在花剌子模的講義中，他討論了這樣一個二次方程式：

x2＋10x=39

當(dāng)然，花剌子模并不是這樣表述二次方程式的，他使用的是文字而非符號的表述方法?；ㄘ葑幽５臅锸沁@樣寫的：什么數(shù)的平方加上這個數(shù)的10倍等于39？把這個問題“翻譯”為今天通行的數(shù)學(xué)語言，就是我們上面寫出的這個二次方程式。

與我們上面舉出的兩個一次方程式相比，求解這個方程式顯然要棘手得多。我們怎么才能把這個方程中的x孤立出來，從而求得它的值呢？上面使用的移項技巧以及方程式兩邊同時乘以（或除以）一個常數(shù)的方法在這里顯然不夠用，因為顧得了x就顧不了x2，即使你把這兩者之中的x孤立出來，另一個必然還會在那里礙手礙腳。比如，我們可以把方程式的兩邊同時除以10，這樣10x就被簡化成了x，但是，我們也會隨之得到一個非常討厭的x2/10，方程式還是沒有解出來?？偟膩碚f，這個問題的難點是，我們需要同時做兩件事情，而這兩件事情看起來又似乎互不相容。

那么，花剌子模是怎么解決這類問題的呢？他的解法值得我們好好分析一下：一是因為他給出的解法非常簡潔明了，二是因為他的解法極為強大—這種解法可以一步到位，解出任何二次方程式的根。也就是說，你可以把上述方程式中的10和39換成其他任何數(shù)字，這個方法仍然有效！

這個方法就是：用幾何意義來詮釋二次方程式中的每一項。首先考慮x2的值，它的幾何意義是一個x乘以x的正方形的面積，如下圖所示：

類似的，第二項10x的幾何意義是一個10乘以x的長方形的面積。花剌子模進一步巧妙地把這個10乘以x的長方形一分為二，表示為兩個5乘以x的長方形（這一步的妙處我們在下面自然會看到，這是“配方法”的基礎(chǔ)）。

下面，我們把兩個長方形和先前的正方形拼到一起，形成一個有缺口的形狀，這個圖形的面積就是x2+10x 。

現(xiàn)在，花剌子模把求解方程式的問題幾何化了，問題就變成：如果上述形狀的面積為39個單位，那么x應(yīng)該是多少呢？

上面這幅圖已經(jīng)給出了十分清楚的提示，既然這個形狀缺了一角，為什么我們不把它補全呢？補出這個小正方形之后，我們就得到了一個完美的大正方形。這說明什么呢？仔細看看下圖。

補足的這個小正方形的面積是5×5=25，也就是說，左圖大正方形的面積是x2＋10x＋25，因為這個圖形現(xiàn)在是邊長為（x＋5）的一個正方形。