公元219年發(fā)生的襄樊之戰(zhàn)，以蜀漢劉備部將關(guān)羽北伐曹魏，水淹七軍、圍困襄、樊兩城開端，以東吳孫權(quán)部將呂蒙“白衣渡江”偷襲南郡，關(guān)羽敗走麥城，身首異處結(jié)束。
這是一次典型的囚徒困境。
赤壁之戰(zhàn)前，劉備與孫權(quán)結(jié)成聯(lián)盟，約定共同對抗北方最強大的曹操，以獲得合作收益。關(guān)羽北伐是針對曹操的軍事行為，可以理解為劉備一方努力履行聯(lián)盟的合作契約，執(zhí)行合作策略。孫權(quán)一方趁劉備一方正努力執(zhí)行合作策略，趁其毫無防范之機，偷襲了關(guān)羽的后方根據(jù)地，導(dǎo)致關(guān)羽兵敗身死。孫權(quán)一方的偷襲不是針對曹操的軍事行為，而是針對劉備的軍事行為，是典型的執(zhí)行了背叛策略。
（“，”左側(cè)數(shù)值為劉備的收益，右側(cè)數(shù)值為孫權(quán)的收益）
在單次的囚徒困境博弈模型中，若博弈雙方同時選擇合作，則各獲得2收益；同時選擇背叛，則各獲得0收益；一方選擇合作另一方選擇背叛，合作方收益-1，背叛方收益3。同時選擇合作能讓集體獲得最高收益，2+2=4。但是當一方選擇合作給定時，另一方選擇合作收益2，選擇背叛收益3，2<3，對集體中的個體來說，當對方會選擇合作時，其最佳策略是選擇背叛。同時選擇合作策略，對集體來說雖然是收益最高的策略，但對個體來說并不是——損害同伴的利益才能最大化自身利益。當一方努力履行合作契約時，另一方有很強的激勵不履行合作契約，而是采取背叛策略。
作為孫權(quán)一方來說，當劉備一方努力履行合作契約時，其執(zhí)行背叛的策略，的的確確能夠獲得最高收益——這從呂蒙能夠輕而易舉拿下南郡就可以證明——成本低、收益高。如果只考慮襄樊之戰(zhàn)這一單次博弈，而不考慮未來，孫權(quán)偷襲南郡能得到最大收益，是最佳策略。
在單次的囚徒困境博弈模型中，實際上，無論對方選什么，選擇背叛永遠是最佳策略。上面我們已經(jīng)分析了一方選擇合作策略給定時，另一方的最佳策略是背叛。若一方選擇背叛給定，則另一方選擇合作收益-1，選擇背叛收益0，-1<0，最佳策略依然是選擇背叛。
作為劉備一方來說，似乎根本不該考慮履行合作契約，任何合作的舉動都是劣選策略，只會降低自己的收益。關(guān)羽的北伐是愚蠢的，把劉備一方推到了一個注定大敗虧輸?shù)木车亍獙O權(quán)若選擇背叛，劉備選擇合作的收益是最低的-1。
我見過很多夸贊孫權(quán)的偷襲多么明智，而諷刺關(guān)羽的北伐是多么愚蠢的言論。這些言論，包括我之前的分析，全部！都錯！錯！錯！
真正出了昏招的孫權(quán)！
為什么？
因為以上我們分析的是單次囚徒困境博弈！所謂單次博弈，就是說博弈參與者在這次博弈之后就老死不相往來了，你遇不到我，我也找不到你，不會有下一次博弈了。但現(xiàn)實情況是，劉備就在西川，孫權(quán)就在江東，你能找到我，我想見你也很容易，今天這次博弈結(jié)束之后，明天還要接著博弈，并且不知道今后還有多少場博弈。
這種情況叫做無限次數(shù)重復(fù)博弈。
單次博弈與無限次數(shù)重復(fù)博弈有什么區(qū)別？后者是要考慮未來的，前者卻不需要考慮。
未來會發(fā)生什么？
未來會發(fā)生收益！
這時一個新策略出現(xiàn)了，叫做“報復(fù)”。所謂報復(fù)，就是在上一局博弈中，甲方遭遇乙方背叛，那么在下一輪博弈中，甲方也要對乙方采用背叛策略。報復(fù)雖然針對的是過去的行為，目的卻是為了獲取更多的未來收益。
（“，”左側(cè)數(shù)值為劉備的收益，右側(cè)數(shù)值為孫權(quán)的收益）
在一個共有N輪博弈的重復(fù)博弈中，給定甲遭遇背叛就會在下一輪實施報復(fù)，不遭遇背叛就會一直合作。第n輪甲合作，乙背叛了，乙收益3；在第n+1輪，甲報復(fù)乙，選擇背叛，乙無論如何選擇，收益最高為0；兩輪收益相加總和為3+0=3。第n輪甲合作，乙也選擇合作，乙收益2；由于甲沒有遭到背叛，所以第n+1輪甲會選合作，乙也選合作，收益2,；兩輪收益相加總和為2+2=4。乙背叛甲的兩輪收益總和為3，乙一直與甲合作兩輪收益總和為4，3<4，因此比起背叛，乙更愿意跟甲合作。
現(xiàn)在給定甲永遠不會實施報復(fù)，即，無論在第n輪乙采用什么策略，甲在第n+1輪依舊會選合作。第n輪，甲合作，乙合作，乙收益2；第二輪甲合作，乙合作，乙收益2；兩輪相加，乙總共收益4。第n輪甲合作，乙背叛，乙收益3；第n+1輪甲合作，乙背叛，乙收益3；乙兩輪收益相加總和為6。4<6，跟兩輪合作相比，兩輪背叛收益更高。實際上，我們還可以組成其他的策略組合，但是，只要甲永遠選擇合作，乙永遠選擇背叛所得的收益一定是最高的。因此，在甲不會報復(fù)的情況下，乙最佳選擇永遠是背叛，甲就永遠無法得到合作收益。=
報復(fù)提高了背叛者的背叛成本，使背叛的收益小于合作，從而激勵了人們履行合作契約。報復(fù)讓自己更安全。當乙認為甲會對背叛行為進行報復(fù)的可能性越高的時候，就越不愿意背叛甲，反之，乙認為甲會對背叛行為進行報復(fù)的可能性越低，就越愿意背叛甲。
乙如何判斷甲對背叛行為的進行報復(fù)的可能性？看他曾經(jīng)報復(fù)的頻率！曾經(jīng)實施報復(fù)的頻率越高，就說明未來會實施報復(fù)的概率也就越高；曾經(jīng)實施報復(fù)的頻率越低，就說明未來會實施報復(fù)的概率也就越低。
甲每一次的報復(fù)或不報復(fù)的決定，都關(guān)系著未來博弈中遭遇背叛的可能性。對這一次背叛行為實施了報復(fù)，在未來遭遇背叛的可能性就越低，未來合作收益也就越高；不對這一次背叛行為實施報復(fù)，在未來遭遇背叛的可能性就越高，未來合作收益也就越低。
為了降低未來博弈中博弈對手的背叛激勵，獲得盡可能多的未來收益，一定要盡可能對每一次背叛行為進行報復(fù)！
當孫權(quán)派呂蒙趁虛而入，占領(lǐng)南郡，導(dǎo)致關(guān)羽身死時，他就應(yīng)該料想到，劉備絕不會善罷甘休，因為對背叛行為進行報復(fù)關(guān)系到未來。但孫權(quán)似乎并沒有想到，最起碼沒有想到劉備實施報復(fù)的嚴重性。
公元221年，劉備親自率領(lǐng)5萬大軍討伐孫權(quán)，發(fā)動了夷陵之戰(zhàn)。這一場戰(zhàn)役，孫權(quán)部將陸遜“火燒連營”，打得劉備幾乎全軍覆沒——孫權(quán)贏了。
有什么嚴重后果？
孫權(quán)與劉備能夠結(jié)成聯(lián)盟，合作對抗曹操，是因為無論是孫權(quán)還是劉備，其能力都不足以完成獨自對抗曹操的目標，合作能讓雙方獲得比單干更高的收益。只要孫權(quán)和劉備無法單獨對抗曹操這一現(xiàn)實不變，雙方合作獲得的收益就會大于單干獲得的收益。這個博弈的期限是“無限”的——不知道在未來的什么時候會結(jié)束。這也就意味著，這個未來可能很長（從實際情況看，這個未來確實很長），未來越長，雙方就可以從未來的合作中獲得越豐厚的回報。
合作雙方的能力越強，大概率來說，合作收益就會越高。如果一方的能力受到削弱，不僅僅影響到這一方的收益，還會讓另一方的合作收益也減少。
呂蒙“白衣渡江”之前，劉備定軍山之戰(zhàn)斬殺夏侯淵，從曹操手中奪取漢中；襄樊之戰(zhàn)，關(guān)羽水淹七軍，斬殺龐德，生擒于禁，圍困襄陽、樊城，逼得曹操考慮遷都以避鋒芒。這些軍事行動給曹操帶來了嚴重的、真實的威脅，曹操必然需要增加力量對來應(yīng)對劉備一方的行動。對劉備一方增加力量，就意味著沒有更多力量應(yīng)對孫權(quán)一方，即使孫權(quán)無力發(fā)起對曹操的進攻，自身的防御壓力總歸會減少，這就提高了孫權(quán)一方的收益。
夷陵之戰(zhàn)中劉備損失慘重，導(dǎo)致蜀漢被削弱。蜀漢的衰弱，使曹操可以減少針對蜀漢的力量，將這些力量投入到針對東吳一方。蜀漢的削弱，不僅僅降低了蜀漢獲取收益的能力，同時也降低了東吳獲取收益的能力。
每一輪博弈的合作收益都降低了，那么未來博弈的輪次越多，也就是未來越長，損失的收益也就越多。
看似襄樊之戰(zhàn)和夷陵之戰(zhàn)孫權(quán)都是最后的勝利者，但實際上孫權(quán)一方為了眼前的收益，放棄了許許多多未來收益?！鞍滓露山敝埃瑢O劉聯(lián)盟給曹魏的帶來了巨大壓力，但是在“白衣渡江”之后，這一聯(lián)盟再也沒能對曹魏集團形成實質(zhì)性的威脅，只是勉強維持不被消滅而已。
那什么時候應(yīng)該選擇背叛呢？很明顯，沒有未來的時候！越是沒有未來，就越要背叛，奪取盡量多的眼前收益。比如說曹魏眼看就要被嚴重削弱了，對抗他不需要與劉備結(jié)盟了，這時候在孫權(quán)看來，孫劉聯(lián)盟的未來大概率就要結(jié)束了，沒有那么多未來收益可以獲得了，眼前收益大于未來收益，就應(yīng)該準備采取背叛策略。
我們引入貼現(xiàn)率P。明天得到2收益，不如立刻得到2收益值錢，因為明天會出現(xiàn)很多意外導(dǎo)致你無法得到這2收益，貼現(xiàn)率就是明天依舊會得到2收益的概率，也可以理解成明天的2收益比幾天的2收益貶值的比率。
若第n輪甲方遭遇乙方背叛，在以后的博弈中，甲就再也不會與乙方合作，則乙方的收益為第n輪背叛的收益3，加以后的無窮個0，最終為3。乙一直與甲合作的收益是第n輪的收益2，加上n+1輪的收益2P，加上n+2輪的收益2P²，加上n+3輪的收益2P³……就是無窮多個2相加。若乙該背叛甲，說明背叛收益高于一直合作的收益，則3>2+2P+2P²+2P³……，求得P小于1/3時，滿足不等式。當下一輪博弈依舊會繼續(xù)的概率不小于1/3時，乙背叛甲的收益就小于一直與甲合作的收益，乙就不該背叛；只有預(yù)期博弈繼續(xù)的概率小于1/3時，乙背叛甲的收益才會大于繼續(xù)與甲合作，乙應(yīng)該背叛甲。
背叛或者合作，與貼現(xiàn)率的大小有關(guān)！
這就是為什么說孫權(quán)趁機奪取南郡是一個愚蠢的短視行為，因為在當時的情況看來，曹魏集團會在很長一段時間里保持最強者地位，這就說明孫劉聯(lián)盟合作的貼現(xiàn)率是比較大的，而貼現(xiàn)率大時，選擇合作才是收益最高的策略。
夷陵之戰(zhàn)之后，諸葛亮主持了蜀漢與東吳的重新談判，再一次讓雙方回到了合作的策略上，為什么蜀漢會愿意重新與東吳合作呢？理由是——預(yù)期的貼現(xiàn)率特別大。
第n輪甲遭遇乙背叛，乙收益3，n+1輪甲報復(fù)乙，選擇背叛，乙收益0，n+2輪甲乙重新合作，乙收益2P²，n+3輪收益2P³……乙一直與甲合作，第n輪收益2，n+1輪收益2P，n+2輪收益2P²，n+3輪收益2P³……滿足背叛收益小于合作，則滿足3≤2+2P，求得P≥1/2。
當貼現(xiàn)率足夠大時，在一輪背叛與一輪報復(fù)后，乙與甲合作的未來收益依舊足夠大，乙沒有繼續(xù)背叛的激勵，因此甲在報復(fù)后，與乙繼續(xù)合作可以獲得更多收益。
因為蜀漢和東吳都承認貼現(xiàn)率確實是比較大的，也就是說，雙方合作才能對抗曹魏的現(xiàn)實會延續(xù)很長時間，所以雙方才愿意重新達成合作關(guān)系。
劉備發(fā)動夷陵之戰(zhàn)是對的，因為報復(fù)是必須的；諸葛亮在夷陵之戰(zhàn)后重新與東吳結(jié)成聯(lián)盟也是對的，因為需要與東吳合作才能對抗曹魏；但是孫權(quán)在關(guān)羽北伐曹操的時候偷襲南郡卻是錯的，在貼現(xiàn)率明顯很高的情況下采用了背叛策略，是為了眼前的蠅頭小利放棄了巨大的未來收益，是非常不明智的。
這是可以用數(shù)理證明的。
孫劉聯(lián)盟的頹勢看起來是從夷陵之戰(zhàn)開始的，實際上在呂蒙“白衣渡江”之時，歷史的天平已經(jīng)開始傾斜了。劉備死后，諸葛亮主持了蜀漢與東吳的重新談判，又達成了合作關(guān)系，但是，勢已成，不可逆，結(jié)局已經(jīng)寫就，回天乏力了。
作者：第五大洋，歷史百家爭鳴特約作者
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