丘成桐：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育

【編者按】

近日出版的《真與美：丘成桐的數(shù)學(xué)觀》，集結(jié)了著名數(shù)學(xué)家丘成桐近半個世紀(jì)以來探討數(shù)學(xué)和人文教育的系列文章，展現(xiàn)這位譽(yù)滿世界的杰出數(shù)學(xué)大師的治學(xué)心跡與家國情懷、思維活力與人文底蘊(yùn)。

丘成桐

數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，除了它肩負(fù)的歷史意義外，也應(yīng)當(dāng)說明數(shù)學(xué)的有機(jī)發(fā)展，不只注意于數(shù)學(xué)本身，也要顧及數(shù)學(xué)的外延，要追尋數(shù)學(xué)發(fā)生在怎樣環(huán)境之下，如何擴(kuò)散出去。

先父談?wù)軐W(xué)史的說法可用在數(shù)學(xué)史上，因此數(shù)學(xué)史的目的可歸納為三個：

一是求因。美國哲學(xué)家Walter Mavin在1917年出版的著作《歐洲哲學(xué)史》（The History of European Philosophy, Macmillan, 1917）中寫道：“任何時代的哲學(xué)都是文明進(jìn)程的產(chǎn)物，或是時代變遷的縮影。”數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)生不是憑空而來，因此需要窮源溯流，闡明產(chǎn)生此種思想的原因。

二是明變。數(shù)學(xué)思想變化至繁，但有一定軌跡，所以需要找尋其發(fā)展的軌跡。

三是評論。我們要將各種數(shù)學(xué)思想加以客觀的評價，對它們對當(dāng)時及后代的影響、產(chǎn)生何種價值，作評價可以幫助學(xué)者發(fā)展自己的想法。

學(xué)以致用與中國數(shù)學(xué)

舉個例子，我們約略談?wù)勚袊鴶?shù)學(xué)史。從前人們總會談到伏羲、隸首、河圖、洛書這些傳說。然而，真正重要的中國古代算學(xué)書籍是《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》和《孫子算經(jīng)》，尤以《九章》為最重要。大略而言，此書非一時一人之作，成書當(dāng)在漢初，劉徽在公元263年為之作注，已經(jīng)談到秦末漢初時張蒼為之刪補(bǔ)。而東漢鄭玄、馬續(xù)則傳述此書。劉徽的注疏可能比原書更為重要，此書涉及二次方程、聯(lián)立線性方程、勾股定理、圓與球之面積和體積，劉徽是第一個證明勾股定理的中國數(shù)學(xué)家。

《九章算術(shù)》

《孫子算經(jīng)》大約為東漢人所作，這是記載“物不知數(shù)”的算經(jīng)，率先給出中國剩余定理，這可說是中國算學(xué)史上最偉大的創(chuàng)作。這個定理從命題到應(yīng)用，都由中國學(xué)者首先提出，其重要性影響至今。

劉徽以3為圓周率，至祖沖之（南朝人，公元429至500年）則算圓周率值在3.1415926與3.1415927之間，這確是一個重要的工作，其方法與阿基米德相同。以后唐朝有王孝通著《緝古算經(jīng)》，談到二次和三次方程，然而未提解法。

南宋和元朝期間（12至14世紀(jì)）則有李治、秦九韶、楊輝、朱世杰等杰出數(shù)學(xué)家。楊輝發(fā)現(xiàn)帕斯卡三角形定理，秦九韶發(fā)現(xiàn)霍納算法，都比帕斯卡和霍納早四五百年?？偫▉碚f，這一段時間數(shù)學(xué)以代數(shù)為主，尚有天元和四元術(shù)的發(fā)展。與阿拉伯和印度數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)有一定的來往，但需要更多的考證。

明清的數(shù)學(xué)與西方相差太遠(yuǎn)，無可觀者。明末利瑪竇和徐光啟才開始翻譯歐幾里得《幾何原本》前6卷。而中國學(xué)者雖然仰慕《幾何原本》的推理方法，卻無力吸取其精髓。到19世紀(jì)初葉，李善蘭才將《幾何原本》全部譯出。

利瑪竇（左）和徐光啟

清朝數(shù)學(xué)家卻花了不少時間，去整理中國數(shù)學(xué)古籍。一方面可以看到清代文字獄的影響，一方面也可以隱約看出學(xué)者心存“夷夏之分”，抗拒西方的思想。

當(dāng)西方文藝復(fù)興、百家爭鳴的時候，明清政府卻大力鉗制思想。明成祖為了證明自己的正統(tǒng)，誅殺方孝孺，“天下讀書種子，從此滅矣”。數(shù)學(xué)和有學(xué)問的數(shù)學(xué)家一直到近代，才得到比較多的尊重。

中國強(qiáng)調(diào)中體西用，以“拿來主義”吸納了大量科學(xué)技術(shù)，但客觀而理性的判斷方法，即科學(xué)精神遠(yuǎn)未普及?！啊矣斜种?，享之千金?！共蛔砸娭家?。”這是今日中國數(shù)學(xué)尚不及西方的一個原因。

縱觀中國數(shù)學(xué)發(fā)展，基本上尊崇儒家“學(xué)以致用”的想法，對應(yīng)用科學(xué)背后的基本規(guī)律研究興趣并不大。在莊子、墨子和名家的著作中，可以看到比較抽象和無窮逼近法的觀念。

《莊子·天下》：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！钡沁@種觀念在實(shí)際運(yùn)算上沒有表現(xiàn)出來，直到劉徽和祖沖之，才用這種方法來計算圓周率?！毒耪滤阈g(shù)》的寫作是用例子來解釋數(shù)學(xué)，讀者沒有辦法知道這些例子有多廣泛，更不知道證明的來龍去脈。模棱兩可的態(tài)度是其中的弊病。

在某種意義上，中國古代數(shù)學(xué)的主要活動，始終停留在實(shí)驗(yàn)科學(xué)的層次上，中國數(shù)學(xué)家對證明定理的興趣不大。我們的文化強(qiáng)調(diào)人治的觀點(diǎn)，以家庭、宗族為出發(fā)點(diǎn)，甚于考慮復(fù)雜的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，可以用幾條簡單顯而易見的公理來推導(dǎo)，這與希臘數(shù)學(xué)家的態(tài)度有顯著的不同。

數(shù)學(xué)描述自然真理

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派（公元前五百多年）以為天地萬物都可以用數(shù)字來表示。他們率先指出假設(shè)和證明的重要性。在公元前300年，歐幾里得的公理就清楚地指出，一切平面幾何定理都可以由少數(shù)公理推出。這可能是歐幾里得搜集了幾百年來幾何發(fā)展得出的結(jié)論。

歐幾里得

歐氏公理影響了整個科學(xué)的發(fā)展。在物理科學(xué)上，引導(dǎo)了牛頓三大定律和現(xiàn)代的統(tǒng)一場論。在數(shù)學(xué)上，它使我們知道所發(fā)現(xiàn)的定理并非互不關(guān)聯(lián)的事實(shí)，它們都可以由幾條簡易公理來推導(dǎo)。希臘學(xué)者在兩千多年前已經(jīng)為科學(xué)文明奠定了牢固的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)家歷來對歐氏公理有很濃厚的興趣，其主要的原因是歐氏公理找到了平面幾何的精髓。以簡御繁，才能搞清楚我們創(chuàng)造出來的數(shù)學(xué)概念的真正意義。中國畫家畫山水畫，也是想用簡單的筆法將畫家心中的感覺表現(xiàn)出來。在很少幾個公理的前提下推導(dǎo)出來的結(jié)果，才能表達(dá)這些公理的內(nèi)蘊(yùn)意義。這個看法有如文學(xué)家作詩寫文，干凈利落，從簡潔處看到作品的意境。近代數(shù)學(xué)的發(fā)展也往往在極為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題中，找到它精華的一部分來獨(dú)立發(fā)展，完成一個可以概括很多現(xiàn)象的結(jié)構(gòu)。中國數(shù)學(xué)家不大熟悉這樣子的手段，堂廡不夠宏大。

在數(shù)學(xué)每一個重要的環(huán)節(jié)都搞清楚后，就需要考慮它們交叉的意義和內(nèi)容。就如一個交響樂團(tuán)由不同的樂器和音樂家組合而成，由一個掌控全盤的音樂家來指揮。文學(xué)創(chuàng)作里的《紅樓夢》也是如此：由很多不同的環(huán)節(jié)組合而成，這些環(huán)節(jié)有詩、有詞、有祭文，各有重要的特色，而又環(huán)環(huán)相扣。在數(shù)學(xué)上，也是如此。數(shù)學(xué)家證明了不同而又重要的定理。這些定理可能都有它們的重要性，但真正成為一個數(shù)學(xué)主流的學(xué)問，必須將這些定理整合起來，成為一個有完整哲學(xué)思維做背景的理論，影響才會深入，這種學(xué)問才會有價值，能夠流傳后世！在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，能夠做到這樣的學(xué)問的，除了牛頓發(fā)現(xiàn)微積分外，以后歐拉、高斯、黎曼、希爾伯特、龐加萊、外爾、韋伊等人，都能夠做到這一點(diǎn)。我們要欣賞他們的工作，最好從他們的歷史背景，來找尋他們做研究的蹤跡。

還有一個有趣的事實(shí)，中國數(shù)學(xué)家?guī)缀鯊膩聿挥梅醋C法來證明定理。大概原因：反證法雖然可以指出定理的真實(shí)性，卻無法得出實(shí)際的應(yīng)用。在歐幾里得證明存在無窮多個素數(shù)時，西方數(shù)學(xué)家已經(jīng)知道反證法的威力。古代中國學(xué)者對邏輯的運(yùn)用遠(yuǎn)不如西方，對純粹科學(xué)真理的興趣也不如西方。

希臘數(shù)學(xué)家對數(shù)字、對幾何圖形有無比的熱情。畢達(dá)哥拉斯以為整數(shù)和有理數(shù)可以決定天地的一切，因此研究弦的長度和音調(diào)的關(guān)系。當(dāng)他知道直角三角形兩邊長等于整數(shù)一，斜邊卻是無理數(shù)時，大為失望，傳說他學(xué)派中有人自殺！這是因?yàn)楫吺蠈W(xué)派是一個哲學(xué)團(tuán)體，他們有一套描述宇宙的想法，但又不得不接受嚴(yán)格推理的結(jié)果。但是數(shù)學(xué)家接受了無理數(shù)的存在，并在它的基礎(chǔ)上，發(fā)展了數(shù)學(xué)分析這門學(xué)問。古代的中國數(shù)學(xué)家不在乎無理數(shù)這種概念，要到20世紀(jì)才發(fā)展數(shù)學(xué)分析?，F(xiàn)代電子計算機(jī)的發(fā)展，卻大量地運(yùn)用數(shù)字的威力，正好印證畢氏學(xué)派萬物皆數(shù)的想法。

阿基米德研究流體靜力學(xué)，他在洗澡發(fā)現(xiàn)浮力原理時，高興地跑到街上大叫“Eureka, Eureka（我找到了，我找到了）”。當(dāng)時他忘記了穿衣服。這種為科學(xué)而無比興奮的心情，恐怕在今日中國的科學(xué)界很難找得到了。我記得小時候聽我的中學(xué)老師黃逸樵講說阿基米德這個故事時，自覺“大丈夫，當(dāng)如是”。

我們看偉大的數(shù)學(xué)家牛頓、萊布尼茨、歐拉、高斯，他們對數(shù)學(xué)的高瞻遠(yuǎn)矚，令人欽佩。他們有強(qiáng)烈的好奇心，為找尋科學(xué)真理而努力。他們不在乎他們的研究對政府或?qū)ι鐣泻螏椭膊灰姷煤茉诤踅?jīng)費(fèi)和獎金。但是他們開創(chuàng)的數(shù)學(xué)，不但流芳百世，也是近代西方文明的支柱。

我從前閱覽歐拉的著作，他個人寫了60多本書，大部分都是開創(chuàng)性的工作。他有13個小孩，一邊抱小孩一邊著作，到晚年時更瞎了眼睛。他的創(chuàng)作，無論在純數(shù)學(xué)或應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn)，實(shí)在是極盡豐滿。

完美復(fù)數(shù)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)

明朝初年，歐洲文藝復(fù)興之時，在科學(xué)界一個極為重要的問題，就是求解三次和四次方程式。這看來是小事，卻是數(shù)學(xué)家第一次理解到復(fù)數(shù)的重要性。我們來看二次方程：x2+1=0。很明顯，只要x是實(shí)數(shù)，方程左邊一定大于零，所以方程無解。對中國古代數(shù)學(xué)家來說，似乎沒有理由去繼續(xù)討論這種沒有解的方程。但是歐洲數(shù)學(xué)家追求數(shù)的完美性質(zhì)，就假定上面這個二次方程有一個非實(shí)數(shù)的解，稱之為虛數(shù)，同時要求這個虛數(shù)和普通實(shí)數(shù)混合在一起，同樣做加減乘除，得到所謂復(fù)數(shù)域。他們因此得到一個奇妙和驚人的發(fā)現(xiàn)：雖然有的多項(xiàng)式?jīng)]有實(shí)數(shù)解，但是所有多項(xiàng)式都有復(fù)數(shù)解，同時解的個數(shù)剛好是多項(xiàng)式的次數(shù)。

從方程的角度來說，這個復(fù)數(shù)域是完美的，也是古希臘哲學(xué)家所樂見的。很多中國古代數(shù)學(xué)家大概認(rèn)為我只想知道現(xiàn)實(shí)界的解，不想研究這種虛無的復(fù)數(shù)域。但是歐洲數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)在研究自然界的數(shù)學(xué)現(xiàn)象時，復(fù)數(shù)域不但會增強(qiáng)我們理解實(shí)數(shù)的能力，它已經(jīng)成為數(shù)學(xué)的本體。歐拉用復(fù)數(shù)來解釋三角函數(shù)，傅里葉用它來解釋波動現(xiàn)象。在數(shù)論中，高斯、黎曼和之后的學(xué)者，廣泛應(yīng)用復(fù)函數(shù)和復(fù)數(shù)域深入研究素數(shù)的性質(zhì)。事實(shí)上，用一句簡單但不算夸張的話，中國古代數(shù)學(xué)，甚至可以說中國古代科學(xué)，落后于西方的一個因素始于復(fù)數(shù)理論在西方的萌芽。

要求數(shù)學(xué)體系或者其他科學(xué)體系完備化的想法，根植于希臘哲學(xué)，影響到今日數(shù)學(xué)的發(fā)展。韋伊和格羅滕迪克建立了一套完備的代數(shù)幾何結(jié)構(gòu)，初看時，極度玄虛，結(jié)果卻極大地推動了數(shù)論和幾何的研究。這是一個追求完美而有大成就的極好例子。我的老師陳省身先生剛開始研究示性類時，想解釋蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家龐特里亞金在實(shí)纖維叢的工作。結(jié)果發(fā)現(xiàn)在復(fù)纖維叢時，理論更加完美，完成了陳氏類的工作。從這點(diǎn)就可以看出追求完美的哲學(xué)觀點(diǎn)的重要性。

中國學(xué)者少有注意數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史和支持?jǐn)?shù)學(xué)的基本哲學(xué)，大部分蕭規(guī)曹隨，解決一些問題而已。但是理論如何叫作完美？它有它的客觀性，也有它的主觀性。很多學(xué)者發(fā)展了一套長篇的理論，看似漂亮，卻是越來越玄虛，結(jié)果無以為繼。這是和自然界的真與美愈來愈脫節(jié)的緣故。當(dāng)年我和我的朋友們發(fā)展幾何分析，就堅持我們必須要有理論，要有長遠(yuǎn)的看法。但是在這個基礎(chǔ)上，我們的理論必須要有能力來解決具體的問題。一般來說，這些問題必須是自然界產(chǎn)生的問題。

學(xué)問大流，真誠為源

今日中國科教興國、科技創(chuàng)新，必以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)在現(xiàn)代社會的影響，可謂無遠(yuǎn)弗屆，上至天文、物理、生物，下至網(wǎng)絡(luò)、社會人文，都和數(shù)學(xué)有關(guān)?？梢灶A(yù)見的是，21世紀(jì)大國的競爭，必和科技發(fā)展息息相關(guān)。誰能掌握科技上流，誰就主導(dǎo)經(jīng)濟(jì)和軍事的走勢。但是科技的上流，卻不是解決幾個問題就可以完成。我們要有前瞻性的胸襟和理想，才能引領(lǐng)風(fēng)騷，領(lǐng)導(dǎo)世界。

要做到這一點(diǎn)，我們需要深思我在前面說的求因、明變和評論，才能了解到學(xué)問的大流，才能知道如何去賞析數(shù)學(xué)的真實(shí)意義。數(shù)學(xué)從自然界、從各種學(xué)問吸收真和美的真髓。沒有深厚的文化和感情，很難做到這一點(diǎn)。既要執(zhí)著于中國儒家以人為本的精神來看數(shù)學(xué)，即數(shù)學(xué)家需要承擔(dān)起發(fā)展數(shù)學(xué)的責(zé)任，也需要接受希臘哲人對真和美追求的狂熱精神。當(dāng)讀歷代大數(shù)學(xué)家的生平和研究方法時，我們會知道數(shù)學(xué)思想的始源。因此在接觸到美麗的自然現(xiàn)象時，會有自然的反應(yīng)，可以開創(chuàng)新的思維。中國不少學(xué)者太注重名和利，一生的目標(biāo)不是做院士，就是得到政府賞賜的獎金和名譽(yù)，而并非學(xué)問的精進(jìn)。

孔子說：“吾未見好德如好色者也?！痹诮袢盏纳鐣?，除了好色之外，還當(dāng)加上好名和好利。然而孔子也說：“后生可畏，焉知來者之不如今也？”我相信中國的青年是有為的，我們應(yīng)該為他們樹立一個好的榜樣，歷史上的偉人都可以作為他們的典范。

《中庸》說：“唯天下至誠，為能盡其性；能盡其性，則能盡人之性；能盡人之性，則能盡物之性；能盡物之性，則可以贊天地之化育；可以贊天地之化育，則可以與天地參矣?！闭嬲\是學(xué)問之道的不二法門。愿我們能以謙虛真誠的態(tài)度，來追隨數(shù)學(xué)先賢們開創(chuàng)的道路。

《真與美：丘成桐的數(shù)學(xué)觀》，丘成桐/著，江蘇鳳凰文藝出版社·胡楊文化，2023年8月版。