩種情況：
（1）已知M、b、h、fc、fy、f′y
求 As、As′
解：①判斷是否需要采用雙筋
如 M＞α1fcξb（1-0.5ξb）bh20，則需采用雙筋。
②充分利用混凝土受壓
令ξ=ξb或x=ξbh0，由式（2.3-13）求As′
③由式（2.3-12）求As
（2）已知M、b、h、fc、fy、f′y、A′s
求 As
解：①求αs
由式（2.3-13）得
②求ξ、x
所求得的ξ值應小于等于ξb，不滿足此要求，則可增加A′s或增大截面尺寸（如允許的話）。
x=ξh0，如果x≥2as′，由式（2.3-12），得
如果x＜2as′，由式（2.3-14），得
【例2.3-4】 已知矩形截面梁b×h=200mm×500mm，承受彎矩設計值M=260kN·m，混凝土采用C30，鋼筋采用HRB400，ξb=0.518。試進行配筋設計。
解答：fc=14.3MPa，fy=360MPa，假定受拉鋼筋為兩排，則as=60mm，先按單筋計算。
由計算可知：如果采用單筋則會產生超筋現(xiàn)象，故應按雙筋計算。
令ξ=ξb 由式（2.3-13）可得：
由式（2.3-12）得
實配受壓筋為2
16 As′=402mm2
受拉筋為6
22（兩排）As=2281mm2
【例2.3-5】 已知條件同【例2.3-4】，假定受壓筋As′為2
20（As′=628mm2），求As
解答：由式（2.3-13）得：
由式（2.3-12）得：
實配受拉筋為4
25 As=1964mm2
比較【例2.3-4】和【例2.3-5】可以得出前者總鋼筋用量為（326+2137）mm2=2463mm2，后者總鋼筋用量為（628+1935）mm2=2563mm2。也就是說當充分利用混凝土承擔壓力，即令ξ=ξb（或x=ξbh0）時總用鋼量相對較少。
【例2.3-6】 某鋼筋混凝土簡支梁，安全等級為二級。梁截面250mm×600mm，混凝土強度等級C30，縱向受力鋼筋均采用HRB400級鋼筋，箍筋采用HPB300級鋼筋，梁頂及梁底均配置縱向受力鋼筋，as=as′=40mm。相對界限受壓區(qū)高度ξb=0.518。
1.已知：梁頂面配置了2
16受力鋼筋，梁底鋼筋可按需要配置。試問，如充分考慮受壓鋼筋的作用，計算梁跨中可以承受的最大正彎矩設計值M。
解答：h0=（600-40）mm=560mm ξb=0.518
當x=ξbh0=0.518×560mm=290.1mm時，抗彎承載力設計值為最大。
按式（2.3-13）（《混凝土結構設計規(guī)范》（GB 50010—2010）式（6.2.10-1））：
M≤α1fcbx（h0-x/2）+fy′As′（h0-as′）
=1×14.3×250×290.1×（560-290.1/2）+360×2×201×（560-40）
=506×106N·mm=506kN·m
2.已知：梁底面配置了4
25受力鋼筋，梁頂面鋼筋可按需要配置。試問，如充分考慮受壓鋼筋的作用，計算此梁跨中可以承受的最大正彎矩設計值M。
解答：根據(jù)圖2.3-8（《混凝土結構設計規(guī)范》（GB 50010—2010）圖6.2.10），滿足x≥2as′時，對受壓鋼筋合力點取矩，得到：
x=2as′時，M最大。
M=360×4×491×（600-40-40）N·mm=368×106N·mm=368kN·m
2.3.4 T形截面正截面受彎承載力計算
1.T形、I形及倒L形截面受彎構件翼緣計算寬度bf′的取值
T形、I形及倒L形截面受彎構件翼緣計算寬度bf′的具體取值如表2.3-2所示。
表2.3-2 T形、I形及倒L形截面受彎構件翼緣計算寬度bf′
注：1.表中b為腹板寬度。
2.肋形梁在梁跨內設有間距小于縱肋間距的橫肋時，則可不考慮表中情況3的規(guī)定。
3.加腋的T形、I形和倒L形截面，當受壓區(qū)加腋的高度hh≥h′f且加腋的寬度bh≤3hh時，其翼緣計算寬度可按表中情況3的規(guī)定分別增加2bh（T形、I形截面）和bh（倒L形截面）。
4.獨立梁受壓區(qū)的翼緣板在荷載作用下經驗算沿縱肋方向可能產生裂縫時，其計算寬度應取腹板寬度b。
2.基本公式及適用條件
T形梁有兩種類型，第一種類型為中和軸在翼緣內，即x≤hf′；第二種類型為中和軸在梁肋內，即x＞hf′。
（1）第一類T形（假T形） 第一類T形中和軸在翼緣內，x≤hf′，此類T形與bf′×h的矩形完全相同（如圖2.3-9所示），基本計算公式與矩形截面完全相同，只是用bf′代替矩形截面計算公式中的b。
基本計算公式為
圖2.3-9 第一類T形截面
設計步驟為
（2）第二類T形（真T形） 第二類T形中和軸在梁肋內，x＞hf′，如圖2.3-10所示。此類T形的受彎承載力計算基本公式仍可由力的平衡和力矩平衡得出。
圖2.3-10 第二類T形截面
基本計算公式為
ΣX=0 α1fcbx+α1fc（b′f-b）h′f=Asfy （2.3-17）
式（2.3-18）也可以寫成
3.兩類T形截面的判別方法
如何判斷T形截面是屬于第一類T形還是第二類T形，應根據(jù)設計和校核兩種不同情況采用不同的方法。
（1）截面配筋設計時
當
，即x≤hf′時，為第一類T形，即假T形，按b′f×h的矩形截面計算。
反之，當
，即x＞hf′時，為第二類T形，即真T形，按式（2.3-18）、式（2.3-19）計算。
（2）截面受彎承載力校核時
截面承載力校核時，As為已知。當Asfy≤α1fcbf′hf′時，即x≤hf′，為第一類T形。
反之，當Asfy＞α1fcbf′hf′時，即x＞h′f為第二類T形。
4.截面配筋設計
已知M、bf′（根據(jù)表2.3-2選定）、hf′、b、h、fc、fy，求As
解：（1）首先判定屬于哪一類T形
如
時，則屬于第一類T形，此時可按bf′×h的矩形截面計算。
如
時，則屬于第二類T形。
（2）第一、二類T形的配筋計算
①第一類T形 可按bf′×h的矩形截面計算，其步驟如下：
②第二類T形
由式（2.3-19）求
由式（2.3-17）得：A
5.正截面承載力校核
正截面承載力校核應按如下步驟進行：
（1）先判斷T形的類別。
（2）求混凝土受壓區(qū)高度。
（3）求正截面承載力Mu。
（4）比較設計彎矩M與Mu的關系。
如M≤Mu 則證明滿足承載力要求，反之則不滿足承載力要求。
【例2.3-7】 已知一鋼筋混凝土現(xiàn)澆樓蓋，梁的計算跨度為6.6m，間距為3m，截面尺寸如圖2.3-11所示，混凝土采用C20，鋼筋采用HRB400，樓面可變荷載標準值為2kN/m2，求此梁的受拉鋼筋面積As。
圖 2.3-11
解答：1.荷載及內力計算
砂漿容重按20kN/m3計算，鋼筋混凝土容重按25kN/m3計算。
30厚水泥砂漿 0.6kN/m2
80厚鋼筋混凝土板 2kN/m2
15厚天棚灰 0.3kN/m2
樓面永久荷載總計Σ 2.9kN/m2
鋼筋混凝土梁自重 0.25×（0.55-0.08）×1×25kN/m=2.94kN/m
樓面可變荷載 2kN/m2
永久荷載分項系數(shù)γG=1.2，可變荷載分項系數(shù)γQ=1.4
設計彎矩
2.確定翼緣計算寬度bf′
由表2.3-2可知
按梁計算跨度考慮
；
按梁凈距sn考慮 b′f=b+sn=3m；
按翼緣高度hf′考慮 hf′/h0=80/515=0.155＞0.1，故bf′不受此條件限制。
取上述bf′小者，故bf′=2.2m。
3.判斷T形類別
C20混凝土fc=9.6MPa；HRB400鋼筋fy=360MPa。
故屬于第一類T形。
4.配筋計算
實配3
18，As=763mm2
【例2.3-8】 一T形截面簡支梁，截面尺寸如圖2.3-12所示，承受彎矩設計值M=260kN·m，混凝土采用C20，鋼筋采用HRB400，求縱向受拉鋼筋As。
解答：1.判斷T形截面類型
故為第二類T形。
2.配筋計算
由式（2.3-19）
圖 2.3-12
由式（2.3-17） 
實配6
18 As=1526mm2
【例2.3-9】 已知T形截面尺寸同【例2.3-7】，梁下部配有兩排受拉鋼筋，受拉鋼筋數(shù)量為6
22，該截面承受的設計彎矩為M=350kN·m，試校核該梁是否安全。
解答：1.判斷T梁類型
Asfy=2281×360N=821160N＞α1fcb′fh′f=1.0×9.6×500×100N=480000N
故屬于第二類T形。
2.求Mu
由式（2.3-17）得
由式（2.3-18）得
3.結論
M=350kN·m＜Mu=361.0kN·m安全（指正截面承載力）
鄂公網安備 42010302001612號