迷人的對稱：為什么宇宙看起來這么具有數(shù)學性？

【編者按】

數(shù)學史的劇場里絕對不是只有數(shù)字、符號和天才，這里上演的是最聰明的頭腦的探索，同時還有他們在世間的悲歡離合、辛酸與榮耀。數(shù)學家伊恩·斯圖爾特在《迷人的對稱》一書中圍繞“對稱”這一在數(shù)學乃至人類對自然的探索中居于核心地位的概念巧妙地穿針引線，為我們娓娓道來3000多年來的數(shù)學發(fā)展史。本文為該書前言。

1832年5月30日。晨霧中，兩個法國青年面對面拔出手槍指著對方，為一個年輕女人而決斗。一聲槍響，其中一人倒在地上，受了致命傷。第二天他就死于腹膜炎，年僅21歲，被葬在一條普通的道溝里——一座無名冢。數(shù)學和科學史上最重要的理論之一差點兒隨著他的死一并消失。

那位活下來的決斗者至今仍姓名不詳，而死去的那一位，則是埃瓦里斯特·伽羅瓦（évariste Galois），一個著迷于數(shù)學的政治革命者，把他全部的數(shù)學工作整理到一起也僅僅能寫滿60頁紙而已。但伽羅瓦留下的遺產卻引發(fā)了一場數(shù)學革命。他發(fā)明了一種語言，用來描述數(shù)學結構中的對稱性，并推導出對稱性帶來的結果。

今天，這種被稱為“群論”的語言已經被應用于純數(shù)學和應用數(shù)學的方方面面，由此支配著自然界種種模式的形成。在物理學前沿研究中，對稱性不論是在極小尺度的量子世界還是在極大尺度的相對論世界都居于核心地位。它甚至有可能指出一條通向“萬有理論”的道路，人們對這一理論探求已久，希望能從數(shù)學上統(tǒng)一量子理論和相對論這兩個近代物理學中最重要的分支。而這一切的開始僅僅是一個簡單的代數(shù)問題，與數(shù)學方程的解有關——求解數(shù)學方程，就是根據一些數(shù)學線索來尋找一個未知數(shù)的值。

對稱性不是一個單一的數(shù)或形狀，而是一種特殊的變換——一種移動物體的方式。如果一個物體經過某種變換后看起來與之前相同，這一變換就關聯(lián)著某種對稱性。例如，一個正方形旋轉90度前后看起來是相同的，說明正方形具有某種關于旋轉的對稱性。

如此簡單直觀的理論經過大量擴充和加工之后，成了當今科學解釋宇宙及其起源的基礎。愛因斯坦相對論的核心原理即為物理定律在時空中的不變性，也就是說，物理定律對于空間中的運動以及時間上的演化是對稱的。而量子理論告訴我們，宇宙中的一切都是由一群微小的“基本”粒子構造而成。這些粒子的行為遵從數(shù)學公式，也就是“自然法則”，而這些法則同樣具有對稱性。粒子可以通過數(shù)學變換，轉變?yōu)橥耆煌牧硪环N粒子，而物理定律在這些變換下同樣保持不變。

如果對對稱性沒有深入的數(shù)學理解，上述的這些理論就不會發(fā)展出來，而當今物理學前沿那些更加新近的理論也不會形成。對于對稱性的數(shù)學理解源自純數(shù)學，它在物理學中的作用隨后才逐漸凸顯了出來。極其有用的想法能夠從純粹抽象的思考中產生，這被物理學家尤金·維格納（Eugene Wigner）稱為“數(shù)學在自然科學中不合理的有效性”。對于數(shù)學，有時我們從中得到的似乎比投入其中的更多。

從古巴比倫的書吏到21世紀的物理學家，本書通過一連串的故事講述了數(shù)學家們如何在無意中發(fā)現(xiàn)了對稱性的概念，以及對后來被證明不可能存在的公式看似無意義的尋找是如何打開通向宇宙的一扇窗，并徹底顛覆了科學與數(shù)學的。更廣泛而言，對稱性的故事說明了偉大的思想所帶來的文化影響與其歷史脈絡如何在偶然的政治與科學巨變中得以鮮明地凸顯出來。

本書的前半部分可能一眼看上去與對稱性毫無關系，也幾乎沒有涉及自然世界。這是因為，對稱性理論并不是像人們想象的那樣，從幾何學發(fā)展成為一種主流理論的。數(shù)學家和物理學家現(xiàn)在所使用的那些極其優(yōu)美又不可或缺的對稱性概念反而是來源于代數(shù)學。因此，本書的大部分內容描述的都是代數(shù)方程的求解問題。這可能聽上去太專業(yè)了，但這場探尋之旅扣人心弦，其中的很多關鍵人物度過了不同尋常而又戲劇化的人生。數(shù)學家也是人，盡管他們經常陷入抽象的沉思之中。他們中有些人在一生中可能過于依賴邏輯行事，但我們會一再發(fā)現(xiàn)，主角們身上其實擁有太多人之為人的天性。我們會看到他們如何活著與死去，讀到他們的愛情與決斗、關于成果優(yōu)先權的激烈爭奪、性丑聞、酗酒與疾病，而在其間，我們將會看到他們的數(shù)學思想如何展開，并如何改變了這個世界。

本書講述的故事發(fā)端于公元前10世紀，至19世紀早期由伽羅瓦推向高潮，追溯了人們對方程一步步的征服過程。當數(shù)學家遭遇了所謂的“五次”方程，也就是包含未知數(shù)的五次冪的方程時，征服的腳步終于停了下來。是因為五次方程有什么根本上的區(qū)別導致原有的方法不再適用，還是說存在其他類似但更強有力的方法可以得出五次方程求解的公式？數(shù)學家們是遇到了真正的障礙，還是只是太遲鈍了？

要強調的是，五次方程的解是已知存在的。問題是，這些解是否一定能用代數(shù)式表示？1821 年，年輕的挪威人尼爾斯·亨里克·阿貝爾（Niels Henrik Abel）證明五次方程無法用代數(shù)方法求解，但是他的證明晦澀而迂回。他證明了不存在一般的解法，卻并沒有真正解釋為什么。

伽羅瓦發(fā)現(xiàn)，五次方程不可解，是源于方程本身所具有的對稱性?？梢赃@么說，如果方程的這些對稱性通過了伽羅瓦檢驗——這意味著它們能以一種非常特殊的方式組合在一起，對此我現(xiàn)在先不做解釋——那么這個方程就可以用代數(shù)式求解。如果對稱性沒有通過伽羅瓦檢驗，那么就不存在這樣的代數(shù)式。

一般的五次方程都無法用代數(shù)式求解，因為它們所具有的對稱性不屬于可求解的類別。

這一史詩級的發(fā)現(xiàn)引出了本書的第二個主題：群——一種數(shù)學上“關于對稱性的微積分”。伽羅瓦繼承了代數(shù)學這一古老的數(shù)學傳統(tǒng)，并把它發(fā)揚光大，改造成研究對稱性的工具。

到目前為止，“群”這樣的詞還是未經解釋的專業(yè)術語。當這些詞的含義在敘述中變得重要的時候，我會解釋它們，但有時我們只需要一個方便的名稱來代指各種各樣的概念。如果你遇到了看上去像是專業(yè)術語的詞，但書中對此一帶而過，沒有立即展開討論，那么它的作用就只是一個實用的標簽，背后的實際含義并不重要。有時只要你繼續(xù)往下讀，這些含義總歸會逐漸呈現(xiàn)出來?！叭骸本褪且粋€恰當?shù)睦樱鳛閷I(yè)術語它已經出現(xiàn)了，但我們直到本書的中間部分才能明白它具體的含義。

本書還會涉及數(shù)學中一些特殊的數(shù)所具有的奇妙意義。我指的并不是物理學中的基本常數(shù)，而是π這樣的數(shù)學常數(shù)。物理學基本常數(shù)，比如光速，原則上可能是任意值，只是在我們的宇宙中碰巧等于每秒186000英里（約300000千米）。但是π永遠等于比3.14159稍大的一個值，這個值無法被這個世界里的任何事物改變。

五次方程的不可解告訴我們，5這個數(shù)就像π一樣，是非常特殊的。它是使與之相關聯(lián)的對稱群無法通過伽羅瓦檢驗的最小的數(shù)。另一個奇妙的例子與下面這一列數(shù)有關：1，2，4，8。數(shù)學家發(fā)現(xiàn)可以對通常的實數(shù)概念進行一系列的擴張，首先得到復數(shù)，隨后則是被稱為四元數(shù)和八元數(shù)的東西。它們分別由2套、4套和8套實數(shù)構造而成。接下來呢？你可能很自然地會想到16，但實際上這列數(shù)已經沒有更進一步的合理擴張了。這是一個非凡而深刻的事實。它告訴我們，8這個數(shù)有其特殊性。這種特殊性不是表面意義上的，而在于數(shù)學本身的潛在結構。

除了5和8之外，本書還著重介紹了其他幾個數(shù)，尤其是14，52，78，133和248。這些奇怪的數(shù)是五個“例外李群”的維數(shù)，它們的影響遍及整個數(shù)學領域以及大部分的數(shù)學物理學領域。它們是數(shù)學舞臺上的主角，而其他看起來與它們相差無幾的數(shù)卻只不過是些小角色。

數(shù)學家發(fā)現(xiàn)這些數(shù)有多特殊的時候，正是19世紀末抽象代數(shù)建立起來的時候。重要的不是這些數(shù)本身，而是它們在代數(shù)基礎中起到的作用。它們中的每一個數(shù)都關聯(lián)著一個叫作李群的數(shù)學對象，具有獨特而顯著的特性。這些李群在近代物理學中起著基礎性的作用，而且看起來與空間、時間和物質的深層結構都有關聯(lián)。

這就引出了本書的最后一個主題：基礎物理學。長久以來物理學家一直想知道，為什么空間有三個維度，而時間有一個維度——為什么我們生活在四維時空之中。超弦理論是將整個物理學統(tǒng)一在同一套互相一致的法則中的最新嘗試，物理學家由此開始思考時空是否可能存在額外的“隱藏”維度。這種想法聽起來好像很荒唐，但歷史上有很多這樣的先例。隱藏維度的存在可能是超弦理論中爭議最小的一點了。遠比隱藏維度更有爭議的是，超弦理論相信構建一套新的時空理論主要需要依靠相對論和量子理論——近代物理學的兩大支柱——背后的數(shù)學。人們認為，統(tǒng)一這兩個相互矛盾的理論所需要的完全是數(shù)學上的推演，而不是新的革命性實驗。數(shù)學美感被看作物理學真理的前提，這可能是個危險的假設。很重要的一點是，我們不能忽略實際的物理世界，任何從當下的深思熟慮中最終產生的理論，無論它具有多深的數(shù)學淵源，都必須與實驗和觀察結果進行比對。

不過眼下我們有充分的理由進行數(shù)學上的探索。原因之一是，在一個真正有說服力的統(tǒng)一理論建立起來之前，沒有人知道應該做什么樣的實驗。另一個原因是，數(shù)學上的對稱性在相對論和量子理論中都至關重要，而這兩種理論又缺乏共同的基礎，所以哪怕是再微不足道的共同點，也應該得到足夠的重視?？臻g、時間和物質的可能結構是由它們所具有的對稱性決定的，而其中一些最重要的可能結構似乎都關聯(lián)著特殊的代數(shù)結構。時空之所以具備它的這些性質，也許正是因為數(shù)學只允許少數(shù)特殊的形式存在。如果是這樣，著眼于數(shù)學就很有意義了。

為什么宇宙看起來這么具有數(shù)學性呢？人們提出了很多答案，但我覺得它們都不太令人信服。數(shù)學思想與物理世界之間的對稱關系，就像我們眼中的美與最重要的數(shù)學形式之間的對稱關系一樣，是一個深奧而可能無解的謎。沒有人能說清為什么美即是真，真即是美。我們能做的，只有思考其間蘊含的無限復雜性而已。

《迷人的對稱》，[英]伊恩·斯圖爾特著，李思塵、張秉宇譯，鸚鵡螺｜中信出版集團2022年9月。