這些一般性的思維方法，就是波利亞用了整整三本書，五卷本（《How To Solve It》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》④、《數(shù)學(xué)與猜想》）來(lái)試圖闡明的。波利亞的書是獨(dú)特的，從小到大，我們看過(guò)的數(shù)學(xué)書幾乎無(wú)一不是歐幾里德式的：從定義到定理，再到推論。是屬于“順流而下”式的。這樣的書完全而徹底地扭曲了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的真實(shí)過(guò)程。舉個(gè)例子，《證明與反駁：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯》在附錄一中講了一個(gè)非常有趣的例子：柯西當(dāng)年試圖將函數(shù)的連續(xù)性從單個(gè)函數(shù)推廣到無(wú)窮級(jí)數(shù)上面去，即證明由無(wú)窮多個(gè)連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的收斂級(jí)數(shù)本身也是一個(gè)連續(xù)的函數(shù)，柯西給出了一個(gè)巧妙的證明，似乎漂亮地解決了這個(gè)問(wèn)題。然而傅里葉卻給出了一個(gè)噩夢(mèng)般的三角函數(shù)的收斂級(jí)數(shù)，它的和卻并不是連續(xù)的。這令柯西大為頭疼，以至于延遲了他的數(shù)學(xué)分析教程的出版好些年。后來(lái)，賽德?tīng)柦鉀Q了這個(gè)問(wèn)題：原來(lái)柯西在他看似無(wú)懈可擊的證明中非常隱蔽（他自己也在不知覺(jué)的情況下）引入了一個(gè)潛在的假設(shè)，這個(gè)假設(shè)就是后來(lái)被稱為的“一致收斂”條件。當(dāng)時(shí)我看到這里就去翻我們的數(shù)學(xué)分析書，發(fā)現(xiàn)“一致收斂”這個(gè)概念第一次出現(xiàn)的時(shí)候是這樣寫的：定義 — 一致收斂……

所以說(shuō)，從這個(gè)意義上，《數(shù)學(xué)，確定性的喪失》⑤從歷史的角度再現(xiàn)了真實(shí)的數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程，是一本極其難得的好書。而事實(shí)上，從真實(shí)的數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的角度去講授數(shù)學(xué)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)法的最佳方法。不過(guò)，《數(shù)學(xué)，確定性的喪失》的弱點(diǎn)是并沒(méi)有從思維的角度去再現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維過(guò)程，而這正是波利亞所做的。

總結(jié)波利亞在書中提到的思維方法，尤其是《How To Solve It》中的啟發(fā)式思考方法，有這樣一些：

1.時(shí)刻不忘未知量。（即時(shí)刻別忘記你到底想要求什么，問(wèn)題是什么）萊布尼茲曾經(jīng)將人的解題思考過(guò)程比喻成晃篩子，把腦袋里面的東西都給抖落出來(lái)，然后正在搜索的注意力會(huì)抓住一切細(xì)微的、與問(wèn)題有關(guān)的東西。事實(shí)上，要做到能夠令注意力抓住這些有關(guān)的東西，就必須時(shí)刻將問(wèn)題放在注意力層面，否則即使關(guān)鍵的東西抖落出來(lái)了也可能沒(méi)注意到。

2.用特例啟發(fā)思考。一個(gè)泛化的問(wèn)題往往給人一種無(wú)法把握、無(wú)從下手、或無(wú)法抓住里面任何東西的感覺(jué)，因?yàn)闂l件太泛，所以看起來(lái)哪個(gè)條件都沒(méi)法入手。一個(gè)泛化的問(wèn)題往往有一種 “不確定性”（譬如元素的個(gè)數(shù)不確定，某個(gè)變量不確定，等等），這種不確定性會(huì)成為思維的障礙，通過(guò)考慮一個(gè)合適的特例，我們不僅使得問(wèn)題的條件確定下來(lái)從而便于通過(guò)試錯(cuò)這樣的手法去助探問(wèn)題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，同時(shí)很有可能我們的特例中實(shí)質(zhì)上隱藏了一般性問(wèn)題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，于是我們便能夠通過(guò)對(duì)特例的考察尋找一般問(wèn)題的解。