朱世杰字漢卿，號松庭．北京附近人．生卒年不詳，生活于13—14世紀．數(shù)學．
關于朱世杰的生平，流傳下來的資料甚少，僅能從趙城、莫若、祖頤等人為他的著作《算學啟蒙》和《四元玉
鑒》所寫的序言中找到一些線索．這些序言均稱“燕山松庭朱君”、“燕山朱漢卿先生”．在《四元玉鑒》每卷之首也均署名為“寓燕松庭朱世杰漢卿編述”，可見他的籍貫當在現(xiàn)在的北京或其附近．莫若序中有“燕山松庭朱先生以數(shù)學名家周游湖海二十余年矣．四方之來學者日眾，先生遂發(fā)明《九章》之妙，以淑后學，為書三卷……名曰《四元玉鑒》”，祖頤后序中亦有“漢卿，名世杰，松庭其自號也．周流四方，復游廣陵，踵門而學者云集……．
”這兩篇序均寫于元大德七年(1303)，以莫若序中所說的“以數(shù)學名家周游湖海二十余年矣”來推算，朱世杰從事數(shù)學教學和數(shù)學研究的年代當在13世紀末和14世紀初．
1234年蒙古聯(lián)宋滅金之后，又經(jīng)過40余年，至1276年才攻占了南宋的都城臨安，1279年南宋滅亡．
朱世杰的青少年時代，大約相當于蒙古滅金之后．但早在滅金之前，蒙古軍隊便已攻占了金的中都(今北京，
是1215年攻占的)．元世祖忽必烈繼位之后，為便于對中原地區(qū)的攻略，便遷都于此地，改稱燕京，后又改稱為大
都．到13世紀60年代，燕京不只是重要的政治中心，同時也是重要的文化中心．
忽必烈為了鞏固元朝的統(tǒng)治，網(wǎng)羅了一大批漢族的知識分子作為智囊團．其中有以編制《授時歷》聞名的王恂
(1235-1281)、郭守敬(1231—1316)以及編制歷法的倡導者和主持者劉秉忠(1216—1274)、張文謙(1216—1283)、
許衡(1209—1281)等人．這個集團中的人物，對數(shù)學和歷法都很精通．他們未入朝之前，曾隱居于河北南部的武安紫金山中．受到忽必烈禮聘的，還有李治(1192—1279)，他也是一位著名的數(shù)學家．
就當時的數(shù)學發(fā)展情況而論，在13世紀中葉，在河北南部和山西南部地區(qū)，出現(xiàn)了一個以“天元術”(一種帶
有中國古代數(shù)學特點的代數(shù)學)為代表的數(shù)學研究中心．按祖頤在“《四元玉鑒》后序”中敘述天元術發(fā)展情況時
所說：“平陽(今山西臨汾)蔣周撰《益古》，博陸(今河北蠡縣)李文一撰《照膽》，鹿泉(今河北獲鹿)石信道撰《鈐經(jīng)》，平水(今山西新絳)劉汝諧撰《如積釋鎖》，絳人(今山西新絳)元裕細草之，后人始知有天元也．平陽李德載因撰《兩儀群英集臻》兼有地元，霍山(今山西臨汾)邢先生頌不高弟劉大鑒潤夫撰《乾坤括囊》末僅有人元二問吾友燕山朱漢卿先生演數(shù)有年，探三才之賾，索《九章》之隱，按天地人物成立四元……．”這段序文敘述出朱世杰學術上的師承關系．毫無疑問，他較好地繼承了當時北方數(shù)學的主要成就．當時的北方，正處于天元術逐漸發(fā)
展成為二元、三元術的重要時期，正是朱世杰把這一成就拓展為四元術的．
朱世杰除繼承和發(fā)展了北方的數(shù)學成就之外，還吸收了當時南方的數(shù)學成就——各種日用、商用數(shù)學和口訣、
歌訣等．本來，在元滅南宋之前，南北之間的數(shù)學交流是比較少的．朱世杰“周流四方，復游廣陵(今揚州)”應是在1276年元軍對南宋的大規(guī)模軍事行動結(jié)束之后．朱世杰在經(jīng)過長期游學、講學之后，終于在1299年和1303年在揚州刊刻了他的兩部數(shù)學著作——《算學啟蒙》和《四元玉鑒》．隋唐以來，中原地區(qū)經(jīng)濟中心和文化中心逐漸南移．長江中下游一帶，五代十國時期就比較穩(wěn)定，北宋時期也
有較大發(fā)展．隨著金兵入侵和宋王朝的南遷，江南地區(qū)的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)和城市建設等都有較大發(fā)展．在這樣的社會條件下，中國數(shù)學中自晚唐以來不斷發(fā)展的簡化籌算的趨勢有了進一步的發(fā)展，日用數(shù)學和商用數(shù)學更加普及．南宋時楊輝的著作可以作為這一傾向的代表，而朱世杰所著的《算學啟蒙》，則是這一傾向的繼承和發(fā)展．
當然，以所取得的成就而論，《四元玉鑒》是遠超《算學啟蒙》的．清代羅士琳在評論朱世杰的數(shù)學成就時說
：“漢卿在宋元間，與秦道古(九韶)、李仁卿(冶)可稱鼎足而三．道古正負開方，仁卿天元如積，皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類盡量，神而明之，尤超越乎秦李之上”(羅士琳編《疇人傳·續(xù)編·朱世杰條》)．清代另一位數(shù)學家王鑒也說：“朱松庭先生兼秦李之所長，成一家之著作”(王鑒《算學啟蒙述義·自序》)．此外，朱世杰還繼承發(fā)展了日用、商用數(shù)學．由此可見，朱世杰可以被看作是中國宋元時期數(shù)學發(fā)展的總結(jié)性人物，是宋元數(shù)學的代表，是中國以籌算為主要計算工具的古代數(shù)學發(fā)展的預峰．
朱世杰的數(shù)學著作，如前所述，有《算學啟蒙》、《四元玉鑒》二種，下面略加評介．
1．《算學啟蒙》
《算學啟蒙》全書共3卷、分為20門，收入了259個數(shù)學問題．全書由淺入深，從整數(shù)的四則運算直至開高次方
、天元術等，包括了當時已有的數(shù)學各方面內(nèi)容，形成了一個較完備的體系，可用作教材，它確實是一部較好的啟蒙數(shù)學書．
在全書之首，朱世杰首先給出了18條常用的數(shù)學歌訣和各種常用的數(shù)學常數(shù)．其中包括：乘法九九歌訣、除法
九歸歌訣(與后來的珠算歸除口訣完全相同)、斤兩化零歌訣(“一退六二五”之類)、籌算記數(shù)法則、大小數(shù)名稱、度量衡換算、面積單位、正負數(shù)的四則運算法則、開方法等等．值得指出的是，朱世杰在這里，也是在中國數(shù)學史上首次記述了正負數(shù)的乘除運算法則．朱世杰把上述這些歌訣和數(shù)學常數(shù)等，作為“總括”而列在全書之首，這種寫作的方式，在中國古算書中并不多見．
《算學啟蒙》正文分上、中、下三卷．
卷上：共分為8門，收有數(shù)學問題113個，其內(nèi)容為：乘數(shù)為一位數(shù)的乘法、乘數(shù)首位數(shù)為一的乘法、多位數(shù)乘
法、首位除數(shù)為一的除法、多位除數(shù)的除法、各種比例問題(包括計算利息、稅收等等)．
其中“庫司解稅門”第7問題記有“今有稅務法則三十貫納稅一貫”，同門第10、11兩問中均載有“兩務稅”
等，都是當時實際施行的稅制．朱世杰在書中的自注中也常寫有“而今有之”、“而今市舶司有之”等等，可見書中的各種數(shù)據(jù)大都來自當時的社會實際．因此，書中提到的物價(包括地價)、水稻單位面積產(chǎn)量等，對了解元代社會的經(jīng)濟情況也是有用的．
卷中：共7門，71問．內(nèi)容有各種田畝面積、倉窖容積、工程土方、復雜的比例計算等等．
卷下：共5門，75問．內(nèi)容包括各種分數(shù)計算、垛和問題、盈不足算法、一次方程解法、天元術等等．
這樣，《算學啟蒙》全書從簡單的四則運算入手，一直講述到當時數(shù)學的重要成就——天元術(高次方程的數(shù)值解法)，為閱讀《四元玉鑒》作了必要的準備，給出了各種預備知識．清代羅士琳說《算學啟蒙》“似淺實深”，又說《算學啟蒙》、《四元玉鑒》二書“相為表里”，這些話都是不錯的．
《算學啟蒙》出版后不久即流傳至朝鮮和日本．在朝鮮的李朝時期，《算學啟蒙》和《詳明算法》、《楊輝算法》一道被作為李朝選仕(算官)的基本書籍．在日本收藏有一部首尾殘缺、未注明年代的《算學啟蒙》，與此書一起，同時也藏有一部宣德八年(即李朝世宗十五年，1433)朝鮮慶州府刻版的《楊輝算法》．從版刻形式等方面來辨識，兩部書是相同的，從而有人推斷這部《算學啟蒙》也是1433年朝鮮慶州府刻本．這可能要算是當今世界上最早的傳世刻本．在《李朝實錄》中也記有世宗本人曾向當時的副提學鄭麟趾學習《算學啟蒙》的史料．《算學啟蒙》傳入日本的時間也已不可考，是久田玄哲在京都的一個寺院中發(fā)現(xiàn)了這部書，之后他的學生土師
道云進行了翻刻(日本萬治元年，1658，京都)．寬文12年(1672)又在江戶(今東京)出版了星野實宣注解的《新編算學啟蒙注解》3卷，元祿三年(1690)還出版了著名的和算家建部賢弘注釋的《算學啟蒙諺解大成》7卷．《算學啟蒙》對日本和算的發(fā)展有較大的影響．
《算學啟蒙》一書在朝鮮和日本雖屢有翻刻，但明末以來，在中國國內(nèi)卻失傳了．清末道光年間羅士琳重新翻刻《四元玉鑒》時，《算學啟蒙》尚無著落．后來羅士琳“聞朝鮮以是書為算科取士”，請人在北京找到順治十七
年(1660)朝鮮全州府尹金始振所刻的翻刻本，1839年在揚州重新刊印出版．這個本子，后來成為中國現(xiàn)存各種版本的母本．清代對《算學啟蒙》進行注釋的有王鑒所著《算學啟蒙述義》(1884)和徐鳳誥所著《算學啟蒙通釋》(1887)．
2．《四元玉鑒》
與《算學啟蒙》相比，《四元玉鑒》則可以說是朱世杰闡述自己多年研究成果的一部力著．全書共分3卷，24
門，288問．書中所有問題都與求解方程或求解方程組有關，其中四元的問題(需設立四個未知數(shù)者)有7問(“四象朝元”6問，“假令四草”1問)；三元者13問(“三才變通”11問，“或問歌彖”和“假令四草”各1問)；二元者36問(“兩儀合轍”12問，“左右逢元”21問，“或問歌彖”2問，“假令四草”1問)；一元者232問(其余各問皆為一元)．可見，四元術——多元高次方程組的解法是《四元玉鑒》的主要內(nèi)容，也是全書的主要成就．
《四元玉鑒》中的另一項突出的成就是關于高階等差級數(shù)的求和問題．在此基礎上，朱世杰還進一步解決了高
次差的招差法問題．
四元玉鑒》一書的流傳和《算學啟蒙》一樣，也曾幾經(jīng)波折．這部1303年初版的著作，在15和16兩個世紀都
還可以找到它流傳的線索．吳敬所著《九章算法比類大全》(1450)中的一些算題，和《四元玉鑒》中的算題完全相同或部分相同．顧應祥在其所著《孤矢算術》序言(1552)中寫道：“孤矢一術，古今算法載者絕少，……《四元玉鑒》所載數(shù)條?！敝苁鰧W所著《神道大編歷宗算會》卷三之首曾引用了《四元玉鑒》書首的各種圖式，書中有些算題也與《四元玉鑒》相同，卷十四作為“算會圣賢”列有“松庭《四元玉鑒》”．可見顧周二人都曾讀到過《四元玉鑒》．清初黃虞稷(1618—1683)《千頃堂書目》記有“《四元玉鑒》二卷”，卷數(shù)不符．梅瑴成《赤水遺珍》(1761)中曾引用過《四元玉鑒》中的兩個題目，可見清初時此書尚未失傳．
乾隆三十七年(1772)開《四庫全書》館時，雖然挖掘出不少古代數(shù)學典籍，但朱世杰的著作并未被收入．阮元
、李銳等人編纂《疇人傳》時(1799)也尚未發(fā)現(xiàn)《四元玉鑒》．但不久之后阮元即在浙江訪得此書，呈入《四庫全書》，并把抄本交李銳校算(未校完)，后由何元錫按此抄本刻?。@是1303年《四元玉鑒》初版以來的第一個重刻本．《四元玉鑒》被重新“發(fā)現(xiàn)”之后，引起了當時許多學者的注意，如李銳(1768-1817)、沈欽裴(1829年寫有《四元玉鑒》序)、徐有壬(1800—1860)、羅士琳(1789—1853)、戴煦(1805-1860)等人，都進行過研究．其中，以沈欽裴和羅士琳二人的工作最為突出．
1839年羅士琳經(jīng)多年研究之后，出版了他所著的《四元玉鑒細草》一書，影響廣泛．羅氏對《四元玉鑒》進行
了校改并對書中每一問題都作了細草．但是他對此書關鍵問題(四元消法和級數(shù)求和)的理解，尚有需進一步研究者．與羅士琳同時，沈欽裴也對《四元玉鑒》作了精心的研究，每題也作了細草，經(jīng)對比，沈氏《細草》比羅氏《細草》要更符合朱世杰原意．沈氏《細草》僅有兩種抄本傳世(其中一種是全本)，現(xiàn)均收藏于北京圖書館．
清代數(shù)學家李善蘭曾著有《四元解》(1845)，但此書是作者以己意解四元方程組，對了解朱世杰原意幫助不大
．其后陳棠著《四元消法簡易草》(1899)，卷末附有“假令四草”的“補正草”，對理解朱世杰四元術是有幫助的．日本數(shù)學史家三上義夫在其所著《中國及日本數(shù)學之發(fā)展》(ThedevelopmentofmathematicsinChinaandJapan，1913)一書中將《四元玉鑒》介紹至國外．其后康南茲(E．L．Konantz)和赫師慎(L．VanHeé分別把《四元玉鑒》中的“假令四草”譯為英法兩種文字．1977年華裔新西蘭人謝元祚(J．Hoe)將《四元玉鑒》全文譯成法文，并寫了關于《四元玉鑒》的論文．
朱世杰的數(shù)學成就可簡述如下：
1．四元術
四元術是在天元術基礎上逐漸發(fā)展而成的．天元術是一元高次方程列方程的方法．天元術開頭處總要有“立天
元一為××”之類的話，這相當于現(xiàn)代初等代數(shù)學中的“設未知數(shù)x為××”．四元術是多元高次方程列方程和解
方程的方法，未知數(shù)最多時可至四個．四元術開頭處總要有“立天元一為××，地元一為○○，入元一為△△，物元一為**”，即相當于現(xiàn)代的“設x，y，z，為××，○○，△△，**”．天元術是用一個豎列的籌式依次表示未知數(shù)(x)的各次冪的系數(shù)的，而四元術則是天元術的推廣．按莫若為《四元玉鑒》所寫的序言所記述，四元式則是“其法以元氣居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，陰陽升降，進退左右，互通變化，錯綜無窮”，此即在中間擺入常數(shù)項(元氣居中)，常數(shù)項下依次列入x各次冪的系數(shù)。左邊列y，y2，y3，…各項系數(shù)，右邊為z，z2，z3，…各項系數(shù)，上邊為u，u2，u3，…各項系數(shù)，而把xy，yz，zu，…，x2y，y2z，z2u，…各項系數(shù)依次置入相應位置中(如圖1)．例如：x＋y＋z＋u=0，即可以下列籌式表示(如圖2)．而(x y z u)2=A，即可以圖3所示之籌式表示之，即將(x＋y Z＋u)2=x2 y2＋z2＋u2＋2xy＋2xz 2xu 2yz 2yu 2zu中的2xy，2yz…等記入相應的格子中，而將不相鄰的兩個未知數(shù)的乘積如2xu，2yz的系數(shù)記入夾縫處，以示區(qū)
別．圖3即是《四元玉鑒》書首給出的“四元自乘演段之圖”(為了方便，我們用現(xiàn)代通用的阿拉伯數(shù)碼代替了原圖中的算籌)．如此記寫的四元式，既可表示一個多項式，也可以表示一個方程．
四元式的四則運算如下進行．
(1)加、減：使兩個四元式的常數(shù)項對準常數(shù)項，之后再將相應位置上的兩個系數(shù)相加、減即可．
(2)乘：
1)以未知數(shù)的整次冪乘另一四元式，如以刀，x，x2，x3，…乘四元式，則等于以該項系數(shù)乘整個四元式各項
再將整個四元式下降，以x乘則下降一格，x2乘則下降二格．以y的各次冪乘則向左移，以z乘則右移，以u乘則上升．
2)二個四元式相乘：以甲式中每項乘乙式各項，再將乘得之各式相加．
(3)除(僅限于用未知數(shù)的整次冪來除)：等于以該項系數(shù)除四元式各項系數(shù)之后，整個四元式再上、下、左、
右移動．
上述四則運算也就是莫若《四元玉鑒》序言中所說的“陰陽升降，進退左右，互通變化，錯綜無窮”．在當時
中國數(shù)學尚缺少數(shù)學符號的情況下，朱世杰利用中國古代的算籌能夠進行如此復雜的運算，實屬難能可貴．
朱世杰四元術精彩之處還在于消去法，即將多元高次方程組依次消元，最后只余下一個未知數(shù)，從而解決了整
個方程組的求解問題．其步驟可簡述如下：
1)二元二行式的消法例如“假令四草”中“三才運元”一問，最后得出如下圖的兩個二元二行式，這相當于求解或?qū)⑵鋵懗筛话愕男问狡渲蠥0，B1和A1，B0分別等于算籌圖式中的“內(nèi)二行”和“外二行”，都是只含z而不含x的多項式．朱世杰解決這些二元二行式的消去法即是“內(nèi)二行相乘、外二行相乘，相消”．也就是F(z)=A0B1-A1B0=0．
此時F(z)只含z，不含其他未知數(shù)．解之，即可得出z之值，代入上式任何一式中，再解一次只含x的方程即可
求出x．
2)二元多行式的消法不論行數(shù)多少，例如3行，則可歸結(jié)為以A2乘(2)式中B2x2以外各項，再以B2乘(1)式中A2x2以外各項，相消得C1x C0=0．(3)以x乘(3)式各項再與(1)或(2)聯(lián)立，消去x2項，可得D1x D0=0．
(4)(3)，(4)兩式已是二元二行式，依前所述即可求解．
3)三元式和四元式消法
如在三元方程組中(如下列二式)欲消去y：
式中諸Ai，Bi均只含x，z不含y．(5)，(6)式稍作變化即有以A0，B0與二式括號中多項式交互相乘，相消得
C1y＋C0=0．(9)(9)式再與(7)，(8)式中任何一式聯(lián)立，相消之后可得D1y＋D0=0．(10)
(9)，(10)聯(lián)立再消去y，最后得E=0，(11)
E中即只含x，z．再另取一組三元式，依法相消得F＝0．(12)(11)，(12)只含兩個未知數(shù)，可依前法聯(lián)立，再消去一個未知數(shù)，即可得出一個只含一個未知數(shù)的方程，消去
法步驟即告完成．
以上乃是利用現(xiàn)代數(shù)學符號化簡之后進行介紹的，實際上整個運算步驟都是用中國古代所特有的計算工具算籌
列成籌式進行的，雖然繁復，但條理明晰，步驟井然．它不但是中國古代籌算代數(shù)學的最高成就，而且在全世界，在13—14世紀之際，也是最高的成就．顯而易見，在一個平面上擺列籌式，未知數(shù)不能超過四元，這也是朱世杰四元術的局限所在．在歐洲，直到18世紀，繼法國的E．貝祖(Béout，17779)之后又有英國的J．J．西爾維斯特(Sylvester，184
0)和A．凱萊(Cay-ley，1852)等人應用近代方法對消去法進行了較全面的研究．
2．高階等差級數(shù)求和
在中國古代，自宋代起便有了關于高階等差級數(shù)求和問題的研究．在沈括(1031—1095)和楊輝的著作．(1261
—1275)中，都有各種垛積問題，這些垛積問題有一些就是高階等差級數(shù)問題．另外，在歷法計算過程中，特別是
在計算太陽在黃道上的精確位置時，要用到內(nèi)插法．在宋代歷法中，已經(jīng)考慮并用到三次差的內(nèi)插法．這也是一種高階等差級數(shù)的求和問題．
朱世杰在《四元玉鑒》中又把這一問題的研究進一步深化．
據(jù)研究，朱世杰已經(jīng)掌握了如下一串三角垛的公式，即
茭草垛
三角垛
撒星形垛
三角撒星形垛
(又稱“撒星更落一形垛”)
三角撒星更落一形垛從中不難看出前垛的求和結(jié)果恰好是后垛的一般項，即前垛的各層累計的和剛好是后垛中的一層，因此朱世杰常把后一種垛積稱為前一垛積的“落一形垛”．這串公式可用一個公式來表達，即當p=1，2，3，4，5時．(A)式就是上述五個公式．
除(A)式之外，朱世杰還已掌握了當P=1時稱為四角垛，即當P=2時稱為嵐峰形垛，即當P=3時稱為三角嵐峰形垛，即當然，《四元玉鑒》中也還有一些其他類型的垛積問題．
由于朱世杰已經(jīng)掌握了公式(A)，掌握了一串三角垛公式，這使他有可能超越前人，提出高次招插法公式，從
而有可能解決任何一類高階等差級數(shù)的求和問題．《四元玉鑒》“如象招數(shù)”門最后一問中提出了一個需用四次差(即四次差相等，五次差等于0)的招差問題．如以現(xiàn)代符號記述，以△1，△2，△3，△4表示一差、二差、三差和四差，朱世杰相當于給出了招插公式：
這是一個有關計算招兵人數(shù)的問題．朱世杰的解法是“求兵者：今招為上積，又今招減一為茭草底子積為二積
，又今招減二為三角底子積為三積，又今招減三為三角落一積為下積，以各差乘各積，四位并之，即招兵數(shù)也”，所描述的剛好就是上述公式．因為朱世杰指出了上述公式各項的系數(shù)，剛好依次是一串三角垛的“積”，從這一點出發(fā)不難推斷朱世杰是可
以將其推廣至任意高次的高階等差級數(shù)和招差問題上去的．在西方，是J．格雷戈里(Gregory，1638—1675)最先對招插法進行了研究，直到牛頓的著作(1676，1678)中才
出現(xiàn)了關于招插術的一般公式．當然牛頓的公式采取了近代數(shù)學的形式，而且用途廣泛，但朱世杰的首創(chuàng)之功也是不可泯滅的．
朱世杰在數(shù)學方面的貢獻并不局限于上述兩點，例如《算學啟蒙》中所列各種歌訣、口訣(包括除法口訣)均已
十分齊備，這為計算工具由籌算到珠算的過渡創(chuàng)造了條件．但四元術和高階等差級數(shù)求和問題兩方面的成就，仍顯得十分突出，由于這兩方面成就的出現(xiàn)，使得高度發(fā)展了的宋元時期的中國數(shù)學，更放異彩．
清代數(shù)學家王鑒說，朱世杰“兼秦(九韶)、李(冶)之所長”，羅士琳也說他是“尤超越乎秦、李之上”．清代
末年還有人評論說“中法以《四元玉鑒》為詣極之書”．20世紀美國著名的科學史家G．薩頓(Sarton，1884—1956)評價朱世杰是“漢民族的，他所生存的時代的，同時也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學家”，說《四元玉鑒》“是中國數(shù)學著作中最重要的一部，同時也是中世紀最杰出的數(shù)學著作之一”．如此之高的評價，朱世杰和他的著作都是當之無愧的．
朱世杰
“燕山朱松庭先生”，是我國元朝時代的一位杰出的數(shù)學家。所寫的《四元玉鑒》和《算學啟蒙》，是我國古
代數(shù)學發(fā)展進程中的一個重要的里程碑，是我國古代數(shù)學的一份寶貴的遺產(chǎn)。
朱世杰的青少年時代，正相當于蒙古軍滅金之后。但在滅金之前，中都（即今之北京）便于1215年被成吉思汗
攻占。
元世祖忽必烈繼汗位之后，于1264年（至1266年）為便于統(tǒng)治中原地區(qū)的人民，遷都燕京（后改稱大都，亦即
今之北京）到了13世紀60年代燕京不只是全國的政治中心，而且也是當時全國重要的文化中心，特別是北方的一個文化中心。
忽必烈為了元朝的統(tǒng)治，曾網(wǎng)羅了一大批漢族的知識分子充作智囊團。其中就著名的有王恂（1235—1281）、
郭守敬（1231—1279）、李冶（1192—1279）等人，這個智囊團中的人物，對數(shù)學和歷法都很精通，他們未入朝前曾隱于河北省南部武安紫金山中。
13世紀中葉，在現(xiàn)在的河北省的南部地區(qū)和山西省的南部地區(qū)，出現(xiàn)了一個以天元術為其代表的數(shù)學研究中心
。除上述武安的紫金山和李冶元氏封龍山外，山西臨汾的蔣周，河北蠡縣的李文一，河北獲鹿的石信道等人都在研究天元術。朱世杰也繼承了北方數(shù)學的主要成就——天元術，并將其由二元、三元推廣至四元方程組的解法。
朱世杰除了接受北方的數(shù)學成就之外，他也吸收了南方的數(shù)學成就，尤其是各種日用算法、商用算術和通俗化的歌訣等等。
在元滅南宋以前，南北之間的交往，特別是學術上的交往幾乎是斷絕的。南方的數(shù)學家對北方的天元術毫無所知，而北方的數(shù)學家也很少受到南方的影響。朱世杰曾“周游四方”，莫若（古代數(shù)學家）序中有“燕山松庭朱先生以數(shù)學名家周游湖海二十余年矣。四方之來學者日眾，先生遂發(fā)明《九章》之妙，以淑后圖學，為書三卷……名曰《四元玉鑒》”，祖頤后序中亦有“漢卿名世杰，松庭其自號也。周流四方，復游廣陵，踵門而學者云集”。經(jīng)過長期的游學、講學等活動，終于在1299年和1303年，在揚州，刊刻了他的兩部數(shù)學杰作——《算學啟蒙》和《四元玉鑒》。楊輝書中的歸除歌訣在朱世杰所著《算學啟蒙》中有了進一步的發(fā)展。
清羅士琳認為：“漢卿在宋元間，與秦道古（即秦九韶）、李仁卿可稱鼎足而三。道古正負開方，漢卿天元如積皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類盡量，神而明之，尤超越乎秦、李之上”。清代數(shù)學家王鑒也說：“朱松庭先生兼秦、李之所長，成一家之著作”。朱世杰全面繼承了并創(chuàng)造性地發(fā)揚了天元術、正負開方法等秦、李書中所載的數(shù)學成就之外，還囊括了楊輝書中的日用、商用、歸除歌訣之類與當時社會生活密切相關的各種算法，并作了新的發(fā)展。
由此看來，在朱世杰的工作中，不僅有高次方程的解法，天元術等為代表的北方數(shù)學的成就，也包括了楊輝工作中所體現(xiàn)出來的日用，商用算法以及各種歌訣等南方數(shù)學的成就，不僅繼承了中國古代數(shù)學的光輝遺產(chǎn)，而且又作了創(chuàng)作性的發(fā)展。朱世杰的工作，在一定意義上講，可以看作是宋元數(shù)學的代表，可以看作是古代籌算系統(tǒng)發(fā)展的頂峰。就連西方資產(chǎn)階級學者們也不能否認這一點，喬治·薩頓說：朱世杰“是漢族的，他所生存的時代的，同時也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學家”，說《四元玉鑒》“是中國數(shù)學著作中最重要的一部，同時也是中世紀最杰出的數(shù)學著作之一”。朱世杰以他自己的杰出著作，把中國古代數(shù)學推向更高的境界，為中國古代數(shù)學的光輝史冊，增加了新的篇章，形成了宋代中國數(shù)學發(fā)展的最高峰。
朱世杰朱世杰字漢卿，號松庭，元朝人，籍貫燕山（今北京附近）。他長期從事數(shù)學研究和教育事業(yè)，以數(shù)學名家周
游湖海二十多年，四方登門來學習的人很多。
朱世杰全面繼承了秦九韶（約公元1202－1261年，他的主要著作是《數(shù)書九章》）、李冶（公元1192－1279年，主要著作是《測圓海鏡》和《益古演段》。）、楊輝（著有《詳解九章算法》十二卷《日用算法》二卷、《乘除通變算寶》三卷、《田畝比類乘除捷法》二卷、《續(xù)古摘奇算法》二卷等）三人的數(shù)學成就和各種實用算法，而且創(chuàng)造性地予以發(fā)展，寫出《算學啟蒙》三卷、《四元玉鑒》三卷等著名著作，把我國古代數(shù)學推向更高的境界，形成宋、元時期中國數(shù)學的最高峰。
《算學啟蒙》是朱世杰在元成宗大德三年（公元1299年）刊印的，全書分三卷，二十門，總計二百五十九個問題和相應的解答。自乘除運算起，一直講到當時數(shù)學發(fā)展的最高成就“天元術”，全面介紹了當時數(shù)學所包含的各方面內(nèi)容。它的體系完整，內(nèi)容深入淺出，通俗易懂，是一部很著名的啟蒙讀物。這部著作后來流傳到了朝鮮、日本等國，出版過翻刻本和注釋本，產(chǎn)生過一定的影響?！端脑耔b》更是一部成就輝煌的數(shù)學名著。它受到近代數(shù)學史研究者的高度評價，認為是中國數(shù)學著作中最
重要的一部，同時也是中世紀最杰出的數(shù)學著作之一。《四元玉鑒》成書于大德七年（公元1303年），共三卷，二十四門，二百八十八問，介紹了朱世杰在多元高次方程組的解法棗“四元術”、高階等差級數(shù)的計算棗“垛積術”以及“招差術”（有限差分）等方面的研究成果。
秦、李、楊、朱的數(shù)學著作內(nèi)容廣泛而艱深，象高次方程的數(shù)值解法、天元術、四元術、大衍求一術、垛積術和招差術等，都是具有世界意義的學術成就，分別比歐洲要早出現(xiàn)四百年到八百年，在當時世界上居于遙遙領先的地位。這一豐富多彩的輝煌時期在我國數(shù)學史上也是罕見的。
朱世杰的“四元術”是在高次方程的數(shù)值解法以及“天元術”的基礎上發(fā)展起來的。當未知數(shù)不止一個的時候，除設未知數(shù)天元（χ）外，還需要增設地元（y）、人元（z）乃至物元（u），再列寫出二元、三元甚至四元的
高次聯(lián)立方程組，然后求解。這就是朱世杰在他的著作中所介紹的“四元術”。朱世杰不僅提出了多元（最多到四元）高次聯(lián)立方程組的算籌擺置記述方法，而且把《九章算術》等書中四元一次聯(lián)立方程解法推廣到四元高次聯(lián)立方程，在歐洲，解聯(lián)立一次方程開始于十六世紀，關于多元高次聯(lián)立方程的研究還是十八、十九世紀的事。
朱世杰還把三角垛公式引用到“招差術”上，指出招差公式中的各項系數(shù)恰好依次是各三角垛的積，這樣就得到了包含有四次差的招差公式，并且可以推廣為包含任意高次差的招差公式，這在世界數(shù)學史上是第一次，比歐洲牛頓的同樣成就要早近四個世紀。除了“四元消法”和“垛積招差”以外，朱世杰在他的著作中還提出了許多值得注意的內(nèi)容：在中國數(shù)學史上，朱世杰第一次正式提出了正負數(shù)乘法的正確法則。他對球體表面積的計算問題作了探討，這是我國古代數(shù)學典籍中唯一的一次討論。雖然結(jié)論不很正確，但是他的創(chuàng)新精神是可貴的。在《算學啟蒙》中，朱世杰記載了完整的“九歸除法”口訣，和現(xiàn)在流傳的珠算歸除口訣幾乎完全一致。
總之，朱世杰繼承和發(fā)展了前人的數(shù)學成就，為推進我國古代數(shù)學的發(fā)展做出了不可磨滅的重要貢獻。由于朱世杰和其他同時代數(shù)學家的共同努力，使宋、元時期的數(shù)學水平達到光輝的高度，在很多方面居于世界前列。朱世杰不愧是我國乃至世界數(shù)學史上負有盛名的數(shù)學家。
《算學啟蒙》
中國元代數(shù)學家朱世杰撰，元大德三年（1299）刻于揚州，此刊已不存。
本書包括了從乘除法運算及其捷算法到開方、天元術、方程術等當時數(shù)學各方面的內(nèi)容，由淺入深，形成了一
個較完整的體系。正文前，列出了九九歌訣、歸除歌訣、斤兩化零歌、籌算識位制度、大小數(shù)進位法、度量衡制度、圓周諸率、正負數(shù)加減乘法法則、開方法則等18條作為總括，作為全書的預備知識，其中正負數(shù)乘法法則不僅在中國數(shù)學著作中，在世界上也是首次出現(xiàn)。許多歌訣比楊輝的更加完整準確，有的已與現(xiàn)代珠算口訣幾乎完全一致。這是中國數(shù)學著作中第一次出現(xiàn)的與現(xiàn)今一致的口訣。本書的正文分3卷，20門，259問。卷上8門，113問，包括各種乘除捷算法和歌訣的應用題，以及各種比例算法。
許多問題反映了元代的社會經(jīng)濟情況。卷中7門，71問，是面積、體積及各種算術問題。卷下5門，75問，是關于分數(shù)運算、垛積（即高階等差級數(shù)求和）、盈不足術、線性方程組解法、天元術及增乘開方法等問題。還處理了開方過程中系數(shù)變號的問題。
《算學啟蒙》是一部很好的數(shù)學教材，它把當時的初級和中級數(shù)學知識從乘除口訣開始，包括面積、體積、比
例、開方、高次方程、天元術等，有例題，有方法，分門別類，由淺入深，循序漸進，自成系統(tǒng)，確是一部很好的數(shù)學啟蒙讀物。此書曾傳至朝鮮、日本，朝鮮有李朝世宗十五年（1433）的慶州府刻本，清順治十七年（1660）金州府尹金始振翻刻。清羅士琳諸人聞此書，遂請人于北京尋獲金刻本，道光十九年(1839)由阮元作序，在揚州刊刻，后來諸版皆依此。
關于朱世杰的生平，流傳下來的資料甚少，僅能從趙城、莫若、祖頤等人為他的著作《算學啟蒙》和《四元玉
鑒》所寫的序言中找到一些線索．這些序言均稱“燕山松庭朱君”、“燕山朱漢卿先生”．在《四元玉鑒》每卷之首也均署名為“寓燕松庭朱世杰漢卿編述”，可見他的籍貫當在現(xiàn)在的北京或其附近．莫若序中有“燕山松庭朱先生以數(shù)學名家周游湖海二十余年矣．四方之來學者日眾，先生遂發(fā)明《九章》之妙，以淑后學，為書三卷……名曰《四元玉鑒》”，祖頤后序中亦有“漢卿，名世杰，松庭其自號也．周流四方，復游廣陵，踵門而學者云集……．
”這兩篇序均寫于元大德七年(1303)，以莫若序中所說的“以數(shù)學名家周游湖海二十余年矣”來推算，朱世杰從事數(shù)學教學和數(shù)學研究的年代當在13世紀末和14世紀初．
1234年蒙古聯(lián)宋滅金之后，又經(jīng)過40余年，至1276年才攻占了南宋的都城臨安，1279年南宋滅亡．
朱世杰的青少年時代，大約相當于蒙古滅金之后．但早在滅金之前，蒙古軍隊便已攻占了金的中都(今北京，
是1215年攻占的)．元世祖忽必烈繼位之后，為便于對中原地區(qū)的攻略，便遷都于此地，改稱燕京，后又改稱為大
都．到13世紀60年代，燕京不只是重要的政治中心，同時也是重要的文化中心．
忽必烈為了鞏固元朝的統(tǒng)治，網(wǎng)羅了一大批漢族的知識分子作為智囊團．其中有以編制《授時歷》聞名的王恂
(1235-1281)、郭守敬(1231—1316)以及編制歷法的倡導者和主持者劉秉忠(1216—1274)、張文謙(1216—1283)、
許衡(1209—1281)等人．這個集團中的人物，對數(shù)學和歷法都很精通．他們未入朝之前，曾隱居于河北南部的武安紫金山中．受到忽必烈禮聘的，還有李治(1192—1279)，他也是一位著名的數(shù)學家．
就當時的數(shù)學發(fā)展情況而論，在13世紀中葉，在河北南部和山西南部地區(qū)，出現(xiàn)了一個以“天元術”(一種帶
有中國古代數(shù)學特點的代數(shù)學)為代表的數(shù)學研究中心．按祖頤在“《四元玉鑒》后序”中敘述天元術發(fā)展情況時
所說：“平陽(今山西臨汾)蔣周撰《益古》，博陸(今河北蠡縣)李文一撰《照膽》，鹿泉(今河北獲鹿)石信道撰《鈐經(jīng)》，平水(今山西新絳)劉汝諧撰《如積釋鎖》，絳人(今山西新絳)元裕細草之，后人始知有天元也．平陽李德載因撰《兩儀群英集臻》兼有地元，霍山(今山西臨汾)邢先生頌不高弟劉大鑒潤夫撰《乾坤括囊》末僅有人元二問吾友燕山朱漢卿先生演數(shù)有年，探三才之賾，索《九章》之隱，按天地人物成立四元……．”這段序文敘述出朱世杰學術上的師承關系．毫無疑問，他較好地繼承了當時北方數(shù)學的主要成就．當時的北方，正處于天元術逐漸發(fā)
展成為二元、三元術的重要時期，正是朱世杰把這一成就拓展為四元術的．
朱世杰除繼承和發(fā)展了北方的數(shù)學成就之外，還吸收了當時南方的數(shù)學成就——各種日用、商用數(shù)學和口訣、
歌訣等．本來，在元滅南宋之前，南北之間的數(shù)學交流是比較少的．朱世杰“周流四方，復游廣陵(今揚州)”應是在1276年元軍對南宋的大規(guī)模軍事行動結(jié)束之后．朱世杰在經(jīng)過長期游學、講學之后，終于在1299年和1303年在揚州刊刻了他的兩部數(shù)學著作——《算學啟蒙》和《四元玉鑒》．隋唐以來，中原地區(qū)經(jīng)濟中心和文化中心逐漸南移．長江中下游一帶，五代十國時期就比較穩(wěn)定，北宋時期也
有較大發(fā)展．隨著金兵入侵和宋王朝的南遷，江南地區(qū)的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)和城市建設等都有較大發(fā)展．在這樣的社會條件下，中國數(shù)學中自晚唐以來不斷發(fā)展的簡化籌算的趨勢有了進一步的發(fā)展，日用數(shù)學和商用數(shù)學更加普及．南宋時楊輝的著作可以作為這一傾向的代表，而朱世杰所著的《算學啟蒙》，則是這一傾向的繼承和發(fā)展．
當然，以所取得的成就而論，《四元玉鑒》是遠超《算學啟蒙》的．清代羅士琳在評論朱世杰的數(shù)學成就時說
：“漢卿在宋元間，與秦道古(九韶)、李仁卿(冶)可稱鼎足而三．道古正負開方，仁卿天元如積，皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類盡量，神而明之，尤超越乎秦李之上”(羅士琳編《疇人傳·續(xù)編·朱世杰條》)．清代另一位數(shù)學家王鑒也說：“朱松庭先生兼秦李之所長，成一家之著作”(王鑒《算學啟蒙述義·自序》)．此外，朱世杰還繼承發(fā)展了日用、商用數(shù)學．由此可見，朱世杰可以被看作是中國宋元時期數(shù)學發(fā)展的總結(jié)性人物，是宋元數(shù)學的代表，是中國以籌算為主要計算工具的古代數(shù)學發(fā)展的預峰．
朱世杰的數(shù)學著作，如前所述，有《算學啟蒙》、《四元玉鑒》二種，下面略加評介．
1．《算學啟蒙》
《算學啟蒙》全書共3卷、分為20門，收入了259個數(shù)學問題．全書由淺入深，從整數(shù)的四則運算直至開高次方
、天元術等，包括了當時已有的數(shù)學各方面內(nèi)容，形成了一個較完備的體系，可用作教材，它確實是一部較好的啟蒙數(shù)學書．
在全書之首，朱世杰首先給出了18條常用的數(shù)學歌訣和各種常用的數(shù)學常數(shù)．其中包括：乘法九九歌訣、除法
九歸歌訣(與后來的珠算歸除口訣完全相同)、斤兩化零歌訣(“一退六二五”之類)、籌算記數(shù)法則、大小數(shù)名稱、度量衡換算、面積單位、正負數(shù)的四則運算法則、開方法等等．值得指出的是，朱世杰在這里，也是在中國數(shù)學史上首次記述了正負數(shù)的乘除運算法則．朱世杰把上述這些歌訣和數(shù)學常數(shù)等，作為“總括”而列在全書之首，這種寫作的方式，在中國古算書中并不多見．
《算學啟蒙》正文分上、中、下三卷．
卷上：共分為8門，收有數(shù)學問題113個，其內(nèi)容為：乘數(shù)為一位數(shù)的乘法、乘數(shù)首位數(shù)為一的乘法、多位數(shù)乘
法、首位除數(shù)為一的除法、多位除數(shù)的除法、各種比例問題(包括計算利息、稅收等等)．
其中“庫司解稅門”第7問題記有“今有稅務法則三十貫納稅一貫”，同門第10、11兩問中均載有“兩務稅”
等，都是當時實際施行的稅制．朱世杰在書中的自注中也常寫有“而今有之”、“而今市舶司有之”等等，可見書中的各種數(shù)據(jù)大都來自當時的社會實際．因此，書中提到的物價(包括地價)、水稻單位面積產(chǎn)量等，對了解元代社會的經(jīng)濟情況也是有用的．
卷中：共7門，71問．內(nèi)容有各種田畝面積、倉窖容積、工程土方、復雜的比例計算等等．
卷下：共5門，75問．內(nèi)容包括各種分數(shù)計算、垛和問題、盈不足算法、一次方程解法、天元術等等．
這樣，《算學啟蒙》全書從簡單的四則運算入手，一直講述到當時數(shù)學的重要成就——天元術(高次方程的數(shù)值解法)，為閱讀《四元玉鑒》作了必要的準備，給出了各種預備知識．清代羅士琳說《算學啟蒙》“似淺實深”，又說《算學啟蒙》、《四元玉鑒》二書“相為表里”，這些話都是不錯的．
《算學啟蒙》出版后不久即流傳至朝鮮和日本．在朝鮮的李朝時期，《算學啟蒙》和《詳明算法》、《楊輝算法》一道被作為李朝選仕(算官)的基本書籍．在日本收藏有一部首尾殘缺、未注明年代的《算學啟蒙》，與此書一起，同時也藏有一部宣德八年(即李朝世宗十五年，1433)朝鮮慶州府刻版的《楊輝算法》．從版刻形式等方面來辨識，兩部書是相同的，從而有人推斷這部《算學啟蒙》也是1433年朝鮮慶州府刻本．這可能要算是當今世界上最早的傳世刻本．在《李朝實錄》中也記有世宗本人曾向當時的副提學鄭麟趾學習《算學啟蒙》的史料．《算學啟蒙》傳入日本的時間也已不可考，是久田玄哲在京都的一個寺院中發(fā)現(xiàn)了這部書，之后他的學生土師
道云進行了翻刻(日本萬治元年，1658，京都)．寬文12年(1672)又在江戶(今東京)出版了星野實宣注解的《新編算學啟蒙注解》3卷，元祿三年(1690)還出版了著名的和算家建部賢弘注釋的《算學啟蒙諺解大成》7卷．《算學啟蒙》對日本和算的發(fā)展有較大的影響．
《算學啟蒙》一書在朝鮮和日本雖屢有翻刻，但明末以來，在中國國內(nèi)卻失傳了．清末道光年間羅士琳重新翻刻《四元玉鑒》時，《算學啟蒙》尚無著落．后來羅士琳“聞朝鮮以是書為算科取士”，請人在北京找到順治十七
年(1660)朝鮮全州府尹金始振所刻的翻刻本，1839年在揚州重新刊印出版．這個本子，后來成為中國現(xiàn)存各種版本的母本．清代對《算學啟蒙》進行注釋的有王鑒所著《算學啟蒙述義》(1884)和徐鳳誥所著《算學啟蒙通釋》(1887)．
2．《四元玉鑒》
與《算學啟蒙》相比，《四元玉鑒》則可以說是朱世杰闡述自己多年研究成果的一部力著．全書共分3卷，24
門，288問．書中所有問題都與求解方程或求解方程組有關，其中四元的問題(需設立四個未知數(shù)者)有7問(“四象朝元”6問，“假令四草”1問)；三元者13問(“三才變通”11問，“或問歌彖”和“假令四草”各1問)；二元者36問(“兩儀合轍”12問，“左右逢元”21問，“或問歌彖”2問，“假令四草”1問)；一元者232問(其余各問皆為一元)．可見，四元術——多元高次方程組的解法是《四元玉鑒》的主要內(nèi)容，也是全書的主要成就．
《四元玉鑒》中的另一項突出的成就是關于高階等差級數(shù)的求和問題．在此基礎上，朱世杰還進一步解決了高
次差的招差法問題．
四元玉鑒》一書的流傳和《算學啟蒙》一樣，也曾幾經(jīng)波折．這部1303年初版的著作，在15和16兩個世紀都
還可以找到它流傳的線索．吳敬所著《九章算法比類大全》(1450)中的一些算題，和《四元玉鑒》中的算題完全相同或部分相同．顧應祥在其所著《孤矢算術》序言(1552)中寫道：“孤矢一術，古今算法載者絕少，……《四元玉鑒》所載數(shù)條?！敝苁鰧W所著《神道大編歷宗算會》卷三之首曾引用了《四元玉鑒》書首的各種圖式，書中有些算題也與《四元玉鑒》相同，卷十四作為“算會圣賢”列有“松庭《四元玉鑒》”．可見顧周二人都曾讀到過《四元玉鑒》．清初黃虞稷(1618—1683)《千頃堂書目》記有“《四元玉鑒》二卷”，卷數(shù)不符．梅瑴成《赤水遺珍》(1761)中曾引用過《四元玉鑒》中的兩個題目，可見清初時此書尚未失傳．
乾隆三十七年(1772)開《四庫全書》館時，雖然挖掘出不少古代數(shù)學典籍，但朱世杰的著作并未被收入．阮元
、李銳等人編纂《疇人傳》時(1799)也尚未發(fā)現(xiàn)《四元玉鑒》．但不久之后阮元即在浙江訪得此書，呈入《四庫全書》，并把抄本交李銳校算(未校完)，后由何元錫按此抄本刻?。@是1303年《四元玉鑒》初版以來的第一個重刻本．《四元玉鑒》被重新“發(fā)現(xiàn)”之后，引起了當時許多學者的注意，如李銳(1768-1817)、沈欽裴(1829年寫有《四元玉鑒》序)、徐有壬(1800—1860)、羅士琳(1789—1853)、戴煦(1805-1860)等人，都進行過研究．其中，以沈欽裴和羅士琳二人的工作最為突出．
1839年羅士琳經(jīng)多年研究之后，出版了他所著的《四元玉鑒細草》一書，影響廣泛．羅氏對《四元玉鑒》進行
了校改并對書中每一問題都作了細草．但是他對此書關鍵問題(四元消法和級數(shù)求和)的理解，尚有需進一步研究者．與羅士琳同時，沈欽裴也對《四元玉鑒》作了精心的研究，每題也作了細草，經(jīng)對比，沈氏《細草》比羅氏《細草》要更符合朱世杰原意．沈氏《細草》僅有兩種抄本傳世(其中一種是全本)，現(xiàn)均收藏于北京圖書館．
清代數(shù)學家李善蘭曾著有《四元解》(1845)，但此書是作者以己意解四元方程組，對了解朱世杰原意幫助不大
．其后陳棠著《四元消法簡易草》(1899)，卷末附有“假令四草”的“補正草”，對理解朱世杰四元術是有幫助的．日本數(shù)學史家三上義夫在其所著《中國及日本數(shù)學之發(fā)展》(ThedevelopmentofmathematicsinChinaandJapan，1913)一書中將《四元玉鑒》介紹至國外．其后康南茲(E．L．Konantz)和赫師慎(L．VanHeé分別把《四元玉鑒》中的“假令四草”譯為英法兩種文字．1977年華裔新西蘭人謝元祚(J．Hoe)將《四元玉鑒》全文譯成法文，并寫了關于《四元玉鑒》的論文．
朱世杰的數(shù)學成就可簡述如下：
1．四元術
四元術是在天元術基礎上逐漸發(fā)展而成的．天元術是一元高次方程列方程的方法．天元術開頭處總要有“立天
元一為××”之類的話，這相當于現(xiàn)代初等代數(shù)學中的“設未知數(shù)x為××”．四元術是多元高次方程列方程和解
方程的方法，未知數(shù)最多時可至四個．四元術開頭處總要有“立天元一為××，地元一為○○，入元一為△△，物元一為**”，即相當于現(xiàn)代的“設x，y，z，為××，○○，△△，**”．天元術是用一個豎列的籌式依次表示未知數(shù)(x)的各次冪的系數(shù)的，而四元術則是天元術的推廣．按莫若為《四元玉鑒》所寫的序言所記述，四元式則是“其法以元氣居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，陰陽升降，進退左右，互通變化，錯綜無窮”，此即在中間擺入常數(shù)項(元氣居中)，常數(shù)項下依次列入x各次冪的系數(shù)。左邊列y，y2，y3，…各項系數(shù)，右邊為z，z2，z3，…各項系數(shù)，上邊為u，u2，u3，…各項系數(shù)，而把xy，yz，zu，…，x2y，y2z，z2u，…各項系數(shù)依次置入相應位置中(如圖1)．例如：x＋y＋z＋u=0，即可以下列籌式表示(如圖2)．而(x y z u)2=A，即可以圖3所示之籌式表示之，即將(x＋y Z＋u)2=x2 y2＋z2＋u2＋2xy＋2xz 2xu 2yz 2yu 2zu中的2xy，2yz…等記入相應的格子中，而將不相鄰的兩個未知數(shù)的乘積如2xu，2yz的系數(shù)記入夾縫處，以示區(qū)
別．圖3即是《四元玉鑒》書首給出的“四元自乘演段之圖”(為了方便，我們用現(xiàn)代通用的阿拉伯數(shù)碼代替了原圖中的算籌)．如此記寫的四元式，既可表示一個多項式，也可以表示一個方程．
四元式的四則運算如下進行．
(1)加、減：使兩個四元式的常數(shù)項對準常數(shù)項，之后再將相應位置上的兩個系數(shù)相加、減即可．
(2)乘：
1)以未知數(shù)的整次冪乘另一四元式，如以刀，x，x2，x3，…乘四元式，則等于以該項系數(shù)乘整個四元式各項
再將整個四元式下降，以x乘則下降一格，x2乘則下降二格．以y的各次冪乘則向左移，以z乘則右移，以u乘則上升．
2)二個四元式相乘：以甲式中每項乘乙式各項，再將乘得之各式相加．
(3)除(僅限于用未知數(shù)的整次冪來除)：等于以該項系數(shù)除四元式各項系數(shù)之后，整個四元式再上、下、左、
右移動．
上述四則運算也就是莫若《四元玉鑒》序言中所說的“陰陽升降，進退左右，互通變化，錯綜無窮”．在當時
中國數(shù)學尚缺少數(shù)學符號的情況下，朱世杰利用中國古代的算籌能夠進行如此復雜的運算，實屬難能可貴．
朱世杰四元術精彩之處還在于消去法，即將多元高次方程組依次消元，最后只余下一個未知數(shù)，從而解決了整
個方程組的求解問題．其步驟可簡述如下：
1)二元二行式的消法例如“假令四草”中“三才運元”一問，最后得出如下圖的兩個二元二行式，這相當于求解或?qū)⑵鋵懗筛话愕男问狡渲蠥0，B1和A1，B0分別等于算籌圖式中的“內(nèi)二行”和“外二行”，都是只含z而不含x的多項式．朱世杰解決這些二元二行式的消去法即是“內(nèi)二行相乘、外二行相乘，相消”．也就是F(z)=A0B1-A1B0=0．
此時F(z)只含z，不含其他未知數(shù)．解之，即可得出z之值，代入上式任何一式中，再解一次只含x的方程即可
求出x．
2)二元多行式的消法不論行數(shù)多少，例如3行，則可歸結(jié)為以A2乘(2)式中B2x2以外各項，再以B2乘(1)式中A2x2以外各項，相消得C1x C0=0．(3)以x乘(3)式各項再與(1)或(2)聯(lián)立，消去x2項，可得D1x D0=0．
(4)(3)，(4)兩式已是二元二行式，依前所述即可求解．
3)三元式和四元式消法
如在三元方程組中(如下列二式)欲消去y：
式中諸Ai，Bi均只含x，z不含y．(5)，(6)式稍作變化即有以A0，B0與二式括號中多項式交互相乘，相消得
C1y＋C0=0．(9)(9)式再與(7)，(8)式中任何一式聯(lián)立，相消之后可得D1y＋D0=0．(10)
(9)，(10)聯(lián)立再消去y，最后得E=0，(11)
E中即只含x，z．再另取一組三元式，依法相消得F＝0．(12)(11)，(12)只含兩個未知數(shù)，可依前法聯(lián)立，再消去一個未知數(shù)，即可得出一個只含一個未知數(shù)的方程，消去
法步驟即告完成．
以上乃是利用現(xiàn)代數(shù)學符號化簡之后進行介紹的，實際上整個運算步驟都是用中國古代所特有的計算工具算籌
列成籌式進行的，雖然繁復，但條理明晰，步驟井然．它不但是中國古代籌算代數(shù)學的最高成就，而且在全世界，在13—14世紀之際，也是最高的成就．顯而易見，在一個平面上擺列籌式，未知數(shù)不能超過四元，這也是朱世杰四元術的局限所在．在歐洲，直到18世紀，繼法國的E．貝祖(Béout，17779)之后又有英國的J．J．西爾維斯特(Sylvester，184
0)和A．凱萊(Cay-ley，1852)等人應用近代方法對消去法進行了較全面的研究．
2．高階等差級數(shù)求和
在中國古代，自宋代起便有了關于高階等差級數(shù)求和問題的研究．在沈括(1031—1095)和楊輝的著作．(1261
—1275)中，都有各種垛積問題，這些垛積問題有一些就是高階等差級數(shù)問題．另外，在歷法計算過程中，特別是
在計算太陽在黃道上的精確位置時，要用到內(nèi)插法．在宋代歷法中，已經(jīng)考慮并用到三次差的內(nèi)插法．這也是一種高階等差級數(shù)的求和問題．
朱世杰在《四元玉鑒》中又把這一問題的研究進一步深化．
據(jù)研究，朱世杰已經(jīng)掌握了如下一串三角垛的公式，即
茭草垛
三角垛
撒星形垛
三角撒星形垛
(又稱“撒星更落一形垛”)
三角撒星更落一形垛從中不難看出前垛的求和結(jié)果恰好是后垛的一般項，即前垛的各層累計的和剛好是后垛中的一層，因此朱世杰常把后一種垛積稱為前一垛積的“落一形垛”．這串公式可用一個公式來表達，即當p=1，2，3，4，5時．(A)式就是上述五個公式．
除(A)式之外，朱世杰還已掌握了當P=1時稱為四角垛，即當P=2時稱為嵐峰形垛，即當P=3時稱為三角嵐峰形垛，即當然，《四元玉鑒》中也還有一些其他類型的垛積問題．
由于朱世杰已經(jīng)掌握了公式(A)，掌握了一串三角垛公式，這使他有可能超越前人，提出高次招插法公式，從
而有可能解決任何一類高階等差級數(shù)的求和問題．《四元玉鑒》“如象招數(shù)”門最后一問中提出了一個需用四次差(即四次差相等，五次差等于0)的招差問題．如以現(xiàn)代符號記述，以△1，△2，△3，△4表示一差、二差、三差和四差，朱世杰相當于給出了招插公式：
這是一個有關計算招兵人數(shù)的問題．朱世杰的解法是“求兵者：今招為上積，又今招減一為茭草底子積為二積
，又今招減二為三角底子積為三積，又今招減三為三角落一積為下積，以各差乘各積，四位并之，即招兵數(shù)也”，所描述的剛好就是上述公式．因為朱世杰指出了上述公式各項的系數(shù)，剛好依次是一串三角垛的“積”，從這一點出發(fā)不難推斷朱世杰是可
以將其推廣至任意高次的高階等差級數(shù)和招差問題上去的．在西方，是J．格雷戈里(Gregory，1638—1675)最先對招插法進行了研究，直到牛頓的著作(1676，1678)中才
出現(xiàn)了關于招插術的一般公式．當然牛頓的公式采取了近代數(shù)學的形式，而且用途廣泛，但朱世杰的首創(chuàng)之功也是不可泯滅的．
朱世杰在數(shù)學方面的貢獻并不局限于上述兩點，例如《算學啟蒙》中所列各種歌訣、口訣(包括除法口訣)均已
十分齊備，這為計算工具由籌算到珠算的過渡創(chuàng)造了條件．但四元術和高階等差級數(shù)求和問題兩方面的成就，仍顯得十分突出，由于這兩方面成就的出現(xiàn)，使得高度發(fā)展了的宋元時期的中國數(shù)學，更放異彩．
清代數(shù)學家王鑒說，朱世杰“兼秦(九韶)、李(冶)之所長”，羅士琳也說他是“尤超越乎秦、李之上”．清代
末年還有人評論說“中法以《四元玉鑒》為詣極之書”．20世紀美國著名的科學史家G．薩頓(Sarton，1884—1956)評價朱世杰是“漢民族的，他所生存的時代的，同時也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學家”，說《四元玉鑒》“是中國數(shù)學著作中最重要的一部，同時也是中世紀最杰出的數(shù)學著作之一”．如此之高的評價，朱世杰和他的著作都是當之無愧的．
朱世杰
“燕山朱松庭先生”，是我國元朝時代的一位杰出的數(shù)學家。所寫的《四元玉鑒》和《算學啟蒙》，是我國古
代數(shù)學發(fā)展進程中的一個重要的里程碑，是我國古代數(shù)學的一份寶貴的遺產(chǎn)。
朱世杰的青少年時代，正相當于蒙古軍滅金之后。但在滅金之前，中都（即今之北京）便于1215年被成吉思汗
攻占。
元世祖忽必烈繼汗位之后，于1264年（至1266年）為便于統(tǒng)治中原地區(qū)的人民，遷都燕京（后改稱大都，亦即
今之北京）到了13世紀60年代燕京不只是全國的政治中心，而且也是當時全國重要的文化中心，特別是北方的一個文化中心。
忽必烈為了元朝的統(tǒng)治，曾網(wǎng)羅了一大批漢族的知識分子充作智囊團。其中就著名的有王恂（1235—1281）、
郭守敬（1231—1279）、李冶（1192—1279）等人，這個智囊團中的人物，對數(shù)學和歷法都很精通，他們未入朝前曾隱于河北省南部武安紫金山中。
13世紀中葉，在現(xiàn)在的河北省的南部地區(qū)和山西省的南部地區(qū)，出現(xiàn)了一個以天元術為其代表的數(shù)學研究中心
。除上述武安的紫金山和李冶元氏封龍山外，山西臨汾的蔣周，河北蠡縣的李文一，河北獲鹿的石信道等人都在研究天元術。朱世杰也繼承了北方數(shù)學的主要成就——天元術，并將其由二元、三元推廣至四元方程組的解法。
朱世杰除了接受北方的數(shù)學成就之外，他也吸收了南方的數(shù)學成就，尤其是各種日用算法、商用算術和通俗化的歌訣等等。
在元滅南宋以前，南北之間的交往，特別是學術上的交往幾乎是斷絕的。南方的數(shù)學家對北方的天元術毫無所知，而北方的數(shù)學家也很少受到南方的影響。朱世杰曾“周游四方”，莫若（古代數(shù)學家）序中有“燕山松庭朱先生以數(shù)學名家周游湖海二十余年矣。四方之來學者日眾，先生遂發(fā)明《九章》之妙，以淑后圖學，為書三卷……名曰《四元玉鑒》”，祖頤后序中亦有“漢卿名世杰，松庭其自號也。周流四方，復游廣陵，踵門而學者云集”。經(jīng)過長期的游學、講學等活動，終于在1299年和1303年，在揚州，刊刻了他的兩部數(shù)學杰作——《算學啟蒙》和《四元玉鑒》。楊輝書中的歸除歌訣在朱世杰所著《算學啟蒙》中有了進一步的發(fā)展。
清羅士琳認為：“漢卿在宋元間，與秦道古（即秦九韶）、李仁卿可稱鼎足而三。道古正負開方，漢卿天元如積皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類盡量，神而明之，尤超越乎秦、李之上”。清代數(shù)學家王鑒也說：“朱松庭先生兼秦、李之所長，成一家之著作”。朱世杰全面繼承了并創(chuàng)造性地發(fā)揚了天元術、正負開方法等秦、李書中所載的數(shù)學成就之外，還囊括了楊輝書中的日用、商用、歸除歌訣之類與當時社會生活密切相關的各種算法，并作了新的發(fā)展。
由此看來，在朱世杰的工作中，不僅有高次方程的解法，天元術等為代表的北方數(shù)學的成就，也包括了楊輝工作中所體現(xiàn)出來的日用，商用算法以及各種歌訣等南方數(shù)學的成就，不僅繼承了中國古代數(shù)學的光輝遺產(chǎn)，而且又作了創(chuàng)作性的發(fā)展。朱世杰的工作，在一定意義上講，可以看作是宋元數(shù)學的代表，可以看作是古代籌算系統(tǒng)發(fā)展的頂峰。就連西方資產(chǎn)階級學者們也不能否認這一點，喬治·薩頓說：朱世杰“是漢族的，他所生存的時代的，同時也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學家”，說《四元玉鑒》“是中國數(shù)學著作中最重要的一部，同時也是中世紀最杰出的數(shù)學著作之一”。朱世杰以他自己的杰出著作，把中國古代數(shù)學推向更高的境界，為中國古代數(shù)學的光輝史冊，增加了新的篇章，形成了宋代中國數(shù)學發(fā)展的最高峰。
朱世杰朱世杰字漢卿，號松庭，元朝人，籍貫燕山（今北京附近）。他長期從事數(shù)學研究和教育事業(yè)，以數(shù)學名家周
游湖海二十多年，四方登門來學習的人很多。
朱世杰全面繼承了秦九韶（約公元1202－1261年，他的主要著作是《數(shù)書九章》）、李冶（公元1192－1279年，主要著作是《測圓海鏡》和《益古演段》。）、楊輝（著有《詳解九章算法》十二卷《日用算法》二卷、《乘除通變算寶》三卷、《田畝比類乘除捷法》二卷、《續(xù)古摘奇算法》二卷等）三人的數(shù)學成就和各種實用算法，而且創(chuàng)造性地予以發(fā)展，寫出《算學啟蒙》三卷、《四元玉鑒》三卷等著名著作，把我國古代數(shù)學推向更高的境界，形成宋、元時期中國數(shù)學的最高峰。
《算學啟蒙》是朱世杰在元成宗大德三年（公元1299年）刊印的，全書分三卷，二十門，總計二百五十九個問題和相應的解答。自乘除運算起，一直講到當時數(shù)學發(fā)展的最高成就“天元術”，全面介紹了當時數(shù)學所包含的各方面內(nèi)容。它的體系完整，內(nèi)容深入淺出，通俗易懂，是一部很著名的啟蒙讀物。這部著作后來流傳到了朝鮮、日本等國，出版過翻刻本和注釋本，產(chǎn)生過一定的影響?！端脑耔b》更是一部成就輝煌的數(shù)學名著。它受到近代數(shù)學史研究者的高度評價，認為是中國數(shù)學著作中最
重要的一部，同時也是中世紀最杰出的數(shù)學著作之一。《四元玉鑒》成書于大德七年（公元1303年），共三卷，二十四門，二百八十八問，介紹了朱世杰在多元高次方程組的解法棗“四元術”、高階等差級數(shù)的計算棗“垛積術”以及“招差術”（有限差分）等方面的研究成果。
秦、李、楊、朱的數(shù)學著作內(nèi)容廣泛而艱深，象高次方程的數(shù)值解法、天元術、四元術、大衍求一術、垛積術和招差術等，都是具有世界意義的學術成就，分別比歐洲要早出現(xiàn)四百年到八百年，在當時世界上居于遙遙領先的地位。這一豐富多彩的輝煌時期在我國數(shù)學史上也是罕見的。
朱世杰的“四元術”是在高次方程的數(shù)值解法以及“天元術”的基礎上發(fā)展起來的。當未知數(shù)不止一個的時候，除設未知數(shù)天元（χ）外，還需要增設地元（y）、人元（z）乃至物元（u），再列寫出二元、三元甚至四元的
高次聯(lián)立方程組，然后求解。這就是朱世杰在他的著作中所介紹的“四元術”。朱世杰不僅提出了多元（最多到四元）高次聯(lián)立方程組的算籌擺置記述方法，而且把《九章算術》等書中四元一次聯(lián)立方程解法推廣到四元高次聯(lián)立方程，在歐洲，解聯(lián)立一次方程開始于十六世紀，關于多元高次聯(lián)立方程的研究還是十八、十九世紀的事。
朱世杰還把三角垛公式引用到“招差術”上，指出招差公式中的各項系數(shù)恰好依次是各三角垛的積，這樣就得到了包含有四次差的招差公式，并且可以推廣為包含任意高次差的招差公式，這在世界數(shù)學史上是第一次，比歐洲牛頓的同樣成就要早近四個世紀。除了“四元消法”和“垛積招差”以外，朱世杰在他的著作中還提出了許多值得注意的內(nèi)容：在中國數(shù)學史上，朱世杰第一次正式提出了正負數(shù)乘法的正確法則。他對球體表面積的計算問題作了探討，這是我國古代數(shù)學典籍中唯一的一次討論。雖然結(jié)論不很正確，但是他的創(chuàng)新精神是可貴的。在《算學啟蒙》中，朱世杰記載了完整的“九歸除法”口訣，和現(xiàn)在流傳的珠算歸除口訣幾乎完全一致。
總之，朱世杰繼承和發(fā)展了前人的數(shù)學成就，為推進我國古代數(shù)學的發(fā)展做出了不可磨滅的重要貢獻。由于朱世杰和其他同時代數(shù)學家的共同努力，使宋、元時期的數(shù)學水平達到光輝的高度，在很多方面居于世界前列。朱世杰不愧是我國乃至世界數(shù)學史上負有盛名的數(shù)學家。
《算學啟蒙》
中國元代數(shù)學家朱世杰撰，元大德三年（1299）刻于揚州，此刊已不存。
本書包括了從乘除法運算及其捷算法到開方、天元術、方程術等當時數(shù)學各方面的內(nèi)容，由淺入深，形成了一
個較完整的體系。正文前，列出了九九歌訣、歸除歌訣、斤兩化零歌、籌算識位制度、大小數(shù)進位法、度量衡制度、圓周諸率、正負數(shù)加減乘法法則、開方法則等18條作為總括，作為全書的預備知識，其中正負數(shù)乘法法則不僅在中國數(shù)學著作中，在世界上也是首次出現(xiàn)。許多歌訣比楊輝的更加完整準確，有的已與現(xiàn)代珠算口訣幾乎完全一致。這是中國數(shù)學著作中第一次出現(xiàn)的與現(xiàn)今一致的口訣。本書的正文分3卷，20門，259問。卷上8門，113問，包括各種乘除捷算法和歌訣的應用題，以及各種比例算法。
許多問題反映了元代的社會經(jīng)濟情況。卷中7門，71問，是面積、體積及各種算術問題。卷下5門，75問，是關于分數(shù)運算、垛積（即高階等差級數(shù)求和）、盈不足術、線性方程組解法、天元術及增乘開方法等問題。還處理了開方過程中系數(shù)變號的問題。
《算學啟蒙》是一部很好的數(shù)學教材，它把當時的初級和中級數(shù)學知識從乘除口訣開始，包括面積、體積、比
例、開方、高次方程、天元術等，有例題，有方法，分門別類，由淺入深，循序漸進，自成系統(tǒng)，確是一部很好的數(shù)學啟蒙讀物。此書曾傳至朝鮮、日本，朝鮮有李朝世宗十五年（1433）的慶州府刻本，清順治十七年（1660）金州府尹金始振翻刻。清羅士琳諸人聞此書，遂請人于北京尋獲金刻本，道光十九年(1839)由阮元作序，在揚州刊刻，后來諸版皆依此。
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