我們知道阿基米德是在西西里島東南角的希臘城市敘拉古（Syracuse）生活，也死在那里。他在公元前212年被殺，當時羅馬軍團在馬塞盧斯（Claudius Marcellus）的率領下，經(jīng)過兩年的圍城后，攻占敘拉古城。根據(jù)約14個世紀之后的歷史學家策策斯（Tzetzes）的文章顯示，阿基米德當時已經(jīng)是75歲的老人。若這說法正確的話，他的出生年份應該是公元前287年。在他簡短有趣的作品《 沙粒的計算 》（The Sand Reckoner）中，他發(fā)明一種以億的乘冪為主的計算方法，其中還提到他的父親是一位天文學家，曾發(fā)現(xiàn)估算太陽與月球相對大小的方法。

阿基米德吸收了兩種數(shù)學傳統(tǒng)。他非常熟悉歐幾里得的研究，歐氏所收集匯編的幾何理論成為阿基米德的工具盒，在他證明自己的理論時，每當有需要，他就從這個工具盒中掏出可應用的元素。阿基米德幾乎可以確定曾在埃及讀過書，據(jù)說他在那里發(fā)明了著名的阿基米德螺旋泵，一種借助轉(zhuǎn)動螺旋管道來汲水的裝置。1800年后，伽利略在看到這個裝置時大為驚嘆，形容它為“不僅不可思議，簡直就是奇跡”。我們不確定這個裝置是否是阿基米德發(fā)明的，不過我們的確知道他跟亞歷山大城（Alexandria）的學者關系友好，該城在當時是主要的學術中心。阿基米德將多份研究結果發(fā)給薩摩斯（Samos）的數(shù)學家暨天文學家科農(nóng)（Conon），以及昔蘭尼的艾拉多塞（Eratosthenes of Cyrene），艾拉多塞是在早期的天文學上以計算出地球半徑以及在數(shù)學上以提出尋找質(zhì)數(shù)的“試除法”而揚名的科學家。這兩人都在亞歷山大城生活與工作。阿基米德的研究以數(shù)世紀的發(fā)現(xiàn)為基礎，然而他所踏出的每一步都是新的突破。

公元前214年，羅馬從海陸攻擊敘拉古。這個城市并沒有很快被輕易攻下，主要原因就在于阿基米德所設計的戰(zhàn)爭機器。他把自己發(fā)現(xiàn)的物理原理簡化成明確的數(shù)學，借以設計出杠桿和滑輪，將巨大的巖石拋向逼近的敵人軍團與戰(zhàn)艦。羅馬歷史學家也描述他所設計的起重機將巨大的重物丟向船艦，或?qū)⒋桌?，使它們沉入海底。我們輕易就能想象，這種龐大的裝置會對羅馬士兵造成多大的恐懼。根據(jù)野史的傳說，阿基米德是在全神貫注于圖解工作時，不理會士兵的命令，因而當場被殺死。

著名的“Eureka”故事也是傳說。根據(jù)三個世紀后的羅馬建筑師維特魯威（Vitruvius）敘述，希倫二世（King Hieron Ⅱ）懷疑他指派制作黃金王冠的工匠，以銀替換國王所提供的一些黃金。于是希倫二世向阿基米德提出一個難題，要求他驗證王冠的純度，但因王冠已經(jīng)奉獻給眾神，因此不能將它破壞。阿基米德在浸身洗澡時想到了解決方法，而且在狂喜之下，裸身在街上狂奔，口中大喊“Eureka！”——我發(fā)現(xiàn)了！

由于我們已知希倫王曾經(jīng)以其他問題求教阿基米德，因此他很可能也真的問過阿基米德這個問題。此外，阿基米德的確發(fā)現(xiàn)有關物體在水中的物理定律，具體地說就是深奧的阿基米德原理：浸于液體中的物體所受到的浮力，與它所取代的液體重量相當。阿基米德正是利用這個原理，來解決王冠的純度問題。他知道相同重量的金與銀所占的體積不同，因此取代的水量不同。所以只要測量王冠所取代的水量，跟相同重量的純金與純銀所取代的水量進行比較，就能計算出皇冠中銀所占的比例。

只是阿基米德的反應似乎不太真實。如同數(shù)學家斯坦（Sherman Stein）所寫的：“我認為這么基本的觀察不可能讓阿基米德興奮到要這樣慶祝，特別是他還有球的表面積與體積、重心，以及浮體的穩(wěn)定性等更耀眼的發(fā)現(xiàn)。”

不過我們不要過河拆橋。阿基米德的寶貝是他帶給世人最驚人的創(chuàng)見之一，亦即浮力的數(shù)學知識。他分析了到底是什么使任何形狀、大小與方位的物體在水中浮沉、翻覆或穩(wěn)穩(wěn)地浮著。這些發(fā)現(xiàn)從他早期發(fā)現(xiàn)的杠桿原理、對重心的研究，以及著名的阿基米德定律，都很有邏輯地一貫延續(xù)下來。他大量應用幾何學來判定復雜圖形的重心，并且預測浮體的穩(wěn)定或不穩(wěn)定性。阿基米德秉持他向來對實用性的鄙視，并未將他的發(fā)現(xiàn)應用于當時的船艦。不過他的研究成果至今仍是航海設計的基礎。

可以說阿基米德的思想非常先進。雖然他極度重視純數(shù)學，但也愿意用其他方法來解決問題。這是在1906年發(fā)現(xiàn)的，當時丹麥數(shù)學史家海柏格（J.L.Heiberg）發(fā)現(xiàn)了一張羊皮紙，上面記載著阿基米德所謂的《 方法 》（The Method）。這個抄本的年代大約在公元900年，是在君士坦丁堡（即現(xiàn)在的伊斯坦布爾）的修道院發(fā)現(xiàn)的。它的部分內(nèi)容已經(jīng)被毀，覆蓋上有關希臘東正教的儀式描述，不過阿基米德的文字和圖解仍然可以閱讀。阿基米德對他的同事艾拉多塞描述說，它是“一種特殊的方法，讓你能利用力學來了解特定的數(shù)學問題?！铱梢灶A見目前及未來將會有人利用這種方法，發(fā)現(xiàn)我們尚未了解的其他定理”。

阿基米德所做的是將數(shù)學與力學結合，也就是他所發(fā)現(xiàn)的杠桿原理及不同形狀的重心。他利用物理模型與漸近法來處理未解決的問題，例如拋物線體的體積與重心、球的體積，以及半球的重心。他的圖形、模型與思想實驗成為他看出解決方法的基礎。為了忠實于他的數(shù)學根源，他總是嚴格地驗證他的發(fā)現(xiàn)。他特別擅長以具有開創(chuàng)性的極限值來“掌握”收斂值的數(shù)學關系，從而在這個領域，為1800年后的牛頓與萊布尼茲奠下了發(fā)明微積分學的根基。阿基米德利用真實世界的實驗，讓我們得以窺見他的方法，這在希臘哲學科學家中是獨樹一幟的。

在阿基米德所有的發(fā)現(xiàn)中，他最以自己證明了一種簡潔關系為傲，那就是球的體積為環(huán)繞它的圓柱體體積的三分之二。他要求把這項成就刻在他的墓碑上。他的愿望顯然成真。在阿基米德死后近三個世紀，西塞羅發(fā)現(xiàn)他湮沒在荊棘中的墳墓，墓碑上仍刻著一顆位于圓柱體內(nèi)的球。

在跟阿基米德相距遙遠的時代，有一個人也從阿基米德的發(fā)現(xiàn)中汲取靈感，那就是伽利略。在伽利略深入檢視的古代思想家當中，阿基米德讓他“在閱讀和研究時感到無限驚異”。在阿基米德的啟發(fā)下，伽利略以實驗取代哲學思索，并且接手阿基米德的研究，將物質(zhì)世界的現(xiàn)象轉(zhuǎn)譯成數(shù)學語言。我們稍后將會看到，這個做法震撼了整個世界。