?。ㄒ唬┨煳膶W(xué)與數(shù)學(xué) 天文學(xué)宋朝歷法一共改了十九次，是我國歷史上歷法改革頻繁的一個朝代。歷法的不斷改革，反映了天文學(xué)研究的活躍。
宋朝天文學(xué)的發(fā)展可分為三個階段。北宋初到神宗前，歷法以崇天歷為代表，主要成就是超新星的觀測；神宗朝到北宋末，歷法以紀(jì)元?dú)v為代表，主要成就是水運(yùn)儀象臺的制造；南宋時代以編撰統(tǒng)天歷為著名。
北宋初，用后周王樸的欽天歷。欽天歷在天體運(yùn)動的計(jì)算中提出了等加速運(yùn)動的公式，是準(zhǔn)確的。仁宗朝用崇天歷前后達(dá)四十年。著名的天文學(xué)家楚衍參與崇天歷的編撰。在司天監(jiān)任職四十多年的天文學(xué)家楊惟德，在他的著述中曾一再介紹崇天歷。崇天歷的天文數(shù)據(jù)較接近天文實(shí)際。至和元年（一○五四年）四月朔 有一次日全食。當(dāng)時在汴京觀測這次日食是“日食既，至申乃見，食九分之余”。用崇天歷推算食甚時間在申正一刻二十分，食分為九分半弱，與觀測所得幾乎相同。北宋又有紀(jì)元?dú)v，是天文學(xué)家姚舜輔等所編撰，它的求赤道坐標(biāo)變換為黃道坐標(biāo)的計(jì)算方法比較簡易。紀(jì)元?dú)v中還引進(jìn)了四次方程式的算法。它的各項(xiàng)天文數(shù)據(jù)多為金大明歷和元授時歷所采用。北宋沈括提出了十二氣歷的編制方法，雖沒有實(shí)行，但在歷法史上無疑是一項(xiàng)卓越的成就。
北宋的天象觀測很有成績。對天空三十一大區(qū)（即三垣：紫微垣、太微垣、天市垣和二十八宿）恒星位置的觀測共進(jìn)行了六次。大中祥符、景祐、皇祐、元豐、紹圣和崇寧年間各進(jìn)行過一次。元豐時的觀測被畫成星圖，見于蘇頌的《新儀象法要》和黃裳的天文圖。一二四七年（淳祐七年）黃圖在乎江府復(fù)刊，即現(xiàn)存的蘇州天文圖。崇寧年間觀測到的記錄，部分載入紀(jì)元?dú)v內(nèi)，所測二十八宿距度星的平均誤差絕對值只有0°.15，已很精密。
江蘇蘇州南宋石刻《天文圖》 北宋有兩次超新星的觀測，一次是一○○六年（景德三年），一次是一○五四年（至和元年）。前者是在司天監(jiān)內(nèi)觀測到的，在騎官星西，相當(dāng)今天蝎宮星座，形狀如同半個月亮，四周有光芒，亮度可以鑒別物體。后者是楊惟德觀測到的。這星本來很暗淡，他觀測時忽然亮起來，星的亮度和金星差不多，四周都是光芒，顏色已達(dá)到熾白狀。這是因?yàn)樾堑膬?nèi)部結(jié)構(gòu)突然變化而引起爆發(fā)，亮度增加千萬倍所致。楊惟德觀測到這顆超新星的位置在天關(guān)星附近，相當(dāng)今金牛宮星座內(nèi)、所以這超新星稱為一○五四年金牛座超新星。
一○○二年（咸乎五年）司天監(jiān)對獅子座流星雨的觀測，一○六四年（治平元年）沈括對隕星的觀測，一○六六年（治平三年）司天監(jiān)對哈雷彗星的觀測，都很有名。沈括對這次隕星的記錄也很翔實(shí)。歷史上以隕星為隕鐵的解釋，沈括是第一人。
元代銅壺滴漏北宋的天文儀器制造也有成就。在計(jì)時儀器方面，仁宗朝有燕肅造蓮花漏，在很多州使用。蓮花漏就是浮漏，用兩個放水壺，一個受水壺，再用兩根叫“渴烏”的細(xì)管，利用虹吸原理，把放水壺中的水，逐步放到受水壺中，使受水壺中水平面高度保持恒定。相等時間內(nèi)受水壺的水流速度恒定，據(jù)以測定時間。
元祐年間，蘇頌和韓公廉等制造水運(yùn)儀象臺。這是把測量儀器的渾儀，表演儀器的渾象和計(jì)時儀器集中在一起的一項(xiàng)劃時代創(chuàng)作。這個水運(yùn)儀象臺分三層，高三丈，上層放渾儀，中層放渾象，下層是傳動機(jī)械設(shè)置部分。在報時的設(shè)置上又分五層木閣。古代以一天為一百刻，又一天有十二時辰，一夜有五更，一更有五籌（五夜）。這五層木閣都能報告出來。這個儀器用水力轉(zhuǎn)動，吸收前人許多優(yōu)點(diǎn)而發(fā)明了和鐘表中相同的擒縱器，使這儀象臺有節(jié)奏的按時轉(zhuǎn)動，把報時、觀象、測天同時表達(dá)出來。劉弇（元豐二年進(jìn)士）在《龍?jiān)萍肪矶短敷鸩⑿颉芬晃闹姓f：“其后筑臺，別置渾儀象，激金水其下，機(jī)擎輪吞排，晦斡明至，與造化分疾徐低昂。”推崇備至。
南宋改歷，以寧宗朝楊忠輔的統(tǒng)天歷為冠。統(tǒng)天歷定一回歸年的長度是365.2425日，和現(xiàn)代通用的格列高利歷相同。后來元朝的授時歷也同這個數(shù)據(jù)。統(tǒng)天歷還提出了回歸年日數(shù)長度變化的法則。
紹興年間，王及甫曾制造假天儀，見他所著的《天經(jīng)》。這假天儀整個形狀象一個甕，甕里面“鉆穴為星”，把我國看不到的南天星座部分作為甕口，甕用柱撐起，甕口有四柱小梯，觀看時可以扶梯進(jìn)去。這個甕還有一根軸可以轉(zhuǎn)動表演。元朝郭守敬造玲瓏儀也是一個假天儀，是王及甫工作的繼續(xù)。
金滅北宋，把紀(jì)元?dú)v也帶到北方，成為金楊級編大明歷的底本。一一八○年（大定二十年），趙知微重修大明歷。趙知微的貢獻(xiàn)有兩條，一是對太陽視運(yùn)動的計(jì)算中初步用了內(nèi)插法三次差的公式。二是對日月食食限的計(jì)算用了幾何方法。這都是天文計(jì)算方面進(jìn)步的措施。契丹人耶律履修乙未歷，沒有實(shí)行。后來耶律履之子耶律楚材在元初修庚午歷，庚午歷內(nèi)容雖十九采自趙知微的大明歷，但耶律楚材在歷法中提出了樸素的地球經(jīng)度（里差）概念，也是我國古代天文學(xué)上的一項(xiàng)創(chuàng)見。又據(jù)《金史·天文志》，興定五年（一二二一年）司天臺內(nèi)還有女真族天文學(xué)家夾谷德玉擔(dān)任天象觀測工作。
金朝從北宋得到的天文儀器，放在法物庫內(nèi)擱置了二十多年。一一五四年（貞元二年）始交司天臺管理。貞祐南渡后沒有搬回開封。又因當(dāng)時銅的缺乏，在開封也沒有造新的渾儀。據(jù)《金史·章宗紀(jì)》，承安四年（一一九九年）有丑和尚進(jìn)浮漏、水稱、影儀、簡儀等圖，當(dāng)時“命有司依式造之?！备÷┘粗干徎?。水稱在北宋水運(yùn)儀象臺中約相同于天衡。影儀和簡儀的內(nèi)容不詳（可能為后來郭守敬造簡儀和景符時所據(jù)）。
明昌年間，張行簡又造星丸漏，比較新穎。星丸漏北宋叫輥彈漏刻，很少記載，相傳是后唐僧人文浩所發(fā)明。利用一銅丸，通過四個曲折的孔道，從上放入自下落出，保持恒定速度而測定時刻，在行軍和旅途中應(yīng)用。后來元朝都城用的碑漏，也是星丸漏的一種。又據(jù)《金史·章宗紀(jì)》，泰和四年（一二○四年）司天臺長行張翼曾進(jìn)《天象傳》。長行是司天臺內(nèi)的散職官名，《天象傳》當(dāng)是天象記錄的專書。
元朝天文學(xué)以郭守敬等人編制授時歷為其高潮。清代所編《疇人傳·郭守敬傳》說：“推步之術(shù)，測與算二者而已。簡儀、仰儀、景符、幾之制，前此言測候者未之及也；垛疊招差、勾股弧矢之法，前此言算造者弗能用也。先之以精測，繼之以密算，上考下求，若應(yīng)準(zhǔn)繩，施行于世，垂四百年。可謂集古法之大成，為將來之典要者矣?！边@不獨(dú)是對郭守敬等人的評價，也是我國古代天文學(xué)的總結(jié)。測是觀測，代表儀象；算是歷算，代表歷法。先通過觀測實(shí)踐，再通過計(jì)算實(shí)踐，所得結(jié)論是“若應(yīng)準(zhǔn)繩”，便以為法。一二八○年（至元十七年）授時歷編成，郭守敬等人在給忽必烈的奏報中說：自西漢三統(tǒng)歷到北宋紀(jì)元?dú)v共一千一百八十多年，歷法改了七十次，其中新創(chuàng)法的有十三家。從紀(jì)元?dú)v到至元十七年又一百七十多年，授時歷考正凡七事，新創(chuàng)法又五事。按授時歷中考正七事都是對天文數(shù)據(jù)的重新測定。包括冬至?xí)r刻、回歸年長度、太陽的位置、月亮的位置、交食的辰刻、二十八宿距度和太陽出入時刻。其中測二十八宿距度比北宋崇寧年間觀測的還要精細(xì)。回歸年長度則采用了統(tǒng)天歷的數(shù)據(jù)而加以詳細(xì)證明。創(chuàng)法五事都是對天文計(jì)算的改革，可歸納為兩點(diǎn)，一是全面用內(nèi)插法三次差計(jì)算并定出公式，即所謂“垛疊招差”。二是引進(jìn)了球面直角三角形法，即所謂“立渾比量”。
授時歷的完成主要?dú)w功于郭守敬在儀象觀測上的貢獻(xiàn)。在天文儀器制造上郭守敬確有驚人的創(chuàng)造力。他十五六歲時即致力于這方面的工作，一直到大德年間將近七十高齡還造天文鐘呈進(jìn)。專研于此，達(dá)半個世紀(jì)。郭守敬在天文儀器制造方面勇于創(chuàng)新，力求提高精確度和切合實(shí)用。元以前的渾儀上有七八個大小的環(huán)，環(huán)環(huán)相套，在觀測上妨礙視線。郭守敬造簡儀以簡化渾儀，只保留了兩套觀測用環(huán)，一個是測量赤道坐標(biāo)，一個是測量地平坐標(biāo)。元以前的圭表高八尺，郭守敬造高四十尺的銅表比舊有的表高五倍，這樣對測量日影長度的相對誤差可減少到五分之一，測量的精確度大為提高。又在高表上設(shè)置了景符，能測量到太陽圓面中心的精確位置。他又造七寶燈漏、柜香漏、屏風(fēng)香漏等計(jì)時設(shè)置，都是根據(jù)不同要求而制造使用的。
元朝在天文學(xué)上還有一項(xiàng)重要的成就，即一二七九年（至元十六年）的大規(guī)模緯度測量。這次測量在二十七個觀測站舉行，地理緯度從北緯15°到65°。觀測 河南登封元代觀星臺的結(jié)果在陜西行省、河南行省和中書省直轄地的十四個觀測點(diǎn)用緯度值來比較，平均誤差在半度以內(nèi)。可見觀測的精細(xì)可貴。
數(shù)學(xué)與天文學(xué)關(guān)系密切的數(shù)學(xué)，宋元時代也很發(fā)達(dá)，出現(xiàn)了好幾位有成就的數(shù)學(xué)家。北宋有賈憲，南宋末有秦九韶和楊輝，金末有李冶，元初有朱世杰。秦、楊、李、朱是金元之際數(shù)學(xué)上的四大家。
賈憲是天文學(xué)家楚衍晚年的學(xué)生，做過右班殿直和左班殿直。時在沈括之前。王洙《談錄》上說：“賈憲運(yùn)算亦妙，有書傳于世?！辟Z憲在數(shù)學(xué)上的發(fā)明有二：一是開方作法本源圖，就是指數(shù)為正整數(shù)的二項(xiàng)式定理系數(shù)表，從商除、平方、立方、四次方一直到六次方的系數(shù)列成一個圖，世稱賈憲三角形。比西方同樣的巴斯加三角形要早六百年。二是增乘開方法，是解一元多次方程求正根的一種簡便方法。這種方法也比西方為早。商除是一次，平方是二次（是面積），立方是三次（是體積），這都容易理解。再進(jìn)一步碰到四次是什么，要突破這一點(diǎn)，確實(shí)很非凡，開四次方可以，則開多次方便可類推了。賈憲為我國古代代數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。
賈憲以后，沈括在數(shù)學(xué)上也做了些工作。一項(xiàng)叫會圓術(shù)，就是已知弓形的弦和圓徑求弧長。在我國歷史上首先提出孤線與直線的關(guān)系，但沈括的結(jié)論還是一近似公式（這公式元朝郭守敬等人撰授時歷時用到它）。又一項(xiàng)叫隙積術(shù)，用到一種高階等差級數(shù)求和的方法。沈括還發(fā)明了指數(shù)相乘的法則。物理學(xué)上凹面鏡成倒像的解釋，沈括說籮家叫“格術(shù)”。天文學(xué)上推算五星運(yùn)動的順逆留合，沈括說算家叫“綴術(shù)”。測量學(xué)上的審方面勢，沈括說算家叫“喜術(shù)”。當(dāng)時對待數(shù)學(xué)和其他科學(xué)的關(guān)系，于此可見。
秦九韶，南宋未普州安岳人。早年曾在杭州從隱君子受數(shù)學(xué)。一二四七年（淳枯七年）著《數(shù)書九章》一書。他在著作中發(fā)展了賈憲的增乘開方法，解一個一元十次方程式，并附有算圖。算圖中列算式如層層剝筍，秩序井然，所以現(xiàn)在還有人把增乘開方法叫“秦九韶程序”。秦九韶還發(fā)明了整數(shù)論中一次同余式組的普遍解法，這就是聞名世界的中國剩余定理。
金代，數(shù)學(xué)上發(fā)明了天元術(shù)。大約金中時開始流行，之后得到迅速的推進(jìn)。一一八四年（大定二十四年），平陽畢履道為了校訂地理書用到當(dāng)時流行的算法。又有平陽人蔣周著《益古》一書，記錄了天元術(shù)。還有金都水監(jiān)頒印的《河防通議》（約在明昌年間）也有算法講到天元術(shù)。蔣周這部書已伏，《河防通議》中的算法可以從元人引用中得知。最早的天元術(shù)比較簡單，立出算式只是解一個一元二次方程。天元術(shù)發(fā)明后，平陽、太原、東平、真定等地區(qū)廣為傳播。
天元術(shù)以“元”代表未知數(shù)X，以“太”代表常數(shù)項(xiàng)。列式時把元字寫在算碼的右側(cè)，如11元即表示2x，或單寫太，如11太也同。寫了元便不寫太，寫了太便不寫元。方程式的各項(xiàng)是從下而上，即太在元下，太是常數(shù)項(xiàng)，元是X項(xiàng)，元上是X2項(xiàng)，再上是X3項(xiàng)等等。太下是1/X（即X-1）項(xiàng)，再下是X-2項(xiàng)等等。也有記法從上而下恰恰相反。在用算籌排列時，正數(shù)用紅色籌。負(fù)數(shù)用黑色籌。用算碼時，正負(fù)數(shù)也用紅黑色區(qū)別，但為了書寫方便，可在算碼的個位數(shù)加一斜撇，如-2作■，-231作‖川卜。天元術(shù)的方法一般是根據(jù)問題中已有條件，立天元一（x）為未知數(shù)（所求數(shù)），最后列出方程式，解方程得數(shù)。至于解方程式在一元三次以上，就要用到賈憲的方法。
金末在真定府一帶流傳的一部數(shù)學(xué)著作叫《洞淵測圓》，指演算勾股容圓（直角三角形的內(nèi)接圓）算題共有十三問。李冶根據(jù)此書加以推廣，又集天元術(shù)的大成，寫出了他的名著《測圓海鏡》。
天元術(shù)出現(xiàn)后，很自然地發(fā)展為天地二元木，天地人三元術(shù)和天地人物四元術(shù)。這大概已是元代的事了。
現(xiàn)在流傳下來的元代數(shù)學(xué)著作有：《錦囊啟源》、《透廉細(xì)草》、《丁巨算法》（一三五五年），只存輯本；《算法全能集》、《詳明算法》、《算學(xué)啟蒙》（一二九九年）、《四元玉鑒》（一三○三年）存有足本。后兩書都是朱世杰所撰。朱世杰是元朝數(shù)學(xué)家的代表，也是當(dāng)時世界上杰出的數(shù)學(xué)家之一。
朱世杰在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)主要是發(fā)明四元術(shù)和多種高階等差級數(shù)求和方法。他是一位數(shù)學(xué)教習(xí)，周游湖海二十余年。他的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動大約在元朝初期。由天元術(shù)發(fā)展到四元術(shù)是當(dāng)時數(shù)學(xué)演算中的必然結(jié)果。四元術(shù)以天地人物表示四個未知數(shù)，天在下，地在左，人在右，物在上，中間是太。和天元術(shù)的表示法相類，太（常數(shù)項(xiàng)）下面是天的一次方、二次方等等，左邊是地的一次方、二次方等等，右邊是人的一次方、二次方等等，上面是物的一次方、二次方等等。如果天與地相乘則放在左下方各位置，地物、物人、人天相乘類似。只有不相鄰的天物（上下）、地人（左右）相乘各項(xiàng)，則放在相應(yīng)的夾縫內(nèi)。四元術(shù)的計(jì)算方法用四元消法，把四個元經(jīng)過剔消，最后剩下一個元。這個元如果不是天元，可以易位。然后用天元術(shù)的解法，求得答案?！端脑耔b》的一篇序文上說：“上升下降，左右進(jìn)退。互通變化，乘除往來。用假象真，以虛問實(shí)。錯綜正負(fù)，分成四式?！边@種數(shù)學(xué)思想的形成是經(jīng)過了比較復(fù)雜的思辯過程。在我國古代數(shù)學(xué)中明確提出數(shù)學(xué)“用假象真，以虛問實(shí)”，這還是第一次。
朱世杰的多種高階等差級數(shù)求和方法，古代叫垛積術(shù)。他以茭草垛（即一加二加三加四……）為母垛，推演出各種不同方式的垛而求其積。其名稱有英草落一形、三角落一形、撤星更落一形等十多種。朱世杰在垛積命名和演算上都掌握了演繹歸納的初步方法，他演算的結(jié)果和推導(dǎo)的公式都很準(zhǔn)確。朱世杰這方面的工作，在當(dāng)時的世界上也是先進(jìn)的。
由于手工業(yè)生產(chǎn)的發(fā)達(dá)，商業(yè)上交換的頻繁，宋元時代實(shí)用算術(shù)方面也有很大的進(jìn)展。第一是發(fā)明了除法口訣。第二是出現(xiàn)了完整的算碼。第三是計(jì)算工具由籌算發(fā)展為珠算。
簡易乘除法在唐中葉已有人注意。北宋初徐仁美設(shè)“增成立一”法，沈括說：“增成一法，都不用乘除，但補(bǔ)虧就盈而已。假如欲九除者增一便是，八除者增二便是?！本懦鲆缓桶顺龆褪呛髞淼木乓幌录右缓桶艘幌录佣染?。同時，宋初的應(yīng)天歷內(nèi)提到身外除一、身外除三等，身外除一指除數(shù)是十一，身外除三指除數(shù)是十二?？芍谠E在宋初已開始有了萌芽。這一新生事物很快為廣大人民所掌握，到南宋末和元初，除法九歸的口訣便全部成熟了。二一添作五、三一三十一等句在計(jì)算技術(shù)中傳誦開來。又在田畝計(jì)算中發(fā)明了飛歸。在斤兩換算中，創(chuàng)造出斤求兩和兩求斤炔。記錄簡易乘除法的專書應(yīng)推南宋末楊輝的著作。楊輝是錢塘人，著有《楊輝算法》，對后來省算工作的推廣影響很大。
南宋出現(xiàn)了算碼，關(guān)鍵是零符號的發(fā)明。南宋蔡沈的《律呂成書》內(nèi)，把118098用文字表示為十一萬八千□□九十八，這□□即代表空百。畫方時一快便變成○了 。大約江南在南宋未，北方在金末元初，數(shù)學(xué)著述中都出現(xiàn)了○的符號。零的發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)史上一件大事。北宋司馬光《潛虛》中曾經(jīng)以×表示四。這樣我國算碼的初步形體是|||川 乂 ò■■■義，后來書寫ò變成8，義變?yōu)殁簽槲?。這就是后世所說的蘇州碼子字。在阿拉伯?dāng)?shù)碼字推廣使用以前，我國數(shù)學(xué)上的演算，商業(yè)上的會計(jì)都用這種算碼。
元代已普遍使用算盤。劉因《靜修先生文集》中有算盤詩。元劇中也見算盤。元末明初陶宗儀的《輟耕錄》已論算盤珠。近年發(fā)現(xiàn)洪武辛亥（一三七一年）金陵王氏勤有書堂新刊《對相四言雜字》（看圖識字書）有算盤圖，十檔，上二珠下五珠。這是目前發(fā)現(xiàn)最早的珠算算盤圖。這部《對相四言雜字》中圖繪的服裝純是元代式樣，知此書的租本當(dāng)在元代。書中還有算子圖，算子即算籌?！端疂G傳》中所稱的算子也即這種算籌。由此看來，元朝到明初仍是籌算和珠算并用時代，大概到明中葉以后，便廢棄籌算而專用珠算。
宋朝天文學(xué)的發(fā)展可分為三個階段。北宋初到神宗前，歷法以崇天歷為代表，主要成就是超新星的觀測；神宗朝到北宋末，歷法以紀(jì)元?dú)v為代表，主要成就是水運(yùn)儀象臺的制造；南宋時代以編撰統(tǒng)天歷為著名。
北宋初，用后周王樸的欽天歷。欽天歷在天體運(yùn)動的計(jì)算中提出了等加速運(yùn)動的公式，是準(zhǔn)確的。仁宗朝用崇天歷前后達(dá)四十年。著名的天文學(xué)家楚衍參與崇天歷的編撰。在司天監(jiān)任職四十多年的天文學(xué)家楊惟德，在他的著述中曾一再介紹崇天歷。崇天歷的天文數(shù)據(jù)較接近天文實(shí)際。至和元年（一○五四年）四月朔 有一次日全食。當(dāng)時在汴京觀測這次日食是“日食既，至申乃見，食九分之余”。用崇天歷推算食甚時間在申正一刻二十分，食分為九分半弱，與觀測所得幾乎相同。北宋又有紀(jì)元?dú)v，是天文學(xué)家姚舜輔等所編撰，它的求赤道坐標(biāo)變換為黃道坐標(biāo)的計(jì)算方法比較簡易。紀(jì)元?dú)v中還引進(jìn)了四次方程式的算法。它的各項(xiàng)天文數(shù)據(jù)多為金大明歷和元授時歷所采用。北宋沈括提出了十二氣歷的編制方法，雖沒有實(shí)行，但在歷法史上無疑是一項(xiàng)卓越的成就。
北宋的天象觀測很有成績。對天空三十一大區(qū)（即三垣：紫微垣、太微垣、天市垣和二十八宿）恒星位置的觀測共進(jìn)行了六次。大中祥符、景祐、皇祐、元豐、紹圣和崇寧年間各進(jìn)行過一次。元豐時的觀測被畫成星圖，見于蘇頌的《新儀象法要》和黃裳的天文圖。一二四七年（淳祐七年）黃圖在乎江府復(fù)刊，即現(xiàn)存的蘇州天文圖。崇寧年間觀測到的記錄，部分載入紀(jì)元?dú)v內(nèi)，所測二十八宿距度星的平均誤差絕對值只有0°.15，已很精密。
江蘇蘇州南宋石刻《天文圖》 北宋有兩次超新星的觀測，一次是一○○六年（景德三年），一次是一○五四年（至和元年）。前者是在司天監(jiān)內(nèi)觀測到的，在騎官星西，相當(dāng)今天蝎宮星座，形狀如同半個月亮，四周有光芒，亮度可以鑒別物體。后者是楊惟德觀測到的。這星本來很暗淡，他觀測時忽然亮起來，星的亮度和金星差不多，四周都是光芒，顏色已達(dá)到熾白狀。這是因?yàn)樾堑膬?nèi)部結(jié)構(gòu)突然變化而引起爆發(fā)，亮度增加千萬倍所致。楊惟德觀測到這顆超新星的位置在天關(guān)星附近，相當(dāng)今金牛宮星座內(nèi)、所以這超新星稱為一○五四年金牛座超新星。
一○○二年（咸乎五年）司天監(jiān)對獅子座流星雨的觀測，一○六四年（治平元年）沈括對隕星的觀測，一○六六年（治平三年）司天監(jiān)對哈雷彗星的觀測，都很有名。沈括對這次隕星的記錄也很翔實(shí)。歷史上以隕星為隕鐵的解釋，沈括是第一人。
元代銅壺滴漏北宋的天文儀器制造也有成就。在計(jì)時儀器方面，仁宗朝有燕肅造蓮花漏，在很多州使用。蓮花漏就是浮漏，用兩個放水壺，一個受水壺，再用兩根叫“渴烏”的細(xì)管，利用虹吸原理，把放水壺中的水，逐步放到受水壺中，使受水壺中水平面高度保持恒定。相等時間內(nèi)受水壺的水流速度恒定，據(jù)以測定時間。
元祐年間，蘇頌和韓公廉等制造水運(yùn)儀象臺。這是把測量儀器的渾儀，表演儀器的渾象和計(jì)時儀器集中在一起的一項(xiàng)劃時代創(chuàng)作。這個水運(yùn)儀象臺分三層，高三丈，上層放渾儀，中層放渾象，下層是傳動機(jī)械設(shè)置部分。在報時的設(shè)置上又分五層木閣。古代以一天為一百刻，又一天有十二時辰，一夜有五更，一更有五籌（五夜）。這五層木閣都能報告出來。這個儀器用水力轉(zhuǎn)動，吸收前人許多優(yōu)點(diǎn)而發(fā)明了和鐘表中相同的擒縱器，使這儀象臺有節(jié)奏的按時轉(zhuǎn)動，把報時、觀象、測天同時表達(dá)出來。劉弇（元豐二年進(jìn)士）在《龍?jiān)萍肪矶短敷鸩⑿颉芬晃闹姓f：“其后筑臺，別置渾儀象，激金水其下，機(jī)擎輪吞排，晦斡明至，與造化分疾徐低昂。”推崇備至。
南宋改歷，以寧宗朝楊忠輔的統(tǒng)天歷為冠。統(tǒng)天歷定一回歸年的長度是365.2425日，和現(xiàn)代通用的格列高利歷相同。后來元朝的授時歷也同這個數(shù)據(jù)。統(tǒng)天歷還提出了回歸年日數(shù)長度變化的法則。
紹興年間，王及甫曾制造假天儀，見他所著的《天經(jīng)》。這假天儀整個形狀象一個甕，甕里面“鉆穴為星”，把我國看不到的南天星座部分作為甕口，甕用柱撐起，甕口有四柱小梯，觀看時可以扶梯進(jìn)去。這個甕還有一根軸可以轉(zhuǎn)動表演。元朝郭守敬造玲瓏儀也是一個假天儀，是王及甫工作的繼續(xù)。
金滅北宋，把紀(jì)元?dú)v也帶到北方，成為金楊級編大明歷的底本。一一八○年（大定二十年），趙知微重修大明歷。趙知微的貢獻(xiàn)有兩條，一是對太陽視運(yùn)動的計(jì)算中初步用了內(nèi)插法三次差的公式。二是對日月食食限的計(jì)算用了幾何方法。這都是天文計(jì)算方面進(jìn)步的措施。契丹人耶律履修乙未歷，沒有實(shí)行。后來耶律履之子耶律楚材在元初修庚午歷，庚午歷內(nèi)容雖十九采自趙知微的大明歷，但耶律楚材在歷法中提出了樸素的地球經(jīng)度（里差）概念，也是我國古代天文學(xué)上的一項(xiàng)創(chuàng)見。又據(jù)《金史·天文志》，興定五年（一二二一年）司天臺內(nèi)還有女真族天文學(xué)家夾谷德玉擔(dān)任天象觀測工作。
金朝從北宋得到的天文儀器，放在法物庫內(nèi)擱置了二十多年。一一五四年（貞元二年）始交司天臺管理。貞祐南渡后沒有搬回開封。又因當(dāng)時銅的缺乏，在開封也沒有造新的渾儀。據(jù)《金史·章宗紀(jì)》，承安四年（一一九九年）有丑和尚進(jìn)浮漏、水稱、影儀、簡儀等圖，當(dāng)時“命有司依式造之?！备÷┘粗干徎?。水稱在北宋水運(yùn)儀象臺中約相同于天衡。影儀和簡儀的內(nèi)容不詳（可能為后來郭守敬造簡儀和景符時所據(jù)）。
明昌年間，張行簡又造星丸漏，比較新穎。星丸漏北宋叫輥彈漏刻，很少記載，相傳是后唐僧人文浩所發(fā)明。利用一銅丸，通過四個曲折的孔道，從上放入自下落出，保持恒定速度而測定時刻，在行軍和旅途中應(yīng)用。后來元朝都城用的碑漏，也是星丸漏的一種。又據(jù)《金史·章宗紀(jì)》，泰和四年（一二○四年）司天臺長行張翼曾進(jìn)《天象傳》。長行是司天臺內(nèi)的散職官名，《天象傳》當(dāng)是天象記錄的專書。
元朝天文學(xué)以郭守敬等人編制授時歷為其高潮。清代所編《疇人傳·郭守敬傳》說：“推步之術(shù)，測與算二者而已。簡儀、仰儀、景符、幾之制，前此言測候者未之及也；垛疊招差、勾股弧矢之法，前此言算造者弗能用也。先之以精測，繼之以密算，上考下求，若應(yīng)準(zhǔn)繩，施行于世，垂四百年。可謂集古法之大成，為將來之典要者矣?！边@不獨(dú)是對郭守敬等人的評價，也是我國古代天文學(xué)的總結(jié)。測是觀測，代表儀象；算是歷算，代表歷法。先通過觀測實(shí)踐，再通過計(jì)算實(shí)踐，所得結(jié)論是“若應(yīng)準(zhǔn)繩”，便以為法。一二八○年（至元十七年）授時歷編成，郭守敬等人在給忽必烈的奏報中說：自西漢三統(tǒng)歷到北宋紀(jì)元?dú)v共一千一百八十多年，歷法改了七十次，其中新創(chuàng)法的有十三家。從紀(jì)元?dú)v到至元十七年又一百七十多年，授時歷考正凡七事，新創(chuàng)法又五事。按授時歷中考正七事都是對天文數(shù)據(jù)的重新測定。包括冬至?xí)r刻、回歸年長度、太陽的位置、月亮的位置、交食的辰刻、二十八宿距度和太陽出入時刻。其中測二十八宿距度比北宋崇寧年間觀測的還要精細(xì)。回歸年長度則采用了統(tǒng)天歷的數(shù)據(jù)而加以詳細(xì)證明。創(chuàng)法五事都是對天文計(jì)算的改革，可歸納為兩點(diǎn)，一是全面用內(nèi)插法三次差計(jì)算并定出公式，即所謂“垛疊招差”。二是引進(jìn)了球面直角三角形法，即所謂“立渾比量”。
授時歷的完成主要?dú)w功于郭守敬在儀象觀測上的貢獻(xiàn)。在天文儀器制造上郭守敬確有驚人的創(chuàng)造力。他十五六歲時即致力于這方面的工作，一直到大德年間將近七十高齡還造天文鐘呈進(jìn)。專研于此，達(dá)半個世紀(jì)。郭守敬在天文儀器制造方面勇于創(chuàng)新，力求提高精確度和切合實(shí)用。元以前的渾儀上有七八個大小的環(huán)，環(huán)環(huán)相套，在觀測上妨礙視線。郭守敬造簡儀以簡化渾儀，只保留了兩套觀測用環(huán)，一個是測量赤道坐標(biāo)，一個是測量地平坐標(biāo)。元以前的圭表高八尺，郭守敬造高四十尺的銅表比舊有的表高五倍，這樣對測量日影長度的相對誤差可減少到五分之一，測量的精確度大為提高。又在高表上設(shè)置了景符，能測量到太陽圓面中心的精確位置。他又造七寶燈漏、柜香漏、屏風(fēng)香漏等計(jì)時設(shè)置，都是根據(jù)不同要求而制造使用的。
元朝在天文學(xué)上還有一項(xiàng)重要的成就，即一二七九年（至元十六年）的大規(guī)模緯度測量。這次測量在二十七個觀測站舉行，地理緯度從北緯15°到65°。觀測 河南登封元代觀星臺的結(jié)果在陜西行省、河南行省和中書省直轄地的十四個觀測點(diǎn)用緯度值來比較，平均誤差在半度以內(nèi)。可見觀測的精細(xì)可貴。
數(shù)學(xué)與天文學(xué)關(guān)系密切的數(shù)學(xué)，宋元時代也很發(fā)達(dá)，出現(xiàn)了好幾位有成就的數(shù)學(xué)家。北宋有賈憲，南宋末有秦九韶和楊輝，金末有李冶，元初有朱世杰。秦、楊、李、朱是金元之際數(shù)學(xué)上的四大家。
賈憲是天文學(xué)家楚衍晚年的學(xué)生，做過右班殿直和左班殿直。時在沈括之前。王洙《談錄》上說：“賈憲運(yùn)算亦妙，有書傳于世?！辟Z憲在數(shù)學(xué)上的發(fā)明有二：一是開方作法本源圖，就是指數(shù)為正整數(shù)的二項(xiàng)式定理系數(shù)表，從商除、平方、立方、四次方一直到六次方的系數(shù)列成一個圖，世稱賈憲三角形。比西方同樣的巴斯加三角形要早六百年。二是增乘開方法，是解一元多次方程求正根的一種簡便方法。這種方法也比西方為早。商除是一次，平方是二次（是面積），立方是三次（是體積），這都容易理解。再進(jìn)一步碰到四次是什么，要突破這一點(diǎn)，確實(shí)很非凡，開四次方可以，則開多次方便可類推了。賈憲為我國古代代數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。
賈憲以后，沈括在數(shù)學(xué)上也做了些工作。一項(xiàng)叫會圓術(shù)，就是已知弓形的弦和圓徑求弧長。在我國歷史上首先提出孤線與直線的關(guān)系，但沈括的結(jié)論還是一近似公式（這公式元朝郭守敬等人撰授時歷時用到它）。又一項(xiàng)叫隙積術(shù)，用到一種高階等差級數(shù)求和的方法。沈括還發(fā)明了指數(shù)相乘的法則。物理學(xué)上凹面鏡成倒像的解釋，沈括說籮家叫“格術(shù)”。天文學(xué)上推算五星運(yùn)動的順逆留合，沈括說算家叫“綴術(shù)”。測量學(xué)上的審方面勢，沈括說算家叫“喜術(shù)”。當(dāng)時對待數(shù)學(xué)和其他科學(xué)的關(guān)系，于此可見。
秦九韶，南宋未普州安岳人。早年曾在杭州從隱君子受數(shù)學(xué)。一二四七年（淳枯七年）著《數(shù)書九章》一書。他在著作中發(fā)展了賈憲的增乘開方法，解一個一元十次方程式，并附有算圖。算圖中列算式如層層剝筍，秩序井然，所以現(xiàn)在還有人把增乘開方法叫“秦九韶程序”。秦九韶還發(fā)明了整數(shù)論中一次同余式組的普遍解法，這就是聞名世界的中國剩余定理。
金代，數(shù)學(xué)上發(fā)明了天元術(shù)。大約金中時開始流行，之后得到迅速的推進(jìn)。一一八四年（大定二十四年），平陽畢履道為了校訂地理書用到當(dāng)時流行的算法。又有平陽人蔣周著《益古》一書，記錄了天元術(shù)。還有金都水監(jiān)頒印的《河防通議》（約在明昌年間）也有算法講到天元術(shù)。蔣周這部書已伏，《河防通議》中的算法可以從元人引用中得知。最早的天元術(shù)比較簡單，立出算式只是解一個一元二次方程。天元術(shù)發(fā)明后，平陽、太原、東平、真定等地區(qū)廣為傳播。
天元術(shù)以“元”代表未知數(shù)X，以“太”代表常數(shù)項(xiàng)。列式時把元字寫在算碼的右側(cè)，如11元即表示2x，或單寫太，如11太也同。寫了元便不寫太，寫了太便不寫元。方程式的各項(xiàng)是從下而上，即太在元下，太是常數(shù)項(xiàng)，元是X項(xiàng)，元上是X2項(xiàng)，再上是X3項(xiàng)等等。太下是1/X（即X-1）項(xiàng)，再下是X-2項(xiàng)等等。也有記法從上而下恰恰相反。在用算籌排列時，正數(shù)用紅色籌。負(fù)數(shù)用黑色籌。用算碼時，正負(fù)數(shù)也用紅黑色區(qū)別，但為了書寫方便，可在算碼的個位數(shù)加一斜撇，如-2作■，-231作‖川卜。天元術(shù)的方法一般是根據(jù)問題中已有條件，立天元一（x）為未知數(shù)（所求數(shù)），最后列出方程式，解方程得數(shù)。至于解方程式在一元三次以上，就要用到賈憲的方法。
金末在真定府一帶流傳的一部數(shù)學(xué)著作叫《洞淵測圓》，指演算勾股容圓（直角三角形的內(nèi)接圓）算題共有十三問。李冶根據(jù)此書加以推廣，又集天元術(shù)的大成，寫出了他的名著《測圓海鏡》。
天元術(shù)出現(xiàn)后，很自然地發(fā)展為天地二元木，天地人三元術(shù)和天地人物四元術(shù)。這大概已是元代的事了。
現(xiàn)在流傳下來的元代數(shù)學(xué)著作有：《錦囊啟源》、《透廉細(xì)草》、《丁巨算法》（一三五五年），只存輯本；《算法全能集》、《詳明算法》、《算學(xué)啟蒙》（一二九九年）、《四元玉鑒》（一三○三年）存有足本。后兩書都是朱世杰所撰。朱世杰是元朝數(shù)學(xué)家的代表，也是當(dāng)時世界上杰出的數(shù)學(xué)家之一。
朱世杰在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)主要是發(fā)明四元術(shù)和多種高階等差級數(shù)求和方法。他是一位數(shù)學(xué)教習(xí)，周游湖海二十余年。他的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動大約在元朝初期。由天元術(shù)發(fā)展到四元術(shù)是當(dāng)時數(shù)學(xué)演算中的必然結(jié)果。四元術(shù)以天地人物表示四個未知數(shù)，天在下，地在左，人在右，物在上，中間是太。和天元術(shù)的表示法相類，太（常數(shù)項(xiàng)）下面是天的一次方、二次方等等，左邊是地的一次方、二次方等等，右邊是人的一次方、二次方等等，上面是物的一次方、二次方等等。如果天與地相乘則放在左下方各位置，地物、物人、人天相乘類似。只有不相鄰的天物（上下）、地人（左右）相乘各項(xiàng)，則放在相應(yīng)的夾縫內(nèi)。四元術(shù)的計(jì)算方法用四元消法，把四個元經(jīng)過剔消，最后剩下一個元。這個元如果不是天元，可以易位。然后用天元術(shù)的解法，求得答案?！端脑耔b》的一篇序文上說：“上升下降，左右進(jìn)退。互通變化，乘除往來。用假象真，以虛問實(shí)。錯綜正負(fù)，分成四式?！边@種數(shù)學(xué)思想的形成是經(jīng)過了比較復(fù)雜的思辯過程。在我國古代數(shù)學(xué)中明確提出數(shù)學(xué)“用假象真，以虛問實(shí)”，這還是第一次。
朱世杰的多種高階等差級數(shù)求和方法，古代叫垛積術(shù)。他以茭草垛（即一加二加三加四……）為母垛，推演出各種不同方式的垛而求其積。其名稱有英草落一形、三角落一形、撤星更落一形等十多種。朱世杰在垛積命名和演算上都掌握了演繹歸納的初步方法，他演算的結(jié)果和推導(dǎo)的公式都很準(zhǔn)確。朱世杰這方面的工作，在當(dāng)時的世界上也是先進(jìn)的。
由于手工業(yè)生產(chǎn)的發(fā)達(dá)，商業(yè)上交換的頻繁，宋元時代實(shí)用算術(shù)方面也有很大的進(jìn)展。第一是發(fā)明了除法口訣。第二是出現(xiàn)了完整的算碼。第三是計(jì)算工具由籌算發(fā)展為珠算。
簡易乘除法在唐中葉已有人注意。北宋初徐仁美設(shè)“增成立一”法，沈括說：“增成一法，都不用乘除，但補(bǔ)虧就盈而已。假如欲九除者增一便是，八除者增二便是?！本懦鲆缓桶顺龆褪呛髞淼木乓幌录右缓桶艘幌录佣染?。同時，宋初的應(yīng)天歷內(nèi)提到身外除一、身外除三等，身外除一指除數(shù)是十一，身外除三指除數(shù)是十二?？芍谠E在宋初已開始有了萌芽。這一新生事物很快為廣大人民所掌握，到南宋末和元初，除法九歸的口訣便全部成熟了。二一添作五、三一三十一等句在計(jì)算技術(shù)中傳誦開來。又在田畝計(jì)算中發(fā)明了飛歸。在斤兩換算中，創(chuàng)造出斤求兩和兩求斤炔。記錄簡易乘除法的專書應(yīng)推南宋末楊輝的著作。楊輝是錢塘人，著有《楊輝算法》，對后來省算工作的推廣影響很大。
南宋出現(xiàn)了算碼，關(guān)鍵是零符號的發(fā)明。南宋蔡沈的《律呂成書》內(nèi)，把118098用文字表示為十一萬八千□□九十八，這□□即代表空百。畫方時一快便變成○了 。大約江南在南宋未，北方在金末元初，數(shù)學(xué)著述中都出現(xiàn)了○的符號。零的發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)史上一件大事。北宋司馬光《潛虛》中曾經(jīng)以×表示四。這樣我國算碼的初步形體是|||川 乂 ò■■■義，后來書寫ò變成8，義變?yōu)殁簽槲?。這就是后世所說的蘇州碼子字。在阿拉伯?dāng)?shù)碼字推廣使用以前，我國數(shù)學(xué)上的演算，商業(yè)上的會計(jì)都用這種算碼。
元代已普遍使用算盤。劉因《靜修先生文集》中有算盤詩。元劇中也見算盤。元末明初陶宗儀的《輟耕錄》已論算盤珠。近年發(fā)現(xiàn)洪武辛亥（一三七一年）金陵王氏勤有書堂新刊《對相四言雜字》（看圖識字書）有算盤圖，十檔，上二珠下五珠。這是目前發(fā)現(xiàn)最早的珠算算盤圖。這部《對相四言雜字》中圖繪的服裝純是元代式樣，知此書的租本當(dāng)在元代。書中還有算子圖，算子即算籌?！端疂G傳》中所稱的算子也即這種算籌。由此看來，元朝到明初仍是籌算和珠算并用時代，大概到明中葉以后，便廢棄籌算而專用珠算。
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