欽定四庫(kù)全書(shū) 子部六
測(cè)圓海鏡 天文算法類二【算書(shū)之屬】提要
【臣】等謹(jǐn)案測(cè)圓海鏡十二卷元李冶撰冶字鏡齋欒城人金末登進(jìn)士入元官翰林學(xué)士事跡具元史本傳其書(shū)以勾股容圓為題自圓心圓外縱橫取之得大小十五形皆無(wú)竒零次列識(shí)別雜記數(shù)百條以窮其理次設(shè)問(wèn)一百七十則以盡其用探賾索隱參伍錯(cuò)綜雖習(xí)其法者不能驟解而其草多言立天元一按立天元一法見(jiàn)扵宋秦九韶九章大衍術(shù)中厥后授時(shí)草及四元玉鑒等書(shū)皆屢見(jiàn)之而此書(shū)言之獨(dú)詳其法關(guān)乎數(shù)學(xué)者甚大然自元以來(lái)疇人皆株守立成習(xí)而不察至遂無(wú)知其法者故唐順之與頋應(yīng)祥書(shū)稱立天元一漫不省為何語(yǔ)頋應(yīng)祥演是書(shū)為分類釋術(shù)其自序亦云立天元一無(wú)下手之術(shù)則是書(shū)雖存而其傳已泯矣明萬(wàn)厯中利瑪竇與徐光啟李之?等譯為同文算指諸書(shū)扵古九章皆有辨訂獨(dú)于立天元一法闕而不言徐光啟扵勾股義序中引此書(shū)又謂欲説其義而未遑是此書(shū)已為利瑪竇所見(jiàn)而猶未得其解也迨我
國(guó)朝醲化翔洽梯航鱗萃歐邏巴人始以借根方法進(jìn)
呈
圣祖仁皇帝授
蒙養(yǎng)齋諸臣習(xí)之梅防成乃悟即古立天元一法扵赤水遺珍中詳解之且載西名阿爾熱巴拉【案原本作阿爾熱巴逹謹(jǐn)據(jù)西洋借根法改正】即華言東來(lái)法知即冶之遺書(shū)流入西域又轉(zhuǎn)而還入中原也今用以勘騐西法一一脗合瑴成所説信而有徴特錄存之以為算法之秘鑰且以見(jiàn)中法西法互發(fā)益明無(wú)容設(shè)畛域之見(jiàn)焉乾隆四十六年二月恭校上
總纂官【臣】紀(jì)昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅
總 ?!」佟 境肌俊£憽≠M(fèi) 墀
原序
數(shù)本難窮吾欲以力強(qiáng)窮之彼其數(shù)不惟不能得其凡而吾之力且憊矣然則數(shù)果不可以窮耶既已名之?dāng)?shù)矣則又何為而不可窮也故謂數(shù)為難窮斯可謂數(shù)為不可窮斯不可何則彼其冥冥之中固有昭昭者存夫昭昭者其自然之?dāng)?shù)也非自然之?dāng)?shù)其自然之理也數(shù)一出于自然吾欲以力強(qiáng)窮之使隸首復(fù)生亦末如之何也已茍能推自然之理以明自然之?dāng)?shù)則雖逺而干端坤倪幽而神情鬼狀未有不合者矣予自幼喜算數(shù)恒病夫考圓之術(shù)例出于牽強(qiáng)殊乖于自然如古率徽率密率之不同截弧截矢截背之互見(jiàn)內(nèi)外諸角析剖支條莫不各自名家與世作法及反覆研究卒無(wú)以當(dāng)吾心焉老大以來(lái)得洞淵九容之說(shuō)日夕玩繹而向之病我者使爆然落去而無(wú)遺余山中多暇客有從余求其說(shuō)者于是乎又為衍之遂累一百七十問(wèn)既成編客復(fù)目之測(cè)圓海鏡蓋取夫天臨海鏡之義也昔半山老人集唐百家詩(shī)選自謂廢日力于此良可惜明道先生以上蔡謝君記誦為玩物喪志夫文史尚矣猶之為不足貴況九九賤技能乎嗜好酸咸平生每痛自戒勅竟莫能已類有物慿之者吾亦不知其然而然也故嘗私為之解曰由技兼于事者言之夷之禮夔之樂(lè)亦不免為一技由技進(jìn)乎道者言之石之斤扁之輪非圣人之所與乎覽吾之編察吾苦心其憫我者當(dāng)百數(shù)其笑我者當(dāng)千數(shù)乃若吾之所自得則自得焉耳寧復(fù)為人憫笑計(jì)哉李冶序
總率名號(hào)
天之地為通? 天之干為通股
干之地為通勾
天之川為邊? 天之西為邊股
西之川為邊勾
日之地為底? 日之北為底股
北之地為底勾
天之山為黃廣? 天之金為股
金之山為勾
月之地為黃長(zhǎng)? 月之泉為股
泉之地為勾
天之日為上髙? 天之旦為股
旦之日為勾
日之山為下髙? 日之朱為股
朱之山為勾
月之川為上平? 月之青為股
青之川為勾
川之地為下平? 川之夕為股
夕之地為勾
天之月為大差? 天之坤為股
坤之月為勾
山之地為小差? 山之艮為股
艮之地為勾
日之川為皇極? 日之心為股
心之川為勾
月之山為太虛? 月之水為股
水之山為勾
日之月為明? 日之南為股
南之月為勾
山之川為□? 山之東為股
東之川為勾
今問(wèn)正數(shù)
通?六百八十 勾三百二十 股六百
勾股和九百二十較二百八十
勾?和一千較三百六十
股?和一千二百八十較八十
?較和九百六十較四百
?和和一千六百較二百四十
邊?五百四十四 勾二百五十六 股四百八十勾股和七百三十六較二百二十四
勾?和八百較二百八十八
股?和一千零二十四較六十四
?較和七百六十八較三百二十
?和和一千二百八十較一百九十二
底?四百二十五 勾二百 股三百七十五勾股和五百七十五較一百七十五
勾?和六百二十五較二百二十五
股?和八百較五十
?較和六百較二百五十
?和和一千較一百五十
黃廣?五百一十 勾二百四十【即城徑也】 股四百五十
勾股和六百九十較二百一十
勾?和七百五十較二百七十
股?和九百六十較六十
?較和七百二十較三百
?和和一千二百較一百八十
黃長(zhǎng)?二百七十二 勾一百二十八 股二百四十【即城徑也】
勾股和三百六十八較一百一十二
勾?和四百較一百四十四
股?和五百一十二較三十二
?較和三百八十四較一百六十
?和和六百四十較九十六
髙?二百五十五【上下同】 勾一百二十【即半徑】 股二百二十五
勾股和三百四十五較一百零五
勾?和三百七十五較一百三十五
股?和四百八十較三十
?較和三百六十較一百五十
?和和六百較九十
平?一百三十六【上下同】 勾六十四 股一百二十【即半徑也】
勾股和一百八十四較五十六
勾?和二百較七十二
股?和二百五十六較十六
?較和一百九十二較八十
?和和三百二十較四十八
大差?四百零八 勾一百九十二 股三百六十勾股和五百五十二較一百六十八
勾?和六百較二百一十六
股?和七百六十八較四十八
?較和五百七十六較二百四十
?和和九百六十較一百四十四
小差?一百七十 勾八十 股一百五十
勾股和二百三十較七十
勾?和二百五十較九十
股?和三百二十較二十
?較和二百四十較一百
?和和四百較六十
皇極?二百八十九 勾一百三十六 股二百五十五
勾股和三百九十一較一百一十九
勾?和四百二十五較一百五十三
股?和五百四十四較三十四
?較和四百零八較一百七十
?和和六百八十較一百零二
太虛?一百零二 勾四十八 股九十
勾股和一百三十八較四十二
勾?和一百五十較五十四
股?和一百九十二較一十二
?較和一百四十四較六十
?和和二百四十較三十六
明?一百五十三 勾七十二 股一百三十五勾股和二百零七較六十三
勾?和二百二十五較八十一
股?和二百八十八較一十八
?較和二百一十六較九十
?和和三百六十較五十四
□?三十四 勾十六 股三十
勾股和四十六較一十四
勾?和五十較一十八
股?和六十四較四
?較和四十八較二十
?和和八十較十二
識(shí)別雜記
天之于日與日之于心同心之于川與川之于地同日之于心與日之于山同故以山之川為小差 川之于心與川之于月同故以月之日為大差
明勾□股相得名為內(nèi)率求虛積 明股□勾相得名為外率求虛積 虛勾虛股相得名為虛率求虛積
凡勾股和即?黃和 凡大差即股黃較 凡小差即勾黃較
髙股平勾差名角差【又】名逺差此數(shù)即髙平二差共也又為明和□和較也【又】為通差內(nèi)去極差【又】為極差虛差共 明□二差共名次差【又】名近差【又】名戾【音列】和此數(shù)【又】為明大差□小差較也 勾圓差之股股圓差之勾相并名混同和此數(shù)【又】為一徑一虛?共也 明□二差較名傍差此數(shù)又為髙平二差較【又】為極雙差內(nèi)減虛和【又】為極和內(nèi)減城徑也 虛差不及傍差名蓌差此數(shù)又為大差差內(nèi)去角差【又】為極差內(nèi)去二之平差【又】為次差內(nèi)去小差差【又】為明股□勾共內(nèi)去二之明勾也 虛差傍差共為蓌和【蓌音剉】
凡大差股小差勾相乘為半段徑冪 大差勾小差股相乘亦同上 虛勾乗大股得半段徑冪 虛股乘大勾亦同上 邊股□股相乘得半徑冪明勾底勾相乘亦同上 黃廣股黃長(zhǎng)勾相乗得徑冪 髙股平勾相乗得半徑冪 明?明股并與□?□勾并相乘得半徑冪 明?明勾并與□?□股并相乘亦同上 髙?平?相乘為一段皇極積 明勾□股相乘倍之為一段太虛積明股□勾相乘亦同
右諸雜名目
通?上勾股和即一城徑一通?也其較即勾圓差之勾股圓差之股相較也 勾?和即二勾一大差其較則大差也 股?和即二股一小差其較則小差也 ?較和為一徑三差共其較則大勾小差共也 三事和即邊?三事和上帶大勾也【又】為底?三事和上帶大股也其較則城徑也
邊?上勾股和為通股平?共其較則大差股內(nèi)去平?也 勾?和即通股底勾共其較則明股明?共也 股?和即通股通?和內(nèi)少個(gè)邊勾也其較則平勾也 ?較和為大差上股?和其較則大勾也 三事和即通?上股?和【又】為黃廣三事和上帶勾圓差也其較則大差勾也【又】為平?上?較和【又】為太虛?上股?和也
底?上勾股和為通勾髙?共其較則髙?內(nèi)去小差勾也 勾?和為通?上?較較與髙股共其較則髙股也 股?和為半個(gè)通?上三事和其較則□?上勾?和也 ?較和為大差上勾?和也其較則小差上勾?和也 三事和即通?上勾?和【又】為黃長(zhǎng)三事和上帶股圓差其較則小差股也【又】為髙?上?較較【又】為太虛?上勾?和
黃廣?上勾股和為大股虛股共【又】為通勾通股共內(nèi)少個(gè)小差上勾股和其較則兩個(gè)髙差也 勾?和為二髙?一圓徑共其較則二明股也 股?和為通?上?較和其較則二□股也 ?較和即兩個(gè)大差股也其較即兩個(gè)小差股也 三事和兩大股也其較則兩虛股也
黃長(zhǎng)?上勾股和為大勾虛勾共【又】為通和內(nèi)少個(gè)大差上勾股和也其較則兩個(gè)平差也 勾?和為通?上?較較其較則兩個(gè)明勾也 股?和為二圓徑二□勾其較則二□勾也 ?較和為兩個(gè)大差勾也其較則兩個(gè)小差勾也 三事和為兩大勾其較則兩虛勾也
髙?上勾股和為髙?虛股共【又】為一徑及髙勾髙股差也其較則底?內(nèi)減大勾也【又】為邊股內(nèi)減底股也 勾?共則底股其較則明股也 股?共即邊股其差則□股也 ?較共則大差股其較則小差股也 三事和即大股其較則虛股也【又】為小差上勾?較【又】為明?上?較較
平?上勾股共即平?虛勾共也其較則大股內(nèi)減邊?也 勾?共即底勾其差則明勾也 股?共即邊勾其較則□勾也 ?較共即大差勾其較則小差勾也 三事和即大勾其較則虛勾也【又】為大差上股?較【又】為□?上?較和
大差上勾股和即大股內(nèi)去虛勾其差則大差?內(nèi)去圓徑也 ?勾共即大股其差則大差股內(nèi)去二之明勾也 股?和為大股上加個(gè)大中差也【按大中差乃明股?和與半徑之較】其較則虛勾也 ?較和為兩個(gè)邊?上勾?較其較即城徑也 三事和即大股與股圓差共【又】為大?大較共【又】為二邊股其較則太虛上?較和也
小差上勾股和即大勾內(nèi)去虛股也其較則圓徑內(nèi)去小差?也 勾?和為大勾上減個(gè)小中差也【按小中差乃□勾?和與半徑之較】其較則虛股也 股?共即大勾其較則小差勾內(nèi)去兩個(gè)□股也 ?較和為圓徑其較則為兩個(gè)底?上股?較【又】為兩個(gè)□?上勾?和也 三事和即大勾與勾圓差共也又為大?大較較【按即通?又上?較較】為二底勾其較則太虛上?較較也
皇極勾股和即髙?平?共其較則明股內(nèi)去□勾也 勾?共即底?其較則明?也 股?共則邊?其較則□?也 ?較和為髙?明?共【又】為大股內(nèi)減大差勾【又】為大差?其較則小差?也 三事和即通?其較則太虛?也【又】為明勾□股共【又】為髙?內(nèi)減明?【又】為平?內(nèi)減□?【又】為大差勾上減虛股【又】為小差股上減虛勾也
太虛勾股和即圓徑內(nèi)減虛?【又】為虛?虛黃方共【又】為皇極?內(nèi)去明股□勾共其差則大差勾內(nèi)減個(gè)小差股也 勾?共即小差股也其較則虛股內(nèi)減個(gè)小黃方也 股?共即大差勾其較則虛勾內(nèi)減個(gè)小黃方也 ?較和為大差?上?和較【又】黃長(zhǎng)?上勾?較【又】為兩個(gè)明勾其較小差?上黃方面也 三事和即大黃方其較則為兩個(gè)明?上股?較【又】為□?上兩個(gè)勾?較【又】為明?上小差與□?上大差共也
明?勾股和即大差股內(nèi)減明?其較則明?內(nèi)減虛股也 勾?并即髙股其較則髙股內(nèi)少二之明勾也 股?和即邊股內(nèi)減大差勾【又】為邊勾邊?差其較則半個(gè)虛黃方也 ?較和即大差上勾?較其較則虛股也 三事和即股圓差其較則太虛上勾?較【又】為虛股內(nèi)減虛黃方也
□?上勾股和即小差內(nèi)減□?其較則虛勾內(nèi)減□?也 勾?和即底勾內(nèi)減小差股【又】為底股底?差其較則半個(gè)虛黃方也 股?和即平勾其較則平勾內(nèi)少二個(gè)□股也 ?較和即虛勾其較則小差上股?較也 三事和即勾圓差其較則太虛上股?較【又】為虛勾內(nèi)減虛黃方也
前黃廣勾股下 其勾股較【又】為大差股上少個(gè)小差股【又】為中差【按中差系通勾股較】?jī)?nèi)少個(gè)小差較【又】為黃廣股內(nèi)少一徑 勾?共【又】為兩個(gè)底股【又】為大股與小差股共 股?和【又】為大?中差共【又】為兩個(gè)邊股 股?差【又】為小差上黃方面
前黃長(zhǎng)勾股下 其勾股較【又】為大差勾上少個(gè)小差勾也【又】為圓徑內(nèi)少個(gè)黃長(zhǎng)勾 勾?共【又】為兩個(gè)底勾【又】為大勾與小差勾共 勾?較【又】為大差上黃方靣 股?共【又】為兩個(gè)邊勾
右五和五較
大?為大勾與股圓差共【又】為大股與勾圓差共邊?乃邊股平勾共【又】為大股內(nèi)減平?上勾股較 底?乃底勾髙股共【又】為大勾內(nèi)加一個(gè)髙差 黃廣?為大股內(nèi)減虛股【又】為邊股□股共黃長(zhǎng)?乃大勾內(nèi)減虛勾【又】為底勾明勾共
髙?乃大差?內(nèi)減明?【又】為明?虛?共 平?乃小差?內(nèi)減□?【又】為□?虛?共 大差?乃大股內(nèi)減大差勾【又】為髙?明?共【又】大?內(nèi)去黃長(zhǎng)? 小差?為大勾內(nèi)減小差股【又】為平?□?共【又】為大?內(nèi)去黃廣? 極?乃髙股平勾共【又】為平?明?共【又】為髙?□?共【又】為大差?內(nèi)減髙平二?較【又】為小差?內(nèi)加髙平二?較 虛?乃皇極黃方靣【又】為明勾□股共【又】為髙?內(nèi)減明?【又】為平?內(nèi)減□? 明?乃髙?內(nèi)減虛? □?乃平?內(nèi)減虛?
黃廣?黃長(zhǎng)?相并為大?虛?共也以此數(shù)減于大和余即虛和 若以二?相減余即虛?平?共也【按虛?平?共此題數(shù)偶合當(dāng)云二極差】 黃廣?【又】為大差?虛?共 黃長(zhǎng)?【又】為小差?虛?共 以黃長(zhǎng)?減于大勾余即虛勾 以黃廣?減于大股余即虛股
邊?底?相并為大?皇極?共也于此并數(shù)內(nèi)減大和余為皇極?內(nèi)減圓徑也 若以二?相減余即皇極差也此數(shù)同者最多故【又】為皇極?內(nèi)少個(gè)小差?【又】為髙?平?較【又】為明股內(nèi)少□勾【又】為大差?內(nèi)少皇極?【又】為次差虛差共也邊?【又】為皇極股?共【又】為黃廣?□?共
底?【又】為皇極勾?共【又】為黃長(zhǎng)?明?共也以邊?減大股余為半徑內(nèi)減平勾【又】為平?內(nèi)減小差勾也 底?內(nèi)減大勾余為髙股內(nèi)減半徑【又】為大差股內(nèi)減髙?也
黃廣?內(nèi)減邊股即□股 黃長(zhǎng)?內(nèi)減底勾即明勾也
髙?髙股共即邊股 平?平勾共即底勾 髙?髙勾共即底股 平?平股共即邊勾
上髙?減于通股余即邊股內(nèi)減□股也 下平?減于通勾余即邊勾內(nèi)減明勾也 髙?平?相并即大?內(nèi)少個(gè)皇極?也若以相并數(shù)減于大和余為皇極?圓徑共也 髙?平?相減余即皇極差也【又】為皇極?上減小差?也若以相減數(shù)卻加于相并數(shù)即黃廣?也
髙?內(nèi)減明股得半徑 平?內(nèi)減□勾亦同上皇極勾上加明?為皇極? 皇極股上加□?亦同上
皇極? 得極勾即底? 得極股即邊? 內(nèi)去極勾即明? 去極股即□? 減于通?即極和 得虛?亦同上 內(nèi)去虛?即明?□?共去虛黃即明和□和共也 去城徑即傍差
內(nèi)加極差即大差? 去極差即小差? 加角差即兩個(gè)髙股 減角差即二平勾
太虛? 加入極?為極和 極?內(nèi)去之即明□二?共 再去之則明大差□小差并也 加于大差?即黃廣? 加于小差?即黃長(zhǎng)? 內(nèi)去明勾則□勾 加明勾為圓徑內(nèi)少虛黃□股共 加入明股為明和□股共 減于明股即明較內(nèi)去□股 加入明?為極股 減于明?為明大差□小差內(nèi)少個(gè)□? 加于明和即兩個(gè)虛?一個(gè)髙差共也 減于明和即髙差也 內(nèi)去□勾即明勾□較共【又】為□股平差共 加于□勾即□和明勾共 加于□股為二虛?內(nèi)少明勾【又】為圓徑內(nèi)少虛黃明勾共 內(nèi)減□股即明勾 內(nèi)加□?即極勾 減于□?為明勾內(nèi)少個(gè)□小差 加入□和即兩個(gè)虛?內(nèi)少個(gè)平差也 內(nèi)減□和即平差也 加入明□二和共即極和內(nèi)少個(gè)虛黃也 若減于明□二和共即明股□勾共也 減于髙?即明?減于平?即□?加于角差即二明勾一極差也 減于角差即一極差二□股較也 得傍差即明股□勾共內(nèi)減傍差即太虛三事和內(nèi)去了極雙差也【按雙】
【差系勾?差股?差】 內(nèi)加虛差即二明勾 內(nèi)減虛差即二□股 內(nèi)加虛黃方即虛和 內(nèi)減虛黃方即太虛大小差并也
右諸?
大差?小差?共即兩個(gè)極?也以兩個(gè)極差為之較 大差差小差差共即兩個(gè)極差也以兩個(gè)傍差為之較 大差上大差小差上大差共即兩個(gè)明?也以兩個(gè)明差為之較 大差上小差小差上小差共即兩個(gè)□?也以兩個(gè)□差為之較大差黃【按即二明勾】小差黃【按即二□股】數(shù)共即兩個(gè)極黃【按即二虛?】也以兩個(gè)虛差為之較 大差勾小差勾共即兩個(gè)極勾也以兩個(gè)平差為之較 大差股小差股共即兩個(gè)極股也以兩個(gè)髙差為之較二和共為二極和以二角差為之較
大差上?較較即圓徑 小差上?較和亦同上大差上小差即虛勾 小差上大差即虛股也大差?與明勾共即邊股 小差?與□股共即底勾也 大差?內(nèi)減中差即黃長(zhǎng)勾【按勾應(yīng)作股】小差?內(nèi)加中差即黃廣股也【按股應(yīng)作勾】大股內(nèi)減小差股即黃廣股 大勾內(nèi)減大差勾即黃長(zhǎng)勾也虛?得虛股即大差勾 虛?得虛勾即小差
股也 明段?較和即大差上勾?較 明段?較較即小差上勾?較也 □段?較和即大差上股?較 □段?較較即小差上股?較也大差勾內(nèi)減虛?余即虛股 小差股內(nèi)減虛?余即虛勾也 以大差和減大股即虛勾 以小差和減大勾即虛股也 以大差差減圓徑即明勾此差若多于圓徑則內(nèi)減圓徑余即虛勾也【按此條因題數(shù)偶合而誤若勾股差甚大甚小者皆不能合】 以小差差減圓徑即小差?也 大差?上加一徑即大股上加虛勾也 小差?上加一徑即大勾上加虛股也大差股內(nèi)減髙?余即髙股內(nèi)減半徑 平?內(nèi)減小差勾余即半徑內(nèi)減平勾也 大差內(nèi)減虛差即二明差 小差內(nèi)減虛差即二□差也
大?內(nèi)減大差股小差勾共即圓徑 三事和內(nèi)減二之大差股小差勾共即三個(gè)圓徑也
大差勾小差股相并名混同即一圓徑一虛?也若以相減即虛差也
大差和小差和二數(shù)相并即大?虛?共也 二數(shù)相減即中差虛差共也【又】半之并數(shù)即為極?虛?共也【又】為髙?平?共【又】為皇極勾股共也
大差差小差差二數(shù)相并即兩個(gè)皇極差【又】為大差?內(nèi)減小差?也 二數(shù)相減而半之即是皇極?上減圓徑也【即傍差】
右大小差
大差差小差差虛差共為一個(gè)通差 髙平極三差共亦同上 明□虛三差共為一個(gè)極差也 諸黃方面亦仿此
邊黃內(nèi)減底黃即虛差 黃廣黃內(nèi)減黃長(zhǎng)黃即二虛差 髙黃內(nèi)減平黃即虛差蓋髙黃即虛股平黃即虛勾也 大差黃內(nèi)減小差黃即二虛差蓋大差黃即二明勾小差黃即二□股也 明黃內(nèi)減□黃余即虛差 □?上三差合成一個(gè)虛黃方
髙差內(nèi)減平差為傍差 邊差內(nèi)減底差亦同上明差內(nèi)減□差亦同上 大差差內(nèi)減小差差為二旁差 黃廣差內(nèi)減黃長(zhǎng)差亦同上
極雙差即明□二?共 內(nèi)加虛雙差即明□二和共 內(nèi)減虛雙差即明雙差□雙差共也 內(nèi)加旁差即極?內(nèi)少個(gè)虛?旁差差 內(nèi)減旁差即虛和也 內(nèi)加虛差即極?內(nèi)少二□股 內(nèi)減虛差則極?內(nèi)少二明勾也
極差內(nèi)加旁差為大差差 內(nèi)減旁差為小差差也內(nèi)加虛差即角差 內(nèi)減虛差即次差也 倍
極差為大差差小差差共則倍旁差為之較 倍極?為大差?小差?共倍極差為之較 以極差為明差平差共則以蓌差為之較 以極差為髙差□差共則以蓌和為之較 副置蓌和上加蓌差而半之即旁差也 減蓌差而半之則虛差也 極差內(nèi)減二之平差得蓌差
角差內(nèi)加旁差為二髙差 內(nèi)減旁差即二平差也內(nèi)加明□二差并而半之得極差 內(nèi)減明□
二差而半之則虛差也 內(nèi)加極差則通差 內(nèi)減極差則虛差也
以虛差減于明和為明□二股共 以虛差加于□和為明□二勾共也 又副置二和共上加次差而半之即明□二股共 減次差而半之即明□二勾共也 明□二股共以髙差為之較 明□二勾共以平差為之較
以髙差減明和即虛? 以平差加□和亦同上以髙差減髙股即半徑 以平差加平勾亦同上以髙差減大差差即明差 以平差減小差差
即□差也 以髙差減大差即髙? 以平差加小差即平?也 二之平差內(nèi)去虛差余即小差差 去二虛差即兩個(gè)□差
髙股即半徑上股方差 平勾即半徑上勾方差故髙勾平股共為全徑也 黃廣股即全徑上股方差 黃長(zhǎng)勾即全徑上勾方差 故黃廣勾黃長(zhǎng)股共數(shù)為兩個(gè)全徑也
邊?內(nèi)減底?即皇極差 邊股內(nèi)減底股即髙差【又】為底?內(nèi)減大勾 邊勾內(nèi)減底勾即平差【又】為大股內(nèi)減邊?也
大勾減底?余即半徑為勾之中差也 大股內(nèi)減邊?余即半徑為股之中差也 邊股底勾相并即大? 若以相減即通中差也
二髙股一虛差合成一個(gè)股圓差 二平勾一虛差合成一個(gè)勾圓差【按此二條誤當(dāng)云二明股一虛股合成一個(gè)股圓差 二□勾一虛勾合成一個(gè)勾圓差也】
明雙差亦為明□二大差其較則明差也 □雙差亦為明□二小差其較則□差也 明雙差內(nèi)減明差即虛黃 □雙差上加□差亦同上 以明雙差加明和即兩明? 以□雙差加□和則兩□?也 以明雙差減明和而半之即明黃【又】為虛大差 以□雙差減于□和而半之即□黃【又】為虛小差也 以虛大差減明和即為明? 以虛小差減□和即□?也 明雙差□雙差相較則次差也 明雙差□雙差相并加于明□二和共則為兩個(gè)極雙差 若以減于明□二和共則為兩個(gè)虛雙差也 明雙差上加虛雙差即明□二股共 □雙差上加虛雙即明□二勾共也
以明□二股共為明?□黃共則髙差虛黃共為之較【按明?又□黃較】為明大小差虛大小差共則明□二股共內(nèi)去兩個(gè)虛雙差為之較也【按明大小差虛大小差之較】以明□二勾共為□?明黃共則以平差虛黃
較為之較【又】為□大小差虛大小差共則明□二勾共內(nèi)減兩個(gè)虛大小差為之較也【按虛大小差□大小差之較】
明□二和共內(nèi)減旁差即二虛? 虛?內(nèi)加旁差明股□勾共也
明和內(nèi)去平差即明股□勾共 □和上加髙差亦同上也 明和內(nèi)去髙差即虛? □和上加平差亦同上 明?內(nèi)去髙差即虛勾 □?上加平差即虛股也 明股內(nèi)去□股即髙差 去□勾則極差也 明勾內(nèi)去□股即虛差 去□勾則平差也
明□二股并內(nèi)減虛?即明差 明□二勾并減于虛?即□差
明□二和共【又】為明□二?共與明□二黃共數(shù)也其較則明雙差□雙差共數(shù)也 其明□二和共數(shù)內(nèi)減旁差即二虛?也 若內(nèi)減虛雙差即明□二?共也
極?得極差為大差?大差?內(nèi)減明和則髙?內(nèi)減虛大差也 內(nèi)減極差則為小差?小差?內(nèi)減□和則是平?內(nèi)減虛小差也 又大差?內(nèi)減明和與髙股共余則為虛勾不及明勾數(shù) 小差?內(nèi)減□和與平勾共余則為□股不及虛股數(shù)也
右諸差
邊勾邊股差【又】為皇極差與髙差共也【又】為邊?內(nèi)去大勾也 邊勾邊?共【又】為大勾邊股共 邊勾邊?較【又】為大差?內(nèi)減半徑也 邊股邊?較【又】為□股?和
底勾底股差【又】為皇極差平差共【又】為大股內(nèi)去底?【又】為髙股內(nèi)去底小差 底勾底?共為大?內(nèi)少個(gè)底股大勾差 底勾底?較【又】為明?上勾弦和 底股底?共與邊勾邊?共同 底股底?較【又】為底勾內(nèi)少小差股也
邊股內(nèi)減髙?余則髙股 內(nèi)減大差?余則明勾內(nèi)減底?即底股內(nèi)減大勾也【又】為髙?內(nèi)減
底勾也
底勾內(nèi)減平?余即平勾 內(nèi)減小差?余即□股以底勾減于邊?余即大股內(nèi)減邊勾也【又】為
邊股內(nèi)減平?也
邊?內(nèi)減底股與底?內(nèi)減邊勾同為皇極?內(nèi)減半徑也
皇極勾內(nèi)減明勾余即平勾也若減□勾即半徑也倍之則為底勾明勾共 皇極股內(nèi)減□股余即髙股也若減明股余即半徑也倍之則為邊股□股共也
明股得虛股即髙股 明勾得虛勾即半徑 □股得虛股即半徑 □勾得虛勾即平勾也 髙?內(nèi)減髙股即□股 平?內(nèi)減平勾即明勾也明?內(nèi)減明差即虛股 □?內(nèi)加□差即虛勾也 髙股即虛明二股共 平勾即虛□二勾共也 明?明勾并數(shù)與髙股同 □?□股并數(shù)與平勾同也
明股□勾相倂減于極?即虛和【又】為極黃虛黃共數(shù)也
明□二?并 內(nèi)減□雙差即明□二股并 內(nèi)減明雙差即明□二勾并 內(nèi)加虛?即極? 內(nèi)減虛?即明大差□小差并也
以明和為明?明黃共則明雙差為之較 以□和為□?□黃共則□雙差為之較也 明和【又】為髙差虛?共【又】為極差與明□二勾共數(shù) □和【又】為平差少于虛?數(shù)【又】為極差少于明□二股數(shù)
半之三事和內(nèi)加半黃方即勾股共 若減之則?也 半圓徑內(nèi)加半虛黃即虛和 減半虛黃即虛?也【又】以半虛黃加明和即髙股以半虛黃加□和即平勾也 加明股則明? 加□股則□?也 減明勾則明黃 減□股則□黃也 以虛黃加明黃則為虛股 以加□黃則虛勾也
右諸率?見(jiàn)
髙?□?共為極?其差即虛?極差共也 髙股□股共為髙?其差即虛股髙差共也 髙勾□勾共為平?其差即半徑內(nèi)減□勾也 髙和□和共為極和其差即極和內(nèi)少二□和也 髙差□差共為極差其差即虛差旁差共也 髙黃□黃共為虛?其差即□黃不及虛股數(shù)也【髙黃即虛股】髙大差□大差共即明?其差即半虛黃不及明股數(shù)也此髙大差即明股此□大差即半虛黃也髙小差【即□股】□小差共即□?其差即□小差
不及□股數(shù)也 明平二?共亦為極?其較即虛?不及極差數(shù)也 明平二股共亦為髙?其較即明股內(nèi)減半徑也 明平二勾共亦為平?其較即平差內(nèi)去虛勾也 明平二和共亦為極和其較即極和內(nèi)少二之平和也 明平二差共亦為極差其較即虛差不及旁差數(shù)也 明平二黃共亦為虛?其較則虛勾【按虛勾即平黃】不及明黃數(shù)也 明平二大差共亦為明?其較即明勾不及明大差數(shù)【平大差即明勾】 明平二小差共亦為□?其較則□勾不及半虛黃數(shù)也此明小差即半虛黃此平小差即□勾
右四位相套
邊? 自減其股為平勾 自減其勾為明股明?并 減于通?余平? 減于通股余平差 內(nèi)減通勾余邊差 內(nèi)減底?余極差 內(nèi)減底股為半徑旁差共【又】為極?內(nèi)少半徑 內(nèi)減底勾即大股內(nèi)去邊勾也 內(nèi)減黃廣?余□? 內(nèi)減黃廣股即小差股內(nèi)去平差 內(nèi)減黃廣勾即大差股內(nèi)去平差 內(nèi)減黃長(zhǎng)?【又】得黃長(zhǎng)?【按此條誤】 內(nèi)減黃長(zhǎng)股與內(nèi)減黃廣勾同 內(nèi)減黃長(zhǎng)勾即大股內(nèi)去極勾虛勾共 內(nèi)減皇極?余髙?
底? 自減其股為□勾□?并 自減其勾為髙股 減于通?余髙? 減于通股余底差 內(nèi)減通勾余髙差 減于邊?余極差 減于邊股即底差內(nèi)去半徑 內(nèi)減邊勾即髙差平勾共減于黃廣?余為明大差□小差并【按此條亦系數(shù)偶合】減于黃廣股即底差內(nèi)去小差股 內(nèi)減黃廣勾即一個(gè)明?一個(gè)黃長(zhǎng)股?較 內(nèi)減去黃長(zhǎng)?余明? 內(nèi)減黃長(zhǎng)股與內(nèi)減黃廣勾同 內(nèi)減黃長(zhǎng)勾余為髙股明勾共 內(nèi)減極?為平?減于邊股【又】為底股內(nèi)去大勾
髙差平差共【又】為平勾髙股差 以半徑減髙股即髙差 半徑內(nèi)減平勾即平差 明勾內(nèi)減□勾與平差同 明股內(nèi)減□股與髙差同 股圓差內(nèi)減極股即髙差也 勾圓差減于極勾即平差正股內(nèi)去邊?即平差也 底?內(nèi)去正勾即
髙差也 大差勾內(nèi)去極勾即平差也 極股內(nèi)去小差股即髙差也 極差內(nèi)去□差即髙差也內(nèi)去明差即平差也
旁差即城徑極?較也【又】為明差□差較【又】為髙差平差較 極差得之為大差差也去之則為小差差也
又髙差平差下 明和內(nèi)去虛?即髙差 虛?內(nèi)去□和即平差
大差?內(nèi)加虛差即黃廣股 小差股內(nèi)減虛差即黃長(zhǎng)勾
通差內(nèi)去髙差即底差 內(nèi)去平差即邊差也虛大差得二虛勾即勾圓差之股 虛小差得二虛股即股圓差之勾也
明股?較與勾共即虛股也 □勾?較與股共即虛勾也
半虛黃 □勾得之即□?也減于此數(shù)即虛黃內(nèi)去□?也 □股得之虛勾也去之即□黃方也□?得之即平勾內(nèi)去□黃也去之則□勾也明勾內(nèi)得之即虛股也去之則明黃方也 明
股得之即明?也去之則明?內(nèi)去個(gè)虛黃方也明?得之即髙股內(nèi)去明黃也去之則明股也右拾遺
按識(shí)別雜記約五百條皆隨時(shí)録其所得未經(jīng)審定者故難易淺深不拘先后要皆精思妙義足以開(kāi)示數(shù)理之蘊(yùn)奧者徐光啟亟?新法而于勾股義中獨(dú)推是書(shū)其必有所見(jiàn)矣
測(cè)圓海鏡卷一
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷二
元 李冶 撰
正率一十四問(wèn)
假令有圓城一所不知周徑四面開(kāi)門(mén)門(mén)外縱橫各有十字大道其西北十字道頭定為干地其東北十字道頭定為艮地其東南十字道頭定為防地其西南十字道頭定為坤地所有測(cè)望雜法一一設(shè)問(wèn)如后
或問(wèn)甲乙二人俱在干地乙東行三百二十步而立甲南行六百步望見(jiàn)乙問(wèn)徑幾里
答曰城徑二百四十步
法曰此為勾股容圓也以勾股相乗倍之為實(shí)并勾股冪以求?復(fù)加入勾股共以為法
草曰置甲南行六百步在地以乙東行三百二十步乘之得一十九萬(wàn)二千步倍之得三十八萬(wàn)四千步為實(shí)以乙東行步自之得一十萬(wàn)零二千四百步為勾冪以甲南行步自之得三十六萬(wàn)步為股冪二冪相并得四十六萬(wàn)二千四百步為?方實(shí)以平方開(kāi)之得六百八十步則?也以?加勾股共共得一千六百步以為法如法而一得二百四十步則城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人俱在西門(mén)乙東行二百五十六步甲南行四百八十步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰此為勾上容圓也以勾股相乘倍之為實(shí)并勾股冪以求?加入股以為法
草曰置甲南行四百八十步在地以乙東行二百五十六步乘之得一十二萬(wàn)二千八百八十步倍之得二十四萬(wàn)五千七百六十步為實(shí)以乙東行步自之得六萬(wàn)五千五百三十六步為勾冪以甲南行步自之得二十三萬(wàn)零四百步為股冪勾股冪相并得二十九萬(wàn)五千九百三十六步為?方實(shí)以平方開(kāi)之得五百四十四步為?也以加入南行步共得一千零二十四步以為法而一得二百四十步則城徑合問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人俱在北門(mén)乙東行二百步而止甲南行三百七十五步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰此為股上容圓也以勾股相乘倍之為實(shí)以勾股冪求?加入勾以為法
草曰置甲南行三百七十五步以乙東行二百步乘之得七萬(wàn)五千步倍之得一十五萬(wàn)步為實(shí)以乙東行自之得四萬(wàn)步為勾冪以甲南行自之得一十四萬(wàn)零六百二十五步為股冪勾股冪相并得一十八萬(wàn)零六百二十五步為?方實(shí)如平方而一得四百二十五步則?也加入乙東行二百步共得六百二十五步以為法以法除之得二百四十步則城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人俱在圓城中心而立乙穿城向東行一百三十六步而止甲穿城南行二百五十五步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰此為勾股上容圓也以勾股相乘倍之為實(shí)并勾股冪如法求?以為法
草曰以二行步相乘得三萬(wàn)四千六百八十步倍之得六萬(wàn)九千三百六十步為實(shí)置乙東行自之得一萬(wàn)八千四百九十六步為勾冪又以甲南行自之得六萬(wàn)五千零二十五步為股冪二冪相并得八萬(wàn)三千五百二十一步為?方實(shí)以平方開(kāi)之得二百八十九步即?也便以為法如法除實(shí)得二百四十步即圓城之徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人同立于干地乙東行一百八十步遇塔而止甲南行三百六十步回望其塔正居城徑之半問(wèn)答同前
法曰此為?上容圓也以勾股相乘倍之為實(shí)以勾股和為法
草曰以二行步相乘得六萬(wàn)四千八百步倍之得一十二萬(wàn)九千六百步為實(shí)并二行步得五百四十步以為法除實(shí)得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人俱在坤地乙東行一百九十二步而止甲南行三百六十步望乙與城防相直問(wèn)答同前法曰此為勾外容圓也以勾股相乘倍之為實(shí)以?較和為法
草曰以二行步相乘得六萬(wàn)九千一百二十步倍之得一十三萬(wàn)八千二百四十步為實(shí)置乙東行自之得三萬(wàn)六千八百六十四步為勾冪又置甲南行自之得一十二萬(wàn)九千六百步為股冪二冪相并得一十六萬(wàn)六千四百六十四步為?方實(shí)以平方開(kāi)之得四百零八即?也又置甲南行步內(nèi)減乙東行步余一百六十八步即較也以較加?共得五百七十六步以為法實(shí)如法而一得二百四十步為城徑也合問(wèn)
按此題用勾股求得?即可加減得?較較為城徑今必以勾股相乘倍積為實(shí)求得?加減得?較和為法而后始得?較較為城徑者蓋欲因此并明勾股相乘之倍積為?較較?較和相乘之積非故為紆廻也
或問(wèn)甲乙二人同立于艮地甲南行一百五十步而止乙東行八十步望乙與城防相直問(wèn)答同前
法曰此為股外容圓也以勾股相乘倍之為實(shí)以?較較為法
草曰二行步相乘得一萬(wàn)二千倍之得二萬(wàn)四千步為實(shí)以甲南行自之得二萬(wàn)二千五百步為股冪又以乙東行步自之得六千四百步為勾冪勾股冪相并得二萬(wàn)八千九百步為?方實(shí)以平方開(kāi)之得一百七十步即?也以二行步相減余七十步為勾股較也以此較又減?余一百步即?較較也便以為法實(shí)如法而一得二百四十步即城徑也合問(wèn)按此題系?較和為城徑其用法實(shí)以較取和之意與上題同
或問(wèn)甲乙二人同立于防地乙西行四十八步而止甲北行九十步望乙與城防相直問(wèn)答同前
法曰此為?外容圓也勾股相乘倍之為實(shí)以?和較為法
草曰以二行步相乘得四千三百二十步倍之得八千六百四十步為實(shí)以甲北行自之得八千一百步為股冪又以乙西行自之得二千三百零四步為勾冪并二冪得一萬(wàn)零四百零四步為?方實(shí)以平方開(kāi)之得一百零二步為?也又并二行步得一百三十八步為和以?減和余三十六步得黃方以為法實(shí)如法而一得二百四十步即城徑也合問(wèn)
按此題?和和即城徑其以勾股相乘倍積為實(shí)黃方為法者亦以明?和和黃方相乘之積與勾股相乘之倍積為相等也
或問(wèn)甲乙二人俱在南門(mén)乙東行七十二步而止甲南行一百三十五步望乙與城防相直問(wèn)答同前法曰此為勾外容圓半也以勾股相乘倍之為實(shí)以大差為法
草曰以二行步相乘得九千七百二十步倍之得一萬(wàn)九千四百四十步為實(shí)又以乙東行自之得五千一百八十四步為勾冪又以南行自之得一萬(wàn)八千二百二十五步為股冪二冪相并得二萬(wàn)三千四百零九步為?方實(shí)以平方開(kāi)之得一百五十三步即?也以乙東行七十二步為勾以減?余八十一步即勾?差也便以為法實(shí)如法而一得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人俱在東門(mén)甲南行三十步而止乙東行一十六步回望甲與城防相直問(wèn)答同前
法曰此為股外容圓半也以勾股相乘倍之為實(shí)以小差為法
草曰以二行步相乘得四百八十步倍之得九百六十步為實(shí)又以乙東行自之得二百五十六步為勾冪又以甲南行自之得九百步為股冪二冪相并得一千一百五十六步為?方實(shí)以平方開(kāi)之得三十四步即?也以甲南行三十步為股以減?余四步以為法以法除實(shí)得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出西門(mén)南行四百八十步而止乙出東門(mén)南行三十步望見(jiàn)甲問(wèn)答同前
法曰此為半矮梯也以二行步相乘為實(shí)如平方而一得半徑
草曰以二行步相乘得一萬(wàn)四千四百步為實(shí)以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
又問(wèn)甲乙二人乙出南門(mén)折而東行七十二步而止甲出北門(mén)折而東行二百望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰以二行步相乘得數(shù)四之為實(shí)如平方而一得城徑
草曰二行步相乘得一萬(wàn)四千四百步又四之得五萬(wàn)七千六百步為實(shí)以平方開(kāi)之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
又假令乙出南門(mén)折東行二十步甲出北門(mén)折東行七百二十步如此之類亦同上法【以上三問(wèn)是以半矮梯求之】按右三題通為一問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人乙在艮地東行八十步而立甲在坤地南行三百六十步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰此為兩差求黃方也以二行步相乘倍之為實(shí)以平方開(kāi)得城徑
草曰二行步相乘得二萬(wàn)八千八百步倍之得五萬(wàn)七千六百步為實(shí)以平方開(kāi)之得二百四十步即城徑也合問(wèn) 別得甲南行即股圓差也乙東行即勾圓差也
或問(wèn)甲出東門(mén)四十八步而立乙出南門(mén)四十八步見(jiàn)之問(wèn)答同前
法曰此當(dāng)以方五斜七求之每出門(mén)二步管徑十步草曰置出門(mén)步在地以五之得二百四十步即城徑也據(jù)此法合置出門(mén)步在地以十之二而一以二數(shù)相折故五因便是合問(wèn)
按方五斜七古率非密率也設(shè)問(wèn)以盡此題之變故率之踈密勿論
或問(wèn)出西門(mén)南行四百八十步有樹(shù)出北門(mén)東行二百步見(jiàn)之問(wèn)答同前
法曰以二行步相乗為實(shí)二行步相并為從二步常法得半徑
草曰立天元一為半徑置南行步在地內(nèi)減天元半徑得□□為股圓差【按斜畫(huà)者少之記也□□是為四百八十步少一元也下仿此】又置乙東行步在地內(nèi)減天元得下式□□為勾圓差以勾圓差乘股圓差得丨□□【按丨□□為一平方少六百八十元多九萬(wàn)六千步】為半段黃方冪即城冪之半也【寄左】又置天元冪以倍之得□□亦為半段黃方冪與左相消得丨□□如帶縱法之得半徑合問(wèn)【按相消者取上兩相等之?dāng)?shù)同加減相等之?dāng)?shù)使一為步數(shù)一為方元數(shù)仍相等也如寄數(shù)內(nèi)減一平方加六百八十元?jiǎng)t得九萬(wàn)六千步又?jǐn)?shù)內(nèi)亦減一平方加六百八十元?jiǎng)t得一平方六百八十元是為一平方六百八十元與九萬(wàn)六千步等故其式為丨□□舊稿方元數(shù)皆作斜畫(huà)以別之然遇方元數(shù)有多少異號(hào)者殊混人目今不用】
又法識(shí)別得二行并即大?也立天元一為半徑置甲南行步加天元一得□□為大股又置乙東行步加天元得□□為大勾也勾股相乘得丨□□為一個(gè)大直積以天元除之得下式□□□為三事和【寄左黃方除倍積得三事和今以半黃方除直積亦為三事和也】然后并二行步又并入勾股共得□□為同數(shù)與左相消得□□□以帶縱平方開(kāi)之得一百二十步倍之得全徑也合問(wèn)按是書(shū)皆先法后草草者以立天元一推衍而得其方元積數(shù)者也法者又取推衍中之支節(jié)條目融防而歸于簡(jiǎn)約者也草者法之本法者草之用法使人易于推步而草則存其義以俟知者二者相須不可偏廢顧應(yīng)祥僅演其開(kāi)方乘除之?dāng)?shù)而去其細(xì)草蓋亦不得其理矣
按元時(shí)未有筆算故加減乘除之式不能詳載觀者遂以為無(wú)下手處今借根方法既明視此則渙如氷釋矣
測(cè)圓海鏡卷二
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷三
元 李冶 撰
邊股一十七問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)南行不知?dú)i數(shù)而止甲出西門(mén)南行四百八十歩望見(jiàn)乙復(fù)就乙行五百一十步與乙相防問(wèn)答同前
法曰倍相減步以乘二之甲南行步為平方實(shí)得城徑
草曰識(shí)別得二行相減余三十步即乙出東門(mén)南行步也倍相減步得六十步以乘二之甲南行步九百六十步得五萬(wàn)七千六百步為平方實(shí)如法開(kāi)之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出西門(mén)南行四百八十步而止乙從艮隅東行八十步望見(jiàn)甲問(wèn)答同前
法曰倍南行步以東行步乘之為實(shí)東行歩為從方一步常法得全徑
草曰立天元一為全徑以減于二之甲南行步得□□為兩個(gè)大差也以乙東行步乘之得□□為圓徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得丨□□以帶縱平方開(kāi)之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
又法半之乙東行步乘南行步為實(shí)半之乙東行步為從一步常法得半徑
草曰立天元一為半城徑減甲南行步得□□為大差也以半之東行步乘之得□□即半徑冪【寄左】然后以天元冪為同數(shù)與左相消得丨□□開(kāi)帶縱平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出西門(mén)南行四百八十步而止乙從艮隅亦南行一百五十步望見(jiàn)甲問(wèn)答同前
法曰兩行步相乘為實(shí)南行步為從方一為隅得半徑
草曰立天元一為半城徑以減乙南行步得□□為半梯頭以甲行步為梯底以乘之得□□為半徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得丨□□開(kāi)帶縱平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出西門(mén)南行四百八十步乙出東門(mén)直行一十六步望見(jiàn)甲問(wèn)答同前
法曰以四之東行步乗南行冪為實(shí)從空東行為亷一步為隅法得全徑
草曰立天元一為圓徑加乙東行步得□□為中勾其甲南行即中股也置東行步為小勾以中股乘之得□合以中勾除今不受除便以為小股也【內(nèi)寄中勾分母】乃復(fù)以中股乗之得三百六十八萬(wàn)六千四百又四之得一千四百七十四萬(wàn)五千六百為一段圓徑冪【寄中勾分母寄左】然后以天元徑自之又以中勾乘之得□□為同數(shù)與左相消得丨□□□以?縱立方開(kāi)之得二百四十步為城徑也合問(wèn)
按不受除者無(wú)可除之理也凡二數(shù)此數(shù)于彼數(shù)有可除之理則受除無(wú)可除之理則不受除也蓋除有法有實(shí)實(shí)可二法不可二此題以中勾為法而中勾內(nèi)有一元又有十六步其為數(shù)已二矣又何以均分不一之?dāng)?shù)乎故曰不受也寄分者姑寄其應(yīng)除之?dāng)?shù)也俟求得兩相等數(shù)而此數(shù)內(nèi)尚少一除不除此而轉(zhuǎn)乘彼則兩數(shù)仍相等猶之受除者也此所謂以乘代除也
或問(wèn)乙出南門(mén)東行七十二步而止甲出西門(mén)南行四百八十步望乙與城防相直問(wèn)答同前
法曰以乙東行冪乗甲南行為實(shí)乙東行冪為從方甲南行步內(nèi)減二之東行步為益亷一步常法得半徑
草曰立天元一為半城徑以減南行步得□□為小股又以天元加乙東行步得□□為小勾又以天元加南行步得□□為大股乃置大股在地以小勾乘之得下式丨□□合以小股除之今不受除便以為大勾【內(nèi)寄小股分母】又置天元半徑以分母小股乘之得□□以減大勾得□□□為半個(gè)梯底于上以乙東行七十二步為半個(gè)梯頭以乘上位得□□□為半徑冪【內(nèi)寄小股分母】寄左然后置天元冪又以分母小股乘之得□□□為同數(shù)與左相消得□□□□以立方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
又法曰以二數(shù)相乘為實(shí)相減為從一虛法平開(kāi)得半徑
草曰別得二數(shù)相并為大股內(nèi)少一虛勾其二數(shù)相減為大差?也立天元一為半徑副置之上位減于四百八十得□□為股圓差【即大差股也】下位加七十二得□□與股圓差相乘得下式□□□為一大差積【寄左】再以大差勾減于大差股余□□為較又加入大差?四百單八共得□□為?較共也以天元乘之得□□為同數(shù)與左相消得□□□以平方開(kāi)之得一百二十步即半徑合問(wèn) 前法太煩故又立此法以就簡(jiǎn)也
或問(wèn)乙出南門(mén)東行不知步數(shù)而立甲出西門(mén)南行四百八十步望見(jiàn)乙與城防相直又就乙行四百零八步與乙相防問(wèn)答同前
法曰二行步相減以乘甲南行步為實(shí)甲東行步內(nèi)減相減步為益方一步常法得半徑
草曰識(shí)別得二行相減余七十二步即是乙出南門(mén)東行數(shù)也更不湏用?遂立天元一為半城徑加乙東行得□□為小勾也副置南行步上減天乙得□□為小股下加天元得□□為大股乃置大股以小勾乘之得下式丨□□合以小股除之今不受除便以此為大勾也【內(nèi)帶小股分母】又倍天元以小股乘之得下式□□以減于大勾得□□□為勾圓差也合以股圓差乘之縁此勾圓差內(nèi)已帶小股分母【小股即股圓差也】更不湏乘便以此為半段黃方冪【更無(wú)分母也】寄左乃以天元自之又倍之得□□為同數(shù)與左相消得□□□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)直行不知?dú)i數(shù)而止甲出西門(mén)南行四百八十步望見(jiàn)乙復(fù)就乙斜行五百四十四步與乙相會(huì)問(wèn)答同前
法曰半南行步減半斜行步以乘南行步為實(shí)從方空半斜行半南行相減得數(shù)加入南行步為隅法得半徑
草曰識(shí)別得二行相減余六十四步即半徑為股之勾也立天元為半徑就以為小股其二行相減余六十四步即小勾也乃置甲南行步加天元得下式□□為大股以小勾乘之得□□又以小股除之得□□為大勾又倍天元一減之得下式□□□為勾圓差也半之得□□□于上乃以天元減甲南行步得□□為股圓差以乘上位得丨□○□為半徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得下式□□□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
按此問(wèn)以小股為除法蓋因小股只一天元其數(shù)不二猶有可除之理也然得數(shù)降于實(shí)數(shù)之下者皆不可以命名至開(kāi)方時(shí)仍湏各升一位以計(jì)之是兩邊各加一乘猶是寄分之理也
又法以二數(shù)差乘二數(shù)并開(kāi)方得邊勾復(fù)以邊股乘之為實(shí)并二數(shù)而半之為法實(shí)如法得二百四十步即城徑【此蓋用前勾上容圓法也】
或問(wèn)乙從干地東行不知幾步而止甲出西門(mén)南行四百八十步望見(jiàn)乙復(fù)就乙斜行六百八十步與乙相防問(wèn)答同前
法曰并二行數(shù)以二行差乘之內(nèi)減二行差冪為實(shí)并二行步及二行差為從方二步常法得半徑草曰識(shí)別得二行相減余二百步即半圓徑與小差勾之共數(shù)也立天元一為半城徑加于二百步得□□為大勾也又以天元加于甲南行步四百八十得□□即大股也乃以大勾自之得丨□□為勾冪【寄左】乃置乙斜行六百八十步為大?加入大股共得□□于上再置二行差內(nèi)減天元得□□為小差勾即股?較以乘上位得□□□為同數(shù)與左相消得□□□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
又法求小差二行相減以自之又四之為實(shí)二行相減八之于上二之南行步內(nèi)減二之二行相減數(shù)又以加上位為益方二步常法
草曰立天元一為小差減二行差得□□為半城徑以自之得丨□□又四之得□□□為圓徑冪【寄左】然后以半城徑減于甲南行得□□又倍之得□□為兩個(gè)大差也又以天元乘之得□□○為同數(shù)與左相消得下式□□□以平方開(kāi)之得八十步為小差也
或問(wèn)乙出南門(mén)南行不知步數(shù)而立甲出西門(mén)南行四百八十步望乙與城防相直復(fù)就乙斜行二百五十五步與乙相防問(wèn)答同前
法曰甲南行內(nèi)減二之兩行差余以乘甲南行又倍之為實(shí)二步為隅得半徑
草曰別得二行步相減余二百二十五步乃是半徑為勾之股也立天元一為半城徑就以為小勾率其二行差二百二十五步即為小股率乃置甲南行步加入天元得□□為大股以天元小勾乘之得丨□合以小股除今不受除【按此所謂不受除乃其數(shù)竒零不能盡非無(wú)可除之理也與前辭同而意異】便以此為大勾【內(nèi)寄小股分母】乃倍天元以小股乘之得□以減大勾余丨□為一個(gè)小差于上【內(nèi)寄小股分母】乃以天元減甲南行步得□□為大差也以乘上位得□□□又倍之得□□□為圓徑冪【內(nèi)寄小股分母】寄左然后倍天元以自之又以小股乘之得□□為同數(shù)與左相消得□○□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
按此題止用股?求勾法即得城半徑其必展轉(zhuǎn)數(shù)次而后始得者益見(jiàn)其為發(fā)明立天元一之術(shù)使人易曉也后多有仿此者
或問(wèn)乙出南門(mén)直行一百三十五步而止甲出西門(mén)南行四百八十步望乙與城防相直問(wèn)答同前
法曰二行步相減余以自乘內(nèi)減乙行冪為實(shí)二之甲南行為益從一步常法得半徑
草曰立天元一以為半徑便以為勾率又以天元加乙行步并以減于甲行步得□□為股率乃置乙南行步一百三十五步為小股以勾率乘之得□合以股率除之今不受除乃便以此為小勾【內(nèi)寄股率分母】又置乙南行步加二天元得□□為大股以勾率乘之得□□合以股率除之今不受除便以此為大勾【內(nèi)寄股率分母】以小勾大勾相乘得□□□為半徑冪【內(nèi)帶股率冪為分母】寄左然后置天元以自乘又以股率冪乘之得丨□□□為同數(shù)與左相消得□□□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
按此草得數(shù)為九百六十立方少一三乘方與十萬(wàn)零八百平方等皆虛數(shù)也各降二位即如各以平方除之乃為九百六十元少一平方與十萬(wàn)零八百步等兩數(shù)等所降之位又等則兩數(shù)仍相等而實(shí)積步數(shù)乃出矣故可以帶縱平方開(kāi)之也此系降位而得實(shí)數(shù)者與前升位而得實(shí)數(shù)者其理互相發(fā)明草中不言蓋以為不待于言也
或問(wèn)甲乙二人同出西門(mén)向南行至西南十字道口分路乙折東行一百九十二步而立甲又南行甲通行四百八十步望乙與城防相直問(wèn)答同前
法曰兩行相乘得數(shù)又以乙東行乘之為實(shí)二行相乘于上位又置乙東行以二行相減數(shù)乘之得數(shù)加上位為法
草曰立天元一為半城徑副置上位加南行步得□□為大股也下位減于甲行步得□□為小股也其乙東行即小勾也置大股以小勾乘之得□□內(nèi)寄小股□□為母便以為大勾也置天元以母通之得□□減于大勾得丨□□為半個(gè)矮梯底于上再置乙東行內(nèi)減天元得下式□□為半個(gè)矮梯頭以乘上位得下式□□□□為半徑冪寄左再置天元以自之為冪又以分母乘之得□□□為如積與左相消得□□上法下實(shí)得一百二十步即城之半徑也合問(wèn)
按草中相消法皆得兩邊數(shù)此獨(dú)得一邊二數(shù)蓋此條共數(shù)比彼條共數(shù)少一數(shù)又多一數(shù)為相等則多少二數(shù)其必為相等無(wú)疑矣多少數(shù)多者亦仿此此又相消法中之一變也
又法二行步相乘為實(shí)倍甲南行內(nèi)減乙東行為法草曰立天元一為半城徑副置上位加甲南行得□□為大股下位減甲行步得□□為小股便是股圓差也其乙東行即小勾也置大股以小勾乘之得□□內(nèi)寄小股□□為母便以為大勾也再置天元以二之又以分母乘之得□□為全徑以減于大勾余□□□為勾圓差也合以股圓差乘之縁內(nèi)已有小股分母不湏乘便以此為兩段之半徑冪也更無(wú)分母【寄左】然后置天元冪以二之得□□為如積以左相消得□□上法下實(shí)得一百二十步即半城徑也合問(wèn)
或問(wèn)見(jiàn)邊股四百八十步□?三十四步問(wèn)答同前【此題在甲乙二人同出西門(mén)南行至十字道乙折東行一百九十二步而立甲又南行甲通行四百八十步望見(jiàn)乙與城防相直之后】
法曰□?乘邊股半之為實(shí)半□?半邊股相并為從半步隅法平方得□股
草曰立天元一為□股加□?得□□為平勾也又以天元減邊股而半之得□□為髙股也平勾髙股相乘得□□□為半徑冪【寄左】然后以天元乘邊股得□為同數(shù)與左相消得下式□□□開(kāi)平方得□股三十步以乘邊股開(kāi)平方倍之即圓城徑也合問(wèn)按此問(wèn)原稿在三卷末
或問(wèn)見(jiàn)邊股四百八十明?一百五十三問(wèn)答同前法曰二云數(shù)相減復(fù)倍之內(nèi)減邊股復(fù)以邊股乘之于上又以明?冪乘上位為實(shí)以邊股乘明?冪又二之為從二云數(shù)相減余以自之為第一亷二云數(shù)相減又倍之為第二益亷一常法開(kāi)三乘方得明勾草曰立天元一為明勾加明?得□□為髙股也以髙股減邊股余□□為髙?以倍之得□□為黃廣?也內(nèi)減邊股得□□為□股復(fù)以邊股乘之得□□于上又以明?自乘得二萬(wàn)三千四百零九為分母以乘上位得□□為?分半徑冪【寄左】然后置黃廣?以天元乘之得□□復(fù)合以明?除之不除寄為母便以此為全徑又半之得□□為半徑以自之得□□□為同數(shù)與左相消得下式丨□□□□開(kāi)三乘方得七十二步即明勾也余各依法求之合問(wèn)
又法邊股內(nèi)減二明?以邊股乘之復(fù)以明?冪乘之為三乘方實(shí)亷從并同前
草曰識(shí)別得二數(shù)相減余為髙股虛?共又為髙?明勾共此余數(shù)內(nèi)又去半徑即明和也明和明?相并即股圓差相減則明黃方也又倍明?加明黃亦得股圓差也邊股內(nèi)減明勾余即大差?也立天元一為明勾減于云數(shù)相減數(shù)得□□即髙?也以髙?減邊股得□□即髙股也以髙股減于云數(shù)相減數(shù)得□□即虛?也以天元又減虛?得□□即□股也乃置髙?以天元乘之得□□合明?除之不受除便以此為髙勾也【即半徑】髙勾自之得丨□□□為半徑冪【內(nèi)帶明?冪分母】寄左然后置邊股以□股乘之得□□為半徑冪又以明?冪二萬(wàn)三千四百零九分母通之得□□為同數(shù)與左相消得實(shí)從亷隅五層如前式
或問(wèn)邊股四百八十步髙?二百五十五步問(wèn)答同前法曰以邊股減于二之髙?復(fù)以邊股乘之開(kāi)平方得半徑
草曰立天元一為半徑先倍髙?內(nèi)減邊股余□復(fù)以邊股乘之得□□寄左以天元冪與左相消得丨□□開(kāi)平方得數(shù)倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)邊股四百八十步平?一百三十六步答問(wèn)同前法曰置平?以邊股再乘之為實(shí)以邊股自之為益從平?為益亷一虛隅開(kāi)立方得半徑
草曰別得平?即皇極勾也立天元一為半徑副之上位加平?得□□即邊勾也下位減于平?得□□即□勾也置□勾以邊股乘之得□□合邊勾除今不受除寄為母便以此為□股乃以此邊股乘之得□□為半徑冪【內(nèi)?邊勾分母】寄左然后以天元為冪以分母邊勾乘之得丨□□為同數(shù)與左相消得丨□□□開(kāi)立方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)邊股四百八十步明股明?和二百八十八步問(wèn)答同前
法曰以云之云數(shù)相減余加邊股復(fù)以減余乘之訖又折半于上又以減余自之減上位為實(shí)并云數(shù)半之為法得明勾
草曰別得二數(shù)相減余為大差勾立天元一為明勾減于大差勾得□□即半徑也又以天元減半徑得□□為虛勾于上又以半徑加邊股得□□為通股于下上下相乘得□□□折半得丨□□為半徑冪【寄左】然后以半徑冪丨□□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得七十二步即明勾也合問(wèn)
或問(wèn)見(jiàn)邊股四百八十步□勾□?和五十步問(wèn)答同前
法曰半邊股半和步相并得為泛率以泛半減邊股以自之又二之于上以和步乘泛率減上位為實(shí)以泛率減邊股六之于上內(nèi)又加半個(gè)邊股三個(gè)和步為益從三步常法得□股
草曰別得和步得□股即小差也小差邊股共即二中差【按此句誤】立天元一為□股加和步得□□即小差也以小差加邊股而半之得□□即中差也中小差相并得□□即大差也以小差乘之得□□□為半段徑冪【寄左】然后置邊股內(nèi)減大差得□□為半徑以自之得□□□又倍之得下式□□□與左相消得下式□□□開(kāi)平方得三十步即□股也合問(wèn)按草云以小差邊股共即二中差有誤蓋中差即勾股較小差即股?較邊股即勾?較與容圓半徑和若設(shè)勾二十股二十一?二十九則勾?較九容圓半徑六并之得十五為邊股股?較八為小差小差邊股共得二十三勾股較一為中差倍之僅得二則相差二十一矣是知細(xì)草乃因題數(shù)之偶合而誤非正法也今依其術(shù)另設(shè)法草于后以補(bǔ)其闕
法曰以□勾?和自之邊股再乘為實(shí)倍邊股加□勾?和再以□勾?和乘之為從又倍□勾?和減邊股余為益亷一為隅?縱立方開(kāi)之得□股草曰別得邊股即髙股?和□股即髙股?差□股?和即平勾也立天天一為□股自之得丨□應(yīng)以□勾?和除之不除便以為□勾?較【內(nèi)寄□勾?和分母】轉(zhuǎn)以□勾?和自之得□為□勾?和加□勾?較得丨○□為倍□?又以□勾?和分母乘倍□股得□為倍□股與倍□?相加得丨□□為倍□股?和即倍平勾又于邊股內(nèi)減□股得□□為倍髙股倍髙股倍平勾相乘得□□□□為圓徑冪寄左又以邊股□股相乘得□為半徑冪四因之得□為圓徑冪又以□勾?和分母乘之得□為同數(shù)與左相消得丨□□□開(kāi)帶縱立方得□股三十步合問(wèn)
測(cè)圓海鏡卷三
<子部,天文算法類,算書(shū)之屬,測(cè)圓海鏡>
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷四
元 李冶 撰
底勾一十七問(wèn)
或問(wèn)乙出南門(mén)東行不知步數(shù)而立甲出北門(mén)東行二百步見(jiàn)之就乙斜行二百七十二步與乙相防問(wèn)答同前
法曰二行差數(shù)乘甲東行又四之為平方實(shí)得全徑草曰識(shí)別得二行相減余即乙出南門(mén)東行數(shù)也以甲東行減于就乙斜行余七十二步以乘甲東行歩得一萬(wàn)四千四百步又四之得五萬(wàn)七千六百步為實(shí)以平方開(kāi)之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙從坤隅南行三百六十步甲出北門(mén)東行二百步見(jiàn)之問(wèn)答同前
法曰二行步相乘倍之為實(shí)乙南行為從一步常法得城徑
草曰立天元一為城徑以減于二之甲東行步得【□】□為兩個(gè)小差以乙南行步乘之得□□為城徑冪【寄左】然后以天元冪丨□與左相消得丨□□以平方開(kāi)之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
又法半之乙南行步乘甲東行為實(shí)半乙南行為從一步常法得半徑
草曰立天元一為半城徑減甲東行得□□為小差半乙南行步得一百八十步以乘小差得□□為半徑冪【寄左】然后以天元冪丨□與左相消得下式丨□□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙從坤隅東行一百九十二歩而止甲出北門(mén)東行二百步見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰兩行步相乘為實(shí)甲東行為從乙為隅得半徑草曰立天元一為半徑減于乙東行得□□以甲行步乘之得□□為半徑冪【寄左】然后以天元冪丨□與左相消得丨□□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出南門(mén)直行一百三十五步甲出北門(mén)東行二百步見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰以乙南行步乘甲東行冪又四之為實(shí)從空乙行為亷一步常法得城徑
草曰立天元一為城徑加乙南行得□□為股率其甲東行即勾率也其乙南行□為小股以勾率乘之得□合以股率除今不除受便以此為小勾【寄股率為母】乃以甲東行步乘之得□ 又四之得□為一段城徑冪【寄左】然后以天元城徑自之又以股率分母通之得丨□□為同數(shù)與左相消得下式丨□□□以立方開(kāi)之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
又法二行相乘又以自乘為實(shí)以二行相乘倍之為益方南行冪為亷八步益隅立方開(kāi)得小勾七十二草曰立天元一為小勾以南行為小股以東行二百步為大勾也置大勾內(nèi)減天元得□□為中勾也以小股乗之得□□以天元小勾除之得□□為中股即城徑也以自之得□□□為城徑冪也【寄左】又以天元小勾乘通勾二百步得□又四之得□為同數(shù)與左相消得□□□□開(kāi)立方得七十二步即小勾也以乘通勾二百步為實(shí)平方開(kāi)得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
又法求半徑以南行步乘東行冪為實(shí)從空東行步為亷二步常法得半徑
草曰立天元一為半徑以二之加南行步得□□為股率以東行□為勾率以南行為小股也置小股以勾率乘之得□以股率除之不受除只寄股率分母便以此為小勾也又以勾率乘之得下式□為半徑冪【寄左】再立天元半徑以自之又以分母股率乘之得□□□為同數(shù)與左相消得□□□□開(kāi)立方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)南行三十步而止甲出北門(mén)東行二百步望乙與城防相直問(wèn)答同前
法曰以甲東行步乗乙南行冪為實(shí)以乙南行冪為從甲東行內(nèi)減二之乙南行為益亷一步隅得半徑草曰立天元一為半城徑減于甲東行步得□□為小勾以天元加于乙南行步得□□為小股乃以天元加?xùn)|行步得□□為大勾置大勾以小股乗之得丨□□合以小勾除之今不受除便以此為大股【內(nèi)帶小勾分母】又置天元半徑以分母小勾乘之得□□減于大股余□□□以乙南行步乗之得□□□為半徑冪【內(nèi)有小勾分母】寄左然后以天元為冪又以小勾通之得□□□為同數(shù)與左相消得下式□□□□以立方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)【翻法在記】
又法乙南行乘甲東行為平實(shí)二數(shù)相減為法一隅翻開(kāi)得半徑
草曰別得二數(shù)相并為大勾內(nèi)少一虛股其二數(shù)相減為小差?也 立天元一為半徑副置之上位減于二百步得□□為勾圓差【即小差勾也】下位加三十步得□□為小差股勾股相乘得□□□為一段小差積【寄左】再以小差勾減小差股余□□為一較也又以此較減于小差?得下式□□為一個(gè)?較較以天元一乘之得下式□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二十步即半城徑也合問(wèn)【翻法在記】再立此法者蓋從簡(jiǎn)也
按此乃以小差勾為平?上?較較半徑為平股故以小差?上?較較與半徑相乘等于平?上?較較與小差股相乘為一段小差積也
或問(wèn)乙出東門(mén)南行不知步數(shù)而立甲出北門(mén)東行二百步望乙與城防相直復(fù)就乙斜行一百七十步與乙相防問(wèn)答同前
法曰以二行差乘甲東行為實(shí)甲就乙斜行為方一步常法得半徑
草曰識(shí)別得二行相減余三十步即乙出東門(mén)南行步也【更不湏用?】立天元一以為半城徑加乙南行得□□為小股副置甲東行步上位減天元得下式□□為小勾下位加天元得□□為大勾也乃置大勾以小股乘之得下式丨□□合以小勾除不受除便以此為大股【內(nèi)?小勾分母】又倍天元以小勾乘之得□□以減于大股得□□□又倍之得下□□□為兩個(gè)股圓差合以勾圓差乘之縁為其中已帶小勾分母更不須乘便以此為黃方冪【更無(wú)分母】寄左然后倍天元以自之得□□為同數(shù)與左相消得□□□上下俱半之【俱半之者蓋從簡(jiǎn)也】得□□□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即半徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出南門(mén)直行不知步數(shù)而止甲出北門(mén)東行二百步見(jiàn)之復(fù)就乙斜行四百二十五步與乙相防問(wèn)答同前
法曰倍兩行差以乘二之甲東行為實(shí)從空四之甲東行于上倍兩行差加上位為隅得半徑
草曰識(shí)別得二行差二百二十五步即半徑為勾之股也立天元一以為半徑便是小勾其二行差便是小股乃置甲東行步加天元得□□為大勾以小股乗之得下式□□又以小勾除之得□□為大股又倍天元以減之得□□□為股圓差又倍之得□□□為兩個(gè)股圓差于上乃以天元減甲東行得□□為勾圓差以乘上位得下式□□○□為城徑冪【寄左】然后倍天元一以自之得□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)【按此系得數(shù)各升一位然后開(kāi)平方】
又法并二數(shù)以二數(shù)差乗之開(kāi)方得底股復(fù)以甲東行二百步乘之為實(shí)并二數(shù)而半之以為法如法得二百四十步即城徑也合問(wèn)【此用股上容圓求之比前法極為簡(jiǎn)易】
或問(wèn)乙從干隅南行不知步數(shù)而止甲出北門(mén)東行二百步望見(jiàn)之復(fù)就乙斜行六百八十步與乙相會(huì)問(wèn)答同前
法曰并二行以二行差乘之內(nèi)減二行差冪為實(shí)并二行步及二行相減數(shù)【按即倍乙斜行】為從二步常法得半徑
草曰識(shí)別得斜行六百八十步即大?也其二行相減余四百八十步即乙南行步內(nèi)減半徑也立天元一為半城徑副置之上位加二行相減數(shù)得□□為大股也下位加甲東行步得□□為大勾也乃以大股自增乘得丨□□為大股冪【寄左】乃并大勾大?得□□于上又以大勾減大?得□□為大差以乘上位得□□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
又法求大差
法曰二行差自乘為實(shí)置二之二行差于上乃以甲東行步減二行差又半之以減于上為益方【按三因斜行步二因東行步相減折半亦同】半步常法
草曰立天元一為大差減于二行差得□□為半城徑以自之得丨□□為半徑冪【寄左】乃以半城徑減于甲東行得下式丨□為小差又以天元乘之得丨□又以半之得□□為同數(shù)與左相消得下式□□□以平方開(kāi)之得三百六十步即大差也合問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)不知步數(shù)而立甲出北門(mén)東行二百步望乙與城叅相直復(fù)就乙斜行一百三十六步與乙相防問(wèn)答同前
法曰甲東行步內(nèi)減二之二行差【按倍斜行步內(nèi)減東行步亦同】余以乘甲東行為實(shí)一步常法得半徑
草曰別得二行相減余六十四步即半徑為股之勾立天元一為半城徑就以為股率其二行差即勾率也乃置甲東行步加天元得□□為大勾以天元股率乘之得丨□合以勾率除之不受便以此為大股【內(nèi)?勾率分母】乃倍天元以勾率乘之得□以減大股得丨□為一個(gè)大差于上【內(nèi)?勾率分母】乃以天元減甲東行得□□為小差以乘上位□□□為半段黃方冪【內(nèi)寄勾率為母】寄左然后以天元自之又以勾率乘之又倍之得□□為同數(shù)與左相消得下式丨□□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)直行一十六步而止甲出北門(mén)東行二百步望見(jiàn)乙與城叅相直問(wèn)答同前
法曰二行步相減余以自乘內(nèi)減乙東行冪為實(shí)二之甲東行為益從一步隅法得半徑
草曰立天元一以為半城徑加乙行步并以減于甲行步得□□為平勾率其天元半徑即平股率也乃置乙東行一十六步為小勾以股率乘之得□合以勾率除之今不受除便以此為小股【內(nèi)帶勾率分母】又置乙東行加二天元得□□為大勾以股率乘之得□□合以勾率除之今不受除便以此為大股【內(nèi)寄勾率為母】以此小股大股相乘得□□□為半徑冪【內(nèi)寄勾率冪為母】寄左然后以勾率冪乘天元冪得丨□□□為相同數(shù)相消得□□□□開(kāi)平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)【按此系得數(shù)各降二位然后開(kāi)平方】
或問(wèn)甲乙二人同出北門(mén)向東行至東北十字道口分路乙折南行一百五十步而立甲又向東行甲前后通行了二百步廻望乙恰與城相直問(wèn)答同前法曰以二行步相乘于上又以南行步乗之為實(shí)二行步相乘于上又以乙南行減于甲東行得數(shù)復(fù)以乙南行乘之加上位共為法得半徑
草曰立天元一為半城徑副之上位加甲行步得□□為大勾也下位減于甲行步余□□為小勾也其乙折南行即小股也置大勾以小股乘之得□□內(nèi)寄小勾□□為母便以為大股也再置天元以母乘之得□□減于大股余丨□□為半個(gè)矮梯底于上【內(nèi)寄小勾為母】再置乙折行步內(nèi)減天元得□□為半個(gè)矮梯頭以乘上位得□□□□為半徑冪【寄左】乃以小勾分母乘天元冪得下式□□□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)如法而一得一百二十步即城之半徑也合問(wèn)
又法 法曰二行步相乘為實(shí)倍甲東行內(nèi)減乙南行為法
草曰立天元一為半圓徑副之上位加甲東行得□□為大勾下位減甲東行得□□為小勾此小勾便是勾圓差也其乙南行即小股也置大勾以小股乘之得下式□□內(nèi)寄小勾□□為母便以為大股也再置天元以二之又以分母乘之得□□為全徑以減于大股余得□□□為股圓差也合以勾圓差乘之縁內(nèi)已有小勾分母故不湏再乘便以此為兩段之半徑冪也更無(wú)分母【寄左】再置天元以自之又二之得□□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)一百二十步即半城徑也合問(wèn)
或問(wèn)見(jiàn)底勾二百步明?一百五十三步問(wèn)答同前法曰半底勾乘明?為平實(shí)并二云數(shù)而半之為從五分常法得明勾
草曰立天元一為明勾加明?得□□為髙股也又以天元減底勾而半之得下式□□為平勾也勾股相乘得□□□為半徑冪【寄左】然后以天元乘底勾得下式□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得七十二步即明?也以明?乗底勾為平方實(shí)如法開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)見(jiàn)底勾二百步□?三十四步問(wèn)答同前
法曰底勾□?相減余倍之內(nèi)減去底勾【按倍□?減底勾亦同】復(fù)以底勾乗之于上又以□?冪乘上位為三乗方實(shí)倍底勾以□?冪乗之為從二云數(shù)相減余以自之為第一亷二云數(shù)相減余又倍之為第二益亷一步隅法得□股
草曰立天元一為□股加□?得□□為平勾以平勾減底勾余□□為平?以倍之得□□為黃長(zhǎng)?也此?內(nèi)卻減底勾余得下式□□為明勾也復(fù)以底勾乘之得□□于上又□?自乘得一千一百五十六為分母以乗上位得□□為帶分半徑冪【寄左】然后置黃長(zhǎng)?以天元乗之得□□合以□?除之不除寄為母便以此為全徑也以半之得□□為半徑【內(nèi)帶□?分母】以自之得丨□□□為同數(shù)與左相消得丨□□□□開(kāi)三乗方得三十步即□股也余各依數(shù)求之合問(wèn)
又法底勾內(nèi)減二□?復(fù)以底勾乘之復(fù)以□?冪乘之為三乗方實(shí)余亷從并與前同
草曰識(shí)別得二數(shù)相減余一百六十六為平勾虛?共又為平?□股共于此余數(shù)內(nèi)又去半徑即□和也□和□?相并即勾圓差也相減則□黃方也又倍□?加□黃亦得勾圓差也底勾內(nèi)減□股余即小差?也 立天元一為□股減于云數(shù)相減數(shù)得□□為平?以平?減底勾得□□即平勾以平勾減于云數(shù)相減數(shù)得□□即虛?以天元又減虛?得□□即明勾也乃置平?以天元乘之得□□合□?除不除寄為母便以此為平股也【即半徑】平股自之得丨□□□○為半徑冪【內(nèi)帶□?冪分母】寄左然后置底勾以明勾乗之得□□又以□?冪一千一百五十六通之得下式□□為同數(shù)與左相消得丨□□□□亷從一一如上
或問(wèn)見(jiàn)底勾二百步平?一百三十六步問(wèn)答同前法曰倍平?內(nèi)減底勾復(fù)以底勾乗之開(kāi)平方得半徑
草曰立天元為半徑先倍平?內(nèi)減底勾余□為明勾復(fù)以底勾乗之得□為半徑冪【寄左】然后以天元冪為同數(shù)與左相消得丨□□開(kāi)平方得一百二十步又倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)底勾二百步髙?二百五十五步問(wèn)答同前法曰底勾冪乗髙?為立實(shí)底勾冪為從髙?為亷一為隅得半徑
草曰識(shí)別得髙?即皇極股也立天元一為半徑副之上位加髙?得□□即底股也下位減于髙?得□□即明股也置明股以底勾乗之得□□合以底股除不除寄為母便以此為明勾又以底勾乗之得□□為半徑冪【內(nèi)帶底股分母】寄左然后以天元冪乗底股得丨□□與左相消得丨□□□開(kāi)立方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)底勾二百步□勾□?和五十步問(wèn)答同前法曰以二云數(shù)相減余加底勾復(fù)以減余乗之半之于上以減余自之減上位為實(shí)并云數(shù)半之為法得□股
草曰別得二數(shù)相減余為小差股立天元一為□股減于小差股得□□即半徑也又以天元減半徑得□□為虛股于上又以半徑加底勾得□□為通勾于下上下相乗得□□□折半得丨□□為半徑冪【寄左】然后以半徑自之得下式丨□□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得三十步即□股也合問(wèn)
或問(wèn)見(jiàn)底勾二百步明股明?和二百八十八步問(wèn)答同前
法曰二數(shù)相減又半之得數(shù)又減于底勾余為泛率以泛率自之又倍之于上位又二數(shù)相減而半之以乗和步所得減于上倍為實(shí)倍泛率于上位又半底勾減和步加上位為法得明勾
草曰別得和步得明勾為大差也大差得底勾為二中差 立天元一為明勾加和步得□□為股圓差也【即大差】?jī)?nèi)又加底勾得□折半得□□即通勾通股差也【此即中差】置大差減中差得下□□即小差也大小差相乘得□□□為半段圓徑冪【寄左】乃置底勾內(nèi)減小差得□□為半徑以自之得□□□倍之得下式□□□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得七十二步即明勾也合問(wèn)
按此條法草與三卷末以小差邊股共為二中差者同誤依問(wèn)另設(shè)于后
法曰以底勾乘明股?和冪為實(shí)倍底勾以明股和乗之加入明股?和冪為從倍明股?和內(nèi)減底勾為亷一為隅開(kāi)帶縱立方得明勾
草曰別得明?得明勾為髙股髙勾即半徑也底勾為平勾?和明勾為平勾?較平股即半徑也立天元一為明勾自之得丨□應(yīng)以明股?和除之不除便以為明股?較【內(nèi)寄明股?和分母】明股?和自之得□為股?和以加股?較得丨□□為倍明?以分母乗倍天元得□為倍明勾與倍明?相加得丨□□為倍髙股置底勾減天元得□□為倍平勾與倍髙股相乘得□□□□為城徑冪【內(nèi)寄明股?和分母】寄左又倍天元與倍底勾相乘得□以寄分母乘之得□為相同數(shù)與左相消得丨□□□開(kāi)立方得明勾合問(wèn)
測(cè)圓海鏡卷四
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷五
元 李冶 撰
大股一十八問(wèn)
或問(wèn)乙出南門(mén)直行一百三十五步而立甲從干隅南行六百步望乙與城叅相直問(wèn)答同前
法曰倍二行差內(nèi)減甲南行步復(fù)以乗甲南行步為實(shí)【倍二行差減甲南行步即是甲南行步內(nèi)減二之乙南行也】四之甲南行步內(nèi)減二之乙南行為從方四為益隅開(kāi)平方得半徑草曰立天元一為半徑以二之加乙南行步得□□為中股以中股又減于甲南行步得□□為股率其天元半徑即勾率也置甲南行為大股以勾率乗之得□合以股率除之不受除便以此為大勾【內(nèi)?股率分母】再置天元以二之以股率乘之得□□減于大勾余□□為勾圓差于上【內(nèi)有股率分母】又以二之天元減甲南行得□□為大差以乘上位得□□□為半段黃方冪【內(nèi)寄股率分母】然后以天元自之又以股率乘之又倍之得□□□為同數(shù)與左相消得下式□□□開(kāi)平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出南門(mén)東行七十二步而止甲從干隅南行六百步望乙與城叅相直問(wèn)答同前
法曰云數(shù)相乘為平實(shí)甲南行為從二益隅得半徑草曰別得虛勾乗通股得半段圓徑冪此與虛股乗通勾同立天元一為半徑內(nèi)減乙東行得□□為虛勾以乘甲南行得□□為半段徑冪【寄左】再以天元為冪又倍之得□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)直行一十六步甲從干隅南行六百步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰以乙東行乘甲南行冪為實(shí)二之乙東行乘甲行為從方亷空二步隅法得半徑
草曰立天元一以為半城徑以二之加于乙東行得□□為勾率又以天元減甲南行得□□為股率乃置乙東行以股率乗之得□□合以勾率除不除便以此為小股此小股即半梯之頭也【內(nèi)帶勾率分母】又以股率乗之【此股率即半梯之底也】得□□□為半徑冪【內(nèi)帶勾率分母】寄左然后置天元冪以勾率通之得□□□為同數(shù)與左相消得□○□□開(kāi)立方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)南行三十步而立甲從干隅南行六百步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰二行步相乗為寳以南行為從一步常法得半徑
草曰立天元一為半徑以減于甲南行得□□為半梯底以乙南行三十步為半梯頭以乗之得□□為半徑冪【寄左】乃以天元冪與左相消得丨□□開(kāi)平方得一百二十步即半城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙從艮隅南行一百五十步而立甲從干隅南行六百步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰二行步相乗為實(shí)并二行步為法得半徑草曰立天元一為半徑副置之上以減于乙南行得□□為半梯頭下以減于甲南行得□□為半梯底上下相乗得丨□□為半徑冪【寄左】乃以天元冪與左相消得下式□□上法下實(shí)如法而一得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙從艮隅東行八十步而立甲從干隅南行六百步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰二行步相乘又倍之為實(shí)二之乙東行為從一步常法得全徑
草曰別得乙東行八十步即小差也立天元一為城徑減于甲南行步得□□為大差以乙東行步乘之得□□又倍之得□□為城徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得丨□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)南門(mén)東不知逺近有樹(shù)甲從干隅南行六百步望樹(shù)與城防相直復(fù)就樹(shù)斜行四百八步至樹(shù)問(wèn)答同前
法曰南行步冪內(nèi)減兩段兩行相乘數(shù)為實(shí)二之南行步為從一步益隅得城徑
草曰別得南行步內(nèi)減城徑即小股也其斜行步即小?也又二行相減即大差為股之勾也立天元一為圓徑以減南行步得□□為股圓差也【合為小股】置南行步以斜行步乘之得□合以小股除之不受除便以此為大?【內(nèi)帶小股分母】再置南行步以小股乗之得□□為大股【亦帶小股分母】以大股減大?得□□為小差也合以大差乘之縁于內(nèi)帶大差分母更不湏乘便以為半段黃方冪【更無(wú)分母】又二之得□□為一段黃方冪【寄左】然后以天元冪為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
依前問(wèn)假令乙出南門(mén)東行不知步數(shù)而立甲從干南行六百步望乙與城相直復(fù)就乙斜行四百八步【按此即前問(wèn)以明又法】
法曰二行差冪乗甲南行為實(shí)二之二行差以乗南行步為益方二之二行差為隅得半徑
草曰識(shí)別得二行相減即半城徑與乙東行共也得此數(shù)更不須用斜立天元為半徑減于二行差一百九十二得□□即半梯頭也又以二天元減甲南行步得□□為股率又以一百九十二為勾率乃置甲南行以勾率乘之得□合股率除不除便以此為大勾【內(nèi)寄股率分母】再置天元以股率乘之得□□以減于大勾得□□□為半梯底也頭底相乘得下□□□□為半城徑冪【內(nèi)寄股率分母】寄左然后以股率乘天元冪得□□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)東門(mén)南不知逺近有樹(shù)甲從干隅南行六百步見(jiàn)樹(shù)復(fù)向樹(shù)斜行五百一十步至樹(shù)問(wèn)答同前
法曰二行差步乘甲南行步為實(shí)二行之差步并甲南行步為從二益隅【若欲從簡(jiǎn)上下俱折半】
草曰別得二行相減數(shù)即虛積之股也立天元一為半徑內(nèi)減二行之差步得□□為梯頭于上又以天元減于甲之南行步得□□為梯底上下相乗得□□□為圓徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)直行不知步數(shù)而立甲從干隅南行六百步望見(jiàn)乙復(fù)就乙斜行五百四十四步與乙相防問(wèn)答同前
法曰以二行步相減乘甲南行步得數(shù)又半之南行步以乘之為實(shí)以二行差乘南行步于上又以半之南行步乘南行步加于上為從方二之南行步為益亷一步常法得半徑
草曰別得二行相減即半徑上勾股較【此股即半徑也】又別得是大勾圓差不及平?數(shù)立天元一以為半城徑以減南行步得□□為中股其斜行步即中?也乃立半城徑以斜步乘之得□合以中股除今不受除便以此為平?【內(nèi)帶中股分母】又以二行步相減余五十六步為勾圓差不及平?數(shù)置此數(shù)以中股乗之得□□復(fù)以減平?余得□□為小差【內(nèi)帶中股分母】乃以二天元減甲南行步得□□為大差又半之得□□以乘小差得□□□為半徑冪【寄左】然后以天元自乗又以中股通之得□□□為同數(shù)與左相消得丨□□□開(kāi)立方得一百二十歩倍之即城徑也合問(wèn)【翻法在記】
或問(wèn)甲乙二人俱在干隅乙東行不知步數(shù)而立甲南行六百步望見(jiàn)乙復(fù)就乙斜行六百八十步與乙相會(huì)問(wèn)答同前
法曰以二行差乘二行并開(kāi)平方得數(shù)內(nèi)復(fù)減二行差得全徑
草曰別得二行相減即勾圓差也先求大勾立天元一為大勾以二行相減余八十步以乘二行相并數(shù)一千二百八十步得□為勾冪開(kāi)平方得三百二十步即大勾也大勾內(nèi)減去勾圓差余二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)南門(mén)外不知逺近有樹(shù)甲從干隅南行六百步望樹(shù)與城防相直復(fù)就樹(shù)斜行二百五十五步至樹(shù)問(wèn)答同前
法曰倍二行相減數(shù)內(nèi)減甲南行得數(shù)復(fù)以乘甲南行為實(shí)倍二行相減數(shù)為從二步益隅得半徑草曰識(shí)別得斜行步乃是樹(shù)至城心之?dāng)?shù)也立天元一為半徑加斜行步得□□為樹(shù)至城北門(mén)之步也乃以減于甲南行得□□為小股率其天元半徑即小勾率其斜步即小?數(shù)也再置甲南行步內(nèi)減天元得□□為梯底于上又置梯底內(nèi)減二之小股率得□□即梯頭也復(fù)以乘上位得□□□為半徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得下式□□□開(kāi)平方得一百二十歩倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)東門(mén)外不知步數(shù)有槐樹(shù)一株甲從干隅南行至柳樹(shù)下望見(jiàn)槐樹(shù)復(fù)斜行至槐樹(shù)下甲自云我共行了一千一百四十四步乙從艮隅東行望見(jiàn)槐樹(shù)與城相直復(fù)斜行至槐樹(shù)下乙自云我東行少不及斜行五十六步問(wèn)答同前
法曰甲斜行減于甲南行以乘甲南行得數(shù)復(fù)以乘二之甲南行為實(shí)半之甲南行以乘二之甲南行于上甲斜行減于甲南行余復(fù)以乘甲南行又倍之加上位為從方二之甲南行為益亷五分隅法【按五分隅法即半個(gè)立方】
草曰識(shí)別得五十六步是小差不及平?數(shù)【此小差即勾圓差也】又為平?上勾股差又為甲斜行不及大股乃副置甲共行在地其上位加五十六步而半之得六百步即大股也其下位減五十六步而半之得五百四十四步即今?也立天元一為圓徑以半之減于甲南行步得□□為中股其斜行五百四十四步即中?也乃立半天元以斜步乘之得□合以中股除之今不受除便以此為平?【內(nèi)寄中股分母】又置勾圓差不及平?數(shù)以中股乘之得□□復(fù)以減于平?□□為小差【內(nèi)帶小股分母】又以天元減甲南行倍之得□□為兩個(gè)大差以乘小差得□□□為圓徑冪【寄左】然后以中股乘天元冪得下式□□□為同數(shù)與左相消得□□□□開(kāi)立方得二百四十步即城徑也合問(wèn)【翻法在記】
或問(wèn)出東門(mén)向南行不知步數(shù)有柳樹(shù)一株甲從干隅南行六百步望見(jiàn)柳樹(shù)而止乙出東門(mén)直行不知步數(shù)望柳樹(shù)與甲相直卻斜行三十四步至柳樹(shù)下問(wèn)答同前
法曰乙斜行乘甲南行數(shù)以乗甲南行冪為實(shí)斜行乗甲南行冪又三之為從方甲行冪內(nèi)減兩段斜行南行相乘數(shù)【按甲南行內(nèi)減二之乙斜行以甲南行乘之】為第一亷二之南行步為第二益亷二步常法得半徑
草曰立天元一為半徑以二之減甲南行得□□為大差以自之得□□□為大差冪加于南行冪得□□□又半之得□□□為大?也內(nèi)帶大差□□分母別寄又置乙斜行以大股六百步乘之得□合大?除不除便以此為小股也【內(nèi)帶大?分母】乃以天元減甲南行得□□即半梯底也以乗小股半梯頭得□□為半徑冪于上此半徑冪內(nèi)有大?分母縁別寄大?分母元帶大差分母故又用大差分母□□乘上半徑冪得□□□為帶分半徑冪也所帶之分謂只帶大?分母也【寄左】然后以大?乘天元冪得□□□□為同數(shù)與左相消得□□□□□開(kāi)三乘方得一百二十步即半城徑也合問(wèn)
按此條寄分內(nèi)又帶寄分則以所帶之分乘本條仍以寄分乘次條者蓋寄分為應(yīng)除本條之?dāng)?shù)而寄分內(nèi)所帶之分又為應(yīng)除寄分之?dāng)?shù)今不除寄分而乘本條則猶是寄分乘次條之理也乗除之變至斯而極矣
又法置甲南行冪于上又置甲行冪半之以乗上位為實(shí)以斜行乗甲行冪倍之于上位又以甲行再自乗加上位為益方置甲行冪于上以斜行乗甲南行倍之以減上位為第一亷甲南行步為第二亷半步常法得股圓差
草曰立天元一為股圓差【即大差】以自之為冪以加甲南行冪得丨□□半之又以天元除之得□□□為大?其甲南行即大股也別置乙斜行三十四步以大股乗之得□合大?除不除便以為小股【內(nèi)寄大?分母】乃以天元加甲南行步得□□為全梯底也以乗小股半梯頭得□□又倍之得□□為城徑冪【內(nèi)寄大?為母】寄左置天元大差減甲南行余□□為圓徑以自之得丨□□又以大?分母乗之得□□□□□為同數(shù)與左相消得□□□□□開(kāi)三乘方得三百六十步即股圓差也以股圓差減甲南行余二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲從干隅南行六百步而止丙出南門(mén)直行乙出南門(mén)東行各不知步數(shù)而立甲望乙丙悉與城防相直既而乙就丙斜行一百五十三步相防問(wèn)答同前法曰以甲南行步再自之于上以斜行步乘甲南行冪又倍之減上位為立方實(shí)南行步自之又四之于上以斜步乗甲南行又倍之減上位為益從六之甲行步為從亷四步虛常法得半徑
草曰立天元一為半徑以二之減于甲南行得□□為大差也以自之得□□□為大差冪也乃置甲南行冪內(nèi)加大差冪而半之得□□□為大?也【內(nèi)寄大差分母】又置甲南行冪內(nèi)減大差冪而半之得□□為大勾也【亦帶大差分母】乃置斜行步在地以大勾乗之得□□合以大?除不除便以此為小勾內(nèi)帶大?為母【其大勾內(nèi)元有大差分母不用】即半梯頭也【寄上位】再寄天元半徑以大差乘之得□□以減于大勾得□為半梯底也以乘上位得□□□為半徑冪也【內(nèi)帶大差及大?為母】寄左然后置天元冪以大差通之又以大?通之得□□□□□為同數(shù)與左相消得□□□□開(kāi)立方得一百二十步即半城徑也合問(wèn)
依前問(wèn)假令南門(mén)外有樹(shù)乙出南門(mén)東行不知步數(shù)而立【只云乙東行步少于樹(shù)去城步】甲從干隅向南行六百步望樹(shù)與乙悉與城防相直乙就樹(shù)斜行一百五十三步至問(wèn)答同前
法曰以斜行步乗甲行冪為立方實(shí)以甲行冪半之于上以斜行步乘甲行步減上位為益從亷空五分隅得大勾大?差
草曰別得斜步即小?小?得小和即勾?差也立天元一為股圓差以自之為冪副之上以加甲南行冪而半之得□□□為大?也【寄大差分母】下以減于甲南行冪而半之得下式□□□為大勾也【寄大差分母】乃置斜步以大勾乗之得下□□□合以大?除不除便以此為小勾【寄大?分母】又置斜步以甲南行乗之得□合以大?除為小股不除而又以同母分通之得□○為同分小股也【內(nèi)只寄大?分母】注【大股乘時(shí)無(wú)大差分母故今通之以齊大勾上所有大差分母也】又置斜步以大?通之得□□□為通分小?也三位相并得□□為股圓差【寄左】然后置天元大差以大?分母通之得□○□為同數(shù)與左相消得□○□□開(kāi)立方得三百六十步即股圓差也以股圓差減于甲南行步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)東門(mén)外不知步數(shù)有樹(shù)甲從干南行六百步而止乙出北門(mén)東行斜望樹(shù)及甲與城防相直卻就樹(shù)斜行一百三十六步問(wèn)答同前
法曰二行步相乘于上又半甲南行乘之為實(shí)二行相乗于上又半甲南行以乘甲南行加上位為益從甲南行為從亷一步益隅開(kāi)立方得半徑
草曰立天元一為半徑便以為小股其斜行步即小?也乃以甲南行為大股以小?乘之復(fù)以天元除之得□□即大?也又倍天元減甲南行余□□為大差以減大?余□□□為大勾也又倍天元以減勾得□□□為小差也卻以半大差□□乘之得□□□為半徑冪【寄左】乃以天元冪相消得下式丨□□□開(kāi)立方得一百二十步即半徑合問(wèn)
或問(wèn)南門(mén)外不知步數(shù)有槐樹(shù)一株?yáng)|門(mén)外不知步數(shù)有柳樹(shù)一株槐柳二樹(shù)相去二百八十九步有人從干南行六百步而止斜望槐柳與城防相直問(wèn)答同前
法曰云數(shù)相乘得又自增乗為三乗方實(shí)斜步冪乘南行步又云之為益從二云數(shù)相乘又倍之【按此下脫內(nèi)減斜步冪五字】為益亷二之斜步為第二從亷二法常法得槐至城心步
草曰別得槐樹(shù)至城心步即人所止至槐樹(shù)步也乃立天元一為槐樹(shù)至城心步【即人至槐處】加于斜步得□□為邊?也以天元乗之得丨□合斜步除不除便以此為邊股【寄斜步分母】又以斜步乗南行步得□為大股以邊股減之余□□□為半城徑【寄斜步分母】以自之得丨□□□□為半徑冪【內(nèi)帶斜步為母】寄左又以天元減斜歩得□□為□?以天元乘之得□□○合斜步除不除寄為母便以此為半梯頭以邊股半梯底乗之得□○□□為同數(shù)與左相消得□□□□□開(kāi)三乘方得二百五十五步即槐樹(shù)至城心之步也亦為皇極正股又自之得數(shù)以減斜冪余如平方而一得城心至柳樹(shù)步又為皇極正勾也勾股相乘倍之為實(shí)如斜步而一即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲從干南行六百步而立乙出南門(mén)直行丙出東門(mén)直行三人相望俱與城相直而乙丙共行了一百五十一步問(wèn)答同前
法曰甲南行為冪折半又以自之為實(shí)倍共步加甲南行以乘半段甲行冪為從方甲行乘共數(shù)為從亷一個(gè)半甲南行為第二益亷二分五厘為三乘方隅草曰識(shí)別得共步加城徑即皇極和也又是半徑為勾之?與半徑為股之?相和步也二之此數(shù)內(nèi)減去大?即皇極勾股內(nèi)黃方面也亦為太虛?乃立天元一為大差以自之副置二位上位減于甲行冪以天元除之又折半得□□□為大勾也下位加甲南行以天元除之又折半得□□□為大?也其甲南行即大股也并勾大股得下式□□□即大和也再以天元減甲南行得□□即圓徑也加共步得□□即皇極和又是半徑為勾之?及半徑為股之?共數(shù)也又倍之得□□即全徑為勾之?及全徑為股之?共數(shù)也內(nèi)減大?得□□□即小和內(nèi)黃方面也乃置大和□□□以小黃方面乘之得□□□□□合以小和除之不除便以此為大黃方也【內(nèi)寄小和為母】寄左然后以天元減甲南行得□□為大黃方以小和乗之得丨□□為同數(shù)與左相消得□□□□□開(kāi)三乗方得三百六十步即股圓差也以股圓差減于甲南行余二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)丙出南門(mén)東行乙出東門(mén)南行各不知步數(shù)而立甲從干隅南行六百步斜望乙丙悉與城叅相直乙就丙斜行一百二步相防問(wèn)答同前
法曰以斜步乘甲南行冪又倍之為實(shí)倍甲行冪于上又以斜步乘二之甲南行加于上為從方四之甲南行為益亷四步常法開(kāi)立方得半徑
草曰別得斜步為小?也以斜步減圓徑余為小和也乃立天元為半徑以二之減于甲南行得□□為大差也以自之得□□□為大差冪也置甲南行冪□內(nèi)加大差冪而半之得□□□為大?也【內(nèi)帶大差為分母】又置甲南行冪內(nèi)減大差冪而半之得□□○為大勾也【帶大差分母】又以大差乘股六百步得□□并入大勾得□□□為大和也【帶大差分母】乃先以小?乘大和得下式□□□寄左又以倍天元減斜步得□□為小和以乘大?得□□□□為同數(shù)與左相消得□□□□開(kāi)立方得一百二十步即半徑也合問(wèn)
依前問(wèn)假令乙出東門(mén)南行丙出南門(mén)東行各不知步數(shù)而立【只云丙行步多于乙行步】甲從干隅南行六百步望乙丙與城叅相直乙復(fù)斜行就丙行了一百二步與丙相防問(wèn)答同前
法曰以斜步乘甲行冪又倍之為立方實(shí)甲行冪內(nèi)加斜行南行相乗數(shù)為從方甲南行為益亷半步為隅得全徑
草曰別得相就步即小?也小?得小和為直徑也立天元一為城徑以減于甲南行步得□□為大差以自之得丨□□為太差冪也置甲南行步以自之為冪副之上以加大差冪而半之得□□□為大?也【內(nèi)寄大差分母】下以減大差冪而半之得□□○為大勾也【內(nèi)寄大差分母】乃置相就步在地以大勾乗之得□□合大?除不除寄為母便以此為小勾也寄大?母又置斜步【即相就步也】以甲南行乘之得□合以大?除之不除寄為母便以此為小股而又以元分母大差乗之得□□為同分小股也只寄大?為母【其大勾內(nèi)元有大差分母其大股內(nèi)卻無(wú)分母故今乘過(guò)復(fù)以大差通之齊分母也】又置斜行步以大?通之得□□□為小?也上三位相并得□□為城徑也【內(nèi)寄大?分母】寄左然后置天元以大?通之得□□□為同數(shù)與左相消得□□□□開(kāi)立方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
測(cè)圓海鏡卷五
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷六
元 李冶 撰
大勾一十八問(wèn)
或問(wèn)乙從東門(mén)直行一十六步甲從干隅東行三百二十步望乙與城叅相直問(wèn)答同前
法曰甲東行內(nèi)減二之乙南行復(fù)以乘甲東行為實(shí)四之東行內(nèi)減二之乙東行為從四益隅得半徑草曰立天元一為半徑以二之加乙東行得□□為中勾以中勾減于甲東行得□□為勾率也其天元半徑即股率也置甲東行為大勾以股率乗之得□合以勾率除之不受除便以此為大股【內(nèi)帶勾率分母】再置天元以二之以勾率乗之得□□減于大股余□□為股圓差于上【內(nèi)有勾率分母】又以二之天元減甲東行得□□為小差以乗上位得□□□為半段黃方冪【內(nèi)有勾率分母】寄左然后以天元自之又以勾率乘之又就分倍之得□□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)南行三十步而立甲從干隅東行三百二十步望乙與城叅相直問(wèn)答同前
法曰甲乙相乘為實(shí)甲東行為從二虛法得半徑草曰識(shí)別具見(jiàn)大股第二問(wèn)中立天元為半徑內(nèi)減乙南行得□□為虛股以乘通勾甲東行得□□為半段城徑冪【寄左】然后以天元自之又就分二之得□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出南門(mén)直行一百三十五步而立甲從干隅東行三百二十步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰以乙南行乘甲東行冪為實(shí)二之乙南行乘甲東行為從方亷空二步常法得半徑
草曰立天元一為半城徑以二之加于乙南行得□□為股率以天元減甲東行得□□為勾率乃置乙南行以勾率乘之得□□合股率除不除便以此為小勾此即半梯之頭【內(nèi)帶股率分母】又以勾率乘之得□□□為半徑冪【內(nèi)?股率分母】寄左乃以股率乘天元冪得□□□為同數(shù)與左相消得□○□□開(kāi)立方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出南門(mén)東行七十二步甲從西北隅取直行三百二十步見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰二行相乘為實(shí)以東行為從一步常法得半徑草曰立天元一為半城徑以減甲東行步得□□為梯底以乙東行七十二步為梯頭以乘之得□□為半徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得丨□□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙從西南隅直東行一百九十二步甲從西北隅直東行三百二十步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰二行步相乘為實(shí)二行相并為法得半徑草曰立天元一為半徑副置之上以減于乙東行得□□為梯頭于上下位減于甲東行得□□為梯底以乘上位得丨□□為半徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得□□上法下實(shí)即半徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙從坤隅直南行三百六十步而止甲從干隅直東行三百二十步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰二行步相乗倍之為實(shí)二之甲東行為從一步常法得城徑
草曰立天元一以為城徑加一南行得□□為股二行步相并得六百八十步為?甲東行為勾勾股相乘得□□又倍之得□□為二直積【寄左】然后以勾股?相并得□□為三事和以天元乘之得丨□為同數(shù)與左相消得丨□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)東門(mén)南不知逺近有樹(shù)甲從干隅東行三百二十步望樹(shù)與城叅相直復(fù)就樹(shù)斜行一百七十步至樹(shù)問(wèn)答同前
法曰兩段東行步冪內(nèi)減兩段東行斜行相乗數(shù)為實(shí)【按或云倍東行步以二行差東之亦同】二之東行為從一益隅得城徑草曰別得東行步即大勾斜行步即小?也乃立天元一為城徑減東行步得□□為勾圓差也【今為小勾】置東行步以斜步乘之得□合以小勾除之今不受除便以此為大?【內(nèi)帶小勾分母】再置東行步以小勾乘之得□□為大勾以減大?得□□為大差合以小差乗之【縁內(nèi)帶小差分母】更不湏乗便以此為半段黃方冪【更無(wú)分母】又二之得□□為一段黃方冪【寄左】然后以天元冪與左相消得□□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
依前問(wèn)假令乙出東門(mén)南行不知步數(shù)而止甲從干東行三百二十步望乙與城相直復(fù)就乙斜行一百七十步
法曰以甲東行乘二行差冪為實(shí)以甲東行乘二之二行差為從方二之二行差為隅法得半徑
草曰識(shí)別得二行相減余一百五十即半城徑與乙南行共數(shù)也得此數(shù)更不湏用斜立天元一為半徑減于二行差得□□即半梯頭也又以二天元減甲東行步得□□為勾率又以一百五十為股率乃置甲東行以股率乘之得□合勾率除不除便以此為大股【內(nèi)寄勾率分母】再置天元以勾率乘之得□□以減于大股得□□□為半梯底也頭底相乘得下□□□□為半徑冪也【內(nèi)帶勾率分母】寄左然后以勾率乘天元冪得□□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)南門(mén)東不知逺近有樹(shù)甲從干隅東行三百二十步見(jiàn)樹(shù)復(fù)向樹(shù)斜行二百七十二步至樹(shù)問(wèn)答同前法曰二之二行差乘二之甲東行為實(shí)并二之二行差及二之甲東行為從二步益隅得城徑
草曰別得二行相減余四十八步即虛積之勾也立天元一為城徑內(nèi)減二之二行差得□□為梯頭于上置甲東行步以二之內(nèi)減天元得□□為梯底以乘上位得□□□為城徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得□□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲從干隅東行三百二十步而止乙出南門(mén)直行不知步數(shù)望見(jiàn)甲復(fù)就甲斜行四百二十五步與甲相防問(wèn)答同前
法曰二行步相減以乘東行冪得數(shù)半之為實(shí)以半之東行步乗東行步于上二行步相減余乗東行步減上位為從二之東行步為益亷一步常法得半徑草曰識(shí)別得二行相減是髙積上勾股較【此勾即半徑也】又別得是髙?不及股圓差數(shù)乃立天元為半城徑以減東行步得□□為中勾其斜行步即中?也又置半城徑以斜步乗之得□合以中勾除之不受除便以此為髙?【內(nèi)寄中勾為母】又以二行步相減余一百五步為髙?不及股圓差數(shù)置此數(shù)以中勾乘之得□□加入髙?得□□為大差于上【內(nèi)帶中勾分母】又倍天元減東行步得□□為小差又半之得□□以乘上位得□□□為半徑冪【內(nèi)有中勾分母】寄左乃以天元自乗又以中勾乘之得□□□為同數(shù)與左相消得□□□□以立方開(kāi)得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人俱在干隅乙直南行不知步數(shù)而立甲直東行三百二十步望見(jiàn)乙復(fù)就乙斜行六百八十步與乙相防問(wèn)答同前
法曰以二行差乘甲東行步又二之為實(shí)以二之二行差為從一步常法得城徑
草曰別得二行步相減余三百六十步即股圓差也乃立天元一為圓徑以減于甲東行步得□□為小差以東行斜行差三百六十步乘之得□□倍之得□□為一段城徑冪【寄左】乃以天元冪與左相消得丨□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)東門(mén)外不知逺近有樹(shù)甲從干隅東行三百二十步望樹(shù)與城叅相直復(fù)就樹(shù)斜行一百三十六步至樹(shù)問(wèn)答同前
法曰倍二行相減數(shù)內(nèi)減甲東行得數(shù)復(fù)以乘甲東行為實(shí)【按或云倍斜步以減甲東行余以甲東行乗之亦同】倍二行差為從二步虛常法得半徑
草曰識(shí)別得斜行步乃樹(shù)至城心步也立天元一為半徑加斜行步得□□即樹(shù)至城西門(mén)之步也乃以減于甲東行得下□□為小勾率其天元半徑即小股率其斜步即小?數(shù)也再置甲東行步內(nèi)減天元得□□為梯底于上又置梯底內(nèi)減二之小勾率得□□【按倍小勾得三百六十八步少二元以少二元減梯底之少一元反為多一元以三百六十八步減梯底之三百二十步反為少四十八步也】以乘上位得□□□為半徑冪乃以天元冪與左相消得下式□□□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)南門(mén)外不知步數(shù)有槐一株甲從干隅直東行至柳樹(shù)下望見(jiàn)槐樹(shù)復(fù)斜行至槐樹(shù)下甲自云我共行了七百四十五步乙從坤隅南行望見(jiàn)槐柳與城叅相直復(fù)斜行至槐樹(shù)下乙自云我南行步多于斜行步一百五步
按此問(wèn)下有草無(wú)法今依細(xì)草補(bǔ)之
法曰置甲共步內(nèi)減乙較步余數(shù)折半自之再倍乙較步乗之為立方實(shí)置上減余折半數(shù)又減二之乙較步復(fù)以減余折半數(shù)乗之為從甲共步內(nèi)減乙較步為亷五分為負(fù)隅開(kāi)立方得城徑
草曰識(shí)別得一百五步是大差多于髙?數(shù)又為髙?上勾股差數(shù)又別得是甲斜行多于東行數(shù)也乃副置甲共行七百四十五步在地其上位加一百五步而半之得四百二十五步即甲斜行也其下位減一百五步而半之得三百二十步即甲東行也乃立天元一為圓徑以半之減于甲東行步得□□為中勾其甲斜行四百二十五步即中?也再置天元以半之為小勾以中?乘之得□合以中勾除不除便以為髙?于上【內(nèi)?中勾分母】別置乙多步一百五步以中勾乘之得□□為大差多于髙?數(shù)也以加入上位得下式□□為一個(gè)大差也置甲東行以天元減之又倍之得□□為二個(gè)小差以乗大差得下□□□為一段黃方冪【內(nèi)帶中股分母】寄左然后置天元冪丨□以中勾通之得□□□與左相消得□□□□開(kāi)立方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)出東門(mén)直行不知步數(shù)有槐樹(shù)一株出南門(mén)東行不知步數(shù)有柳樹(shù)一株槐栁斜相距一百五十三步甲從干東行三百二十步望槐柳與城防相直問(wèn)答同前
法曰二行相乘訖又以乗甲東行冪為實(shí)斜行乗甲東行冪又三之為從方甲東行冪內(nèi)減兩段二行相乘數(shù)為第一亷二之甲東行為益二亷二步常法開(kāi)三乗方得半徑
草曰立天元一為半徑以二之減于甲東行得□□為小差以自之得□□□加于甲東行冪復(fù)半之得□□□為大?【內(nèi)寄小差分母】又置斜相距步以大勾乘之得□合大?除不除便以此為小勾【內(nèi)?大?分母】乃以天元減甲東行數(shù)得□□為半梯底以乘小勾半梯頭得□□為半徑冪于上此半徑冪內(nèi)有大?分母此大?分母元?小差分母故先用小差分母以乗上半徑冪得□□□為半徑冪也內(nèi)?本大?分母【寄左】然后以大?乘天元冪得□□□□為同數(shù)與左相消得□□□□□開(kāi)三乗方得一百二十步即半城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲從干隅東行三百二十步而止丙出東門(mén)南行乙出東門(mén)直行各不知步數(shù)而立甲廻望乙丙悉與城叅相直既而乙就丙斜行三十四步相防問(wèn)答同前
法曰甲東行再自之于上以二之斜行步乘甲東行冪減上位為立方實(shí)兩段南行冪內(nèi)減東行斜行相乘數(shù)為益從以甲東行加五【按加五即加半】為從亷五分虛隅得全徑
草曰立天元一為城徑以減于甲東行步得□□為小差以自之得丨□□為小差冪也乃置甲東行冪內(nèi)加小差冪而半之得□□□為大?也【內(nèi)帶小差分母】又置甲東行冪乃減小差冪而半之得□□○為大股也【內(nèi)帶小差分母】乃置斜行步在地以大股乘之得□□合以大?除之不除而又倍之得□□為梯頭也【即兩個(gè)小股內(nèi)寄大?為母權(quán)寄】乃置天元圓徑以半之以小差分母通之得□□以減于大股余得□又倍之得□為梯底也【即兩個(gè)邊股內(nèi)亦有小差分母】以乘權(quán)寄得□□□為城徑冪也【內(nèi)寄大?及小差分母】寄左然后以天元自之為冪以大?通之又以小差通之得□□□□□為同數(shù)與左相消得□□□□開(kāi)立方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
依前問(wèn)假令東門(mén)外有樹(shù)乙出東門(mén)南行不知步數(shù)而立【只云樹(shù)去城步少于乙南行步】甲從干隅向東行三百二十步望乙與樹(shù)悉與城叅相直乙復(fù)就樹(shù)斜行三十四步到樹(shù)問(wèn)答同前
法曰甲東行自之又以斜步乘之為立方實(shí)置半段甲東行冪于上以斜步乗甲東行減上位為從亷空半步常法得勾圓差
草曰別得乙斜行即□?也□?得小勾股即大股?較也乃立天元一為勾圓差以自之為冪副之上以加于甲東行冪而半之得□□□為大?也【寄小差分母】下以減于甲東行冪而半之得□□□為大股也【寄小差分母】乃置斜步以大股乘之得□□□合大?除不除便以此為小股【寄大?分母】又置斜步以甲東行乗之得□合大?除不除便以此為小勾而又以通母分通之得□為同分小勾也【寄大?分母】注【大股乘時(shí)有小差分母今大勾無(wú)母故又以齊同之】又置斜步以大?通之得□□□為同分小?也三位相并得□□為勾圓差也【寄左】然后置天元以大?通之得□○□為同數(shù)與左相消得□○□□開(kāi)立方得八十步即勾圓差也以勾圓差減于甲東行步余二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)南門(mén)外不知步數(shù)有樹(shù)甲從干東行三百二十步而立乙出西門(mén)便南行望樹(shù)及甲與城叅相直卻就樹(shù)斜行二百五十五步至樹(shù)問(wèn)答同前
法曰二行相乘于上以半之甲東行乗之為實(shí)二行相乘于上又半之甲東行以乘甲東行加上位為益從甲東行為從亷一步虛法開(kāi)立方得半徑
草曰立天元一為半徑便以為小勾其斜行即小?也乃以甲東行為大勾以小?乘之復(fù)以天元除之得□□即大?也又倍天元減東行余□□為小差以減大?余□□□為大股也又倍天元以減股余□□為大差也卻以半小差□□乗之得下式□□□為半徑冪【寄左】乃以天元冪與左相消得丨□□□開(kāi)立方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)南門(mén)外不知步數(shù)有槐樹(shù)一株?yáng)|門(mén)外不知步數(shù)有柳樹(shù)一株槐柳相距二百八十九步甲從干東行三百二十步斜望槐柳與城叅相直問(wèn)答同前法曰二行相乗得數(shù)又自增乘為實(shí)斜行冪乘甲東行又倍之為益從兩行相乘又倍之為益亷二之斜步為第二亷二步常法開(kāi)三乘方得栁至城心步草曰別得柳至城心步即甲立處柳樹(shù)步也立天元一為柳至城心步加斜步得□□為底?以天元乘之得丨□○合斜步除不除便以此為底勾【寄斜步分母】乃再置通勾以斜步乘之得□為帶母通勾內(nèi)減底勾余□□□為半徑以自之得丨□□□□為半徑冪內(nèi)帶斜步冪分母【寄左】乃以天元減斜步得□□為明?以天元乘之得□□合斜步除不除便以此為半梯頭【寄斜步為母】復(fù)以底勾半梯底乘之得□□□□為同數(shù)與左相消得□□□□□開(kāi)三乘方得一百三十六步即柳至城心步也合問(wèn)
或問(wèn)甲從干隅東行三百二十步而立乙出城東行丙出城南行三人相望俱與城相直乙丙共行了一百五十一步問(wèn)答同前
法曰以甲東行為冪折半又以自之為三乘方實(shí)倍共步加甲東行以乗半段甲行冪為從方甲行乗共數(shù)為從亷甲東行加五為第二益亷二分五厘常法得小差
草曰別得乙丙共行步即明股□勾共也立天元一為小差以自之副置二位上位減于甲東行冪以天元除之又折半得□○□即大股也下位加甲行冪以天元除之又折半得□○□為大?也其甲東行即大勾也并大勾大股得□□□即大和也再立天元以減甲東行步得□□即圓徑也以圓徑加共行步得□□即皇極和也【即小和又為髙?平?共數(shù)】又倍之得□□即黃長(zhǎng)?黃廣?共也內(nèi)減大?得下式□□□為皇極內(nèi)小黃方也【亦為虛?】再置大和□□□以小黃方乘之得下式□□□□□合以小和除之不除便以為城徑內(nèi)寄小和為母【寄左】然后天元減甲東行得□□為大黃方以小和乘之得丨□□為同數(shù)與左相消得□□□□□開(kāi)三乗方得八十步即小差也以小差減甲東行余二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)丙出南門(mén)東行乙出東門(mén)南行各不知步數(shù)而立甲從干隅東行三百二十步望乙丙悉與城防相直乙就丙斜行一百二步相防問(wèn)答同前
法曰甲東行自之于上倍斜行步乘之為立方實(shí)倍斜行步乘甲東行于上加兩段甲東行冪為從四之甲東行為益亷四為隅法得半城徑
草曰別得斜步即虛?減于全徑即小和也乃立天元一為半徑以二之減于甲東行得□□為小差也以自之得□□□為小差冪也置甲東行冪內(nèi)加小差冪而半之得下□□□為大?【內(nèi)帶小差分母】置甲東行冪內(nèi)減小差冪而半之得□□為大股也內(nèi)亦帶小差為母又以小差乘大勾得□□并入大股得□□□為大和也【帶小差母】乃先以小?乗大和得下□□□寄左次以斜步減于二天元得□□為小和以乗大?得下式□□□□為同數(shù)與左相消得□□□□開(kāi)立方得一百二十步即半城徑也合問(wèn)
依前問(wèn)假令乙出東門(mén)南行丙出南門(mén)東行各不知步數(shù)而立【只云丙行多于乙行步】甲從干隅東行三百二十步望乙丙與城防相直其乙丙共行一百二步問(wèn)答同前法曰倍共步以乗甲東行冪為立方實(shí)共步乗甲東行于上又以甲東行自之加上位為益從甲東行為從亷五分隅常法得城徑
草曰別得共步便為小?得小勾小股即與圓徑同立天元為城徑以減乙東行得□□為小差以自之得□□□為小差冪也乃置甲東行以自之為冪副之上以加小差冪而半之得□□□為大?也【內(nèi)寄小差分母】下以減小差冪而半之得□□○為大股也【內(nèi)寄小差分母】乃置共步在地以大股乘之得□□合大?除不除便以此為小股也【寄大?分母】又置共步以甲東行乘之得□合以大?除不除便以此為小勾而又以元分母小差乘之得□□為同分小勾【只寄大?分母】注【其大?內(nèi)元帶小差分母其大勾內(nèi)卻無(wú)分母故母故今復(fù)以小差通之齊同其分母也】又置共步以大?通之得□□□同分小?也三位相并得□□為城徑也【內(nèi)有大?分母】寄左然后置天元城徑□以大?分母通之得□□□○為同數(shù)與左相消得□□□□開(kāi)立方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
測(cè)圓海鏡卷六
<子部,天文算法類,算書(shū)之屬,測(cè)圓海鏡>
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷七
元 李冶 撰
明□前一十八問(wèn)
或問(wèn)出南門(mén)東行七十二步有樹(shù)出東門(mén)南行三十步見(jiàn)之問(wèn)答同前
法曰倍南行以乘倍東行為平實(shí)并二行又倍之為從一虛隅得城徑
草曰識(shí)別得此問(wèn)名為?外容圓又為內(nèi)率求虛積其二行步相并為虛?若以相減即虛較也又倍東行為?較和倍南行即?較較此二數(shù)相乘則兩虛積也若直以二行相乘則半個(gè)虛積也又倍東行減于城徑余即二虛勾也倍南行減于城徑則二虛股也虛積上三事和即城徑也乃立天元一為圓徑便以為三事和也倍二行步減之得□□為黃方一天元乘之得□□為二虛積【寄左】然后倍東行以乗倍南行得八千六百四十為同數(shù)與左相消得丨□□益積開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
又法二行步相乘為實(shí)二行步相并為從一步虛法得半徑
草曰立天元一為半徑副置二位上加?xùn)|行步得□□為大差勾下加□股得□□為小差股此二數(shù)相乘得下式丨□□為半段黃方冪【寄左】然后立天元以自之又二之與左相消得丨□□益積開(kāi)平方得一百二十步即半城徑也
又法二云數(shù)相乘倍之于上加云數(shù)差冪權(quán)寄并二云數(shù)又自增乗得數(shù)內(nèi)減上位為平實(shí)并云數(shù)而倍之為從二步益隅得半徑
草曰立天元一為半徑副之上減明勾得下□□為虛勾下減□股得□□為虛股勾股相乘得丨□□又倍之得□□□又加二行差冪□得□□□為?冪【寄左】然后并云步以自之得□為同數(shù)與左相消得□□□益積開(kāi)平方得一百二十步即半城徑也
又法云數(shù)相乘又倍之為平實(shí)云數(shù)相減為從一常法得虛勾
草曰立天元一為虛勾以南行減東行余四十二步為虛較也以虛較加天元得丨□為虛股以天元乘之得下丨□為直積【寄左】然后倍南行乘東行得□與左相消得丨□□開(kāi)平方得四十八步即虛勾也以勾除積得九十步即虛股也并勾股得□為虛和也內(nèi)加入二行并□得□即圓徑也
又法并兩行步以自乘于上又倍南行乘倍東行加上位為平實(shí)一隅法得小和
草曰立天元一為小和并二行步加之得□□為三事和也倍二行步而并之得□以減三事和余□□為黃方卻以三事和乘之得下丨□□為二虛積也【寄左】乃倍南行以乘倍東行得□為同數(shù)與左相消得丨□□開(kāi)平方得一百三十八步即虛和也加入二行步得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)丙出南門(mén)直行一百三十五步而立甲出東門(mén)直行一十六步見(jiàn)之問(wèn)答同前
法曰以丙行步一百三十五步再自之得二百四十六萬(wàn)零三百七十五于上又以甲行步一十六乘丙行冪一萬(wàn)八千二百二十五得二十九萬(wàn)一千六百以乘上位得七千一百七十四億四千五百三十五萬(wàn)為三乘方實(shí)以二行步相乘又倍之得四千三百二十以乘丙行步再自之?dāng)?shù)得一百六億二千八百八十二萬(wàn)為益從第一亷空以甲行乘丙行冪得二十九萬(wàn)一千六百又倍之得五十八萬(wàn)三千二百于上四之甲行冪一千零二十四以乘丙行步得一十三萬(wàn)八千二百四十減上位余四十四萬(wàn)四千九百六十為第二亷二行步相乘得二千一百六十為虛常法得丙行步上勾?差八十一
按法中載數(shù)自此始亦擇其數(shù)繁者詳之使人易曉也
草曰識(shí)得二數(shù)相并以減于皇極?余即虛勾虛股并也若以二數(shù)相減余為髙?內(nèi)減平?又為皇極?內(nèi)少個(gè)小差?又為大差?內(nèi)減個(gè)皇極?也立天元一為丙行大差數(shù)置丙行步一百三十五自乘得□用天元除之得□□為勾?并也上減天元得□□□為二丙勾也復(fù)用丙南行乘之得□□□為二積也又以天元除之得□□○□為丙勾外容圓徑【泛寄】別置丙南行用二甲勾乘之得□合用二丙勾除之不受除便以此為甲股【內(nèi)寄二丙勾為分母】復(fù)用二甲勾三十二乘之得□為二個(gè)甲直積也又置丙南行內(nèi)減天元得□□為黃方以自乘得丨□□為丙上勾?差乘股?差二段以天元除之得□□□為兩個(gè)丙小差也乃用甲股乗之得下式□□□復(fù)用丙南行除之得□□□又折半得□□□為一個(gè)甲步股?差也內(nèi)亦帶前二丙勾分母復(fù)置二個(gè)甲直積內(nèi)已寄此甲股?差分母便為甲步股外容圓徑【寄左】乃再置先求到泛寄【按即前所寄□□○□之?dāng)?shù)】用甲股?差分母乘之得□□○□□為同數(shù)與左相消得下式□□○□□開(kāi)三乗方得八十一步即丙步上勾?差也鈐經(jīng)載此法以勾?差率冪減丙行差冪復(fù)以丙行乘之為實(shí)以差率冪為法如法得徑此法只是以勾外求容圓半合以大差除陪積而今皆以大差冪為分母也依法求之勾?差八十一自之得六千五百六十一以減于丙行冪一萬(wàn)八千二百二十五余一萬(wàn)一千六百六十四復(fù)以丙行一百三十五乘之得一百五十七萬(wàn)四千六百四十為實(shí)以大差冪六千五百六十一為法如法得二百四十步即城徑也
又法二行相乘得數(shù)又自之為三乘方實(shí)并二行步以乗二行相乘數(shù)又倍之為從二行相并數(shù)以自乘于上又二行相減數(shù)自乗減上位為第一亷第二亷空一益隅益積開(kāi)之得半徑【其第一亷只是四段二行相乗數(shù)】
草曰立天元一為半城徑副置之上加南行步得□□為股下位加?xùn)|行步得□□為勾勾股相乘得丨□□為直積一段以天元除之得丨□□為?以自之得丨□□□□為?冪【寄左】乃以勾自之得丨□□又以股自之得丨□□二位相并得□□□為同數(shù)與左相消得丨○□□□益積開(kāi)三乘方得一百二十步即半城徑也
又法條段同前
草曰以前求得勾股率置出南門(mén)步為小股以勾率乘之得□□合以股率除不除寄為母便以此為半梯頭于上又置南行步加二天元得□□為大股以勾率乘之得□□□合以股率除不除寄為母便以此為梯底以乘上位得□□□□為半徑自乘數(shù)內(nèi)帶股率冪為母【寄左】然后置天元以自之又以股率冪乘之得下丨□□□為同數(shù)與左相消得數(shù)一如前答
又法以二行差冪數(shù)自乗又倍之為實(shí)并二行步以乘二行差冪又四之為益從四段南行冪內(nèi)減二段差冪于上又二段差冪內(nèi)減四段東行冪余以減上位【按并二行冪減二行差冪四因之亦同】為第一亷四之二行共為第二亷二步虛法益積開(kāi)之得皇極?二百八十九草曰立天元一為皇極?以自之為?冪于上以二行步相減余□以自之得□為較冪以減上得丨□□為二直積復(fù)以天元除之得□○□為一個(gè)城徑也副置之上位加二之東行步得□□□為二勾也以自增乘得丨□□□□為四段勾冪于上下位加二之南行得□□□為二股也以自增乘得丨□□□□為四段股冪也并入上位得下式□□□□□為四段?冪【寄左】然后以天元為冪四之為同數(shù)與左相消得下式□□□□□益積開(kāi)三乘方得二百八十九步即皇極?也 欲見(jiàn)城徑者別立天元半徑副之加?xùn)|行為勾加南行為股勾股各為冪并之與?冪相消開(kāi)方得城徑也
又法以二行差一百一十九自乘得一萬(wàn)四千一百六十一為差冪以東行步乘之得二十二萬(wàn)六千五百七十六為泛率又自增乗得五百一十三億三千六百六十八萬(wàn)三千七百七十六為五乘方實(shí)倍東行步得三十二以二行差一百一十九乘之得三千八百八為小泛以乘泛率又倍之得一十七億二千五百六十○萬(wàn)二千八百一十六為從方并兩行而倍之得三百二以乘泛率得六千八百四十二萬(wàn)五千九百五十二于上位以小泛冪一千四百五十萬(wàn)○○八百六十四加入上位共得八千二百九十二萬(wàn)六千八百一十六為第一亷并兩行而倍之得三百二以乗小泛得一百一十五萬(wàn)○○一十六為寄數(shù)倍二行差以乘差冪得三百三十七萬(wàn)零三百一十八內(nèi)減寄數(shù)余二百二十二萬(wàn)零三百零二為第二亷六段二行差冪八萬(wàn)四千九百六十六內(nèi)減二行并數(shù)冪二萬(wàn)二千八百一余六萬(wàn)二千一百六十五為第三益亷六之二行差七百一十四為第四益亷二步虛法得□?三十四步
草曰立天元一為皇極?上股?差【即東行步上斜也亦謂□斜】以元加二行差得□□即明?也【此即皇極?上勾?差也】以天元乗之又倍之得□□□即皇極內(nèi)黃方冪也【泛寄】置皇極?上勾?差以東行步乘之得□□以天元除之得□□為明勾也又置天元以南行乘之得□□合用明?除不除寄為母便以此為□股于上【寄明?母】乃再置明勾以明?乘之得□□□亦為帶分明勾加入上位得□□□即是一個(gè)虛?也以自增乘得下式□□□□□為一段虛?冪也內(nèi)帶明?冪分母【寄左】然后置明?以自之得丨□□為明?冪以乘泛寄得□□□□為同數(shù)與左相消得下式□□□□□□□開(kāi)五乗方得三十四步為東行步上斜步也【即□?】其東行十六步即□勾也勾?各自為冪以相減余九百步開(kāi)方得三十步即□股也既各得此數(shù)乃以股外容圓半法求圓徑得二百四十步即城徑也合問(wèn)
按此草又法求□?至開(kāi)帶縱五乘方法愈繁數(shù)愈賾而天元一之用愈見(jiàn)其妙苐所得帶縱五乘方亷隅積數(shù)雖具而未習(xí)其法者不能信其數(shù)之必然今姑取已得之□?數(shù)按亷隅數(shù)推其積數(shù)以明其數(shù)之無(wú)可疑焉置五乘方數(shù)二以□?三十四乘之得六十八與四乘方數(shù)七百一十四相加得七百八十二又以□?乘之得二萬(wàn)六千五百八十八與三乘方數(shù)六萬(wàn)二千一百六十五相加得八萬(wàn)八千七百五十三又以□?乘之得三百零一萬(wàn)七千六百零二與立方數(shù)二百二十二萬(wàn)零三百零二相加得五百二十三萬(wàn)七千九百零四又以□?乘之得一億七千八百零八萬(wàn)八千七百三十六內(nèi)減所少平方數(shù)八千二百九十二萬(wàn)六千八百一十六余九千五百一十六萬(wàn)一千九百二十又以□?乘之得三十二億三千五百五十萬(wàn)零五千二百八十內(nèi)減所少元數(shù)十七億二千五百六十萬(wàn)零二千八百一十六余十五億零九百九十萬(wàn)零二千四百六十四又以□?乗之得五百一十三億三千六百六十八萬(wàn)三千七百七十六為積數(shù)與草中積數(shù)合【此即無(wú)次商帶縱五乘方法】
或問(wèn)出東門(mén)一十六步有樹(shù)出南門(mén)東行七十二步見(jiàn)之問(wèn)答同前
法曰二行步相減得數(shù)以自之于上又以出東門(mén)步自之減上位為平方實(shí)二之出南門(mén)東行步為益從一步常法翻開(kāi)得半徑
草曰別得人到樹(shù)即平?也半圓徑即平股也其東行七十二步則平勾平?差也乃立天元一為半徑加一十六減七十二得□□為勾也以自之得丨□□為勾冪又加入天元股冪得□□□為?冪【寄左】再立天元一為半徑加出東門(mén)步得□□即?也以自之得丨□□為同數(shù)與左相消得□□□翻法開(kāi)之得一百二十步即半城徑也合問(wèn)
或問(wèn)出南門(mén)一百三十五步有樹(shù)出東門(mén)南行三十步見(jiàn)之問(wèn)答同前
法曰樹(shù)去城步內(nèi)減南行步余以為冪于上又以樹(shù)去城步為冪內(nèi)減上位為平實(shí)倍樹(shù)去城步為從一虛隅翻法得半城徑
草曰別得人距樹(shù)即髙?也半圓徑即髙勾也其南行三十步即髙?上小差也乃立天元一為半徑加樹(shù)去城步為?內(nèi)減小差□得□□即股也以自之得丨□□為股冪內(nèi)加入天元冪得□□□為?冪【寄左】再置?□□自之得丨□□為同數(shù)與左相消得丨□□翻開(kāi)得一百二十步即半城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)不知逺近而立甲出南門(mén)東行七十二步望見(jiàn)乙就乙斜行一百三十六步與乙相會(huì)問(wèn)答同前
法曰以斜行步自之于上以二行相減余自為冪減上位為平實(shí)從空一步常法得半徑
草曰別得七十二步即大差也斜行即?半徑即股也立天元一為半徑以自之為股冪又以二行差六十四以自之得□為勾冪并二冪得丨□□為?冪【寄左】然后以斜行步自之得□為同數(shù)與左相消得丨□□開(kāi)平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出南門(mén)不知逺近而立乙出東門(mén)南行三十步望見(jiàn)甲卻就甲斜行二百五十五步與甲相防問(wèn)答同前
法曰二行差自之為冪以減于斜行冪為平實(shí)一虛隅得半徑
草曰別得南行步即股?差也斜步即?也半徑即勾也乃立天元一為半城徑以自之為冪以二行相減余二百二十五以自之得□為股冪二冪相并得丨□□為?冪【寄左】然后以斜行自之得□為同數(shù)與左相消得下丨□□開(kāi)平方得一百二十步即半徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出南門(mén)東行不知步數(shù)而立乙出東門(mén)南行三十步望見(jiàn)甲斜行一百二步相防問(wèn)答同前
法曰二行相乘四之于上又加入斜行冪為平實(shí)得虛和一百三十八
草曰別得斜步內(nèi)減南行為甲東行步也此問(wèn)以?外容圓入之以二行相減數(shù)乘乙南行三十步得□又四之得□為二直積也又加入斜步冪□共得□即和冪也平方而一得一百三十八步即虛和也又加斜步得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)南行不知步數(shù)而立甲出南門(mén)東行七十二步望見(jiàn)乙斜行一百二步與乙相防問(wèn)答同前法曰倍相減步以乘倍東行得數(shù)復(fù)以減于斜步冪余為實(shí)平方而一得較也又以二行相減數(shù)乘倍東行為平實(shí)以較為從方得勾勾較共為長(zhǎng)又以斜步并入勾股共即城徑
草曰別得二行相減余□為乙南行步也以此數(shù)又減于甲東行余四十二步即較也乃以二行相減數(shù)□乘倍東行得□為平實(shí)以較為從平方開(kāi)得四十八即勾也勾內(nèi)加較得九十步即股也勾股共得一百三十八又加入斜步共得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出南門(mén)東行甲出東門(mén)南行兩相望見(jiàn)既而乙云我東行不及城徑一百六十八步甲云我南行不及城徑二百一十問(wèn)答同前
法曰半甲不及步以自之為冪半甲不及步內(nèi)減云數(shù)差以自之為冪二冪相并內(nèi)卻減差冪為平實(shí)二之乙不及為益從三步半虛法得甲南行
草曰別得乙不及為虛勾半徑共又為徑內(nèi)減明勾也甲不及為虛股半徑共又為徑內(nèi)減□股也又二云數(shù)相并為虛和圓徑共也云數(shù)相減即虛較也乃立天元一為甲南行以減于甲不及步又半之得□□為虛股也虛股內(nèi)減虛較得□□為虛勾勾自之得□□□為勾冪也又股自之得下式□□□為股冪也二冪相并得□□□為?冪【寄左】然后以天元加虛較得□□為乙東行又加入天元甲南行得□□為虛?以自之得□□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得三十步即甲南行也內(nèi)加少步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)丙出南門(mén)直行甲出東門(mén)直行兩相望見(jiàn)既而丙云我行少于城徑一百五步甲云我行少于城徑二百二十四步問(wèn)答同前
法曰二少歩相乘訖又自乗為實(shí)六之共步乘云數(shù)相乘數(shù)為益從十八之云數(shù)相乘數(shù)于上又三之共步自乘加上位內(nèi)復(fù)減丙少步冪甲少步冪為從亷四十八之共步為益二亷六十三步常法翻法開(kāi)三乗方得一百二十步即半徑
草曰別得云數(shù)共減于倍城徑為甲丙共數(shù)又云數(shù)相減即皇極差亦為甲行不及丙行數(shù)立天元一為半城徑以三之副置二位上位減丙少步得□□為皇極股也下位減甲少步得□□為皇極勾也勾股相乘得□□□以天元除之得□□□為?也?自之得□□□□□為?冪【寄左】然后以股自之得下□□□為股冪于上又以勾自之得□□□為勾冪并以加入上位得□□□為同數(shù)與左相消得□□□□□翻法開(kāi)三乘方得一百二十步即半城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出東門(mén)直行丙出南門(mén)直行各不知步數(shù)而立乙望見(jiàn)甲就甲斜行了二百八十九步與甲相防其二直行共一百五十一步問(wèn)答同前
法曰斜冪內(nèi)減共步冪為平實(shí)倍共步內(nèi)減斜步為從一常法得徑
草曰別得共數(shù)城徑并即皇極和也立天元一為圓徑加共步得□□為皇極和以自之得丨□□于上以斜行冪□減上位余丨□□為二直積【寄左】然后以天元乘斜步得□□與左相消得丨□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出東門(mén)直行乙出東門(mén)南行丙出南門(mén)直行丁出南門(mén)東行各不知步數(shù)而立四人遙相望悉與城叅相直只云甲丙共行了一百五十一步乙丁立處相距一百二步又云丙直行步多于甲直行步問(wèn)答同前
法曰共步距步相減得數(shù)自之于上以共步為冪內(nèi)減上為平實(shí)二之距步內(nèi)減共步距步差為從一步虛法得城徑
草曰別得共步得城徑即皇極和也相距步即虛?也皇極和內(nèi)減虛?即皇極?也又共步距步差□即皇極?內(nèi)減城徑也【此名旁差】乃立天元一為城徑加共步得□□為皇極和也以自之得丨□□于上以共步距步差□加天元得□□為皇極?也以自之得下式丨□□減上位余得□□為二直積【寄左】然后以天元徑乘皇極?得丨□為同數(shù)與左相消得丨□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出南門(mén)東行不知步數(shù)而立乙出東門(mén)南行望見(jiàn)甲復(fù)就甲斜行與甲相防乙通計(jì)行了一百三十二步其乙南行步不及斜行七十二步其甲東行多于乙南行問(wèn)答同前
法曰倍不及步在地以不及步減通步以乗之為實(shí)以四之不及步為法得乙南行三十步
草曰別得乙南行即□股也以減通步即虛?也以減不及步即虛較也其不及步即甲東行也立天元一為乙南行置不及步以天元乘之又四之得□為二直積【寄左】然后倍不及步以為?較和于上□以不及步減通步得□為?較較以乗上位得□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得三十步為乙南行也余各以數(shù)求之
又法別得通行步為兩個(gè)乙南行一個(gè)甲東行共也其不及步即東行步也云步相并即兩個(gè)虛?相減即兩個(gè)乙南行也
或問(wèn)甲出南門(mén)東行不知步數(shù)而立乙出東門(mén)南行望見(jiàn)甲復(fù)斜行與甲相防二人共行了二百四步又云甲行不及乙一百三十二【按甲不及乙六十步非一百三十二步當(dāng)云甲行不及共步方合】問(wèn)答同前
法曰別得二行共即兩個(gè)虛?也其不及步即乙南行與一虛?共也置不及步內(nèi)減一?余三十步即乙南行也以乙南行反以減虛?余七十二步即甲東行也以乙南行減甲東行余即虛較也 此問(wèn)無(wú)草
按右二問(wèn)語(yǔ)若淺近然以發(fā)明加減乘除相通之
義最為深切集中仿此者可類推之
或問(wèn)乙出東門(mén)南行甲出西門(mén)南行甲望見(jiàn)乙斜行五百一十步相防乙云我南行少于城徑二百一十步問(wèn)答同前
法曰少步冪為平實(shí)四斜步內(nèi)減二少步為益從五步常法得乙南行
草曰別得少步為徑內(nèi)減叀股立天元一為乙南行以二之減于倍斜行步得□□為梯底也以二之天元乘之得□□為徑冪【寄左】再置天元加少步得下式□□為城徑以自之得丨□□與左相消得□□□開(kāi)平方得三十步即乙南行也加少步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出南門(mén)東行甲出北門(mén)東行甲望見(jiàn)乙斜行二百七十二步與乙相防乙云我東行不及城徑一百六十八步問(wèn)答同前
法曰以不及步冪之為實(shí)四斜內(nèi)減二之不及步為虛從五常法平實(shí)開(kāi)得乙東行七十二
草曰別得不及步為城徑減明勾也立天元一為乙東行以倍之減于二之斜行步得下□□為梯底也倍天元乘之得□□為徑冪【寄左】再置天元加不及步得□□為城徑以自之得丨□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得七十二步即乙東行也加入少步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出南門(mén)東行丁出東門(mén)南行卻有甲丙二人共在西北隅甲向東行丙向南行四人遙相望見(jiàn)俱與城叅相直既而相防甲云我多乙二百四十八步丙云我多于丁五百七十步問(wèn)答同前
法曰二多步相乗為平實(shí)并二多步而半之為從七分半常法得城徑
草曰別得甲多步為大勾內(nèi)減明勾也丙多步為大股內(nèi)少叀股也又乙東行得一虛勾為半徑丁南行得一虛股為半徑又二多數(shù)相并得□為大和內(nèi)少虛?也又二多數(shù)相減余□為兩個(gè)角差又甲多步內(nèi)減半徑即勾方差也丙多步內(nèi)減半徑即股方差也立天元一為城徑以半之減于甲多步得□□為勾方差又以半徑減于丙多步得□□為股方差二差相乘得□□□為徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得下式□□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲丙二人俱在西北隅甲向東行丙向南行又乙出南門(mén)東行丁出東門(mén)南行各不知步數(shù)而立四人遙相望見(jiàn)悉與城叅相直既而相防甲云我與乙共行了三百九十二步丙云我與丁共行六百三十步問(wèn)答同前
法曰甲乙共自之為冪丙丁共自之為冪二冪又相乘為三乘方實(shí)甲乙共自之為冪以丙丁共乘之于上又以丙丁共自之為冪以甲乙共乘之加上位為益從甲乙共自之為冪丙丁共自之為冪并以七分半乘之于上又以甲乙共乘丙丁共得數(shù)減上位為第一益亷并二共數(shù)以七分半乘之為第二亷以七分半自之得五分六厘二毫五絲于上位以一步內(nèi)減上位余四分三厘七毫五絲為虛隅得城徑草曰別得甲為大勾乙為明勾丙為大股丁為叀股也甲乙共內(nèi)減半徑即是黃長(zhǎng)?也丙丁共內(nèi)減半徑即黃廣?也黃長(zhǎng)?黃廣?二數(shù)相減余為兩個(gè)皇極差也乃立天元為城徑半之副置二位上以減于甲乙共數(shù)得□□即黃長(zhǎng)?也以自之得□□□為黃長(zhǎng)?冪也內(nèi)減天元一冪余得下式□□□為勾方差冪也下位以減于丙丁共得下式□□即黃廣?也以自之得□□□為黃廣?冪也內(nèi)減天元一冪余得□□□為殷方差冪也再以勾方差冪股方差冪相乘得□□□□□為徑冪【寄左】然后以天元為冪又以冪自之與左相消得下式□□□□□開(kāi)三乘方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
測(cè)圓海鏡卷七
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷八
元 李冶 撰
明叀后一十六問(wèn)
或問(wèn)出南門(mén)向東有槐樹(shù)一株出東門(mén)向南有柳樹(shù)一株丙丁俱出南門(mén)丙直行丁往至槐樹(shù)下甲乙俱出東門(mén)甲直行乙往至柳樹(shù)下四人遙相望見(jiàn)各不知所行步數(shù)只云丙丁共行了二百七步甲乙共行四十六步又云甲丙立處相距二百八十九步問(wèn)答同前
法曰以二共相減數(shù)又以減距數(shù)為實(shí)二為法得平勾
草曰識(shí)別得丙丁共即明和也甲乙共即叀和也相距步即極?也二共相并即極?內(nèi)少個(gè)虛黃也又為極和內(nèi)少個(gè)虛和也二共相減余為平勾髙股差也又為虛差極差共也又為通差內(nèi)減極差也立天元為平勾加入二共相減數(shù)得□□為髙?又加天元得□□為極?【寄左】以相距步二百八十九與左相消得□□上法下實(shí)如法得六十四即平勾也以二共相減數(shù)加平勻得二百二十五為髙股復(fù)以平勾乘之得一萬(wàn)四千四百步開(kāi)平方得一百二十步即城半徑也合問(wèn)
又法二共數(shù)并以減相距數(shù)余者半為泛率以泛率加丙丁共為長(zhǎng)以泛率加甲乙共為闊長(zhǎng)闊相乘為平方實(shí)得半徑
草曰置極?內(nèi)減二共并數(shù)余三十六步即虛黃也半之副置二位上以加明和得二百二十五步為髙股也下以加叀和得六十四步為平勾也二位相乘得一萬(wàn)四千四百步開(kāi)平方得一百二十步即半徑也合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)丙丁共二百七步甲乙共四十六步又云二樹(shù)相去一百二步問(wèn)答同前
法曰以甲乙共乘樹(shù)相去步得數(shù)又以自之為平實(shí)從空并二共數(shù)為冪于上內(nèi)減甲乙共自之?dāng)?shù)丙丁共自之?dāng)?shù)【按或云二共數(shù)相乘倍之亦同】為益隅得叀?
草曰識(shí)別得兩樹(shù)相去步即虛?也余數(shù)具前立天元一為叀?置明和以天元乘之合叀和除不除便以□為明?也【內(nèi)帶□和分母】乃置虛?以分母叀和乘之得□加入明?得□□為極股也內(nèi)帶叀和分母以自之得下式□□□為極股冪【內(nèi)寄叀和羃為分母】又以天元加虛?得□□為極勾以自之得丨□□又以叀和冪□乘之得□□□為勾冪也勾股相并得□□□為兩積一較冪也內(nèi)有叀和冪分母【寄左】然后置明?□于上以叀和乘天元得□加上位得□為二?并又置虛?以叀和乘之得□并入上位得下式□□為極?以自之得□□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得三十四步即叀?也
又法以樹(shù)相去步自之又以甲乙共乘之為平實(shí)從空倍丙丁共為虛隅得叀?
草曰立天元一為叀?依前術(shù)求得明?□便以為皇極勾?差也【內(nèi)帶叀和分母】以天元□?便為皇極股?差以乘之又倍之得□□為虛?冪【內(nèi)有叀和分母寄左】然后以虛?自之又以分母□乘之得四十七萬(wàn)八千五百八十四為同數(shù)與左相消得□○□開(kāi)平方得三十四步即叀?也合問(wèn)
或問(wèn)皇極大小差共一百八十七步明黃叀黃共六十六步問(wèn)答同前
法曰后數(shù)自乘為實(shí)前后數(shù)相減余為法得虛黃方草曰別得一百八十七即明叀二?共也其六十六即太虛大小差共也又二數(shù)相并得□即明叀二和共若以相減余□即明叀四差共也立天元一為太虛黃方面加二黃共得□□即虛?也倍虛?又加天元得□□即城徑也又以虛?加皇極大小差得□□即極?也以極?乘城徑得□□□為兩段皇極勾股積【寄左】再以極?虛?相并得□□即皇極勾股共也自之得□□□內(nèi)減皇極?冪丨□□得□□□為同數(shù)與寄左相消得□□上法下實(shí)如法得三十六步即太虛黃方靣也合問(wèn)
或問(wèn)東門(mén)南有柳一株南門(mén)東有槐一株甲出東門(mén)直行丙出東門(mén)直行甲丙槐柳悉與城防相直既而甲就柳樹(shù)斜行三十四步至柳樹(shù)下丙就槐樹(shù)斜行一百五十三步至槐樹(shù)下問(wèn)答同前
法曰云數(shù)相乘倍之便為平方實(shí)開(kāi)方得虛?一百二步以此?加甲行步即極勾以此?加丙行步即極股余各依法求之 識(shí)別甲斜行即叀?也丙斜行即明?也 無(wú)草
或問(wèn)東門(mén)南有柳一株南門(mén)東有槐一株甲出東門(mén)直行丙出南門(mén)直行二人遙相望槐栁與城邊悉相直既而甲復(fù)斜行至柳樹(shù)下丙復(fù)斜行至槐樹(shù)下各不知步數(shù)只云丙共行了二百八十八步甲斜行與柳至東門(mén)步共得六十四步問(wèn)答同前
法曰二云數(shù)相乘于上以六十四步自之又二之減上位為平實(shí)十四之六十四于上倍丙行減上位為從【按倍丙行乃數(shù)偶合當(dāng)云九個(gè)半六十四內(nèi)減丙行為從】二十常法得甲直行步
草曰別得丙共步即明股明?和也六十四即平勾也內(nèi)甲斜行即叀?也柳至東門(mén)步即叀股也又云二數(shù)相并即明差與極?共也二云數(shù)相減即明差與平勾髙股差共也又平勾內(nèi)減叀勾即虛勾也立天元一為叀勾置丙共步以天元乘之復(fù)以六十四除之得□□呔為明勾也又以天元減于六十四得□□為虛勾也并虛明二勾□□為半徑也以自之得□□□□倍之得□□□□為半段圓城徑冪【寄左】乃以天元加六十四得□□為勾圓差于上又以明勾加丙共步得□□□為股圓差于下上下相乘得□□□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一十六步即叀勾也此叀勾乃甲出東門(mén)直行步也余皆依數(shù)求 合問(wèn)
或問(wèn)東門(mén)南有柳樹(shù)一株南門(mén)東有槐樹(shù)一株甲出東門(mén)直行丙出南門(mén)直行二人遙相望槐柳與城邊悉相直既而甲復(fù)斜行至柳樹(shù)下丙復(fù)斜行至槐樹(shù)下各不知步數(shù)只云甲共行五十步丙斜行與槐至南門(mén)步共得二百二十五步問(wèn)答同前
法曰以二百二十五步自之為冪又以此冪自為冪于上置甲共行以二百二十五步三度乘之得數(shù)復(fù)折半減上位為平實(shí)置二百二十五步自之?dāng)?shù)以二云數(shù)相減數(shù)乘之又倍之于上倍五十步在地以二百二十五步自之?dāng)?shù)乘之復(fù)折半加上位為益從云數(shù)相減自乘于上以云數(shù)相乘復(fù)折半減上位為常法得明股
草曰識(shí)別得甲共步即叀勾叀?共也二百二十五即髙股也內(nèi)丙斜行即明?槐至南門(mén)步即明勾也又二云數(shù)相并即極?內(nèi)減一個(gè)叀差也云數(shù)相減即叀差與髙股平勾差共也又髙股內(nèi)減明股即虛股也立天元一為明股即丙出南門(mén)直行步也置五十步以天元乘之得□合髙股除不除便以此□為叀股也內(nèi)帶髙股□分母再置髙股內(nèi)減天元得□□為虛股以分母髙股乘之得下式□□加入?yún)」傻谩酢跫窗霃揭惨宰栽龀说孟隆酢酢鯙榘霃絻缫矁?nèi)帶髙股冪為母【寄左】然后置甲共步以分母髙股乘之得□加入?yún)」傻谩酢鯙楣磮A差于上【內(nèi)帶髙股分母】又以天元加髙股得□□為股圓差于下上下相乘得□□□又以分母髙股乘之得□□□復(fù)折半得□□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一百三十五步即明股也合問(wèn)
或問(wèn)通勾通?共一千步叀勾叀?共五十步問(wèn)答同前
法曰置一千減二之五十步為泛率以自乘復(fù)半之于上又置泛率復(fù)以五十乘之加上位為平實(shí)二十二之泛率于上【按二十二乃此題叀和除通和所得通倍叀數(shù)加二數(shù)之?dāng)?shù)易題則數(shù)不同矣當(dāng)直云通倍叀數(shù)加二數(shù)乘泛率】以四十二【按四十二乃此題倍通倍叀數(shù)加二數(shù)之?dāng)?shù)當(dāng)直云倍通倍叀數(shù)加二數(shù)】乘五十得數(shù)內(nèi)減泛率加上位為益從二百【按二百乃此題通倍叀數(shù)加二數(shù)自乘折半于上又倍通倍叀數(shù)并二數(shù)以減上位之?dāng)?shù)當(dāng)同上不必載數(shù)】為常法得叀股
草曰立天元一為叀股置一千以天元乘之以五十除之得□為通股也又以天元加五十步得□□即小差也通股加小差得□□即通?也以通?減一千得□□即通勾也以小差減通勾得□□即圓徑也以圓徑減通股得□□即大差也置大差以小差乘之得□□□【寄左】然后置圓徑以自之得□□□折半得□□□與左相消得□□□開(kāi)平方得三十步即叀股也合問(wèn)
按此題通勾?和為叀勾?和度盡之?dāng)?shù)則不用寄分而用除法以從省便作者蓋舉一以例其余也
或問(wèn)通勾通?共一千步明勾明?共二百二十五步問(wèn)答同前
法曰以后數(shù)再自乘又以前數(shù)乘之為平實(shí)以后數(shù)為冪又以前數(shù)乘之為從以前數(shù)冪為常法得明股草曰別得二百二十五步即髙股也立天元一為明股置一千以天元乘之合以髙股除不除便以此□為通股【內(nèi)帶髙股為母】以天元加髙股□□即大差也置大差以髙股分母乘之得□□即帶分大差也以此減于通股余□□即圓徑也以自增乘得□□□寄左【內(nèi)?髙股冪分母】然后置一千以髙股分母通之得□內(nèi)減帶分大差得□□為兩個(gè)通勾也內(nèi)減兩個(gè)圓徑得□□為兩個(gè)小差也以帶分大差乘之得下式□□□為同數(shù)與左相消得□□開(kāi)平方得一百三十五步即明股也合問(wèn)
或問(wèn)通股通?共一千二百八十步叀股叀?共六十四步問(wèn)答同前
法曰云數(shù)相乘為平實(shí)前數(shù)為益從置前數(shù)以后數(shù)除之得二十為泛率泛率減一以自乘于上又倍泛率減一加上位為常法倒積開(kāi)得叀勾
草曰別得六十四步即平勾也立天元一為叀勾置前數(shù)以天元乘之以后數(shù)除之得□即通勾也又置天元加后數(shù)得□□即小差也以小差減通勾余□□即圓徑也以自之得□□□【寄左】然后以小差減于前數(shù)得□□為二通股內(nèi)減兩個(gè)圓徑得□□為二大差也以小差乘之得下□□□與左相消得□□□開(kāi)平方得一十六步即叀勾也合問(wèn)
或問(wèn)通股通?共一千二百八十步明股明?共二百八十八步問(wèn)答同前
法曰二數(shù)相減以后數(shù)乘之內(nèi)減后數(shù)冪又半之為泛率以自乘為平實(shí)【按或云前數(shù)內(nèi)減二后數(shù)余以后數(shù)乘之折半自之亦同】置前數(shù)加二之后數(shù)而半之為次率以乘泛率于上以后數(shù)乘泛率減上位【按或云二數(shù)相加以乘前折半數(shù)亦同】為益從次率自乘之于上以前數(shù)加次率復(fù)以后數(shù)乘之減上位【按或云前數(shù)折半內(nèi)減后數(shù)又以半前數(shù)乘之亦同】為隅法得明勾
草曰別得二數(shù)相減余□為通勾通股及明勾共也立天元一為明勾置前數(shù)以天元乘之合以后數(shù)除之不除便以此□為通勾也【內(nèi)寄后數(shù)分母】又以二數(shù)相減得數(shù)內(nèi)又減天元得□□為通和也乃以分母二百八十八乘之得下式□□內(nèi)減通勾余□□為通股也又以天元加后數(shù)又以分母【即后數(shù)也】通之得□□為大差也以此大差減于通股得下式□□為一個(gè)圓徑也半之得□□以自得之□□□為半徑冪【寄左】然后以半圓徑減通勾得□□為底勾又以天元乘之又以分母二百八十八乘之得□□呔為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得七十二步即明勾也合問(wèn)
或問(wèn)明股明?并二百八十八步叀勾叀?并五十步又云明股叀勾并多于虛?四十九步問(wèn)答同前法曰前二數(shù)相并內(nèi)減二之多步即圓徑又只以前二數(shù)相乘便是半徑冪
草曰識(shí)別得前二數(shù)相減而半之即極差也其多步名傍差又圓徑不及極?數(shù)
或問(wèn)平差髙差共一百六十一步明股叀勾并多于虛?四十九步問(wèn)答同前
法曰二數(shù)相減又半之以自乘為實(shí)后數(shù)為法得平勾
草曰立天元一為平勾以加前數(shù)得□□為髙股也又以天元加髙股得□□為極?內(nèi)減后數(shù)得□□又半之得□□為半徑以自之得丨□□【寄左】然后以天元乘髙股得丨□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得六十四步即平勾也合問(wèn)
或問(wèn)平勾髙股差一百六十一步明差叀差并七十七步又云極?多于城徑四十九步問(wèn)答同前
法曰并上二位而半之為平率其四十九即旁率也副置平率上加旁率下減旁率以相乘為實(shí)倍旁差為法得勾圓差【按求實(shí)數(shù)有誤當(dāng)云并上二位而半之內(nèi)減后數(shù)于上又置上前數(shù)內(nèi)減后數(shù)以乘上位為實(shí)方合】
草曰識(shí)別得平勾髙股差名為角差副置角差上加七十七而半之得□即極差也下減七十七而半之得□即虛差也角差加極差得□即通差也又極?多于城徑步名為旁差副置角差上加旁差得□為兩個(gè)髙段上勾股較下減傍差得□為兩個(gè)平段上勾股較也又副置極差上加傍差得□為股圓差上勾股較下減旁差□為勾圓差上勾股較也立天元一為勾圓差依法求得通差加入天元得□□即大差也以天元乘之得丨□為半段圓徑冪【寄左】乃置大差□□內(nèi)減股圓差上勾股較□余有□□為股圓差之勾于上再置天元內(nèi)加勾圓差上勾股較□得□□為勾圓差之股以乘上位得丨□□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得八十歩即勾圓差也
又依前問(wèn)見(jiàn)角差一百六十一步見(jiàn)明差叀差并七十七步又見(jiàn)太虛?較較六十步問(wèn)答同前
法曰前二數(shù)相減而半之得數(shù)加入半之太虛?較較為泛率以自乘為平實(shí)置一百六十一內(nèi)減二之泛率為從一常法得平勾
草曰別得□即二叀股也立天元一為平勾先以前二數(shù)相減而半之得□為虛差以虛差加叀股得□即明勾也以明勾加天元得丨□為平?以自之得丨□□內(nèi)減天元冪得□□為半徑冪【寄左】然后以天元加一百六十一為髙股以天元乘之得丨□為同數(shù)與左相消得丨□□開(kāi)平方得六十四步即平勾也
又法曰前數(shù)內(nèi)加半之太虛?較較以自乘【按此語(yǔ)內(nèi)有誤當(dāng)云倍角差加半太虛較以半太虛較乘之】為實(shí)前數(shù)內(nèi)減太虛?較較為從一常法開(kāi)平方得平勾此更不用明差叀差并也草曰依前求平勾前髙股內(nèi)加叀股得□□為髙?也以自之得丨□□于上位內(nèi)減髙股冪丨□□余得□□為半徑冪【寄左】然后以天元乘髙股得丨□為同數(shù)與左相消得下丨□□開(kāi)平方得六十四步即平勾也合問(wèn)
或問(wèn)髙差平差并一百六十一步明差叀差并七十七步問(wèn)答同前
法曰以前數(shù)自乘于上二數(shù)相并而半之以自乘減上位得數(shù)復(fù)自增乘為平實(shí)前數(shù)自之于上又以四之前數(shù)乘之寄位以前數(shù)自之于上并二數(shù)而半之以自乘減上位得數(shù)又以四之前數(shù)乘之【按此下落又倍之三字】減于寄位為從前數(shù)自之又四之于上又以四之前數(shù)為冪加上位權(quán)寄以前數(shù)為冪于上并二數(shù)而半之以自乘減上位得數(shù)復(fù)八之加上位又以四之前數(shù)為冪加入上位并以減于權(quán)寄為常法【按或云二和并而自之又半之以減髙平共差冪又四之為常法亦同】得平勾
草曰識(shí)別得二位相并而半之得□即極差也立天元一為平勾加一百六十一得□□為髙股髙股內(nèi)又加天元得□□為極?以自之得□□□于上內(nèi)減極差冪一萬(wàn)四千一百六十一余□□□為兩段極積合以極?除不除寄為母便以此為城徑以自增乘得□□□□□為圓徑冪【內(nèi)有極?冪分母寄左】然后以天元乘髙股又四之得□□又以分母極?冪□□□通之得□□□□呔為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得六十四步即平勾也合問(wèn)
或問(wèn)見(jiàn)明和二百七步叀和四十六步問(wèn)答同前法曰二和上下相減數(shù)同則止名為泛率又以二和直相減余為泛實(shí)【此則角差也】乃以泛率除泛實(shí)所得為差率也以差率加減泛率若半訖與勾股相應(yīng)者其泛率便為和率其泛實(shí)便為較率乘和率也若不相應(yīng)則直取差率以消息之定為相管和率【其勾股數(shù)少得見(jiàn)?黃而相為率者勾三股四則其和七而其較一也勾五股十二則其和一十七而其較七也勾八股十五則其和二十三而其較亦得七七勾七股二十四則其和三十一而其較一十七也勾九股二十則其和二十九而其較一十一也此消息之大畧也余皆仿此】乃以和率約二和其明和所得為明壘率其叀和所得為叀壘率也又副置和率上加差率而半之則為股率也下位減差率而半之則為勾率也既見(jiàn)勾股及差三率各以壘率乘之即各得勾股及差之真數(shù)也
按此用約分以勾股率數(shù)求之甚為省便然必兩數(shù)度盡而得數(shù)最小者方可用若兩數(shù)不能度盡或雖度盡而得數(shù)尚大者轉(zhuǎn)屬繁難故又設(shè)后法
又法二云數(shù)相并以自乘于上二之云數(shù)相乘又四之以相并以四分半乘之又四之以并入上位為從方以七十步零四分三厘七毫五絲為常法得叀小差四步
按此法未求實(shí)數(shù)其求從隅皆用本題數(shù)不可通用今依細(xì)草意另演一法于后亦惟二和數(shù)可以度盡者用之若不能度盡者仍用寄分為便
法曰二和數(shù)相減自之為平方實(shí)叀和除明和得數(shù)自而倍之內(nèi)減四之除得數(shù)再加二單數(shù)以乘二和相并之?dāng)?shù)為從除得數(shù)自而四之于上又以除得數(shù)自乘內(nèi)減四之除得數(shù)外加一單數(shù)自之以減上位為常法得叀小差
草曰以二和相約命得叀率一明率四步半其兩數(shù)大小差率并同又別得明小差叀大差俱為半虛黃也立天元為叀小差以四歩半乘之得□元為□大差也又為明小差又為半虛黃置此□大差又以四步半乘之得□為明大差也其四差相并得□減于二和并得□□即兩段太虛大小差并也內(nèi)加三段虛黃方□得□□合成一個(gè)太虛三事和即圓城徑也以自增乘得□□□為徑冪【寄左】乃置叀和加半虛黃得□□為平勾又置明和內(nèi)加半虛黃得□□為髙股勾相乘得下式□□□又四之得□□□為同數(shù)與左相消得下式□□□開(kāi)平方得四步即叀小差也合問(wèn)
或問(wèn)明叀二勾共八十八步明叀二股共一百六十五步問(wèn)答同前
法曰先識(shí)別得二大差共二小差共及四差共乃以二大差二小差相乘為實(shí)以四差共為法如法得半之虛黃方
草曰先置前后云數(shù)以約法約之得一十一即壘率也復(fù)各置前后數(shù)如壘率而一前得八即勾率也后得一十五即股率也再以勾股率求得較率七和率二十三?率一十七黃方率六大差率九小差率二即見(jiàn)諸率各以壘率乘之其二和共得□二較共得□二?共得□二黃共得□二大差共□二小差共□四差共□已上皆為明叀所得之共數(shù)也乃立天元一為半虛黃便為明小差又為叀大差也以減于大差共得□□即明大差也又以減于小差共得□□即叀小差也以二數(shù)相增乘得丨□□【寄左】以天元冪與寄左相消得□□上法下實(shí)得一十八步即半之虛黃方也以倍之得□又加于二黃共六十六共得一百二即明勾叀股共也又為極黃方又為虛?也又以三十六減于一百八十七余一百五十一即明股叀勾共也此數(shù)內(nèi)減虛?余□為明叀二差較也此名傍差以旁差減二?共一百八十七余得□即太虛和也卻加入虛?一百二并得□為太虛三事和即圓城徑也合問(wèn)
又或以虛黃方加于上和共二百五十三得□為極?也以旁差減極?余二百四十步亦同
又或前后副置勾股較和?黃六率在地前以小差率二因之則勾得□股得□較得□和得□?得□黃得□即叀段各數(shù)也后以大差率九因之則勾得□股得□較得□和得□?得□黃得□即明段各數(shù)也既得明叀各數(shù)余可知【按此因明?即皇極形勾?差叀?即皇極形股?差故以小差率乘各率即得叀段各數(shù)以大差率乘各率即得明段各數(shù)也】
按右二卷明叀前十八問(wèn)后十六問(wèn)在集中尤為神妙惜其中有偶爾思省未至者亦未暇修飾故耳
測(cè)圓海鏡卷八
<子部,天文算法類,算書(shū)之屬,測(cè)圓海鏡>
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷九
元 李冶 撰
大斜四問(wèn)
或問(wèn)甲丙俱在中心丙望南門(mén)直行不知步數(shù)而止甲出東門(mén)直行不知步數(shù)望見(jiàn)丙斜行與丙相防二人共行了六百八十步仍云甲直行少于丙直行一百一十九步問(wèn)答同前
法曰二數(shù)相減余以為冪內(nèi)卻減差冪為平實(shí)二數(shù)相減又四之于上又加入二之差步為益從二步常法得皇極勾
草曰別得共步即皇極三事和少步即勾股差也立天元一為皇極勾加少步得□□為股也又以天元加股得□□為和也以和減共步得□□為?也?自之得□□□為一段?冪【寄左】然后置股以天元乘之又倍之得□□為二直積加入少步冪□共得□□□為同數(shù)與左相消得□□□平方而一得一百三十六即勾也勾加差為股勾股相乘倍之為實(shí)勾股和減共步為法得城徑
又法云數(shù)并與云數(shù)差相乘【按此句有誤當(dāng)云和數(shù)與倍差相加相減二得數(shù)相乘】為平實(shí)云數(shù)并與二數(shù)差相并得數(shù)以減于八之共步為益從【按此只云六因和步為益從亦同】一步常法得皇極黃方
草曰立天元一為黃方【即虛?也】副置之上位加共步得□□為二和也下位減共步得□□為二?也先以二和自乘得丨□□為四段和冪又以二?自乘得丨□□為四段?冪二數(shù)相減余得□又倍之得下式□為十六段直積于天元位【寄左】然后副置二和上位加二之少步得□□為四股下位減二之少步得□□為四勾勾股相乘得丨□□為同數(shù)與左相消得□□□平方而一得一百二步即皇極黃方也余各依法求之合問(wèn)
或問(wèn)甲丙俱在西北隅起丙向南行不知步數(shù)而立甲向東行望見(jiàn)丙就丙斜行六百八十步與丙相防丙云我南行步多于甲東行二百八十步問(wèn)答同前法曰以云數(shù)差乘云數(shù)并為實(shí)倍多步為從二為平隅得大勾
草曰立天元為大平【按大平即大勾】加差得□□為股倍天元乘之得□□為二積【寄左】然后以斜步多步并□與斜步多步較□相乘得□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得三百二十步即大勾也合問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人共立于艮隅乙南行過(guò)城外而立甲東行望乙與城叅相直而止丙丁二人共立于坤隅丁向東行過(guò)城門(mén)而立丙向南行望丁及甲乙悉與城俱相直丙復(fù)就甲斜行六百八十步與甲相防乙丁又云吾二人直行共得三百四十二問(wèn)答同前法曰二云數(shù)相乘倍之為實(shí)倍斜行于上以二云數(shù)相減加上位為從一步常法開(kāi)平方得城徑
草曰別得斜步即大?也其共步則一徑一虛?共也其二數(shù)相并為一大和一虛?共數(shù)也立天元為徑減于共步得□□為虛?也以虛?復(fù)減于天元得□□為虛和以斜步乘之得□□【寄左】乃以天元加斜步得□□為大和以虛?乘之得□□□為同數(shù)與左相消得丨□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲從北門(mén)向東直行庚從西門(mén)穿城東行丙從西門(mén)向南直行壬從北門(mén)穿城南行四人遙相望悉與城叅相直只云丙相望處六百八十步庚壬穿城共行了六百三十一步問(wèn)答同前
法曰共步自之得數(shù)以共步減斜余自乘以減上為實(shí)二之斜步加入共步減斜余數(shù)為從一步常法得城徑
草曰共行步為一徑與皇和共也又為大和皇?差也甲丙相望即大?也以共步減大?余□為皇極?上減一徑也立天元一為圓徑減于共步得□□為皇極和也以自之得丨□□于上?內(nèi)減共步余□又以天元加之得□□為皇極?以自之得丨□□減上位余得□□為兩個(gè)皇直積【寄左】乃以天元乘皇?得下式丨□為同數(shù)與左相消得丨□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
大和八問(wèn)
或問(wèn)庚從西門(mén)穿城東行二百五十六步而立壬從北門(mén)穿城南行三百七十五步而立又有甲丙二人俱在干隅甲向東行丙向南行各不知步數(shù)而立四人遙相望只云甲丙共行了九百二十步問(wèn)答同前法曰庚東行冪壬南行冪相并于上并庚壬步而倍之內(nèi)減大和余復(fù)減于庚壬共得數(shù)【按或云并庚壬步以減大和亦同】以自乘減上位為平實(shí)并庚壬步為益從半步為隅法得城徑
草曰立天元一為圓徑以半之副置二位上以減于庚東行得□□為平?也下以減于壬南行得□□為髙?也二?相并得□□為皇?虛?共也倍此數(shù)得□□為大?虛?共也以大?虛?共減于大和余□□為虛勾虛股共也天元內(nèi)減虛勾虛股共余□□即虛?也復(fù)置皇?虛?共內(nèi)減虛?余□□即皇極?也以自之得□□【寄左】然后以平?自之得下式□□□為勾冪也又以髙?自之得□□□為股冪也二冪相并得□□□為同數(shù)與左相消得□□□平方而一得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)丙甲俱在西北隅甲向東行不知步數(shù)而立丙向南行望見(jiàn)甲就甲斜行與甲相防甲直行丙直行共九百二十步【甲步少于丙步】又出東門(mén)南行有柳樹(shù)一株出南門(mén)東行有槐樹(shù)一株戊己二人同在巽隅戊就柳樹(shù)已從槐樹(shù)亦與甲乙遙相望只云已行少于戊行數(shù)與兩樹(shù)相距數(shù)相并得一百四十四步其二數(shù)相減余六十步問(wèn)答同前
法曰二云數(shù)相并而半之為虛?以乘大和九百二十步于上以一百四十四減大和以虛較乘之減上位為平實(shí)以一百四十四減大和又二之于上以二之虛較減上位【按或云倍甲丙直行共加己戊較與兩樹(shù)距之較減三之己戊較與兩樹(shù)距之和亦同】為從四虛隅得太虛勾
草曰別得甲丙直行共即大和也戊就柳樹(shù)步即虛股也已就槐樹(shù)步即虛勾也其一百四十四步即二明勾其六十步即二叀股也立天元一為虛勾加明勾得□□為半徑也倍之得□□即城徑也【又為虛?上三事和】二云數(shù)相并而半之得□即小?也相減而半之得□即小較也以天元加較得□□即小股也小勾股共得□□即小和也以小三事減大和得□□即大?也乃先置小和以大?乘之得下式□□□【寄左】次以小?乘大和得□□與左相消得下式□□□開(kāi)平方得四十八步即虛勾也加明勾又倍之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲從干隅東行乙從艮隅南行丙從干隅南行丁從坤隅東行四人遙相望見(jiàn)既而甲還至艮隅就乙丙還至坤隅就丁甲丙直行共九百二十步甲還就乙共二百三十步丙還就丁共五百五十二步問(wèn)答同前
法曰并就數(shù)以減直行共復(fù)以所并就數(shù)乘之為實(shí)并就數(shù)減直行共得數(shù)復(fù)加入直行共為法得虛?草曰別得甲丙直行共為大和也甲還就乙步為小差勾股共也丙還就丁步為大差勾股共也以大差勾股共減于大股余即虛勾也以小差勾股共減于大勾余即虛股也二數(shù)相并得□為大?虛?共也二數(shù)相減余□為通差及大虛勾股差共也又并二數(shù)而半之得□為太極?虛?共又為太極勾股共也立天元一為虛?先以二共數(shù)減于大和余□為虛勾虛股和于上次以虛?減于二共數(shù)余□□為大?以乘上位得下□□【寄左】然后以天元乘大和得□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得一百二步即虛?也加入虛和得二百四十步即城徑也合問(wèn)
又法并云數(shù)減大和復(fù)以二數(shù)相減乘之為實(shí)并云數(shù)減大和得數(shù)復(fù)加入大和為法得虛差
草曰立天元一為虛較先以并云數(shù)減大和余□為虛和于上次以天元減于二就步較□得□□為通差以乘之得□□【寄左】然后以天元乘大和得□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得四十二步即虛差也副置虛和為二位上加虛差而半之得九十即虛股也下減虛差而半之得四十八即虛勾也勾冪股冪相并得□開(kāi)平方得一百二步即虛?也加入虛和得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)大和只云股圓差上勾?差二百一十六勾圓差上股?差二十步問(wèn)答同前
法曰以云數(shù)二十步減通和復(fù)以二十步乘之于上以云數(shù)二百一十六減九百步【按即并二差以減大和】而半之乘上位為立實(shí)三因二十步以減通和得八百六十以二百一十六減通和而半之得二百四十二二數(shù)相乗訖內(nèi)減二十之九百步又以三百四十二及二百一十六共得五百五十八又以之以減之為從方【按取從方內(nèi)語(yǔ)有誤當(dāng)云三因小差減大和并二差減大和半之相乘于上三因大和加大差減三之小差半之以小差乘之得數(shù)減上位為從方】以二百一十六減通和又以三之二十步減通和相并于上以二之五百五十八內(nèi)卻減二十步余以減上位為益亷【按取益亷內(nèi)語(yǔ)亦有誤當(dāng)云三因大和減六之小差為益亷】四步常法得小差股
草曰別得小差上股?差□加二股為大勾也大差上勾?差□加二勾為大股也立天元一為小差股加□得□□為小差?也小差?上又加天元得□□為通勾以減于和步得□□為通股也通股內(nèi)減大差上勾?差□得□□半之得下式□□即大差之勾也大差勾上又加勾?差□得□□為大差?也再置通股以小差?乘之得□□□以天元除之得□□□為一個(gè)大?也【泛寄】再置通勾以大差?乘之得□□□合以大差勾除不除寄母便以為大?【寄左】乃以大差勾乘泛寄得□□□□為同數(shù)與左相消得□□□□益積開(kāi)立方得一百五十步為小差股也合問(wèn)
或問(wèn)依見(jiàn)前大和只云髙?平?共得三百九十一步髙?平?相較得一百一十九步問(wèn)答同前
法曰以較數(shù)冪減于共數(shù)冪又半之為實(shí)以共數(shù)減大和為益從一步常法開(kāi)平方得圓徑
草曰別得髙數(shù)減于通股為邊股內(nèi)減明股也平?減于通勾為邊勾內(nèi)減明勾也其共數(shù)即大?內(nèi)減皇極?又為皇極勾股共也其相較步即皇極差也二云數(shù)相并即黃廣?也二云數(shù)相減余即黃長(zhǎng)?也以共數(shù)減于大和余□為皇極?與圓徑共立天元一為圓徑以減皇極?與圓徑共得□□為皇極?也以共數(shù)自之得□于上以相較數(shù)自之得□減上位余□又半之得□為兩段皇極積【寄左】乃以天元乘皇極?得卜□為同數(shù)與左相消得下□□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)大和只云大差?四百八步小差?一百七十步問(wèn)答同前
法曰以并云數(shù)減大和復(fù)以乘大和又倍之為平實(shí)三之通和于上又以并云數(shù)減大和加上位為從二步虛法得圓徑
草曰大差?減和步余□為大勾大差勾共也以小差?減大和余□為大股小差股共也云數(shù)相并□即大?內(nèi)減虛?也云數(shù)相減得□為虛?平?共也【按此二語(yǔ)因數(shù)偶合而誤見(jiàn)前】以相并數(shù)減于大和余□為大差勾小差股共又為圓徑虛?共也立天元一為圓徑減于□得□□為虛?也返以減于圓徑得□□為小和也以天元減大和得□□為大?以乘小和得□□□【寄左】乃再置虛?以通和乘之得□□與左相消得□□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)大和只云黃廣?五百一十步黃長(zhǎng)?二百七十二步問(wèn)答同前
法曰云數(shù)相并減大和復(fù)以相并數(shù)乘之為實(shí)云數(shù)相并減大和得數(shù)復(fù)以加大和為法得虛?
草曰別得黃廣?又為大差?虛?共又為邊股叀股共也黃長(zhǎng)?又為小差?虛?共又為底勾明勾共也以黃廣?減于大股余即虛股以黃長(zhǎng)?減于大勾余即虛勾故并數(shù)以減于大和余□為虛和也以虛和減徑□□即虛?也二云數(shù)相并得□為大?虛?共也云數(shù)相減余□為虛?平?共【按此句誤同上】立天元一為虛?以減于七百八十二得□□為大?也以小和乘之得□□【寄左】乃以天元虛?乘大和得□呔為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得一百二步即虛?也合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)大和只云邊?五百四十四步底?四百二十五問(wèn)答同前
法曰云數(shù)相減自之為實(shí)以大和減并數(shù)為法得皇極?
草曰別得以邊?減大股余為半徑內(nèi)減平勾又為平?內(nèi)減勾圓差也以底?減于大勾余為髙股內(nèi)少半徑又為股圓差內(nèi)少髙股也二云數(shù)相并得九百六十九為大?皇極?共也二云數(shù)相減□為皇極勾股差也并數(shù)內(nèi)減通和余□為皇極?內(nèi)減圓徑也立天元一為皇極?以自之于上以一百一十九自之減上位得丨□□為二皇積【寄左】復(fù)置天元內(nèi)減四十九得下式□□為黃方復(fù)以天元乘之得丨□與左相消得□□上法下實(shí)得二百八十九步即皇極?也內(nèi)減四十九余即城徑也合問(wèn)
按右大和八問(wèn)每問(wèn)于大和外復(fù)設(shè)二數(shù)然多有大和外設(shè)一數(shù)即可求者細(xì)考其法草所載皆三數(shù)并用婉轉(zhuǎn)求之蓋意在發(fā)明三數(shù)取用之理非不知其可省也
測(cè)圓海鏡卷九
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷十
元 李冶 撰
三事和八問(wèn)
或問(wèn)甲乙同立于干隅乙向東行不知步數(shù)而立甲向南直行多于乙步望見(jiàn)乙復(fù)就東北斜行與乙相防二人共行了一千六百步又云甲南行不及斜行八十步問(wèn)答同前
法曰共步內(nèi)減四之小差復(fù)以自之于上以十八個(gè)小差冪減于上為實(shí)四之共步內(nèi)減十六個(gè)小差于上卻以十八小差加上為益從四步常法開(kāi)平方得中差
草曰別得共步為三事和也不及步即小差也立天元一為中差加二之小差得□□為大小差并以加入三事和得□□為三?也倍三事得三千二百內(nèi)去大小差并得□□為三和也內(nèi)減三?余□□為三個(gè)黃方以自之得□□□為九段黃方冪【寄左】再置天元中差加小差得□□為大差以小差□乘之得□□為半個(gè)黃方冪就一十八之得□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得二百八十步即中差也其余各依法求之合問(wèn)
或問(wèn)以前三事和又云大差三百六十步問(wèn)答同前法曰倍云數(shù)以云數(shù)乘之又九之于上倍云數(shù)加三事和為前數(shù)倍云數(shù)減二之三事和為后數(shù)二數(shù)又相減余一百六十為泛率以自乘減上位為平實(shí)十八之云數(shù)內(nèi)又加四之泛率為從四常法得中差草曰立天元一為中差置云步倍之內(nèi)減天元得□□為大小差共數(shù)加于三事和得□□為三?也倍三事內(nèi)減大小差共數(shù)得下式□□為三和也內(nèi)減三?得□□為三個(gè)黃方靣也以自之得□【□□】□為九段黃方冪【寄左】再以天元減大差得下式□□為小差又倍之得□□以云數(shù)乘之得下式□□又就分九之得下式□□與左相消得下式□□□開(kāi)平方得二百八十步即中差也合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)三事和又云中差二百八十步問(wèn)答同前法曰和步加差步以自乘于上又和步內(nèi)減差步以自乘加上位為平實(shí)四之和步為從二步益隅得大?
草曰立天元一為大?減共步得□□為和副置之上位減差步得□□為二勾以自之得丨□□為四段勾冪也下位加差步得□□為二股以自之得丨□□為四段股冪也二位相并得□□□為四段?冪【寄左】然后以天元自之又四之得□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得六百八十步即大?也倍之以減于三事和余即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)三事和又云小差大差并四百四十步問(wèn)答同前
法曰并前后二數(shù)三而一為?反以減共步得數(shù)又以減?得城徑
草曰二數(shù)相并得□三而一得□即?也以?減三事和得□即和也?和又相減余二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)三事和又云小差中差大差共七百二十問(wèn)答同前
法曰半云數(shù)自之又三之于上以三事減上位為平實(shí)【按以三事減上位有誤此系偶合三事之?dāng)?shù)耳當(dāng)云加半段三事冪又倍三事和加大差復(fù)以大差乘之減上位為平實(shí)】倍三事于上半云數(shù)而五之加上位為益從二常法得小差
草曰別得三差共為二大差也立天元一為小差并大差加入三事和得□□為三?也以自之得丨□□為十八積九較冪【寄起】又以共三事步自之得□方于上又以天元小差乘大差倍之得□加于上得□□為十二積四較冪又加五【按即三因二歸】得□□為十八個(gè)直積六個(gè)較冪以減寄起余得丨□□為三個(gè)較冪【寄左】然后以天元小差減大差得□□為中差以自之得丨□□又三之得下式川□□為同數(shù)與寄左相消得□□□平方而一得八十步即小差也余各依數(shù)求之合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)三事和又云明黃方叀黃方共六十六問(wèn)答同前
法曰二事內(nèi)加二之共步復(fù)以二之共步乘之于上位三事內(nèi)減二之共步復(fù)以二之共步乘之得數(shù)減上位為平實(shí)三事內(nèi)加二之共步又倍之于上又三【按三當(dāng)作六】之共步加上位為泛寄三事內(nèi)減二之共步又四之于上又三【按三亦當(dāng)作六】之共步減上位得數(shù)以減泛寄為從作十八段虛平方開(kāi)之得虛黃方
草曰別得共步即虛大小差也立天元一為虛黃方以三之加入倍之共步得□□為圓徑也以圓徑加三事得□□為二通和以圓徑減三事得□□為二通?又副置圓徑上加天元得□□為二虛和下減天元得□□為二虛?乃置二大和以二小?乘之得下□□□【寄左】然后置二大?以二小和乘之得下式□□□與左相消得□□□平方開(kāi)之得三十六步即虛黃方也其余各依法求之合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)三事和又云皇極?二百八十九步問(wèn)答同前
法曰二數(shù)相乘為實(shí)從空一益隅得大?
草曰立天元一為通?內(nèi)減皇?余□□為皇極勾股和以自之得丨□□于上以皇極?冪減上位得丨□為二直積合于皇極除之不除寄為母便以此為城徑【寄左】乃以二之天元?減共步得□□為黃方面以皇?通之得□□與左相消得丨□□開(kāi)平方得六百八十步即大?也合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)三事和又云見(jiàn)太虛?一百二步問(wèn)答同前
法曰半虛?乘三事為實(shí)三事為從四虛隅翻開(kāi)之得半大?
草曰識(shí)別得以虛?減大?半之為皇極?以虛?加大?半之為皇極勾股共也立天元一為半大?以二之內(nèi)減虛?得□□折半得□□為皇極?也又以虛?加大?而半之得□□為皇極和也和自之得丨□□于上又以?自之得丨□□減上位余得下□為二直積合以皇極?除之不除寄為分母便以此為城徑【寄左】然后以四之天元減三事共余□□又以皇極?分母通之得□□□為同數(shù)與左相消得□□□倒積開(kāi)得三百四十步倍之即大?也合問(wèn)
測(cè)圓海鏡卷十
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷十一
元 李冶 撰
雜糅一十八問(wèn)
或問(wèn)城南有槐樹(shù)一株城東有柳樹(shù)一株甲出北門(mén)東行丙出西門(mén)南行甲丙槐柳悉與城叅相直既而丙就柳行五百四十四步至柳樹(shù)下甲就槐行四百二十五步至槐樹(shù)下問(wèn)答同前
法曰甲就步自之于上以二行相減數(shù)自之減上位為實(shí)二之二行相減數(shù)并入二之甲就步為從一步常法得平?
草曰別得丙就步為邊?也甲就步為底?也邊?即皇?髙?共也底?即皇?平?共也二行相并即大?皇?共也二行相減即皇極勾股較也倍皇?以減于大?余即虛?也倍皇?內(nèi)減邊?余即叀?也倍皇?內(nèi)減底?余即明?也皇極?加一差【按一差即皇極勾股較】則大差?也內(nèi)減一差則小差?也立天元一為平?加一皇極勾股差得□□即髙?也髙?自之得丨□□內(nèi)加天元冪得□□□為皇?冪【寄左】然后以天元減底?得下式□□自之得丨□□為同數(shù)與左相消得丨□□開(kāi)平方得一百三十六步即平?也余各依法求之合問(wèn)
或問(wèn)出南門(mén)東行有槐樹(shù)一株甲出北門(mén)東行斜望槐樹(shù)與城相直就槐樹(shù)行二百七十二步出東門(mén)南行有柳樹(shù)一株丙出西門(mén)南行斜望柳樹(shù)與城相直就柳樹(shù)行五百一十步問(wèn)答同前
法曰云數(shù)相并而半之以自乘于上半丙斜行以為冪半甲斜行以為冪并二冪減上位為實(shí)并云數(shù)為益從一步平隅得虛?
草曰別得丙斜行為黃廣?也亦為兩個(gè)髙?也此勾則城徑也甲斜行即黃長(zhǎng)?也亦為兩個(gè)平?也此股則城徑也二數(shù)相并得□即大?虛?共也二數(shù)相減余□即兩個(gè)皇極差也二數(shù)相并而半之得□即皇極和也立天元一為虛?以減于皇極和得□□即皇極?也以自之得丨□□為皇?冪【寄左】然后以髙?自之得□以平?自之得□二自乘數(shù)相并得□與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二即虛?也合問(wèn)
或問(wèn)甲從坤隅南行不知步數(shù)而立乙從艮隅南行一百五十步望見(jiàn)甲復(fù)斜行五百一十步與甲相防問(wèn)答同前
法曰斜行自之于上倍南行減斜余自之以減上為實(shí)倍南行減斜又四之為從八步常法平方得半徑草曰別得南行即小差股斜行即黃廣?也小差股內(nèi)減半徑余即半個(gè)黃廣積上股?差也全徑即其勾也立天元一為半城徑減于乙南行倍之得□□即一個(gè)黃廣即上股?差也以減于斜行步余□□即股也自之得□□□為股冪也又倍天元以自之得□□為大勾冪加入大股冪得□□□【寄左】然后以斜行冪□與寄左相消得下式□□□開(kāi)平方得一百二十步即半徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙從艮隅東行不知逺近而止甲從坤隅東行一百九十二步望見(jiàn)乙復(fù)斜行二百七十二步與乙相防問(wèn)答同前
法曰倍東行減斜行得數(shù)自為冪以減于斜行冪為平實(shí)倍東行減斜行又四之為從八益隅翻法開(kāi)平方得半徑
草曰別得甲東行即大差勾也斜行則黃長(zhǎng)?也大差勾內(nèi)減半徑余即半個(gè)黃長(zhǎng)積上勾?差也全徑即其股也立天元一為半徑減于東行倍之得□□即一個(gè)黃長(zhǎng)積上勾?差也以減于斜行步得□□即黃長(zhǎng)勾也以自之得□□□為勾冪于上倍天元以自之得□□加上位得下式□□□為?冪【寄左】然后以斜行冪□為同數(shù)與左相消得□□□平開(kāi)得一百二十步即半城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲從坤東行一百九十二步丙從艮南行一百五十步望見(jiàn)之問(wèn)答同前
法曰二行相乘倍之為平實(shí)如法得圓徑
草曰別得甲行即大差勾丙行即小差股此二數(shù)相乘恰與大小差相乘正同如法相乘訖倍之得□為圓徑冪【寄左】然然立天元為圓徑以自之與左相消得丨□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
又法以二行相減數(shù)減于二行相并數(shù)余者半之于上復(fù)以二行相減數(shù)加于上即城徑
草曰別得甲東行減于徑為虛勾也丙南行減于徑為虛股也二行共為一徑一虛?共也二行相減即虛和也以相并數(shù)相減數(shù)又相減即兩個(gè)虛?也如法求得虛和□虛?□相并得□即城徑也合問(wèn)按又法未合蓋以二行相減為虛較而草中誤以為虛和也其義甚淺非難知者是殆偶爾之遺忘然亦可以決其為當(dāng)日未定之稿矣
或問(wèn)出西門(mén)南行二百二十五步有塔出北門(mén)東行六十四步望塔正當(dāng)城徑之半問(wèn)答同前
法曰二行相乘為平實(shí)一步常法得半徑
草曰別得二百二十五步為髙股此乃半徑為勾之股也其六十四步為平勾此乃半徑為股之勾也二數(shù)相并即太極?也二數(shù)相減即中差內(nèi)去皇極差也又別得二行相乘恰是半徑冪一段此與半梯頭相乘其意正同今且以?上容圓取之立天元一為半徑副之上加南行得□□為股也下加?xùn)|行步得□□為勾也勾股相乘得丨□□為大直積以天元半徑除之得□□□為勾股和【寄左】然后并勾股得□□與左相消得丨○□開(kāi)平方得一百二十步即半徑也合問(wèn)
或問(wèn)丙從干隅南行丁從艮隅亦南行甲從干隅東行乙從坤隅亦東行各不知步數(shù)四人悉與城相直只云丙行內(nèi)減丁行余四百五十步甲行內(nèi)減乙行余一百二十八步問(wèn)答同前
法曰二行相乘為實(shí)一步常法得城徑
草曰別得丙行即大股丁行即小差之股也甲行即大勾乙行即大差之勾也其□即黃廣股其□即黃長(zhǎng)之勾也立天元一為城徑先置黃廣股□為股方差以□為勾方差以乘之得□為城徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得下式丨□□開(kāi)平方得二百四步合問(wèn)
或問(wèn)出南門(mén)東行有槐樹(shù)一株出東門(mén)南行有柳樹(shù)一株丙丁二人同立于坤隅甲乙二人同立于艮隅丁直東行至槐而止乙直南行至柳而止丙直南行甲直東行四人遙相望見(jiàn)只云丙行多于丁行一百六十八步乙行多于甲行七十步問(wèn)答同前
法曰云數(shù)相乘為實(shí)二數(shù)相減又半之為法得城徑草曰別得□即大差勾股較也其□即小差上勾股較也二數(shù)相并為大差?內(nèi)減小差?也二數(shù)相較又半之皇極?與城徑差也二數(shù)相并而半之即皇極差也立天元一為圓徑二云相減數(shù)又半之加天元得□□為極?也并二數(shù)而半之得□為極差也副置極?上位加極差得□□為?較和也下位內(nèi)減極差得□□為?較較也上下相乘得丨□□為二直積【寄左】然后以天元一乘極?得下式丨□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)而一得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲從坤東行丙從艮南行適相見(jiàn)斜行一百二步甲丙相防丙云我南行不及汝四十二步問(wèn)答同前法曰二數(shù)相并以斜行乘于上二數(shù)相并而半之以乘相并數(shù)減上位為平實(shí)不及步為從一步常法得虛勾
草曰別得一百二步即虛?四十二步即虛較也又斜行得虛股為乙東行此便為大差勾也斜行步得虛勾為丙東行此便是小差股也立天元一為虛勾加斜行步得□□為小差股也以不及步加于小差股得下式□□為大差勾也勾股相乘得丨□□為半段黃方冪【寄左】然后再置虛勾加不及步得□□為虛股又加入天元得□□為虛和又加入虛?得□□為圓徑以自之得□□□又半之得□□□與寄左相消得丨□□平方開(kāi)得四十八步即虛勾也合問(wèn)
或問(wèn)甲從城心東行丙從城心南行庚從巽隅西行壬從巽隅北行四人遙相望見(jiàn)各不知步數(shù)只云甲丙共行了三百九十一庚壬共行了一百三十八問(wèn)答同前
法曰云數(shù)相乘為實(shí)相并為法得虛?
草曰別得甲丙共為皇極和也又為極?極黃共庚壬共為太虛和也又為虛?虛黃共立天元一為皇極黃方靣【亦為虛?也】減于甲丙共得□□即極?也又以天元減于庚壬共得□□即太虛黃方靣也以太虛黃方靣乘極?得丨□□【寄左】然后以天元冪與左相消得□□上法下實(shí)如法得一百二步即皇極黃方靣也合問(wèn)【按此亦系相消后得一邊之二數(shù)者】
或問(wèn)甲從干隅東行不知步數(shù)而止丙向南行亦不知步數(shù)望見(jiàn)甲就甲斜行七百八十步與甲相防甲云我行地雖少于汝以我東行步為法除汝南行步則汝止得二步四分問(wèn)答同前
法曰斜步自之為平實(shí)除步自之又加一步為隅得甲東行
草曰此問(wèn)所求城徑與諸問(wèn)并同其勾股則與前后諸率不同今特為此草者欲使后學(xué)有以考較諸率當(dāng)否也立天元一為甲東行【即大勾】以乗二步四分得□為長(zhǎng)以自之得□□為股冪又并入天元冪得□□為?冪【寄左】乃以斜行自之得□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得三百即甲東行也以二步四分乘之得七百二十步即丙南行也倍丙東行以甲東行乘之得四十三萬(wàn)二千為實(shí)以三事和一千八百為法除之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)小差黃方靣少于大差黃方靣八十四步太虛黃方靣少于皇極黃方靣六十六步問(wèn)答同前
法半八十四為中差以中差減六十六為二小差半之為小差又中小差相并為大差乃以小差乘大差為平實(shí)半步常法得虛黃
草曰別得八十四為兩個(gè)虛積中差其六十六為虛積大小差并半八十四得□為虛中差也以中差減六十六余二十四半之得□即虛小差也以小差反減六十六余□即虛大差也又別得小差黃方為兩叀股大差黃方為兩明勾也立天元一為虛黃方置三位上加小差得□□為虛勾也中加大差得下□□為虛股也下加大小差并得□□為虛?也三位并之得□□即城徑也倍虛勾減城徑得□□為大差黃方靣也又倍虛股減城徑得□□為小差黃方靣也半小差黃方靣得□□以乘大差黃方得□□□為一個(gè)虛直積【寄左】乃以虛勾虛股相乘得丨□□為同數(shù)與左相消得□□□平方開(kāi)得三十六步即虛黃方靣也其余依法求之合問(wèn)據(jù)此問(wèn)既別得大小差正數(shù)自可以求得黃方靣也諸如此數(shù)實(shí)不湏草今特為細(xì)草者庶使后學(xué)知其來(lái)歴
或問(wèn)大差?較較減皇極?余四十九步小差?較和減太虛?余一百三十八步又皇極差一百一十九步問(wèn)答同前
法曰并前二數(shù)為冪內(nèi)減極差冪為平實(shí)從空二益隅得虛?
草曰別得大差?較較與小差?較和皆同為圓徑也又二數(shù)相并得□為明?叀?共又為極和內(nèi)少兩個(gè)虛?也其一百三十八即虛和也□則旁差也立天元一為虛?加入一百三十八得□□為圓徑也又加入□得□□為極?以自之得丨□□又倍之得□□□內(nèi)卻減極差冪□得下式□□□為和冪【寄左】乃倍天元加并數(shù)得□□為極和以自增乘得□□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二步即虛?也加入一百三十八得二百四十步為圓徑合問(wèn)【前二數(shù)相并加虛?便是極?】
或問(wèn)小差不及平?五十六步髙?不及大差一百五步問(wèn)答同前
法曰以前數(shù)自之為實(shí)二數(shù)相減為法得平勾草曰別得云數(shù)相并得□為平勾不及髙股也此數(shù)得極差則通差也此數(shù)內(nèi)減虛差則極差也云數(shù)相減余□即城徑不及極?也以前數(shù)減于半徑余即平勾以后數(shù)加于半徑即髙股也倍前數(shù)加小差則為股圓差之勾也此與前數(shù)加平?同倍后數(shù)減于大差則為勾圓差之股也此與后數(shù)減于髙?同立天元一為平勾加相并數(shù)得□□即髙股也又加天元得□□即極?也內(nèi)減二云數(shù)差得□□為城徑也半之得□□以自之得丨□□為半徑冪【寄左】然后以天元乘髙股得丨□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得六十四步即平勾也合問(wèn)
又法云數(shù)相得為實(shí)相減為法得半徑
草曰立天元為半徑副之上內(nèi)減五十六得□□為平勾下加一百五得□□為髙股上下相乘得丨□□為半徑冪【寄左】以天元冪與左相消得下式□□上法下實(shí)得一百二十步即半徑也合問(wèn)
或問(wèn)通勾通?共一千步大差小差共得四百四十步問(wèn)答同前
法曰以二差共減于一千又半之以自乘為平實(shí)以二差共減于一千又半之加入二之前數(shù)為縱【前數(shù)謂一千也 按此語(yǔ)有誤應(yīng)加入二之后數(shù)后數(shù)謂大小差共也】二步二分五厘益隅得勾圓差
草曰立天元一為小差數(shù)加入后數(shù)得□□卻以減于前數(shù)得□□折半得□□為一個(gè)圓徑也以自之得下式□□□【寄左】然后以天元減后數(shù)得□□為大差以天元乘之又倍之得□□與左相消得□□□開(kāi)平方得八十步即勾圓差也
或問(wèn)皇極三事和六百八十步太虛?和較三十六問(wèn)答同前
法曰二數(shù)相得為實(shí)半之后數(shù)為益從五分常法平開(kāi)得城徑
草曰別得皇極三事和即大?也立天元一為城徑減三個(gè)后數(shù)□而半之得□□為太虛大小差并也卻加入兩個(gè)后數(shù)□得下□□為虛和也又以虛和減天元得下□□為虛?也置通?【即皇極三事和也】?jī)?nèi)加天元得下式□□即通和也乃置通和以虛?乘之得下式□□□【寄左】再置虛和以通?乘之得下□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)出南門(mén)行一百三十五步有樹(shù)出北門(mén)行一十五步折而東行二百八步望見(jiàn)問(wèn)答同前
法曰以東行步乘南行步得數(shù)又自乘為實(shí)以東行步自乘乘南行步又倍之為從東行步自乘于上并南北二行步以減于東行步余數(shù)自之為冪以減上再寄位又并南北二行步以東行步乘而倍之內(nèi)減再寄為第一益亷四之東行步于上又并南北二行步減于東行步又四之減上位為第二益亷四步虛隅開(kāi)三乘方得半徑
草曰立天元一為半徑【即髙勾也】置南行步加天元得□□為髙?也置大勾□以髙?乘之得□□復(fù)以髙勾除之得下式□□為大?也令之自乘得□□□【寄左】又置二之天元加南北行并得□□為大股復(fù)用大勾二百八減之得□□為較也以自乘得□□□為較冪以減寄左得□□□□□為二直積【寄左】再置大股□□以大勾□乘之得□□為直積又倍之得□□為同數(shù)與左相消得□□□□□翻法開(kāi)三乘方得一百二十步即城徑之半也合問(wèn)
或問(wèn)出北門(mén)一十五步折而東行二百八步有樹(shù)出西門(mén)八步折而南行四百九十五步見(jiàn)之問(wèn)答同前法曰先置南行步內(nèi)減一東二西并步余二百七十一為前泛率次并一南二北內(nèi)減東行步余三百一十七為中泛率次并東西步以南行步乘之于上位又以西行乘南北并得數(shù)減上位余一十萬(wàn)二千八百四十為后泛率乃以后泛率自乘得一百五億七千六百六萬(wàn)五千六百為三乘方實(shí)以前中二泛相減余四十六以乘后法數(shù)為從前中二泛相乘得八萬(wàn)五千九百七加入二之后泛數(shù)共得二十九萬(wàn)一千五百八十七于上位又并東西行以乘南北并得二十二萬(wàn)三百二十加上位通得五十一萬(wàn)一千九百七為第一亷二之前泛數(shù)加入四之東西并得一千四百五十二于上位又以前中二泛相減于四十六減上位余一千四百六為第二亷一步常法得半徑【按此法乃取于又法草中其求第二亷云二之前泛數(shù)句誤當(dāng)云二之四數(shù)并若二之前泛數(shù)加入四之東西并便得第二亷一千四百零六更不待再減然原文之意不如是也】
草曰立天元一為半城徑加入東行西行并得□□為大勾也又置天元加入南行北行并得□□為大股也置西行八步以大股乘之得下式□□合以大勾除之不除寄為母便以此為股尖也置南行四百九十五步減天元得□□用分母大勾乘之乘訖得下式□□□內(nèi)減了股尖余□□□為小股也【內(nèi)帶大勾分母】置小股合以大勾乘了復(fù)以大股除之為小勾今為小股內(nèi)已有大勾為母更不湏乘只以小股□□□便為小勾也【內(nèi)帶大股為母】小勾小股相乘得數(shù)為一個(gè)小勾股相乘直積內(nèi)帶大勾股相乘直積為分母也乃以半城徑【即天元也】除之為一個(gè)?較和也丨□□□□此法本取勾外容圓合以?較和除二積為勾外所容之圓今用天元半徑除一個(gè)積則卻得一個(gè)?較和也內(nèi)依舊帶大積分母也【寄左】然后再置小股□□□合用大積乘之縁內(nèi)已帶大勾分母今只用大股□□乘之得□□□□為大積所乘小股于上再置小勾合用大積乘之縁內(nèi)已帶大股分母合只用大勾□□乘之得□□□□為大積所乘之小勾也以此小勾減上小股得□□□即帶分小較也又二因小較得下式□□□為帶分二較也又以大勾股直積丨□□乘二之天元半徑得□□□為一個(gè)帶分?較較也【?較較乘?較和為二直積既以圓徑除二百積為?較和則是圓徑為?較較也今又為半天元圓徑除一積為?較和故倍天元半徑作一個(gè)?較較也】遂將此?較較加入前二較得□□□□亦為一個(gè)?較和也與寄左相消得下式丨□□□□開(kāi)三乘方得一百二十步即城半徑也合問(wèn)
又法此問(wèn)系是洞淵測(cè)圓門(mén)第一十三前答亦依洞淵細(xì)草用勾外容圓術(shù)以入于?較和然其數(shù)煩碎宛轉(zhuǎn)費(fèi)力今別草一法其亷從與前不殊而中間段絡(luò)逕捷明白方之前術(shù)極為省易學(xué)者當(dāng)自知也 立天元一為半徑副之上并加?xùn)|西行得□□為通勾率下并加南北行得□□為通股率乃置西行八步以通股乘之得下□□合通勾除不除寄為母便以此為南小股也又置南行四百九十五步內(nèi)減天元得□□用通勾乘之得□□□內(nèi)減了南小股下式卜□□為股圓差也內(nèi)帶通勾分母又置北行一十五步以通勾乘之得□□合通股除不除寄為母便以此為北小勾也又置東行二百八步內(nèi)減天元得□□用通股乘之得□□□內(nèi)減了北小勾余□□□為勾圓差也【內(nèi)帶通股分母】乃以二差相乘得下式丨□【□□】□【□□】為半段圓徑冪也內(nèi)帶通積為母【寄左】然后以通勾通股相乘得丨□□以天元冪乘之得丨□□□又倍之得下式□□□□為同數(shù)與左相消得亷從一與前同合問(wèn)
按洞淵疑為古之精于算者序中謂老大以來(lái)得洞淵九容之說(shuō)而于此問(wèn)又明其為洞淵測(cè)圓門(mén)第十三題前答亦依其細(xì)草大抵是書(shū)之作皆師其意而演之者也今洞淵之為人與書(shū)雖不可考而即此一草觀之其取徑遙深而惟變所適亦可見(jiàn)文豹之一班矣至謂其數(shù)煩碎宛轉(zhuǎn)費(fèi)力特為初學(xué)難易而言讀者宜善防也
測(cè)圓海鏡卷十一
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷十二
元 李冶 撰
之分一十四問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人俱在西北隅乙向直東行不知步數(shù)而止甲向直南行望見(jiàn)乙復(fù)向乙斜行甲告乙云我直行斜行共一千二百八十步汝?yáng)|行步居我南行步十五分之八
法曰十六之共步冪為實(shí)二百五十七之共步為益從一十六步常法得勾圓差
草曰別得共步即股?共也立天元一為小差以乘共步得□為勾冪就分以二百二十五通之得□為二百二十五段勾冪【寄左】然后再置共步內(nèi)減小差得□□為二股就分四之得□□為一十五勾以自之得□□□為同數(shù)與左相消得□□□平方開(kāi)之得八十步即小差也既得小差加共步而半之得六百八十步即?也若以減共步而半之得六百步即股也以股冪減?冪余一十萬(wàn)二千四百步開(kāi)平方得三百二十步即勾也勾股相乘倍之得三十八萬(wàn)四千步為實(shí)以?和和一千六百步為法實(shí)如法而一得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人俱在西北隅乙直南行不知步數(shù)而立甲直東行望見(jiàn)乙復(fù)向乙斜行與乙相防甲云我共行了一千步又云我東行步居汝南行步十五分之八
法曰二百二十五段共步冪為實(shí)七百六之共步為益從二百二十五步常法得股圓差
草曰別得共步即勾?共也立天元一為大差以乘共步得□又就分以二百五十六通之得□為二百五十六個(gè)股冪【寄左】然后再置共步內(nèi)減天元大差得□□為二勾就分以一十五之得□□為十六個(gè)股也以自之得□□【□□】為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得三百六十即大差也副置共步上位減大差而半之得三百二十步即勾也下位加大差而半之得六百八十步即?也余數(shù)各依法求之合問(wèn)
或問(wèn)甲乙俱在城西北隅甲南行不知步數(shù)而立乙東行亦不知步數(shù)望見(jiàn)甲就甲斜行與之相防乙云我東步少于城周九分之五甲云我南行卻多于汝?yáng)|行二百八十步問(wèn)答同前
法曰別得周居九分徑居三分乙東行居四分【按此法未詳當(dāng)加倍較步為實(shí)徑分?jǐn)?shù)自之內(nèi)減二分?jǐn)?shù)為法得數(shù)三之即城徑二十四字】
草曰立天元一為一分之?dāng)?shù)以三之得□為徑以四之得□為勾以徑減勾余□為小差【只天元便是小差】再置小差加入甲多步得□□為大差倍大差以天元乘之得□□為一段圓徑冪【寄左】再置城徑以自之得下式□□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得八十步即一分之?dāng)?shù)也以三之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出西門(mén)南行不知步數(shù)而立乙出北門(mén)東行望見(jiàn)甲既而乙云我所行居城徑六分之五甲云然則我所行卻多于汝二百八十步問(wèn)答同前
法曰四之卻多步為實(shí)分自之于上半分母減子得數(shù)倍之又以減數(shù)乘之減上位為法得一分之?dāng)?shù)草曰別得卻多步即勾股差也乃立天元一為一分?jǐn)?shù)以六之為城徑以五之為乙行置乙行內(nèi)減半城徑得□為小差也又加入?yún)s多步得□□又二之得□□為二大差又以小差乘之得□□為徑冪【寄左】然后以徑冪□□與左相消得下□□上法下實(shí)得四十步即一分之?dāng)?shù)也六之則為城徑五之則為乙行又以卻多步加乙行即甲行步也合問(wèn)
或問(wèn)甲丙二人俱在西北隅甲向東行不知步數(shù)而立丙向南行望見(jiàn)甲與之相防丙語(yǔ)甲云我行既多于汝又城徑少于我四十分之十六【按四十為股分十六為徑當(dāng)云徑少于我為四十分之十六原文脫為字似十六為股圓差分矣】甲云然則吾二人共行了九百二十步問(wèn)答同前
法曰倍子以減倍母又乘共行步為實(shí)倍子減倍母以乘子母并數(shù)于上又以子冪加上位為法如法得一十五步即一分之?dāng)?shù)也
草曰別得共行步即通和也又別得四十分之十六或作二十分之八或作十分之四亦得但所得分?jǐn)?shù)不同耳乃立天元一為一分之?dāng)?shù)以十六之為城徑以四十之為丙行丙行減和步得□□為通勾勾內(nèi)減徑余得□□為小差于上以分母分子相減余□又倍之得□為兩個(gè)大差以乘上位得□□為圓徑冪【寄左】然后以分子十六分自之得下□□與左相消得□□上法下實(shí)得一十五步即一分之?dāng)?shù)也以十六之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲乙俱立于城中心乙出東門(mén)直行不知步數(shù)而立甲出南門(mén)直行亦不知步數(shù)望見(jiàn)乙向乙斜行與之相防乙云我居汝南行十五分之八又云斜行步內(nèi)若減甲直行余三十四步若減乙直行余一百五十三步問(wèn)答同前
法曰以云數(shù)二減步為小差大差以相乘倍之開(kāi)平方加入大小差并以自之于上又以大小差相較數(shù)以自之減上位為實(shí)甲行分乙行分相乘又倍之為隅法得一分之?dāng)?shù)
草曰別得云步相并得一百八十七是于皇極?內(nèi)少一個(gè)皇極黃方靣也又別得三十四步是個(gè)小勾圓差其一百五十三步是一個(gè)小股圓差此二差又相減余一百一十九即中差也乃立天元一為一分之?dāng)?shù)以八之得□為乙東行數(shù)以十五之得□為甲南行數(shù)以二數(shù)相乘又倍之得□□為二直積于上【寄左】然后以云步三十四乘一百五十三得五千二百二又倍之得一萬(wàn)四百四為平方實(shí)開(kāi)之得一百二步即小黃方也加入相并數(shù)一百八十七得二百八十九為小?也以自之得八萬(wàn)三千五百二十一為?冪于上以中差冪一萬(wàn)四千一百六十一減上位余□與左相消得□□□平方開(kāi)之得一十七步即一分之?dāng)?shù)也副置一分之?dāng)?shù)上位以八之得一百三十六即乙東行也下位以十五之得二百五十五即甲東行也二位相乘得三萬(wàn)四千六百八十又倍之得六萬(wàn)九千三百六十為實(shí)以?二百八十九為法如法得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出西門(mén)南行乙出北門(mén)東行各不知逺近兩相望見(jiàn)復(fù)相斜行各行了三百四十步相防甲云城徑居我南行二分之一乙云我東行居城徑六分之五問(wèn)答同前
法曰以二之斜行步自之為實(shí)以各行分?jǐn)?shù)自之為冪【按此語(yǔ)未詳當(dāng)云以城徑六分乘甲南行二分得十二分加半城徑三分得十五分為大股分乙東行五分加半城徑三分得八分為大勾分各自之為冪】又相并為隅法開(kāi)平方得一分之?dāng)?shù)
草曰別得倍斜行為大?又別得乙行五分城徑六分甲行十二分乃立天元一為一分之?dāng)?shù)以六之得□為城徑以五之得□為乙行分以十二之得□為甲行分乃副置半城徑上位加甲行步得□以自之得□□為甲行冪下位加乙行步得□以自之得□□為乙行冪二冪又相并得□□為大?冪【寄左】然后置大?六百八十步以自之得□與左相消得□□□平方開(kāi)之得四十步即一分之?dāng)?shù)也以六之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出西門(mén)南行不知步數(shù)而立乙出北門(mén)東行見(jiàn)之乙斜行與甲相防甲乙二人共行了一千三百六十步其甲南行居斜十七分之十二其乙東行居斜十七分之五問(wèn)答同前
法曰別得共步即二?也半共步得六百八十步副置上位以五之得三千四百以十七而一得二百步即乙東行也下位以十二之得八萬(wàn)一千六百以十七而一得四百八十即甲南行也二行相減余二百八十即勾股差也其余各依法求之合問(wèn)
或問(wèn)甲出西門(mén)南行不知步數(shù)而立乙出北門(mén)東行望見(jiàn)之既而乙謂甲云我取汝六分之五得六百步甲謂乙云我取汝五分之三亦得六百步問(wèn)答同前法曰求得各行步【按見(jiàn)后草】相并以自之于上并甲南行冪乙東行冪以減上為實(shí)并各行為從半步常法得全徑
草曰置【乙取甲六分之五六百步甲取乙五分之三六百步】以上六分五分各自直乗步數(shù)訖得人【六分 之五 三千六百步五分 之三 三千步】別得左行三千六百步為六乙行五甲行也右行三千步為五甲行三乙行也以方程法入之乃再置【五甲行 六乙行 三千六百步五甲行 三乙行 三 千 步】先以左行直減右行右上空中余三乙行下余六百步上法下實(shí)得二百步即乙行也卻以今右行減于元左行上余五甲行空中下余二千四百步上法下實(shí)得四百八十步即甲行也既得此數(shù)乃立天元一為城徑以半之副置二位上以加甲行得□□為通股以自之得□□□為大股冪下位加乙行得□□為通勾以自之得□□□為大勾冪二冪相并得□□□為大?冪【寄左】乃并甲行乙行以自乗得下式□亦為大?冪與左相消得下□□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲從坤隅南行不知步數(shù)而立乙從艮隅東行望見(jiàn)之既而乙謂甲云我所行取汝所行三分之一得二百步甲謂乙云我所行內(nèi)減汝所行四分之三得三百步問(wèn)答同前
法曰如法求得各行【按見(jiàn)后草】以相乗又二之開(kāi)平方得全徑
草曰置【乙取甲三分 之一 二百步甲減乙四分 之三 三百步】以上三分四分置乗步數(shù)訖得【三分之一 六百步 四分之三 一千二百步】別得右行六百步為三乙行一甲行也左行一千二百步為四甲行內(nèi)少三之乙行步也以方程法入之乃再置【一甲行 三乙行 六 百 步四甲行 三乙行負(fù) 一千二百步】先以左行直加右行右上得五甲行中空下一千八百步上法下實(shí)得三百六十步即甲行也次以一甲行減元右行六百步余二百四十步以中三除之得八十步即乙行步也甲行乙行二數(shù)相乘得數(shù)又倍之開(kāi)平方即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)股圓差如股五分之三勾圓差如勾四分之一又云其大小差相減余二百八十步問(wèn)答同前
法曰二之中差為實(shí)置股子以勾母乗之內(nèi)減股母為法得小差
草曰別得勾圓差即小差股圓差即大差云步即中差乃立天元一為小差以四之得□為勾勾上加中差得□□為股又三之得□□為五個(gè)大差也內(nèi)減五個(gè)天元得□□為五個(gè)中差也【寄左】乃以五之相減步□與左相消得□□上法下實(shí)得八十步即小差也合問(wèn)
或問(wèn)股圓差如股五分之三勾圓差如勾四分之一又云勾母每分少于股母每分四十步問(wèn)答同前法曰二之少步實(shí)以股子母相減數(shù)減勾子母相減數(shù)為法如法得小差
草曰立天元一為勾圓差便為勾母每分?jǐn)?shù)以天元加四十步得□□為股母每分?jǐn)?shù)于上乃以股子減股母余二分以乘上位得□□為城徑【寄左】再置天元在地以勾子減勾母余三分以乗之得□□為同數(shù)與左相消得下丨□上法下實(shí)得八十步即勾圓差也合問(wèn)
或問(wèn)甲出南門(mén)直行乙出東門(mén)直行望見(jiàn)甲斜行與甲相防甲云我行不及股圓差二十四分之十五乙云我行不及勾圓差五分之四又云甲行多于乙行一百一十九股圓差多于勾圓差二百八十問(wèn)答同前法曰以大差母分二十四以乘甲多一百一十九得數(shù)倍小差母五得一十以乘之于上以小差母五乗二之二差相較數(shù)又九之減上位為實(shí)倍小差母得一十卻以小差乗之又九之于上倍甲分母以小差母乗之得數(shù)減上位以為法得小差一分之?dāng)?shù)草曰立天元一為小差一分之?dāng)?shù)【此一分之?dāng)?shù)便是乙直行之?dāng)?shù)也】以五之得□為小差加二百八十得下□□為大差又倍之得□□以小差乗之得下式□□為一個(gè)圓徑冪又九之得□□【寄左】乃又置乙行步加一百一十九□□即甲行步也以二十四之得□□為九個(gè)大差也倍小差母得□以乘之得□□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得一十六步即小差一分之?dāng)?shù)也既得此數(shù)余各如法求之合問(wèn)
或問(wèn)大勾大股大?三事和一千六百步以明勾除大股得八步三分之一以□股除大勾得一十步三分之二以虛勾明勾相減余二十四步以虛股□股相減余六十步問(wèn)答同前
法曰六十步加入大三事和又三之二而一為實(shí)并二云數(shù)分母分子內(nèi)減六步為法如法得□股草曰別得六十步與二十四步二數(shù)相并而半之得□即明勾□股差也又為虛勾虛股差也若以二數(shù)直相減即虛黃方也其二十四步得二虛勾即半徑也其六十步得二□股亦為半徑也立天元一為□股加差步得□□為明勾也以乗八步三分之一得□□為大股也以天元乗一十步三分之二得□為大勾也勾股相并得下□□為大和也【寄左】然后四之天元加入二之六十步得□□為小三事和以小三事和加入大三事和得□□為二個(gè)大和也合折半為大和了又就三分之為前數(shù)今不折半三因但身外加五得□□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得三十步即□股也四之□股加入二之六十步得二百四十步即城徑也合問(wèn)
按之分即通分也張邱建謂學(xué)者不患乘除之為難而患通分之為難又謂夏侯陽(yáng)之方倉(cāng)孫子之蕩杯皆未盡其妙于是作為算經(jīng)三卷以發(fā)其義是書(shū)末設(shè)十四問(wèn)皆以立天元一之法御之尤為簡(jiǎn)妙殆所以明立天元一之法其用無(wú)不周也又按問(wèn)中兩言以方程入之張邱建算經(jīng)內(nèi)數(shù)問(wèn)亦然蓋有通分而乗除不窮有方程而通分益便此又因通分及之非立天元一本法也秦九韶謂時(shí)人誤以大衍法為方程者蓋此類也
按右書(shū)十二卷皆為立天元一法而作也其法神明變化不可端倪今略舉數(shù)端言之如諸法中有求之不可得者此法求之可得若此法求之不可得者則必不可求矣又諸法中有難求者雖強(qiáng)探力索毫厘未至則不可得此法但知大意不待深思加以步算即可得矣又諸法中有所求或先得彼而后得此者不能移易此法任其所求或先得此或先得彼無(wú)不如志又諸法有數(shù)始可求一數(shù)不具則不可求此法數(shù)不具亦可求且有無(wú)數(shù)即可求者又諸法遇甚繁甚密者湏次第步算或累日累月其功不能再省此法有經(jīng)年步算可約之頃刻而得者凡此皆尋常智慮所不能及要皆自然之理數(shù)易知易從然自不習(xí)者觀之蓋有茫然莫解其故者矣是書(shū)之作殆深憂?習(xí)者難其人而其法遂泯于后世也其謄寫(xiě)魯魚(yú)算式舛訛今悉正之
測(cè)圓海鏡卷十二
后序
敬齋先生病且革語(yǔ)其子克修曰吾平生著述死后可盡燔去獨(dú)測(cè)圓海鏡一書(shū)雖九九小數(shù)吾嘗精思致力焉后世必有知者庶可布廣垂永乎先生于六藝百家靡不貫串文集近數(shù)百卷常謙謙不自伐惟于此書(shū)不忘稱異于易簀之間想有?妙內(nèi)得于心者予以先生與先人同牓之故素常兄事克修克修兄命予重為序之予不敢詭論艷藻刻畫(huà)無(wú)鹽唐突西子直以所聞?wù)Z意載之于后至元二十四年春三月朔翰林修撰承直郎廣平王德淵后序
測(cè)圓海鏡 天文算法類二【算書(shū)之屬】提要
【臣】等謹(jǐn)案測(cè)圓海鏡十二卷元李冶撰冶字鏡齋欒城人金末登進(jìn)士入元官翰林學(xué)士事跡具元史本傳其書(shū)以勾股容圓為題自圓心圓外縱橫取之得大小十五形皆無(wú)竒零次列識(shí)別雜記數(shù)百條以窮其理次設(shè)問(wèn)一百七十則以盡其用探賾索隱參伍錯(cuò)綜雖習(xí)其法者不能驟解而其草多言立天元一按立天元一法見(jiàn)扵宋秦九韶九章大衍術(shù)中厥后授時(shí)草及四元玉鑒等書(shū)皆屢見(jiàn)之而此書(shū)言之獨(dú)詳其法關(guān)乎數(shù)學(xué)者甚大然自元以來(lái)疇人皆株守立成習(xí)而不察至遂無(wú)知其法者故唐順之與頋應(yīng)祥書(shū)稱立天元一漫不省為何語(yǔ)頋應(yīng)祥演是書(shū)為分類釋術(shù)其自序亦云立天元一無(wú)下手之術(shù)則是書(shū)雖存而其傳已泯矣明萬(wàn)厯中利瑪竇與徐光啟李之?等譯為同文算指諸書(shū)扵古九章皆有辨訂獨(dú)于立天元一法闕而不言徐光啟扵勾股義序中引此書(shū)又謂欲説其義而未遑是此書(shū)已為利瑪竇所見(jiàn)而猶未得其解也迨我
國(guó)朝醲化翔洽梯航鱗萃歐邏巴人始以借根方法進(jìn)
呈
圣祖仁皇帝授
蒙養(yǎng)齋諸臣習(xí)之梅防成乃悟即古立天元一法扵赤水遺珍中詳解之且載西名阿爾熱巴拉【案原本作阿爾熱巴逹謹(jǐn)據(jù)西洋借根法改正】即華言東來(lái)法知即冶之遺書(shū)流入西域又轉(zhuǎn)而還入中原也今用以勘騐西法一一脗合瑴成所説信而有徴特錄存之以為算法之秘鑰且以見(jiàn)中法西法互發(fā)益明無(wú)容設(shè)畛域之見(jiàn)焉乾隆四十六年二月恭校上
總纂官【臣】紀(jì)昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅
總 ?!」佟 境肌俊£憽≠M(fèi) 墀
原序
數(shù)本難窮吾欲以力強(qiáng)窮之彼其數(shù)不惟不能得其凡而吾之力且憊矣然則數(shù)果不可以窮耶既已名之?dāng)?shù)矣則又何為而不可窮也故謂數(shù)為難窮斯可謂數(shù)為不可窮斯不可何則彼其冥冥之中固有昭昭者存夫昭昭者其自然之?dāng)?shù)也非自然之?dāng)?shù)其自然之理也數(shù)一出于自然吾欲以力強(qiáng)窮之使隸首復(fù)生亦末如之何也已茍能推自然之理以明自然之?dāng)?shù)則雖逺而干端坤倪幽而神情鬼狀未有不合者矣予自幼喜算數(shù)恒病夫考圓之術(shù)例出于牽強(qiáng)殊乖于自然如古率徽率密率之不同截弧截矢截背之互見(jiàn)內(nèi)外諸角析剖支條莫不各自名家與世作法及反覆研究卒無(wú)以當(dāng)吾心焉老大以來(lái)得洞淵九容之說(shuō)日夕玩繹而向之病我者使爆然落去而無(wú)遺余山中多暇客有從余求其說(shuō)者于是乎又為衍之遂累一百七十問(wèn)既成編客復(fù)目之測(cè)圓海鏡蓋取夫天臨海鏡之義也昔半山老人集唐百家詩(shī)選自謂廢日力于此良可惜明道先生以上蔡謝君記誦為玩物喪志夫文史尚矣猶之為不足貴況九九賤技能乎嗜好酸咸平生每痛自戒勅竟莫能已類有物慿之者吾亦不知其然而然也故嘗私為之解曰由技兼于事者言之夷之禮夔之樂(lè)亦不免為一技由技進(jìn)乎道者言之石之斤扁之輪非圣人之所與乎覽吾之編察吾苦心其憫我者當(dāng)百數(shù)其笑我者當(dāng)千數(shù)乃若吾之所自得則自得焉耳寧復(fù)為人憫笑計(jì)哉李冶序
總率名號(hào)
天之地為通? 天之干為通股
干之地為通勾
天之川為邊? 天之西為邊股
西之川為邊勾
日之地為底? 日之北為底股
北之地為底勾
天之山為黃廣? 天之金為股
金之山為勾
月之地為黃長(zhǎng)? 月之泉為股
泉之地為勾
天之日為上髙? 天之旦為股
旦之日為勾
日之山為下髙? 日之朱為股
朱之山為勾
月之川為上平? 月之青為股
青之川為勾
川之地為下平? 川之夕為股
夕之地為勾
天之月為大差? 天之坤為股
坤之月為勾
山之地為小差? 山之艮為股
艮之地為勾
日之川為皇極? 日之心為股
心之川為勾
月之山為太虛? 月之水為股
水之山為勾
日之月為明? 日之南為股
南之月為勾
山之川為□? 山之東為股
東之川為勾
今問(wèn)正數(shù)
通?六百八十 勾三百二十 股六百
勾股和九百二十較二百八十
勾?和一千較三百六十
股?和一千二百八十較八十
?較和九百六十較四百
?和和一千六百較二百四十
邊?五百四十四 勾二百五十六 股四百八十勾股和七百三十六較二百二十四
勾?和八百較二百八十八
股?和一千零二十四較六十四
?較和七百六十八較三百二十
?和和一千二百八十較一百九十二
底?四百二十五 勾二百 股三百七十五勾股和五百七十五較一百七十五
勾?和六百二十五較二百二十五
股?和八百較五十
?較和六百較二百五十
?和和一千較一百五十
黃廣?五百一十 勾二百四十【即城徑也】 股四百五十
勾股和六百九十較二百一十
勾?和七百五十較二百七十
股?和九百六十較六十
?較和七百二十較三百
?和和一千二百較一百八十
黃長(zhǎng)?二百七十二 勾一百二十八 股二百四十【即城徑也】
勾股和三百六十八較一百一十二
勾?和四百較一百四十四
股?和五百一十二較三十二
?較和三百八十四較一百六十
?和和六百四十較九十六
髙?二百五十五【上下同】 勾一百二十【即半徑】 股二百二十五
勾股和三百四十五較一百零五
勾?和三百七十五較一百三十五
股?和四百八十較三十
?較和三百六十較一百五十
?和和六百較九十
平?一百三十六【上下同】 勾六十四 股一百二十【即半徑也】
勾股和一百八十四較五十六
勾?和二百較七十二
股?和二百五十六較十六
?較和一百九十二較八十
?和和三百二十較四十八
大差?四百零八 勾一百九十二 股三百六十勾股和五百五十二較一百六十八
勾?和六百較二百一十六
股?和七百六十八較四十八
?較和五百七十六較二百四十
?和和九百六十較一百四十四
小差?一百七十 勾八十 股一百五十
勾股和二百三十較七十
勾?和二百五十較九十
股?和三百二十較二十
?較和二百四十較一百
?和和四百較六十
皇極?二百八十九 勾一百三十六 股二百五十五
勾股和三百九十一較一百一十九
勾?和四百二十五較一百五十三
股?和五百四十四較三十四
?較和四百零八較一百七十
?和和六百八十較一百零二
太虛?一百零二 勾四十八 股九十
勾股和一百三十八較四十二
勾?和一百五十較五十四
股?和一百九十二較一十二
?較和一百四十四較六十
?和和二百四十較三十六
明?一百五十三 勾七十二 股一百三十五勾股和二百零七較六十三
勾?和二百二十五較八十一
股?和二百八十八較一十八
?較和二百一十六較九十
?和和三百六十較五十四
□?三十四 勾十六 股三十
勾股和四十六較一十四
勾?和五十較一十八
股?和六十四較四
?較和四十八較二十
?和和八十較十二
識(shí)別雜記
天之于日與日之于心同心之于川與川之于地同日之于心與日之于山同故以山之川為小差 川之于心與川之于月同故以月之日為大差
明勾□股相得名為內(nèi)率求虛積 明股□勾相得名為外率求虛積 虛勾虛股相得名為虛率求虛積
凡勾股和即?黃和 凡大差即股黃較 凡小差即勾黃較
髙股平勾差名角差【又】名逺差此數(shù)即髙平二差共也又為明和□和較也【又】為通差內(nèi)去極差【又】為極差虛差共 明□二差共名次差【又】名近差【又】名戾【音列】和此數(shù)【又】為明大差□小差較也 勾圓差之股股圓差之勾相并名混同和此數(shù)【又】為一徑一虛?共也 明□二差較名傍差此數(shù)又為髙平二差較【又】為極雙差內(nèi)減虛和【又】為極和內(nèi)減城徑也 虛差不及傍差名蓌差此數(shù)又為大差差內(nèi)去角差【又】為極差內(nèi)去二之平差【又】為次差內(nèi)去小差差【又】為明股□勾共內(nèi)去二之明勾也 虛差傍差共為蓌和【蓌音剉】
凡大差股小差勾相乘為半段徑冪 大差勾小差股相乘亦同上 虛勾乗大股得半段徑冪 虛股乘大勾亦同上 邊股□股相乘得半徑冪明勾底勾相乘亦同上 黃廣股黃長(zhǎng)勾相乗得徑冪 髙股平勾相乗得半徑冪 明?明股并與□?□勾并相乘得半徑冪 明?明勾并與□?□股并相乘亦同上 髙?平?相乘為一段皇極積 明勾□股相乘倍之為一段太虛積明股□勾相乘亦同
右諸雜名目
通?上勾股和即一城徑一通?也其較即勾圓差之勾股圓差之股相較也 勾?和即二勾一大差其較則大差也 股?和即二股一小差其較則小差也 ?較和為一徑三差共其較則大勾小差共也 三事和即邊?三事和上帶大勾也【又】為底?三事和上帶大股也其較則城徑也
邊?上勾股和為通股平?共其較則大差股內(nèi)去平?也 勾?和即通股底勾共其較則明股明?共也 股?和即通股通?和內(nèi)少個(gè)邊勾也其較則平勾也 ?較和為大差上股?和其較則大勾也 三事和即通?上股?和【又】為黃廣三事和上帶勾圓差也其較則大差勾也【又】為平?上?較和【又】為太虛?上股?和也
底?上勾股和為通勾髙?共其較則髙?內(nèi)去小差勾也 勾?和為通?上?較較與髙股共其較則髙股也 股?和為半個(gè)通?上三事和其較則□?上勾?和也 ?較和為大差上勾?和也其較則小差上勾?和也 三事和即通?上勾?和【又】為黃長(zhǎng)三事和上帶股圓差其較則小差股也【又】為髙?上?較較【又】為太虛?上勾?和
黃廣?上勾股和為大股虛股共【又】為通勾通股共內(nèi)少個(gè)小差上勾股和其較則兩個(gè)髙差也 勾?和為二髙?一圓徑共其較則二明股也 股?和為通?上?較和其較則二□股也 ?較和即兩個(gè)大差股也其較即兩個(gè)小差股也 三事和兩大股也其較則兩虛股也
黃長(zhǎng)?上勾股和為大勾虛勾共【又】為通和內(nèi)少個(gè)大差上勾股和也其較則兩個(gè)平差也 勾?和為通?上?較較其較則兩個(gè)明勾也 股?和為二圓徑二□勾其較則二□勾也 ?較和為兩個(gè)大差勾也其較則兩個(gè)小差勾也 三事和為兩大勾其較則兩虛勾也
髙?上勾股和為髙?虛股共【又】為一徑及髙勾髙股差也其較則底?內(nèi)減大勾也【又】為邊股內(nèi)減底股也 勾?共則底股其較則明股也 股?共即邊股其差則□股也 ?較共則大差股其較則小差股也 三事和即大股其較則虛股也【又】為小差上勾?較【又】為明?上?較較
平?上勾股共即平?虛勾共也其較則大股內(nèi)減邊?也 勾?共即底勾其差則明勾也 股?共即邊勾其較則□勾也 ?較共即大差勾其較則小差勾也 三事和即大勾其較則虛勾也【又】為大差上股?較【又】為□?上?較和
大差上勾股和即大股內(nèi)去虛勾其差則大差?內(nèi)去圓徑也 ?勾共即大股其差則大差股內(nèi)去二之明勾也 股?和為大股上加個(gè)大中差也【按大中差乃明股?和與半徑之較】其較則虛勾也 ?較和為兩個(gè)邊?上勾?較其較即城徑也 三事和即大股與股圓差共【又】為大?大較共【又】為二邊股其較則太虛上?較和也
小差上勾股和即大勾內(nèi)去虛股也其較則圓徑內(nèi)去小差?也 勾?和為大勾上減個(gè)小中差也【按小中差乃□勾?和與半徑之較】其較則虛股也 股?共即大勾其較則小差勾內(nèi)去兩個(gè)□股也 ?較和為圓徑其較則為兩個(gè)底?上股?較【又】為兩個(gè)□?上勾?和也 三事和即大勾與勾圓差共也又為大?大較較【按即通?又上?較較】為二底勾其較則太虛上?較較也
皇極勾股和即髙?平?共其較則明股內(nèi)去□勾也 勾?共即底?其較則明?也 股?共則邊?其較則□?也 ?較和為髙?明?共【又】為大股內(nèi)減大差勾【又】為大差?其較則小差?也 三事和即通?其較則太虛?也【又】為明勾□股共【又】為髙?內(nèi)減明?【又】為平?內(nèi)減□?【又】為大差勾上減虛股【又】為小差股上減虛勾也
太虛勾股和即圓徑內(nèi)減虛?【又】為虛?虛黃方共【又】為皇極?內(nèi)去明股□勾共其差則大差勾內(nèi)減個(gè)小差股也 勾?共即小差股也其較則虛股內(nèi)減個(gè)小黃方也 股?共即大差勾其較則虛勾內(nèi)減個(gè)小黃方也 ?較和為大差?上?和較【又】黃長(zhǎng)?上勾?較【又】為兩個(gè)明勾其較小差?上黃方面也 三事和即大黃方其較則為兩個(gè)明?上股?較【又】為□?上兩個(gè)勾?較【又】為明?上小差與□?上大差共也
明?勾股和即大差股內(nèi)減明?其較則明?內(nèi)減虛股也 勾?并即髙股其較則髙股內(nèi)少二之明勾也 股?和即邊股內(nèi)減大差勾【又】為邊勾邊?差其較則半個(gè)虛黃方也 ?較和即大差上勾?較其較則虛股也 三事和即股圓差其較則太虛上勾?較【又】為虛股內(nèi)減虛黃方也
□?上勾股和即小差內(nèi)減□?其較則虛勾內(nèi)減□?也 勾?和即底勾內(nèi)減小差股【又】為底股底?差其較則半個(gè)虛黃方也 股?和即平勾其較則平勾內(nèi)少二個(gè)□股也 ?較和即虛勾其較則小差上股?較也 三事和即勾圓差其較則太虛上股?較【又】為虛勾內(nèi)減虛黃方也
前黃廣勾股下 其勾股較【又】為大差股上少個(gè)小差股【又】為中差【按中差系通勾股較】?jī)?nèi)少個(gè)小差較【又】為黃廣股內(nèi)少一徑 勾?共【又】為兩個(gè)底股【又】為大股與小差股共 股?和【又】為大?中差共【又】為兩個(gè)邊股 股?差【又】為小差上黃方面
前黃長(zhǎng)勾股下 其勾股較【又】為大差勾上少個(gè)小差勾也【又】為圓徑內(nèi)少個(gè)黃長(zhǎng)勾 勾?共【又】為兩個(gè)底勾【又】為大勾與小差勾共 勾?較【又】為大差上黃方靣 股?共【又】為兩個(gè)邊勾
右五和五較
大?為大勾與股圓差共【又】為大股與勾圓差共邊?乃邊股平勾共【又】為大股內(nèi)減平?上勾股較 底?乃底勾髙股共【又】為大勾內(nèi)加一個(gè)髙差 黃廣?為大股內(nèi)減虛股【又】為邊股□股共黃長(zhǎng)?乃大勾內(nèi)減虛勾【又】為底勾明勾共
髙?乃大差?內(nèi)減明?【又】為明?虛?共 平?乃小差?內(nèi)減□?【又】為□?虛?共 大差?乃大股內(nèi)減大差勾【又】為髙?明?共【又】大?內(nèi)去黃長(zhǎng)? 小差?為大勾內(nèi)減小差股【又】為平?□?共【又】為大?內(nèi)去黃廣? 極?乃髙股平勾共【又】為平?明?共【又】為髙?□?共【又】為大差?內(nèi)減髙平二?較【又】為小差?內(nèi)加髙平二?較 虛?乃皇極黃方靣【又】為明勾□股共【又】為髙?內(nèi)減明?【又】為平?內(nèi)減□? 明?乃髙?內(nèi)減虛? □?乃平?內(nèi)減虛?
黃廣?黃長(zhǎng)?相并為大?虛?共也以此數(shù)減于大和余即虛和 若以二?相減余即虛?平?共也【按虛?平?共此題數(shù)偶合當(dāng)云二極差】 黃廣?【又】為大差?虛?共 黃長(zhǎng)?【又】為小差?虛?共 以黃長(zhǎng)?減于大勾余即虛勾 以黃廣?減于大股余即虛股
邊?底?相并為大?皇極?共也于此并數(shù)內(nèi)減大和余為皇極?內(nèi)減圓徑也 若以二?相減余即皇極差也此數(shù)同者最多故【又】為皇極?內(nèi)少個(gè)小差?【又】為髙?平?較【又】為明股內(nèi)少□勾【又】為大差?內(nèi)少皇極?【又】為次差虛差共也邊?【又】為皇極股?共【又】為黃廣?□?共
底?【又】為皇極勾?共【又】為黃長(zhǎng)?明?共也以邊?減大股余為半徑內(nèi)減平勾【又】為平?內(nèi)減小差勾也 底?內(nèi)減大勾余為髙股內(nèi)減半徑【又】為大差股內(nèi)減髙?也
黃廣?內(nèi)減邊股即□股 黃長(zhǎng)?內(nèi)減底勾即明勾也
髙?髙股共即邊股 平?平勾共即底勾 髙?髙勾共即底股 平?平股共即邊勾
上髙?減于通股余即邊股內(nèi)減□股也 下平?減于通勾余即邊勾內(nèi)減明勾也 髙?平?相并即大?內(nèi)少個(gè)皇極?也若以相并數(shù)減于大和余為皇極?圓徑共也 髙?平?相減余即皇極差也【又】為皇極?上減小差?也若以相減數(shù)卻加于相并數(shù)即黃廣?也
髙?內(nèi)減明股得半徑 平?內(nèi)減□勾亦同上皇極勾上加明?為皇極? 皇極股上加□?亦同上
皇極? 得極勾即底? 得極股即邊? 內(nèi)去極勾即明? 去極股即□? 減于通?即極和 得虛?亦同上 內(nèi)去虛?即明?□?共去虛黃即明和□和共也 去城徑即傍差
內(nèi)加極差即大差? 去極差即小差? 加角差即兩個(gè)髙股 減角差即二平勾
太虛? 加入極?為極和 極?內(nèi)去之即明□二?共 再去之則明大差□小差并也 加于大差?即黃廣? 加于小差?即黃長(zhǎng)? 內(nèi)去明勾則□勾 加明勾為圓徑內(nèi)少虛黃□股共 加入明股為明和□股共 減于明股即明較內(nèi)去□股 加入明?為極股 減于明?為明大差□小差內(nèi)少個(gè)□? 加于明和即兩個(gè)虛?一個(gè)髙差共也 減于明和即髙差也 內(nèi)去□勾即明勾□較共【又】為□股平差共 加于□勾即□和明勾共 加于□股為二虛?內(nèi)少明勾【又】為圓徑內(nèi)少虛黃明勾共 內(nèi)減□股即明勾 內(nèi)加□?即極勾 減于□?為明勾內(nèi)少個(gè)□小差 加入□和即兩個(gè)虛?內(nèi)少個(gè)平差也 內(nèi)減□和即平差也 加入明□二和共即極和內(nèi)少個(gè)虛黃也 若減于明□二和共即明股□勾共也 減于髙?即明?減于平?即□?加于角差即二明勾一極差也 減于角差即一極差二□股較也 得傍差即明股□勾共內(nèi)減傍差即太虛三事和內(nèi)去了極雙差也【按雙】
【差系勾?差股?差】 內(nèi)加虛差即二明勾 內(nèi)減虛差即二□股 內(nèi)加虛黃方即虛和 內(nèi)減虛黃方即太虛大小差并也
右諸?
大差?小差?共即兩個(gè)極?也以兩個(gè)極差為之較 大差差小差差共即兩個(gè)極差也以兩個(gè)傍差為之較 大差上大差小差上大差共即兩個(gè)明?也以兩個(gè)明差為之較 大差上小差小差上小差共即兩個(gè)□?也以兩個(gè)□差為之較大差黃【按即二明勾】小差黃【按即二□股】數(shù)共即兩個(gè)極黃【按即二虛?】也以兩個(gè)虛差為之較 大差勾小差勾共即兩個(gè)極勾也以兩個(gè)平差為之較 大差股小差股共即兩個(gè)極股也以兩個(gè)髙差為之較二和共為二極和以二角差為之較
大差上?較較即圓徑 小差上?較和亦同上大差上小差即虛勾 小差上大差即虛股也大差?與明勾共即邊股 小差?與□股共即底勾也 大差?內(nèi)減中差即黃長(zhǎng)勾【按勾應(yīng)作股】小差?內(nèi)加中差即黃廣股也【按股應(yīng)作勾】大股內(nèi)減小差股即黃廣股 大勾內(nèi)減大差勾即黃長(zhǎng)勾也虛?得虛股即大差勾 虛?得虛勾即小差
股也 明段?較和即大差上勾?較 明段?較較即小差上勾?較也 □段?較和即大差上股?較 □段?較較即小差上股?較也大差勾內(nèi)減虛?余即虛股 小差股內(nèi)減虛?余即虛勾也 以大差和減大股即虛勾 以小差和減大勾即虛股也 以大差差減圓徑即明勾此差若多于圓徑則內(nèi)減圓徑余即虛勾也【按此條因題數(shù)偶合而誤若勾股差甚大甚小者皆不能合】 以小差差減圓徑即小差?也 大差?上加一徑即大股上加虛勾也 小差?上加一徑即大勾上加虛股也大差股內(nèi)減髙?余即髙股內(nèi)減半徑 平?內(nèi)減小差勾余即半徑內(nèi)減平勾也 大差內(nèi)減虛差即二明差 小差內(nèi)減虛差即二□差也
大?內(nèi)減大差股小差勾共即圓徑 三事和內(nèi)減二之大差股小差勾共即三個(gè)圓徑也
大差勾小差股相并名混同即一圓徑一虛?也若以相減即虛差也
大差和小差和二數(shù)相并即大?虛?共也 二數(shù)相減即中差虛差共也【又】半之并數(shù)即為極?虛?共也【又】為髙?平?共【又】為皇極勾股共也
大差差小差差二數(shù)相并即兩個(gè)皇極差【又】為大差?內(nèi)減小差?也 二數(shù)相減而半之即是皇極?上減圓徑也【即傍差】
右大小差
大差差小差差虛差共為一個(gè)通差 髙平極三差共亦同上 明□虛三差共為一個(gè)極差也 諸黃方面亦仿此
邊黃內(nèi)減底黃即虛差 黃廣黃內(nèi)減黃長(zhǎng)黃即二虛差 髙黃內(nèi)減平黃即虛差蓋髙黃即虛股平黃即虛勾也 大差黃內(nèi)減小差黃即二虛差蓋大差黃即二明勾小差黃即二□股也 明黃內(nèi)減□黃余即虛差 □?上三差合成一個(gè)虛黃方
髙差內(nèi)減平差為傍差 邊差內(nèi)減底差亦同上明差內(nèi)減□差亦同上 大差差內(nèi)減小差差為二旁差 黃廣差內(nèi)減黃長(zhǎng)差亦同上
極雙差即明□二?共 內(nèi)加虛雙差即明□二和共 內(nèi)減虛雙差即明雙差□雙差共也 內(nèi)加旁差即極?內(nèi)少個(gè)虛?旁差差 內(nèi)減旁差即虛和也 內(nèi)加虛差即極?內(nèi)少二□股 內(nèi)減虛差則極?內(nèi)少二明勾也
極差內(nèi)加旁差為大差差 內(nèi)減旁差為小差差也內(nèi)加虛差即角差 內(nèi)減虛差即次差也 倍
極差為大差差小差差共則倍旁差為之較 倍極?為大差?小差?共倍極差為之較 以極差為明差平差共則以蓌差為之較 以極差為髙差□差共則以蓌和為之較 副置蓌和上加蓌差而半之即旁差也 減蓌差而半之則虛差也 極差內(nèi)減二之平差得蓌差
角差內(nèi)加旁差為二髙差 內(nèi)減旁差即二平差也內(nèi)加明□二差并而半之得極差 內(nèi)減明□
二差而半之則虛差也 內(nèi)加極差則通差 內(nèi)減極差則虛差也
以虛差減于明和為明□二股共 以虛差加于□和為明□二勾共也 又副置二和共上加次差而半之即明□二股共 減次差而半之即明□二勾共也 明□二股共以髙差為之較 明□二勾共以平差為之較
以髙差減明和即虛? 以平差加□和亦同上以髙差減髙股即半徑 以平差加平勾亦同上以髙差減大差差即明差 以平差減小差差
即□差也 以髙差減大差即髙? 以平差加小差即平?也 二之平差內(nèi)去虛差余即小差差 去二虛差即兩個(gè)□差
髙股即半徑上股方差 平勾即半徑上勾方差故髙勾平股共為全徑也 黃廣股即全徑上股方差 黃長(zhǎng)勾即全徑上勾方差 故黃廣勾黃長(zhǎng)股共數(shù)為兩個(gè)全徑也
邊?內(nèi)減底?即皇極差 邊股內(nèi)減底股即髙差【又】為底?內(nèi)減大勾 邊勾內(nèi)減底勾即平差【又】為大股內(nèi)減邊?也
大勾減底?余即半徑為勾之中差也 大股內(nèi)減邊?余即半徑為股之中差也 邊股底勾相并即大? 若以相減即通中差也
二髙股一虛差合成一個(gè)股圓差 二平勾一虛差合成一個(gè)勾圓差【按此二條誤當(dāng)云二明股一虛股合成一個(gè)股圓差 二□勾一虛勾合成一個(gè)勾圓差也】
明雙差亦為明□二大差其較則明差也 □雙差亦為明□二小差其較則□差也 明雙差內(nèi)減明差即虛黃 □雙差上加□差亦同上 以明雙差加明和即兩明? 以□雙差加□和則兩□?也 以明雙差減明和而半之即明黃【又】為虛大差 以□雙差減于□和而半之即□黃【又】為虛小差也 以虛大差減明和即為明? 以虛小差減□和即□?也 明雙差□雙差相較則次差也 明雙差□雙差相并加于明□二和共則為兩個(gè)極雙差 若以減于明□二和共則為兩個(gè)虛雙差也 明雙差上加虛雙差即明□二股共 □雙差上加虛雙即明□二勾共也
以明□二股共為明?□黃共則髙差虛黃共為之較【按明?又□黃較】為明大小差虛大小差共則明□二股共內(nèi)去兩個(gè)虛雙差為之較也【按明大小差虛大小差之較】以明□二勾共為□?明黃共則以平差虛黃
較為之較【又】為□大小差虛大小差共則明□二勾共內(nèi)減兩個(gè)虛大小差為之較也【按虛大小差□大小差之較】
明□二和共內(nèi)減旁差即二虛? 虛?內(nèi)加旁差明股□勾共也
明和內(nèi)去平差即明股□勾共 □和上加髙差亦同上也 明和內(nèi)去髙差即虛? □和上加平差亦同上 明?內(nèi)去髙差即虛勾 □?上加平差即虛股也 明股內(nèi)去□股即髙差 去□勾則極差也 明勾內(nèi)去□股即虛差 去□勾則平差也
明□二股并內(nèi)減虛?即明差 明□二勾并減于虛?即□差
明□二和共【又】為明□二?共與明□二黃共數(shù)也其較則明雙差□雙差共數(shù)也 其明□二和共數(shù)內(nèi)減旁差即二虛?也 若內(nèi)減虛雙差即明□二?共也
極?得極差為大差?大差?內(nèi)減明和則髙?內(nèi)減虛大差也 內(nèi)減極差則為小差?小差?內(nèi)減□和則是平?內(nèi)減虛小差也 又大差?內(nèi)減明和與髙股共余則為虛勾不及明勾數(shù) 小差?內(nèi)減□和與平勾共余則為□股不及虛股數(shù)也
右諸差
邊勾邊股差【又】為皇極差與髙差共也【又】為邊?內(nèi)去大勾也 邊勾邊?共【又】為大勾邊股共 邊勾邊?較【又】為大差?內(nèi)減半徑也 邊股邊?較【又】為□股?和
底勾底股差【又】為皇極差平差共【又】為大股內(nèi)去底?【又】為髙股內(nèi)去底小差 底勾底?共為大?內(nèi)少個(gè)底股大勾差 底勾底?較【又】為明?上勾弦和 底股底?共與邊勾邊?共同 底股底?較【又】為底勾內(nèi)少小差股也
邊股內(nèi)減髙?余則髙股 內(nèi)減大差?余則明勾內(nèi)減底?即底股內(nèi)減大勾也【又】為髙?內(nèi)減
底勾也
底勾內(nèi)減平?余即平勾 內(nèi)減小差?余即□股以底勾減于邊?余即大股內(nèi)減邊勾也【又】為
邊股內(nèi)減平?也
邊?內(nèi)減底股與底?內(nèi)減邊勾同為皇極?內(nèi)減半徑也
皇極勾內(nèi)減明勾余即平勾也若減□勾即半徑也倍之則為底勾明勾共 皇極股內(nèi)減□股余即髙股也若減明股余即半徑也倍之則為邊股□股共也
明股得虛股即髙股 明勾得虛勾即半徑 □股得虛股即半徑 □勾得虛勾即平勾也 髙?內(nèi)減髙股即□股 平?內(nèi)減平勾即明勾也明?內(nèi)減明差即虛股 □?內(nèi)加□差即虛勾也 髙股即虛明二股共 平勾即虛□二勾共也 明?明勾并數(shù)與髙股同 □?□股并數(shù)與平勾同也
明股□勾相倂減于極?即虛和【又】為極黃虛黃共數(shù)也
明□二?并 內(nèi)減□雙差即明□二股并 內(nèi)減明雙差即明□二勾并 內(nèi)加虛?即極? 內(nèi)減虛?即明大差□小差并也
以明和為明?明黃共則明雙差為之較 以□和為□?□黃共則□雙差為之較也 明和【又】為髙差虛?共【又】為極差與明□二勾共數(shù) □和【又】為平差少于虛?數(shù)【又】為極差少于明□二股數(shù)
半之三事和內(nèi)加半黃方即勾股共 若減之則?也 半圓徑內(nèi)加半虛黃即虛和 減半虛黃即虛?也【又】以半虛黃加明和即髙股以半虛黃加□和即平勾也 加明股則明? 加□股則□?也 減明勾則明黃 減□股則□黃也 以虛黃加明黃則為虛股 以加□黃則虛勾也
右諸率?見(jiàn)
髙?□?共為極?其差即虛?極差共也 髙股□股共為髙?其差即虛股髙差共也 髙勾□勾共為平?其差即半徑內(nèi)減□勾也 髙和□和共為極和其差即極和內(nèi)少二□和也 髙差□差共為極差其差即虛差旁差共也 髙黃□黃共為虛?其差即□黃不及虛股數(shù)也【髙黃即虛股】髙大差□大差共即明?其差即半虛黃不及明股數(shù)也此髙大差即明股此□大差即半虛黃也髙小差【即□股】□小差共即□?其差即□小差
不及□股數(shù)也 明平二?共亦為極?其較即虛?不及極差數(shù)也 明平二股共亦為髙?其較即明股內(nèi)減半徑也 明平二勾共亦為平?其較即平差內(nèi)去虛勾也 明平二和共亦為極和其較即極和內(nèi)少二之平和也 明平二差共亦為極差其較即虛差不及旁差數(shù)也 明平二黃共亦為虛?其較則虛勾【按虛勾即平黃】不及明黃數(shù)也 明平二大差共亦為明?其較即明勾不及明大差數(shù)【平大差即明勾】 明平二小差共亦為□?其較則□勾不及半虛黃數(shù)也此明小差即半虛黃此平小差即□勾
右四位相套
邊? 自減其股為平勾 自減其勾為明股明?并 減于通?余平? 減于通股余平差 內(nèi)減通勾余邊差 內(nèi)減底?余極差 內(nèi)減底股為半徑旁差共【又】為極?內(nèi)少半徑 內(nèi)減底勾即大股內(nèi)去邊勾也 內(nèi)減黃廣?余□? 內(nèi)減黃廣股即小差股內(nèi)去平差 內(nèi)減黃廣勾即大差股內(nèi)去平差 內(nèi)減黃長(zhǎng)?【又】得黃長(zhǎng)?【按此條誤】 內(nèi)減黃長(zhǎng)股與內(nèi)減黃廣勾同 內(nèi)減黃長(zhǎng)勾即大股內(nèi)去極勾虛勾共 內(nèi)減皇極?余髙?
底? 自減其股為□勾□?并 自減其勾為髙股 減于通?余髙? 減于通股余底差 內(nèi)減通勾余髙差 減于邊?余極差 減于邊股即底差內(nèi)去半徑 內(nèi)減邊勾即髙差平勾共減于黃廣?余為明大差□小差并【按此條亦系數(shù)偶合】減于黃廣股即底差內(nèi)去小差股 內(nèi)減黃廣勾即一個(gè)明?一個(gè)黃長(zhǎng)股?較 內(nèi)減去黃長(zhǎng)?余明? 內(nèi)減黃長(zhǎng)股與內(nèi)減黃廣勾同 內(nèi)減黃長(zhǎng)勾余為髙股明勾共 內(nèi)減極?為平?減于邊股【又】為底股內(nèi)去大勾
髙差平差共【又】為平勾髙股差 以半徑減髙股即髙差 半徑內(nèi)減平勾即平差 明勾內(nèi)減□勾與平差同 明股內(nèi)減□股與髙差同 股圓差內(nèi)減極股即髙差也 勾圓差減于極勾即平差正股內(nèi)去邊?即平差也 底?內(nèi)去正勾即
髙差也 大差勾內(nèi)去極勾即平差也 極股內(nèi)去小差股即髙差也 極差內(nèi)去□差即髙差也內(nèi)去明差即平差也
旁差即城徑極?較也【又】為明差□差較【又】為髙差平差較 極差得之為大差差也去之則為小差差也
又髙差平差下 明和內(nèi)去虛?即髙差 虛?內(nèi)去□和即平差
大差?內(nèi)加虛差即黃廣股 小差股內(nèi)減虛差即黃長(zhǎng)勾
通差內(nèi)去髙差即底差 內(nèi)去平差即邊差也虛大差得二虛勾即勾圓差之股 虛小差得二虛股即股圓差之勾也
明股?較與勾共即虛股也 □勾?較與股共即虛勾也
半虛黃 □勾得之即□?也減于此數(shù)即虛黃內(nèi)去□?也 □股得之虛勾也去之即□黃方也□?得之即平勾內(nèi)去□黃也去之則□勾也明勾內(nèi)得之即虛股也去之則明黃方也 明
股得之即明?也去之則明?內(nèi)去個(gè)虛黃方也明?得之即髙股內(nèi)去明黃也去之則明股也右拾遺
按識(shí)別雜記約五百條皆隨時(shí)録其所得未經(jīng)審定者故難易淺深不拘先后要皆精思妙義足以開(kāi)示數(shù)理之蘊(yùn)奧者徐光啟亟?新法而于勾股義中獨(dú)推是書(shū)其必有所見(jiàn)矣
測(cè)圓海鏡卷一
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷二
元 李冶 撰
正率一十四問(wèn)
假令有圓城一所不知周徑四面開(kāi)門(mén)門(mén)外縱橫各有十字大道其西北十字道頭定為干地其東北十字道頭定為艮地其東南十字道頭定為防地其西南十字道頭定為坤地所有測(cè)望雜法一一設(shè)問(wèn)如后
或問(wèn)甲乙二人俱在干地乙東行三百二十步而立甲南行六百步望見(jiàn)乙問(wèn)徑幾里
答曰城徑二百四十步
法曰此為勾股容圓也以勾股相乗倍之為實(shí)并勾股冪以求?復(fù)加入勾股共以為法
草曰置甲南行六百步在地以乙東行三百二十步乘之得一十九萬(wàn)二千步倍之得三十八萬(wàn)四千步為實(shí)以乙東行步自之得一十萬(wàn)零二千四百步為勾冪以甲南行步自之得三十六萬(wàn)步為股冪二冪相并得四十六萬(wàn)二千四百步為?方實(shí)以平方開(kāi)之得六百八十步則?也以?加勾股共共得一千六百步以為法如法而一得二百四十步則城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人俱在西門(mén)乙東行二百五十六步甲南行四百八十步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰此為勾上容圓也以勾股相乘倍之為實(shí)并勾股冪以求?加入股以為法
草曰置甲南行四百八十步在地以乙東行二百五十六步乘之得一十二萬(wàn)二千八百八十步倍之得二十四萬(wàn)五千七百六十步為實(shí)以乙東行步自之得六萬(wàn)五千五百三十六步為勾冪以甲南行步自之得二十三萬(wàn)零四百步為股冪勾股冪相并得二十九萬(wàn)五千九百三十六步為?方實(shí)以平方開(kāi)之得五百四十四步為?也以加入南行步共得一千零二十四步以為法而一得二百四十步則城徑合問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人俱在北門(mén)乙東行二百步而止甲南行三百七十五步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰此為股上容圓也以勾股相乘倍之為實(shí)以勾股冪求?加入勾以為法
草曰置甲南行三百七十五步以乙東行二百步乘之得七萬(wàn)五千步倍之得一十五萬(wàn)步為實(shí)以乙東行自之得四萬(wàn)步為勾冪以甲南行自之得一十四萬(wàn)零六百二十五步為股冪勾股冪相并得一十八萬(wàn)零六百二十五步為?方實(shí)如平方而一得四百二十五步則?也加入乙東行二百步共得六百二十五步以為法以法除之得二百四十步則城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人俱在圓城中心而立乙穿城向東行一百三十六步而止甲穿城南行二百五十五步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰此為勾股上容圓也以勾股相乘倍之為實(shí)并勾股冪如法求?以為法
草曰以二行步相乘得三萬(wàn)四千六百八十步倍之得六萬(wàn)九千三百六十步為實(shí)置乙東行自之得一萬(wàn)八千四百九十六步為勾冪又以甲南行自之得六萬(wàn)五千零二十五步為股冪二冪相并得八萬(wàn)三千五百二十一步為?方實(shí)以平方開(kāi)之得二百八十九步即?也便以為法如法除實(shí)得二百四十步即圓城之徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人同立于干地乙東行一百八十步遇塔而止甲南行三百六十步回望其塔正居城徑之半問(wèn)答同前
法曰此為?上容圓也以勾股相乘倍之為實(shí)以勾股和為法
草曰以二行步相乘得六萬(wàn)四千八百步倍之得一十二萬(wàn)九千六百步為實(shí)并二行步得五百四十步以為法除實(shí)得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人俱在坤地乙東行一百九十二步而止甲南行三百六十步望乙與城防相直問(wèn)答同前法曰此為勾外容圓也以勾股相乘倍之為實(shí)以?較和為法
草曰以二行步相乘得六萬(wàn)九千一百二十步倍之得一十三萬(wàn)八千二百四十步為實(shí)置乙東行自之得三萬(wàn)六千八百六十四步為勾冪又置甲南行自之得一十二萬(wàn)九千六百步為股冪二冪相并得一十六萬(wàn)六千四百六十四步為?方實(shí)以平方開(kāi)之得四百零八即?也又置甲南行步內(nèi)減乙東行步余一百六十八步即較也以較加?共得五百七十六步以為法實(shí)如法而一得二百四十步為城徑也合問(wèn)
按此題用勾股求得?即可加減得?較較為城徑今必以勾股相乘倍積為實(shí)求得?加減得?較和為法而后始得?較較為城徑者蓋欲因此并明勾股相乘之倍積為?較較?較和相乘之積非故為紆廻也
或問(wèn)甲乙二人同立于艮地甲南行一百五十步而止乙東行八十步望乙與城防相直問(wèn)答同前
法曰此為股外容圓也以勾股相乘倍之為實(shí)以?較較為法
草曰二行步相乘得一萬(wàn)二千倍之得二萬(wàn)四千步為實(shí)以甲南行自之得二萬(wàn)二千五百步為股冪又以乙東行步自之得六千四百步為勾冪勾股冪相并得二萬(wàn)八千九百步為?方實(shí)以平方開(kāi)之得一百七十步即?也以二行步相減余七十步為勾股較也以此較又減?余一百步即?較較也便以為法實(shí)如法而一得二百四十步即城徑也合問(wèn)按此題系?較和為城徑其用法實(shí)以較取和之意與上題同
或問(wèn)甲乙二人同立于防地乙西行四十八步而止甲北行九十步望乙與城防相直問(wèn)答同前
法曰此為?外容圓也勾股相乘倍之為實(shí)以?和較為法
草曰以二行步相乘得四千三百二十步倍之得八千六百四十步為實(shí)以甲北行自之得八千一百步為股冪又以乙西行自之得二千三百零四步為勾冪并二冪得一萬(wàn)零四百零四步為?方實(shí)以平方開(kāi)之得一百零二步為?也又并二行步得一百三十八步為和以?減和余三十六步得黃方以為法實(shí)如法而一得二百四十步即城徑也合問(wèn)
按此題?和和即城徑其以勾股相乘倍積為實(shí)黃方為法者亦以明?和和黃方相乘之積與勾股相乘之倍積為相等也
或問(wèn)甲乙二人俱在南門(mén)乙東行七十二步而止甲南行一百三十五步望乙與城防相直問(wèn)答同前法曰此為勾外容圓半也以勾股相乘倍之為實(shí)以大差為法
草曰以二行步相乘得九千七百二十步倍之得一萬(wàn)九千四百四十步為實(shí)又以乙東行自之得五千一百八十四步為勾冪又以南行自之得一萬(wàn)八千二百二十五步為股冪二冪相并得二萬(wàn)三千四百零九步為?方實(shí)以平方開(kāi)之得一百五十三步即?也以乙東行七十二步為勾以減?余八十一步即勾?差也便以為法實(shí)如法而一得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人俱在東門(mén)甲南行三十步而止乙東行一十六步回望甲與城防相直問(wèn)答同前
法曰此為股外容圓半也以勾股相乘倍之為實(shí)以小差為法
草曰以二行步相乘得四百八十步倍之得九百六十步為實(shí)又以乙東行自之得二百五十六步為勾冪又以甲南行自之得九百步為股冪二冪相并得一千一百五十六步為?方實(shí)以平方開(kāi)之得三十四步即?也以甲南行三十步為股以減?余四步以為法以法除實(shí)得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出西門(mén)南行四百八十步而止乙出東門(mén)南行三十步望見(jiàn)甲問(wèn)答同前
法曰此為半矮梯也以二行步相乘為實(shí)如平方而一得半徑
草曰以二行步相乘得一萬(wàn)四千四百步為實(shí)以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
又問(wèn)甲乙二人乙出南門(mén)折而東行七十二步而止甲出北門(mén)折而東行二百望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰以二行步相乘得數(shù)四之為實(shí)如平方而一得城徑
草曰二行步相乘得一萬(wàn)四千四百步又四之得五萬(wàn)七千六百步為實(shí)以平方開(kāi)之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
又假令乙出南門(mén)折東行二十步甲出北門(mén)折東行七百二十步如此之類亦同上法【以上三問(wèn)是以半矮梯求之】按右三題通為一問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人乙在艮地東行八十步而立甲在坤地南行三百六十步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰此為兩差求黃方也以二行步相乘倍之為實(shí)以平方開(kāi)得城徑
草曰二行步相乘得二萬(wàn)八千八百步倍之得五萬(wàn)七千六百步為實(shí)以平方開(kāi)之得二百四十步即城徑也合問(wèn) 別得甲南行即股圓差也乙東行即勾圓差也
或問(wèn)甲出東門(mén)四十八步而立乙出南門(mén)四十八步見(jiàn)之問(wèn)答同前
法曰此當(dāng)以方五斜七求之每出門(mén)二步管徑十步草曰置出門(mén)步在地以五之得二百四十步即城徑也據(jù)此法合置出門(mén)步在地以十之二而一以二數(shù)相折故五因便是合問(wèn)
按方五斜七古率非密率也設(shè)問(wèn)以盡此題之變故率之踈密勿論
或問(wèn)出西門(mén)南行四百八十步有樹(shù)出北門(mén)東行二百步見(jiàn)之問(wèn)答同前
法曰以二行步相乗為實(shí)二行步相并為從二步常法得半徑
草曰立天元一為半徑置南行步在地內(nèi)減天元半徑得□□為股圓差【按斜畫(huà)者少之記也□□是為四百八十步少一元也下仿此】又置乙東行步在地內(nèi)減天元得下式□□為勾圓差以勾圓差乘股圓差得丨□□【按丨□□為一平方少六百八十元多九萬(wàn)六千步】為半段黃方冪即城冪之半也【寄左】又置天元冪以倍之得□□亦為半段黃方冪與左相消得丨□□如帶縱法之得半徑合問(wèn)【按相消者取上兩相等之?dāng)?shù)同加減相等之?dāng)?shù)使一為步數(shù)一為方元數(shù)仍相等也如寄數(shù)內(nèi)減一平方加六百八十元?jiǎng)t得九萬(wàn)六千步又?jǐn)?shù)內(nèi)亦減一平方加六百八十元?jiǎng)t得一平方六百八十元是為一平方六百八十元與九萬(wàn)六千步等故其式為丨□□舊稿方元數(shù)皆作斜畫(huà)以別之然遇方元數(shù)有多少異號(hào)者殊混人目今不用】
又法識(shí)別得二行并即大?也立天元一為半徑置甲南行步加天元一得□□為大股又置乙東行步加天元得□□為大勾也勾股相乘得丨□□為一個(gè)大直積以天元除之得下式□□□為三事和【寄左黃方除倍積得三事和今以半黃方除直積亦為三事和也】然后并二行步又并入勾股共得□□為同數(shù)與左相消得□□□以帶縱平方開(kāi)之得一百二十步倍之得全徑也合問(wèn)按是書(shū)皆先法后草草者以立天元一推衍而得其方元積數(shù)者也法者又取推衍中之支節(jié)條目融防而歸于簡(jiǎn)約者也草者法之本法者草之用法使人易于推步而草則存其義以俟知者二者相須不可偏廢顧應(yīng)祥僅演其開(kāi)方乘除之?dāng)?shù)而去其細(xì)草蓋亦不得其理矣
按元時(shí)未有筆算故加減乘除之式不能詳載觀者遂以為無(wú)下手處今借根方法既明視此則渙如氷釋矣
測(cè)圓海鏡卷二
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷三
元 李冶 撰
邊股一十七問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)南行不知?dú)i數(shù)而止甲出西門(mén)南行四百八十歩望見(jiàn)乙復(fù)就乙行五百一十步與乙相防問(wèn)答同前
法曰倍相減步以乘二之甲南行步為平方實(shí)得城徑
草曰識(shí)別得二行相減余三十步即乙出東門(mén)南行步也倍相減步得六十步以乘二之甲南行步九百六十步得五萬(wàn)七千六百步為平方實(shí)如法開(kāi)之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出西門(mén)南行四百八十步而止乙從艮隅東行八十步望見(jiàn)甲問(wèn)答同前
法曰倍南行步以東行步乘之為實(shí)東行歩為從方一步常法得全徑
草曰立天元一為全徑以減于二之甲南行步得□□為兩個(gè)大差也以乙東行步乘之得□□為圓徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得丨□□以帶縱平方開(kāi)之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
又法半之乙東行步乘南行步為實(shí)半之乙東行步為從一步常法得半徑
草曰立天元一為半城徑減甲南行步得□□為大差也以半之東行步乘之得□□即半徑冪【寄左】然后以天元冪為同數(shù)與左相消得丨□□開(kāi)帶縱平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出西門(mén)南行四百八十步而止乙從艮隅亦南行一百五十步望見(jiàn)甲問(wèn)答同前
法曰兩行步相乘為實(shí)南行步為從方一為隅得半徑
草曰立天元一為半城徑以減乙南行步得□□為半梯頭以甲行步為梯底以乘之得□□為半徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得丨□□開(kāi)帶縱平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出西門(mén)南行四百八十步乙出東門(mén)直行一十六步望見(jiàn)甲問(wèn)答同前
法曰以四之東行步乗南行冪為實(shí)從空東行為亷一步為隅法得全徑
草曰立天元一為圓徑加乙東行步得□□為中勾其甲南行即中股也置東行步為小勾以中股乘之得□合以中勾除今不受除便以為小股也【內(nèi)寄中勾分母】乃復(fù)以中股乗之得三百六十八萬(wàn)六千四百又四之得一千四百七十四萬(wàn)五千六百為一段圓徑冪【寄中勾分母寄左】然后以天元徑自之又以中勾乘之得□□為同數(shù)與左相消得丨□□□以?縱立方開(kāi)之得二百四十步為城徑也合問(wèn)
按不受除者無(wú)可除之理也凡二數(shù)此數(shù)于彼數(shù)有可除之理則受除無(wú)可除之理則不受除也蓋除有法有實(shí)實(shí)可二法不可二此題以中勾為法而中勾內(nèi)有一元又有十六步其為數(shù)已二矣又何以均分不一之?dāng)?shù)乎故曰不受也寄分者姑寄其應(yīng)除之?dāng)?shù)也俟求得兩相等數(shù)而此數(shù)內(nèi)尚少一除不除此而轉(zhuǎn)乘彼則兩數(shù)仍相等猶之受除者也此所謂以乘代除也
或問(wèn)乙出南門(mén)東行七十二步而止甲出西門(mén)南行四百八十步望乙與城防相直問(wèn)答同前
法曰以乙東行冪乗甲南行為實(shí)乙東行冪為從方甲南行步內(nèi)減二之東行步為益亷一步常法得半徑
草曰立天元一為半城徑以減南行步得□□為小股又以天元加乙東行步得□□為小勾又以天元加南行步得□□為大股乃置大股在地以小勾乘之得下式丨□□合以小股除之今不受除便以為大勾【內(nèi)寄小股分母】又置天元半徑以分母小股乘之得□□以減大勾得□□□為半個(gè)梯底于上以乙東行七十二步為半個(gè)梯頭以乘上位得□□□為半徑冪【內(nèi)寄小股分母】寄左然后置天元冪又以分母小股乘之得□□□為同數(shù)與左相消得□□□□以立方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
又法曰以二數(shù)相乘為實(shí)相減為從一虛法平開(kāi)得半徑
草曰別得二數(shù)相并為大股內(nèi)少一虛勾其二數(shù)相減為大差?也立天元一為半徑副置之上位減于四百八十得□□為股圓差【即大差股也】下位加七十二得□□與股圓差相乘得下式□□□為一大差積【寄左】再以大差勾減于大差股余□□為較又加入大差?四百單八共得□□為?較共也以天元乘之得□□為同數(shù)與左相消得□□□以平方開(kāi)之得一百二十步即半徑合問(wèn) 前法太煩故又立此法以就簡(jiǎn)也
或問(wèn)乙出南門(mén)東行不知步數(shù)而立甲出西門(mén)南行四百八十步望見(jiàn)乙與城防相直又就乙行四百零八步與乙相防問(wèn)答同前
法曰二行步相減以乘甲南行步為實(shí)甲東行步內(nèi)減相減步為益方一步常法得半徑
草曰識(shí)別得二行相減余七十二步即是乙出南門(mén)東行數(shù)也更不湏用?遂立天元一為半城徑加乙東行得□□為小勾也副置南行步上減天乙得□□為小股下加天元得□□為大股乃置大股以小勾乘之得下式丨□□合以小股除之今不受除便以此為大勾也【內(nèi)帶小股分母】又倍天元以小股乘之得下式□□以減于大勾得□□□為勾圓差也合以股圓差乘之縁此勾圓差內(nèi)已帶小股分母【小股即股圓差也】更不湏乘便以此為半段黃方冪【更無(wú)分母也】寄左乃以天元自之又倍之得□□為同數(shù)與左相消得□□□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)直行不知?dú)i數(shù)而止甲出西門(mén)南行四百八十步望見(jiàn)乙復(fù)就乙斜行五百四十四步與乙相會(huì)問(wèn)答同前
法曰半南行步減半斜行步以乘南行步為實(shí)從方空半斜行半南行相減得數(shù)加入南行步為隅法得半徑
草曰識(shí)別得二行相減余六十四步即半徑為股之勾也立天元為半徑就以為小股其二行相減余六十四步即小勾也乃置甲南行步加天元得下式□□為大股以小勾乘之得□□又以小股除之得□□為大勾又倍天元一減之得下式□□□為勾圓差也半之得□□□于上乃以天元減甲南行步得□□為股圓差以乘上位得丨□○□為半徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得下式□□□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
按此問(wèn)以小股為除法蓋因小股只一天元其數(shù)不二猶有可除之理也然得數(shù)降于實(shí)數(shù)之下者皆不可以命名至開(kāi)方時(shí)仍湏各升一位以計(jì)之是兩邊各加一乘猶是寄分之理也
又法以二數(shù)差乘二數(shù)并開(kāi)方得邊勾復(fù)以邊股乘之為實(shí)并二數(shù)而半之為法實(shí)如法得二百四十步即城徑【此蓋用前勾上容圓法也】
或問(wèn)乙從干地東行不知幾步而止甲出西門(mén)南行四百八十步望見(jiàn)乙復(fù)就乙斜行六百八十步與乙相防問(wèn)答同前
法曰并二行數(shù)以二行差乘之內(nèi)減二行差冪為實(shí)并二行步及二行差為從方二步常法得半徑草曰識(shí)別得二行相減余二百步即半圓徑與小差勾之共數(shù)也立天元一為半城徑加于二百步得□□為大勾也又以天元加于甲南行步四百八十得□□即大股也乃以大勾自之得丨□□為勾冪【寄左】乃置乙斜行六百八十步為大?加入大股共得□□于上再置二行差內(nèi)減天元得□□為小差勾即股?較以乘上位得□□□為同數(shù)與左相消得□□□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
又法求小差二行相減以自之又四之為實(shí)二行相減八之于上二之南行步內(nèi)減二之二行相減數(shù)又以加上位為益方二步常法
草曰立天元一為小差減二行差得□□為半城徑以自之得丨□□又四之得□□□為圓徑冪【寄左】然后以半城徑減于甲南行得□□又倍之得□□為兩個(gè)大差也又以天元乘之得□□○為同數(shù)與左相消得下式□□□以平方開(kāi)之得八十步為小差也
或問(wèn)乙出南門(mén)南行不知步數(shù)而立甲出西門(mén)南行四百八十步望乙與城防相直復(fù)就乙斜行二百五十五步與乙相防問(wèn)答同前
法曰甲南行內(nèi)減二之兩行差余以乘甲南行又倍之為實(shí)二步為隅得半徑
草曰別得二行步相減余二百二十五步乃是半徑為勾之股也立天元一為半城徑就以為小勾率其二行差二百二十五步即為小股率乃置甲南行步加入天元得□□為大股以天元小勾乘之得丨□合以小股除今不受除【按此所謂不受除乃其數(shù)竒零不能盡非無(wú)可除之理也與前辭同而意異】便以此為大勾【內(nèi)寄小股分母】乃倍天元以小股乘之得□以減大勾余丨□為一個(gè)小差于上【內(nèi)寄小股分母】乃以天元減甲南行步得□□為大差也以乘上位得□□□又倍之得□□□為圓徑冪【內(nèi)寄小股分母】寄左然后倍天元以自之又以小股乘之得□□為同數(shù)與左相消得□○□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
按此題止用股?求勾法即得城半徑其必展轉(zhuǎn)數(shù)次而后始得者益見(jiàn)其為發(fā)明立天元一之術(shù)使人易曉也后多有仿此者
或問(wèn)乙出南門(mén)直行一百三十五步而止甲出西門(mén)南行四百八十步望乙與城防相直問(wèn)答同前
法曰二行步相減余以自乘內(nèi)減乙行冪為實(shí)二之甲南行為益從一步常法得半徑
草曰立天元一以為半徑便以為勾率又以天元加乙行步并以減于甲行步得□□為股率乃置乙南行步一百三十五步為小股以勾率乘之得□合以股率除之今不受除乃便以此為小勾【內(nèi)寄股率分母】又置乙南行步加二天元得□□為大股以勾率乘之得□□合以股率除之今不受除便以此為大勾【內(nèi)寄股率分母】以小勾大勾相乘得□□□為半徑冪【內(nèi)帶股率冪為分母】寄左然后置天元以自乘又以股率冪乘之得丨□□□為同數(shù)與左相消得□□□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
按此草得數(shù)為九百六十立方少一三乘方與十萬(wàn)零八百平方等皆虛數(shù)也各降二位即如各以平方除之乃為九百六十元少一平方與十萬(wàn)零八百步等兩數(shù)等所降之位又等則兩數(shù)仍相等而實(shí)積步數(shù)乃出矣故可以帶縱平方開(kāi)之也此系降位而得實(shí)數(shù)者與前升位而得實(shí)數(shù)者其理互相發(fā)明草中不言蓋以為不待于言也
或問(wèn)甲乙二人同出西門(mén)向南行至西南十字道口分路乙折東行一百九十二步而立甲又南行甲通行四百八十步望乙與城防相直問(wèn)答同前
法曰兩行相乘得數(shù)又以乙東行乘之為實(shí)二行相乘于上位又置乙東行以二行相減數(shù)乘之得數(shù)加上位為法
草曰立天元一為半城徑副置上位加南行步得□□為大股也下位減于甲行步得□□為小股也其乙東行即小勾也置大股以小勾乘之得□□內(nèi)寄小股□□為母便以為大勾也置天元以母通之得□□減于大勾得丨□□為半個(gè)矮梯底于上再置乙東行內(nèi)減天元得下式□□為半個(gè)矮梯頭以乘上位得下式□□□□為半徑冪寄左再置天元以自之為冪又以分母乘之得□□□為如積與左相消得□□上法下實(shí)得一百二十步即城之半徑也合問(wèn)
按草中相消法皆得兩邊數(shù)此獨(dú)得一邊二數(shù)蓋此條共數(shù)比彼條共數(shù)少一數(shù)又多一數(shù)為相等則多少二數(shù)其必為相等無(wú)疑矣多少數(shù)多者亦仿此此又相消法中之一變也
又法二行步相乘為實(shí)倍甲南行內(nèi)減乙東行為法草曰立天元一為半城徑副置上位加甲南行得□□為大股下位減甲行步得□□為小股便是股圓差也其乙東行即小勾也置大股以小勾乘之得□□內(nèi)寄小股□□為母便以為大勾也再置天元以二之又以分母乘之得□□為全徑以減于大勾余□□□為勾圓差也合以股圓差乘之縁內(nèi)已有小股分母不湏乘便以此為兩段之半徑冪也更無(wú)分母【寄左】然后置天元冪以二之得□□為如積以左相消得□□上法下實(shí)得一百二十步即半城徑也合問(wèn)
或問(wèn)見(jiàn)邊股四百八十步□?三十四步問(wèn)答同前【此題在甲乙二人同出西門(mén)南行至十字道乙折東行一百九十二步而立甲又南行甲通行四百八十步望見(jiàn)乙與城防相直之后】
法曰□?乘邊股半之為實(shí)半□?半邊股相并為從半步隅法平方得□股
草曰立天元一為□股加□?得□□為平勾也又以天元減邊股而半之得□□為髙股也平勾髙股相乘得□□□為半徑冪【寄左】然后以天元乘邊股得□為同數(shù)與左相消得下式□□□開(kāi)平方得□股三十步以乘邊股開(kāi)平方倍之即圓城徑也合問(wèn)按此問(wèn)原稿在三卷末
或問(wèn)見(jiàn)邊股四百八十明?一百五十三問(wèn)答同前法曰二云數(shù)相減復(fù)倍之內(nèi)減邊股復(fù)以邊股乘之于上又以明?冪乘上位為實(shí)以邊股乘明?冪又二之為從二云數(shù)相減余以自之為第一亷二云數(shù)相減又倍之為第二益亷一常法開(kāi)三乘方得明勾草曰立天元一為明勾加明?得□□為髙股也以髙股減邊股余□□為髙?以倍之得□□為黃廣?也內(nèi)減邊股得□□為□股復(fù)以邊股乘之得□□于上又以明?自乘得二萬(wàn)三千四百零九為分母以乘上位得□□為?分半徑冪【寄左】然后置黃廣?以天元乘之得□□復(fù)合以明?除之不除寄為母便以此為全徑又半之得□□為半徑以自之得□□□為同數(shù)與左相消得下式丨□□□□開(kāi)三乘方得七十二步即明勾也余各依法求之合問(wèn)
又法邊股內(nèi)減二明?以邊股乘之復(fù)以明?冪乘之為三乘方實(shí)亷從并同前
草曰識(shí)別得二數(shù)相減余為髙股虛?共又為髙?明勾共此余數(shù)內(nèi)又去半徑即明和也明和明?相并即股圓差相減則明黃方也又倍明?加明黃亦得股圓差也邊股內(nèi)減明勾余即大差?也立天元一為明勾減于云數(shù)相減數(shù)得□□即髙?也以髙?減邊股得□□即髙股也以髙股減于云數(shù)相減數(shù)得□□即虛?也以天元又減虛?得□□即□股也乃置髙?以天元乘之得□□合明?除之不受除便以此為髙勾也【即半徑】髙勾自之得丨□□□為半徑冪【內(nèi)帶明?冪分母】寄左然后置邊股以□股乘之得□□為半徑冪又以明?冪二萬(wàn)三千四百零九分母通之得□□為同數(shù)與左相消得實(shí)從亷隅五層如前式
或問(wèn)邊股四百八十步髙?二百五十五步問(wèn)答同前法曰以邊股減于二之髙?復(fù)以邊股乘之開(kāi)平方得半徑
草曰立天元一為半徑先倍髙?內(nèi)減邊股余□復(fù)以邊股乘之得□□寄左以天元冪與左相消得丨□□開(kāi)平方得數(shù)倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)邊股四百八十步平?一百三十六步答問(wèn)同前法曰置平?以邊股再乘之為實(shí)以邊股自之為益從平?為益亷一虛隅開(kāi)立方得半徑
草曰別得平?即皇極勾也立天元一為半徑副之上位加平?得□□即邊勾也下位減于平?得□□即□勾也置□勾以邊股乘之得□□合邊勾除今不受除寄為母便以此為□股乃以此邊股乘之得□□為半徑冪【內(nèi)?邊勾分母】寄左然后以天元為冪以分母邊勾乘之得丨□□為同數(shù)與左相消得丨□□□開(kāi)立方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)邊股四百八十步明股明?和二百八十八步問(wèn)答同前
法曰以云之云數(shù)相減余加邊股復(fù)以減余乘之訖又折半于上又以減余自之減上位為實(shí)并云數(shù)半之為法得明勾
草曰別得二數(shù)相減余為大差勾立天元一為明勾減于大差勾得□□即半徑也又以天元減半徑得□□為虛勾于上又以半徑加邊股得□□為通股于下上下相乘得□□□折半得丨□□為半徑冪【寄左】然后以半徑冪丨□□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得七十二步即明勾也合問(wèn)
或問(wèn)見(jiàn)邊股四百八十步□勾□?和五十步問(wèn)答同前
法曰半邊股半和步相并得為泛率以泛半減邊股以自之又二之于上以和步乘泛率減上位為實(shí)以泛率減邊股六之于上內(nèi)又加半個(gè)邊股三個(gè)和步為益從三步常法得□股
草曰別得和步得□股即小差也小差邊股共即二中差【按此句誤】立天元一為□股加和步得□□即小差也以小差加邊股而半之得□□即中差也中小差相并得□□即大差也以小差乘之得□□□為半段徑冪【寄左】然后置邊股內(nèi)減大差得□□為半徑以自之得□□□又倍之得下式□□□與左相消得下式□□□開(kāi)平方得三十步即□股也合問(wèn)按草云以小差邊股共即二中差有誤蓋中差即勾股較小差即股?較邊股即勾?較與容圓半徑和若設(shè)勾二十股二十一?二十九則勾?較九容圓半徑六并之得十五為邊股股?較八為小差小差邊股共得二十三勾股較一為中差倍之僅得二則相差二十一矣是知細(xì)草乃因題數(shù)之偶合而誤非正法也今依其術(shù)另設(shè)法草于后以補(bǔ)其闕
法曰以□勾?和自之邊股再乘為實(shí)倍邊股加□勾?和再以□勾?和乘之為從又倍□勾?和減邊股余為益亷一為隅?縱立方開(kāi)之得□股草曰別得邊股即髙股?和□股即髙股?差□股?和即平勾也立天天一為□股自之得丨□應(yīng)以□勾?和除之不除便以為□勾?較【內(nèi)寄□勾?和分母】轉(zhuǎn)以□勾?和自之得□為□勾?和加□勾?較得丨○□為倍□?又以□勾?和分母乘倍□股得□為倍□股與倍□?相加得丨□□為倍□股?和即倍平勾又于邊股內(nèi)減□股得□□為倍髙股倍髙股倍平勾相乘得□□□□為圓徑冪寄左又以邊股□股相乘得□為半徑冪四因之得□為圓徑冪又以□勾?和分母乘之得□為同數(shù)與左相消得丨□□□開(kāi)帶縱立方得□股三十步合問(wèn)
測(cè)圓海鏡卷三
<子部,天文算法類,算書(shū)之屬,測(cè)圓海鏡>
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷四
元 李冶 撰
底勾一十七問(wèn)
或問(wèn)乙出南門(mén)東行不知步數(shù)而立甲出北門(mén)東行二百步見(jiàn)之就乙斜行二百七十二步與乙相防問(wèn)答同前
法曰二行差數(shù)乘甲東行又四之為平方實(shí)得全徑草曰識(shí)別得二行相減余即乙出南門(mén)東行數(shù)也以甲東行減于就乙斜行余七十二步以乘甲東行歩得一萬(wàn)四千四百步又四之得五萬(wàn)七千六百步為實(shí)以平方開(kāi)之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙從坤隅南行三百六十步甲出北門(mén)東行二百步見(jiàn)之問(wèn)答同前
法曰二行步相乘倍之為實(shí)乙南行為從一步常法得城徑
草曰立天元一為城徑以減于二之甲東行步得【□】□為兩個(gè)小差以乙南行步乘之得□□為城徑冪【寄左】然后以天元冪丨□與左相消得丨□□以平方開(kāi)之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
又法半之乙南行步乘甲東行為實(shí)半乙南行為從一步常法得半徑
草曰立天元一為半城徑減甲東行得□□為小差半乙南行步得一百八十步以乘小差得□□為半徑冪【寄左】然后以天元冪丨□與左相消得下式丨□□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙從坤隅東行一百九十二歩而止甲出北門(mén)東行二百步見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰兩行步相乘為實(shí)甲東行為從乙為隅得半徑草曰立天元一為半徑減于乙東行得□□以甲行步乘之得□□為半徑冪【寄左】然后以天元冪丨□與左相消得丨□□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出南門(mén)直行一百三十五步甲出北門(mén)東行二百步見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰以乙南行步乘甲東行冪又四之為實(shí)從空乙行為亷一步常法得城徑
草曰立天元一為城徑加乙南行得□□為股率其甲東行即勾率也其乙南行□為小股以勾率乘之得□合以股率除今不除受便以此為小勾【寄股率為母】乃以甲東行步乘之得□ 又四之得□為一段城徑冪【寄左】然后以天元城徑自之又以股率分母通之得丨□□為同數(shù)與左相消得下式丨□□□以立方開(kāi)之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
又法二行相乘又以自乘為實(shí)以二行相乘倍之為益方南行冪為亷八步益隅立方開(kāi)得小勾七十二草曰立天元一為小勾以南行為小股以東行二百步為大勾也置大勾內(nèi)減天元得□□為中勾也以小股乗之得□□以天元小勾除之得□□為中股即城徑也以自之得□□□為城徑冪也【寄左】又以天元小勾乘通勾二百步得□又四之得□為同數(shù)與左相消得□□□□開(kāi)立方得七十二步即小勾也以乘通勾二百步為實(shí)平方開(kāi)得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
又法求半徑以南行步乘東行冪為實(shí)從空東行步為亷二步常法得半徑
草曰立天元一為半徑以二之加南行步得□□為股率以東行□為勾率以南行為小股也置小股以勾率乘之得□以股率除之不受除只寄股率分母便以此為小勾也又以勾率乘之得下式□為半徑冪【寄左】再立天元半徑以自之又以分母股率乘之得□□□為同數(shù)與左相消得□□□□開(kāi)立方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)南行三十步而止甲出北門(mén)東行二百步望乙與城防相直問(wèn)答同前
法曰以甲東行步乗乙南行冪為實(shí)以乙南行冪為從甲東行內(nèi)減二之乙南行為益亷一步隅得半徑草曰立天元一為半城徑減于甲東行步得□□為小勾以天元加于乙南行步得□□為小股乃以天元加?xùn)|行步得□□為大勾置大勾以小股乗之得丨□□合以小勾除之今不受除便以此為大股【內(nèi)帶小勾分母】又置天元半徑以分母小勾乘之得□□減于大股余□□□以乙南行步乗之得□□□為半徑冪【內(nèi)有小勾分母】寄左然后以天元為冪又以小勾通之得□□□為同數(shù)與左相消得下式□□□□以立方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)【翻法在記】
又法乙南行乘甲東行為平實(shí)二數(shù)相減為法一隅翻開(kāi)得半徑
草曰別得二數(shù)相并為大勾內(nèi)少一虛股其二數(shù)相減為小差?也 立天元一為半徑副置之上位減于二百步得□□為勾圓差【即小差勾也】下位加三十步得□□為小差股勾股相乘得□□□為一段小差積【寄左】再以小差勾減小差股余□□為一較也又以此較減于小差?得下式□□為一個(gè)?較較以天元一乘之得下式□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二十步即半城徑也合問(wèn)【翻法在記】再立此法者蓋從簡(jiǎn)也
按此乃以小差勾為平?上?較較半徑為平股故以小差?上?較較與半徑相乘等于平?上?較較與小差股相乘為一段小差積也
或問(wèn)乙出東門(mén)南行不知步數(shù)而立甲出北門(mén)東行二百步望乙與城防相直復(fù)就乙斜行一百七十步與乙相防問(wèn)答同前
法曰以二行差乘甲東行為實(shí)甲就乙斜行為方一步常法得半徑
草曰識(shí)別得二行相減余三十步即乙出東門(mén)南行步也【更不湏用?】立天元一以為半城徑加乙南行得□□為小股副置甲東行步上位減天元得下式□□為小勾下位加天元得□□為大勾也乃置大勾以小股乘之得下式丨□□合以小勾除不受除便以此為大股【內(nèi)?小勾分母】又倍天元以小勾乘之得□□以減于大股得□□□又倍之得下□□□為兩個(gè)股圓差合以勾圓差乘之縁為其中已帶小勾分母更不須乘便以此為黃方冪【更無(wú)分母】寄左然后倍天元以自之得□□為同數(shù)與左相消得□□□上下俱半之【俱半之者蓋從簡(jiǎn)也】得□□□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即半徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出南門(mén)直行不知步數(shù)而止甲出北門(mén)東行二百步見(jiàn)之復(fù)就乙斜行四百二十五步與乙相防問(wèn)答同前
法曰倍兩行差以乘二之甲東行為實(shí)從空四之甲東行于上倍兩行差加上位為隅得半徑
草曰識(shí)別得二行差二百二十五步即半徑為勾之股也立天元一以為半徑便是小勾其二行差便是小股乃置甲東行步加天元得□□為大勾以小股乗之得下式□□又以小勾除之得□□為大股又倍天元以減之得□□□為股圓差又倍之得□□□為兩個(gè)股圓差于上乃以天元減甲東行得□□為勾圓差以乘上位得下式□□○□為城徑冪【寄左】然后倍天元一以自之得□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)【按此系得數(shù)各升一位然后開(kāi)平方】
又法并二數(shù)以二數(shù)差乗之開(kāi)方得底股復(fù)以甲東行二百步乘之為實(shí)并二數(shù)而半之以為法如法得二百四十步即城徑也合問(wèn)【此用股上容圓求之比前法極為簡(jiǎn)易】
或問(wèn)乙從干隅南行不知步數(shù)而止甲出北門(mén)東行二百步望見(jiàn)之復(fù)就乙斜行六百八十步與乙相會(huì)問(wèn)答同前
法曰并二行以二行差乘之內(nèi)減二行差冪為實(shí)并二行步及二行相減數(shù)【按即倍乙斜行】為從二步常法得半徑
草曰識(shí)別得斜行六百八十步即大?也其二行相減余四百八十步即乙南行步內(nèi)減半徑也立天元一為半城徑副置之上位加二行相減數(shù)得□□為大股也下位加甲東行步得□□為大勾也乃以大股自增乘得丨□□為大股冪【寄左】乃并大勾大?得□□于上又以大勾減大?得□□為大差以乘上位得□□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
又法求大差
法曰二行差自乘為實(shí)置二之二行差于上乃以甲東行步減二行差又半之以減于上為益方【按三因斜行步二因東行步相減折半亦同】半步常法
草曰立天元一為大差減于二行差得□□為半城徑以自之得丨□□為半徑冪【寄左】乃以半城徑減于甲東行得下式丨□為小差又以天元乘之得丨□又以半之得□□為同數(shù)與左相消得下式□□□以平方開(kāi)之得三百六十步即大差也合問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)不知步數(shù)而立甲出北門(mén)東行二百步望乙與城叅相直復(fù)就乙斜行一百三十六步與乙相防問(wèn)答同前
法曰甲東行步內(nèi)減二之二行差【按倍斜行步內(nèi)減東行步亦同】余以乘甲東行為實(shí)一步常法得半徑
草曰別得二行相減余六十四步即半徑為股之勾立天元一為半城徑就以為股率其二行差即勾率也乃置甲東行步加天元得□□為大勾以天元股率乘之得丨□合以勾率除之不受便以此為大股【內(nèi)?勾率分母】乃倍天元以勾率乘之得□以減大股得丨□為一個(gè)大差于上【內(nèi)?勾率分母】乃以天元減甲東行得□□為小差以乘上位□□□為半段黃方冪【內(nèi)寄勾率為母】寄左然后以天元自之又以勾率乘之又倍之得□□為同數(shù)與左相消得下式丨□□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)直行一十六步而止甲出北門(mén)東行二百步望見(jiàn)乙與城叅相直問(wèn)答同前
法曰二行步相減余以自乘內(nèi)減乙東行冪為實(shí)二之甲東行為益從一步隅法得半徑
草曰立天元一以為半城徑加乙行步并以減于甲行步得□□為平勾率其天元半徑即平股率也乃置乙東行一十六步為小勾以股率乘之得□合以勾率除之今不受除便以此為小股【內(nèi)帶勾率分母】又置乙東行加二天元得□□為大勾以股率乘之得□□合以勾率除之今不受除便以此為大股【內(nèi)寄勾率為母】以此小股大股相乘得□□□為半徑冪【內(nèi)寄勾率冪為母】寄左然后以勾率冪乘天元冪得丨□□□為相同數(shù)相消得□□□□開(kāi)平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)【按此系得數(shù)各降二位然后開(kāi)平方】
或問(wèn)甲乙二人同出北門(mén)向東行至東北十字道口分路乙折南行一百五十步而立甲又向東行甲前后通行了二百步廻望乙恰與城相直問(wèn)答同前法曰以二行步相乘于上又以南行步乗之為實(shí)二行步相乘于上又以乙南行減于甲東行得數(shù)復(fù)以乙南行乘之加上位共為法得半徑
草曰立天元一為半城徑副之上位加甲行步得□□為大勾也下位減于甲行步余□□為小勾也其乙折南行即小股也置大勾以小股乘之得□□內(nèi)寄小勾□□為母便以為大股也再置天元以母乘之得□□減于大股余丨□□為半個(gè)矮梯底于上【內(nèi)寄小勾為母】再置乙折行步內(nèi)減天元得□□為半個(gè)矮梯頭以乘上位得□□□□為半徑冪【寄左】乃以小勾分母乘天元冪得下式□□□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)如法而一得一百二十步即城之半徑也合問(wèn)
又法 法曰二行步相乘為實(shí)倍甲東行內(nèi)減乙南行為法
草曰立天元一為半圓徑副之上位加甲東行得□□為大勾下位減甲東行得□□為小勾此小勾便是勾圓差也其乙南行即小股也置大勾以小股乘之得下式□□內(nèi)寄小勾□□為母便以為大股也再置天元以二之又以分母乘之得□□為全徑以減于大股余得□□□為股圓差也合以勾圓差乘之縁內(nèi)已有小勾分母故不湏再乘便以此為兩段之半徑冪也更無(wú)分母【寄左】再置天元以自之又二之得□□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)一百二十步即半城徑也合問(wèn)
或問(wèn)見(jiàn)底勾二百步明?一百五十三步問(wèn)答同前法曰半底勾乘明?為平實(shí)并二云數(shù)而半之為從五分常法得明勾
草曰立天元一為明勾加明?得□□為髙股也又以天元減底勾而半之得下式□□為平勾也勾股相乘得□□□為半徑冪【寄左】然后以天元乘底勾得下式□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得七十二步即明?也以明?乗底勾為平方實(shí)如法開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)見(jiàn)底勾二百步□?三十四步問(wèn)答同前
法曰底勾□?相減余倍之內(nèi)減去底勾【按倍□?減底勾亦同】復(fù)以底勾乗之于上又以□?冪乘上位為三乗方實(shí)倍底勾以□?冪乗之為從二云數(shù)相減余以自之為第一亷二云數(shù)相減余又倍之為第二益亷一步隅法得□股
草曰立天元一為□股加□?得□□為平勾以平勾減底勾余□□為平?以倍之得□□為黃長(zhǎng)?也此?內(nèi)卻減底勾余得下式□□為明勾也復(fù)以底勾乘之得□□于上又□?自乘得一千一百五十六為分母以乗上位得□□為帶分半徑冪【寄左】然后置黃長(zhǎng)?以天元乗之得□□合以□?除之不除寄為母便以此為全徑也以半之得□□為半徑【內(nèi)帶□?分母】以自之得丨□□□為同數(shù)與左相消得丨□□□□開(kāi)三乗方得三十步即□股也余各依數(shù)求之合問(wèn)
又法底勾內(nèi)減二□?復(fù)以底勾乘之復(fù)以□?冪乘之為三乗方實(shí)余亷從并與前同
草曰識(shí)別得二數(shù)相減余一百六十六為平勾虛?共又為平?□股共于此余數(shù)內(nèi)又去半徑即□和也□和□?相并即勾圓差也相減則□黃方也又倍□?加□黃亦得勾圓差也底勾內(nèi)減□股余即小差?也 立天元一為□股減于云數(shù)相減數(shù)得□□為平?以平?減底勾得□□即平勾以平勾減于云數(shù)相減數(shù)得□□即虛?以天元又減虛?得□□即明勾也乃置平?以天元乘之得□□合□?除不除寄為母便以此為平股也【即半徑】平股自之得丨□□□○為半徑冪【內(nèi)帶□?冪分母】寄左然后置底勾以明勾乗之得□□又以□?冪一千一百五十六通之得下式□□為同數(shù)與左相消得丨□□□□亷從一一如上
或問(wèn)見(jiàn)底勾二百步平?一百三十六步問(wèn)答同前法曰倍平?內(nèi)減底勾復(fù)以底勾乗之開(kāi)平方得半徑
草曰立天元為半徑先倍平?內(nèi)減底勾余□為明勾復(fù)以底勾乗之得□為半徑冪【寄左】然后以天元冪為同數(shù)與左相消得丨□□開(kāi)平方得一百二十步又倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)底勾二百步髙?二百五十五步問(wèn)答同前法曰底勾冪乗髙?為立實(shí)底勾冪為從髙?為亷一為隅得半徑
草曰識(shí)別得髙?即皇極股也立天元一為半徑副之上位加髙?得□□即底股也下位減于髙?得□□即明股也置明股以底勾乗之得□□合以底股除不除寄為母便以此為明勾又以底勾乗之得□□為半徑冪【內(nèi)帶底股分母】寄左然后以天元冪乗底股得丨□□與左相消得丨□□□開(kāi)立方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)底勾二百步□勾□?和五十步問(wèn)答同前法曰以二云數(shù)相減余加底勾復(fù)以減余乗之半之于上以減余自之減上位為實(shí)并云數(shù)半之為法得□股
草曰別得二數(shù)相減余為小差股立天元一為□股減于小差股得□□即半徑也又以天元減半徑得□□為虛股于上又以半徑加底勾得□□為通勾于下上下相乗得□□□折半得丨□□為半徑冪【寄左】然后以半徑自之得下式丨□□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得三十步即□股也合問(wèn)
或問(wèn)見(jiàn)底勾二百步明股明?和二百八十八步問(wèn)答同前
法曰二數(shù)相減又半之得數(shù)又減于底勾余為泛率以泛率自之又倍之于上位又二數(shù)相減而半之以乗和步所得減于上倍為實(shí)倍泛率于上位又半底勾減和步加上位為法得明勾
草曰別得和步得明勾為大差也大差得底勾為二中差 立天元一為明勾加和步得□□為股圓差也【即大差】?jī)?nèi)又加底勾得□折半得□□即通勾通股差也【此即中差】置大差減中差得下□□即小差也大小差相乘得□□□為半段圓徑冪【寄左】乃置底勾內(nèi)減小差得□□為半徑以自之得□□□倍之得下式□□□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得七十二步即明勾也合問(wèn)
按此條法草與三卷末以小差邊股共為二中差者同誤依問(wèn)另設(shè)于后
法曰以底勾乘明股?和冪為實(shí)倍底勾以明股和乗之加入明股?和冪為從倍明股?和內(nèi)減底勾為亷一為隅開(kāi)帶縱立方得明勾
草曰別得明?得明勾為髙股髙勾即半徑也底勾為平勾?和明勾為平勾?較平股即半徑也立天元一為明勾自之得丨□應(yīng)以明股?和除之不除便以為明股?較【內(nèi)寄明股?和分母】明股?和自之得□為股?和以加股?較得丨□□為倍明?以分母乗倍天元得□為倍明勾與倍明?相加得丨□□為倍髙股置底勾減天元得□□為倍平勾與倍髙股相乘得□□□□為城徑冪【內(nèi)寄明股?和分母】寄左又倍天元與倍底勾相乘得□以寄分母乘之得□為相同數(shù)與左相消得丨□□□開(kāi)立方得明勾合問(wèn)
測(cè)圓海鏡卷四
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷五
元 李冶 撰
大股一十八問(wèn)
或問(wèn)乙出南門(mén)直行一百三十五步而立甲從干隅南行六百步望乙與城叅相直問(wèn)答同前
法曰倍二行差內(nèi)減甲南行步復(fù)以乗甲南行步為實(shí)【倍二行差減甲南行步即是甲南行步內(nèi)減二之乙南行也】四之甲南行步內(nèi)減二之乙南行為從方四為益隅開(kāi)平方得半徑草曰立天元一為半徑以二之加乙南行步得□□為中股以中股又減于甲南行步得□□為股率其天元半徑即勾率也置甲南行為大股以勾率乗之得□合以股率除之不受除便以此為大勾【內(nèi)?股率分母】再置天元以二之以股率乘之得□□減于大勾余□□為勾圓差于上【內(nèi)有股率分母】又以二之天元減甲南行得□□為大差以乘上位得□□□為半段黃方冪【內(nèi)寄股率分母】然后以天元自之又以股率乘之又倍之得□□□為同數(shù)與左相消得下式□□□開(kāi)平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出南門(mén)東行七十二步而止甲從干隅南行六百步望乙與城叅相直問(wèn)答同前
法曰云數(shù)相乘為平實(shí)甲南行為從二益隅得半徑草曰別得虛勾乗通股得半段圓徑冪此與虛股乗通勾同立天元一為半徑內(nèi)減乙東行得□□為虛勾以乘甲南行得□□為半段徑冪【寄左】再以天元為冪又倍之得□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)直行一十六步甲從干隅南行六百步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰以乙東行乘甲南行冪為實(shí)二之乙東行乘甲行為從方亷空二步隅法得半徑
草曰立天元一以為半城徑以二之加于乙東行得□□為勾率又以天元減甲南行得□□為股率乃置乙東行以股率乗之得□□合以勾率除不除便以此為小股此小股即半梯之頭也【內(nèi)帶勾率分母】又以股率乗之【此股率即半梯之底也】得□□□為半徑冪【內(nèi)帶勾率分母】寄左然后置天元冪以勾率通之得□□□為同數(shù)與左相消得□○□□開(kāi)立方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)南行三十步而立甲從干隅南行六百步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰二行步相乗為寳以南行為從一步常法得半徑
草曰立天元一為半徑以減于甲南行得□□為半梯底以乙南行三十步為半梯頭以乗之得□□為半徑冪【寄左】乃以天元冪與左相消得丨□□開(kāi)平方得一百二十步即半城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙從艮隅南行一百五十步而立甲從干隅南行六百步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰二行步相乗為實(shí)并二行步為法得半徑草曰立天元一為半徑副置之上以減于乙南行得□□為半梯頭下以減于甲南行得□□為半梯底上下相乗得丨□□為半徑冪【寄左】乃以天元冪與左相消得下式□□上法下實(shí)如法而一得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙從艮隅東行八十步而立甲從干隅南行六百步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰二行步相乘又倍之為實(shí)二之乙東行為從一步常法得全徑
草曰別得乙東行八十步即小差也立天元一為城徑減于甲南行步得□□為大差以乙東行步乘之得□□又倍之得□□為城徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得丨□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)南門(mén)東不知逺近有樹(shù)甲從干隅南行六百步望樹(shù)與城防相直復(fù)就樹(shù)斜行四百八步至樹(shù)問(wèn)答同前
法曰南行步冪內(nèi)減兩段兩行相乘數(shù)為實(shí)二之南行步為從一步益隅得城徑
草曰別得南行步內(nèi)減城徑即小股也其斜行步即小?也又二行相減即大差為股之勾也立天元一為圓徑以減南行步得□□為股圓差也【合為小股】置南行步以斜行步乘之得□合以小股除之不受除便以此為大?【內(nèi)帶小股分母】再置南行步以小股乗之得□□為大股【亦帶小股分母】以大股減大?得□□為小差也合以大差乘之縁于內(nèi)帶大差分母更不湏乘便以為半段黃方冪【更無(wú)分母】又二之得□□為一段黃方冪【寄左】然后以天元冪為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
依前問(wèn)假令乙出南門(mén)東行不知步數(shù)而立甲從干南行六百步望乙與城相直復(fù)就乙斜行四百八步【按此即前問(wèn)以明又法】
法曰二行差冪乗甲南行為實(shí)二之二行差以乗南行步為益方二之二行差為隅得半徑
草曰識(shí)別得二行相減即半城徑與乙東行共也得此數(shù)更不須用斜立天元為半徑減于二行差一百九十二得□□即半梯頭也又以二天元減甲南行步得□□為股率又以一百九十二為勾率乃置甲南行以勾率乘之得□合股率除不除便以此為大勾【內(nèi)寄股率分母】再置天元以股率乘之得□□以減于大勾得□□□為半梯底也頭底相乘得下□□□□為半城徑冪【內(nèi)寄股率分母】寄左然后以股率乘天元冪得□□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)東門(mén)南不知逺近有樹(shù)甲從干隅南行六百步見(jiàn)樹(shù)復(fù)向樹(shù)斜行五百一十步至樹(shù)問(wèn)答同前
法曰二行差步乘甲南行步為實(shí)二行之差步并甲南行步為從二益隅【若欲從簡(jiǎn)上下俱折半】
草曰別得二行相減數(shù)即虛積之股也立天元一為半徑內(nèi)減二行之差步得□□為梯頭于上又以天元減于甲之南行步得□□為梯底上下相乗得□□□為圓徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)直行不知步數(shù)而立甲從干隅南行六百步望見(jiàn)乙復(fù)就乙斜行五百四十四步與乙相防問(wèn)答同前
法曰以二行步相減乘甲南行步得數(shù)又半之南行步以乘之為實(shí)以二行差乘南行步于上又以半之南行步乘南行步加于上為從方二之南行步為益亷一步常法得半徑
草曰別得二行相減即半徑上勾股較【此股即半徑也】又別得是大勾圓差不及平?數(shù)立天元一以為半城徑以減南行步得□□為中股其斜行步即中?也乃立半城徑以斜步乘之得□合以中股除今不受除便以此為平?【內(nèi)帶中股分母】又以二行步相減余五十六步為勾圓差不及平?數(shù)置此數(shù)以中股乗之得□□復(fù)以減平?余得□□為小差【內(nèi)帶中股分母】乃以二天元減甲南行步得□□為大差又半之得□□以乘小差得□□□為半徑冪【寄左】然后以天元自乗又以中股通之得□□□為同數(shù)與左相消得丨□□□開(kāi)立方得一百二十歩倍之即城徑也合問(wèn)【翻法在記】
或問(wèn)甲乙二人俱在干隅乙東行不知步數(shù)而立甲南行六百步望見(jiàn)乙復(fù)就乙斜行六百八十步與乙相會(huì)問(wèn)答同前
法曰以二行差乘二行并開(kāi)平方得數(shù)內(nèi)復(fù)減二行差得全徑
草曰別得二行相減即勾圓差也先求大勾立天元一為大勾以二行相減余八十步以乘二行相并數(shù)一千二百八十步得□為勾冪開(kāi)平方得三百二十步即大勾也大勾內(nèi)減去勾圓差余二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)南門(mén)外不知逺近有樹(shù)甲從干隅南行六百步望樹(shù)與城防相直復(fù)就樹(shù)斜行二百五十五步至樹(shù)問(wèn)答同前
法曰倍二行相減數(shù)內(nèi)減甲南行得數(shù)復(fù)以乘甲南行為實(shí)倍二行相減數(shù)為從二步益隅得半徑草曰識(shí)別得斜行步乃是樹(shù)至城心之?dāng)?shù)也立天元一為半徑加斜行步得□□為樹(shù)至城北門(mén)之步也乃以減于甲南行得□□為小股率其天元半徑即小勾率其斜步即小?數(shù)也再置甲南行步內(nèi)減天元得□□為梯底于上又置梯底內(nèi)減二之小股率得□□即梯頭也復(fù)以乘上位得□□□為半徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得下式□□□開(kāi)平方得一百二十歩倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)東門(mén)外不知步數(shù)有槐樹(shù)一株甲從干隅南行至柳樹(shù)下望見(jiàn)槐樹(shù)復(fù)斜行至槐樹(shù)下甲自云我共行了一千一百四十四步乙從艮隅東行望見(jiàn)槐樹(shù)與城相直復(fù)斜行至槐樹(shù)下乙自云我東行少不及斜行五十六步問(wèn)答同前
法曰甲斜行減于甲南行以乘甲南行得數(shù)復(fù)以乘二之甲南行為實(shí)半之甲南行以乘二之甲南行于上甲斜行減于甲南行余復(fù)以乘甲南行又倍之加上位為從方二之甲南行為益亷五分隅法【按五分隅法即半個(gè)立方】
草曰識(shí)別得五十六步是小差不及平?數(shù)【此小差即勾圓差也】又為平?上勾股差又為甲斜行不及大股乃副置甲共行在地其上位加五十六步而半之得六百步即大股也其下位減五十六步而半之得五百四十四步即今?也立天元一為圓徑以半之減于甲南行步得□□為中股其斜行五百四十四步即中?也乃立半天元以斜步乘之得□合以中股除之今不受除便以此為平?【內(nèi)寄中股分母】又置勾圓差不及平?數(shù)以中股乘之得□□復(fù)以減于平?□□為小差【內(nèi)帶小股分母】又以天元減甲南行倍之得□□為兩個(gè)大差以乘小差得□□□為圓徑冪【寄左】然后以中股乘天元冪得下式□□□為同數(shù)與左相消得□□□□開(kāi)立方得二百四十步即城徑也合問(wèn)【翻法在記】
或問(wèn)出東門(mén)向南行不知步數(shù)有柳樹(shù)一株甲從干隅南行六百步望見(jiàn)柳樹(shù)而止乙出東門(mén)直行不知步數(shù)望柳樹(shù)與甲相直卻斜行三十四步至柳樹(shù)下問(wèn)答同前
法曰乙斜行乘甲南行數(shù)以乗甲南行冪為實(shí)斜行乗甲南行冪又三之為從方甲行冪內(nèi)減兩段斜行南行相乘數(shù)【按甲南行內(nèi)減二之乙斜行以甲南行乘之】為第一亷二之南行步為第二益亷二步常法得半徑
草曰立天元一為半徑以二之減甲南行得□□為大差以自之得□□□為大差冪加于南行冪得□□□又半之得□□□為大?也內(nèi)帶大差□□分母別寄又置乙斜行以大股六百步乘之得□合大?除不除便以此為小股也【內(nèi)帶大?分母】乃以天元減甲南行得□□即半梯底也以乗小股半梯頭得□□為半徑冪于上此半徑冪內(nèi)有大?分母縁別寄大?分母元帶大差分母故又用大差分母□□乘上半徑冪得□□□為帶分半徑冪也所帶之分謂只帶大?分母也【寄左】然后以大?乘天元冪得□□□□為同數(shù)與左相消得□□□□□開(kāi)三乘方得一百二十步即半城徑也合問(wèn)
按此條寄分內(nèi)又帶寄分則以所帶之分乘本條仍以寄分乘次條者蓋寄分為應(yīng)除本條之?dāng)?shù)而寄分內(nèi)所帶之分又為應(yīng)除寄分之?dāng)?shù)今不除寄分而乘本條則猶是寄分乘次條之理也乗除之變至斯而極矣
又法置甲南行冪于上又置甲行冪半之以乗上位為實(shí)以斜行乗甲行冪倍之于上位又以甲行再自乗加上位為益方置甲行冪于上以斜行乗甲南行倍之以減上位為第一亷甲南行步為第二亷半步常法得股圓差
草曰立天元一為股圓差【即大差】以自之為冪以加甲南行冪得丨□□半之又以天元除之得□□□為大?其甲南行即大股也別置乙斜行三十四步以大股乗之得□合大?除不除便以為小股【內(nèi)寄大?分母】乃以天元加甲南行步得□□為全梯底也以乗小股半梯頭得□□又倍之得□□為城徑冪【內(nèi)寄大?為母】寄左置天元大差減甲南行余□□為圓徑以自之得丨□□又以大?分母乗之得□□□□□為同數(shù)與左相消得□□□□□開(kāi)三乘方得三百六十步即股圓差也以股圓差減甲南行余二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲從干隅南行六百步而止丙出南門(mén)直行乙出南門(mén)東行各不知步數(shù)而立甲望乙丙悉與城防相直既而乙就丙斜行一百五十三步相防問(wèn)答同前法曰以甲南行步再自之于上以斜行步乘甲南行冪又倍之減上位為立方實(shí)南行步自之又四之于上以斜步乗甲南行又倍之減上位為益從六之甲行步為從亷四步虛常法得半徑
草曰立天元一為半徑以二之減于甲南行得□□為大差也以自之得□□□為大差冪也乃置甲南行冪內(nèi)加大差冪而半之得□□□為大?也【內(nèi)寄大差分母】又置甲南行冪內(nèi)減大差冪而半之得□□為大勾也【亦帶大差分母】乃置斜行步在地以大勾乗之得□□合以大?除不除便以此為小勾內(nèi)帶大?為母【其大勾內(nèi)元有大差分母不用】即半梯頭也【寄上位】再寄天元半徑以大差乘之得□□以減于大勾得□為半梯底也以乘上位得□□□為半徑冪也【內(nèi)帶大差及大?為母】寄左然后置天元冪以大差通之又以大?通之得□□□□□為同數(shù)與左相消得□□□□開(kāi)立方得一百二十步即半城徑也合問(wèn)
依前問(wèn)假令南門(mén)外有樹(shù)乙出南門(mén)東行不知步數(shù)而立【只云乙東行步少于樹(shù)去城步】甲從干隅向南行六百步望樹(shù)與乙悉與城防相直乙就樹(shù)斜行一百五十三步至問(wèn)答同前
法曰以斜行步乗甲行冪為立方實(shí)以甲行冪半之于上以斜行步乘甲行步減上位為益從亷空五分隅得大勾大?差
草曰別得斜步即小?小?得小和即勾?差也立天元一為股圓差以自之為冪副之上以加甲南行冪而半之得□□□為大?也【寄大差分母】下以減于甲南行冪而半之得下式□□□為大勾也【寄大差分母】乃置斜步以大勾乗之得下□□□合以大?除不除便以此為小勾【寄大?分母】又置斜步以甲南行乗之得□合以大?除為小股不除而又以同母分通之得□○為同分小股也【內(nèi)只寄大?分母】注【大股乘時(shí)無(wú)大差分母故今通之以齊大勾上所有大差分母也】又置斜步以大?通之得□□□為通分小?也三位相并得□□為股圓差【寄左】然后置天元大差以大?分母通之得□○□為同數(shù)與左相消得□○□□開(kāi)立方得三百六十步即股圓差也以股圓差減于甲南行步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)東門(mén)外不知步數(shù)有樹(shù)甲從干南行六百步而止乙出北門(mén)東行斜望樹(shù)及甲與城防相直卻就樹(shù)斜行一百三十六步問(wèn)答同前
法曰二行步相乘于上又半甲南行乘之為實(shí)二行相乗于上又半甲南行以乘甲南行加上位為益從甲南行為從亷一步益隅開(kāi)立方得半徑
草曰立天元一為半徑便以為小股其斜行步即小?也乃以甲南行為大股以小?乘之復(fù)以天元除之得□□即大?也又倍天元減甲南行余□□為大差以減大?余□□□為大勾也又倍天元以減勾得□□□為小差也卻以半大差□□乘之得□□□為半徑冪【寄左】乃以天元冪相消得下式丨□□□開(kāi)立方得一百二十步即半徑合問(wèn)
或問(wèn)南門(mén)外不知步數(shù)有槐樹(shù)一株?yáng)|門(mén)外不知步數(shù)有柳樹(shù)一株槐柳二樹(shù)相去二百八十九步有人從干南行六百步而止斜望槐柳與城防相直問(wèn)答同前
法曰云數(shù)相乘得又自增乗為三乗方實(shí)斜步冪乘南行步又云之為益從二云數(shù)相乘又倍之【按此下脫內(nèi)減斜步冪五字】為益亷二之斜步為第二從亷二法常法得槐至城心步
草曰別得槐樹(shù)至城心步即人所止至槐樹(shù)步也乃立天元一為槐樹(shù)至城心步【即人至槐處】加于斜步得□□為邊?也以天元乗之得丨□合斜步除不除便以此為邊股【寄斜步分母】又以斜步乗南行步得□為大股以邊股減之余□□□為半城徑【寄斜步分母】以自之得丨□□□□為半徑冪【內(nèi)帶斜步為母】寄左又以天元減斜歩得□□為□?以天元乘之得□□○合斜步除不除寄為母便以此為半梯頭以邊股半梯底乗之得□○□□為同數(shù)與左相消得□□□□□開(kāi)三乘方得二百五十五步即槐樹(shù)至城心之步也亦為皇極正股又自之得數(shù)以減斜冪余如平方而一得城心至柳樹(shù)步又為皇極正勾也勾股相乘倍之為實(shí)如斜步而一即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲從干南行六百步而立乙出南門(mén)直行丙出東門(mén)直行三人相望俱與城相直而乙丙共行了一百五十一步問(wèn)答同前
法曰甲南行為冪折半又以自之為實(shí)倍共步加甲南行以乘半段甲行冪為從方甲行乘共數(shù)為從亷一個(gè)半甲南行為第二益亷二分五厘為三乘方隅草曰識(shí)別得共步加城徑即皇極和也又是半徑為勾之?與半徑為股之?相和步也二之此數(shù)內(nèi)減去大?即皇極勾股內(nèi)黃方面也亦為太虛?乃立天元一為大差以自之副置二位上位減于甲行冪以天元除之又折半得□□□為大勾也下位加甲南行以天元除之又折半得□□□為大?也其甲南行即大股也并勾大股得下式□□□即大和也再以天元減甲南行得□□即圓徑也加共步得□□即皇極和又是半徑為勾之?及半徑為股之?共數(shù)也又倍之得□□即全徑為勾之?及全徑為股之?共數(shù)也內(nèi)減大?得□□□即小和內(nèi)黃方面也乃置大和□□□以小黃方面乘之得□□□□□合以小和除之不除便以此為大黃方也【內(nèi)寄小和為母】寄左然后以天元減甲南行得□□為大黃方以小和乗之得丨□□為同數(shù)與左相消得□□□□□開(kāi)三乗方得三百六十步即股圓差也以股圓差減于甲南行余二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)丙出南門(mén)東行乙出東門(mén)南行各不知步數(shù)而立甲從干隅南行六百步斜望乙丙悉與城叅相直乙就丙斜行一百二步相防問(wèn)答同前
法曰以斜步乘甲南行冪又倍之為實(shí)倍甲行冪于上又以斜步乘二之甲南行加于上為從方四之甲南行為益亷四步常法開(kāi)立方得半徑
草曰別得斜步為小?也以斜步減圓徑余為小和也乃立天元為半徑以二之減于甲南行得□□為大差也以自之得□□□為大差冪也置甲南行冪□內(nèi)加大差冪而半之得□□□為大?也【內(nèi)帶大差為分母】又置甲南行冪內(nèi)減大差冪而半之得□□○為大勾也【帶大差分母】又以大差乘股六百步得□□并入大勾得□□□為大和也【帶大差分母】乃先以小?乘大和得下式□□□寄左又以倍天元減斜步得□□為小和以乘大?得□□□□為同數(shù)與左相消得□□□□開(kāi)立方得一百二十步即半徑也合問(wèn)
依前問(wèn)假令乙出東門(mén)南行丙出南門(mén)東行各不知步數(shù)而立【只云丙行步多于乙行步】甲從干隅南行六百步望乙丙與城叅相直乙復(fù)斜行就丙行了一百二步與丙相防問(wèn)答同前
法曰以斜步乘甲行冪又倍之為立方實(shí)甲行冪內(nèi)加斜行南行相乗數(shù)為從方甲南行為益亷半步為隅得全徑
草曰別得相就步即小?也小?得小和為直徑也立天元一為城徑以減于甲南行步得□□為大差以自之得丨□□為太差冪也置甲南行步以自之為冪副之上以加大差冪而半之得□□□為大?也【內(nèi)寄大差分母】下以減大差冪而半之得□□○為大勾也【內(nèi)寄大差分母】乃置相就步在地以大勾乗之得□□合大?除不除寄為母便以此為小勾也寄大?母又置斜步【即相就步也】以甲南行乘之得□合以大?除之不除寄為母便以此為小股而又以元分母大差乗之得□□為同分小股也只寄大?為母【其大勾內(nèi)元有大差分母其大股內(nèi)卻無(wú)分母故今乘過(guò)復(fù)以大差通之齊分母也】又置斜行步以大?通之得□□□為小?也上三位相并得□□為城徑也【內(nèi)寄大?分母】寄左然后置天元以大?通之得□□□為同數(shù)與左相消得□□□□開(kāi)立方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
測(cè)圓海鏡卷五
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷六
元 李冶 撰
大勾一十八問(wèn)
或問(wèn)乙從東門(mén)直行一十六步甲從干隅東行三百二十步望乙與城叅相直問(wèn)答同前
法曰甲東行內(nèi)減二之乙南行復(fù)以乘甲東行為實(shí)四之東行內(nèi)減二之乙東行為從四益隅得半徑草曰立天元一為半徑以二之加乙東行得□□為中勾以中勾減于甲東行得□□為勾率也其天元半徑即股率也置甲東行為大勾以股率乗之得□合以勾率除之不受除便以此為大股【內(nèi)帶勾率分母】再置天元以二之以勾率乗之得□□減于大股余□□為股圓差于上【內(nèi)有勾率分母】又以二之天元減甲東行得□□為小差以乗上位得□□□為半段黃方冪【內(nèi)有勾率分母】寄左然后以天元自之又以勾率乘之又就分倍之得□□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)南行三十步而立甲從干隅東行三百二十步望乙與城叅相直問(wèn)答同前
法曰甲乙相乘為實(shí)甲東行為從二虛法得半徑草曰識(shí)別具見(jiàn)大股第二問(wèn)中立天元為半徑內(nèi)減乙南行得□□為虛股以乘通勾甲東行得□□為半段城徑冪【寄左】然后以天元自之又就分二之得□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出南門(mén)直行一百三十五步而立甲從干隅東行三百二十步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰以乙南行乘甲東行冪為實(shí)二之乙南行乘甲東行為從方亷空二步常法得半徑
草曰立天元一為半城徑以二之加于乙南行得□□為股率以天元減甲東行得□□為勾率乃置乙南行以勾率乘之得□□合股率除不除便以此為小勾此即半梯之頭【內(nèi)帶股率分母】又以勾率乘之得□□□為半徑冪【內(nèi)?股率分母】寄左乃以股率乘天元冪得□□□為同數(shù)與左相消得□○□□開(kāi)立方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出南門(mén)東行七十二步甲從西北隅取直行三百二十步見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰二行相乘為實(shí)以東行為從一步常法得半徑草曰立天元一為半城徑以減甲東行步得□□為梯底以乙東行七十二步為梯頭以乘之得□□為半徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得丨□□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙從西南隅直東行一百九十二步甲從西北隅直東行三百二十步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰二行步相乘為實(shí)二行相并為法得半徑草曰立天元一為半徑副置之上以減于乙東行得□□為梯頭于上下位減于甲東行得□□為梯底以乘上位得丨□□為半徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得□□上法下實(shí)即半徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙從坤隅直南行三百六十步而止甲從干隅直東行三百二十步望見(jiàn)乙問(wèn)答同前
法曰二行步相乗倍之為實(shí)二之甲東行為從一步常法得城徑
草曰立天元一以為城徑加一南行得□□為股二行步相并得六百八十步為?甲東行為勾勾股相乘得□□又倍之得□□為二直積【寄左】然后以勾股?相并得□□為三事和以天元乘之得丨□為同數(shù)與左相消得丨□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)東門(mén)南不知逺近有樹(shù)甲從干隅東行三百二十步望樹(shù)與城叅相直復(fù)就樹(shù)斜行一百七十步至樹(shù)問(wèn)答同前
法曰兩段東行步冪內(nèi)減兩段東行斜行相乗數(shù)為實(shí)【按或云倍東行步以二行差東之亦同】二之東行為從一益隅得城徑草曰別得東行步即大勾斜行步即小?也乃立天元一為城徑減東行步得□□為勾圓差也【今為小勾】置東行步以斜步乘之得□合以小勾除之今不受除便以此為大?【內(nèi)帶小勾分母】再置東行步以小勾乘之得□□為大勾以減大?得□□為大差合以小差乗之【縁內(nèi)帶小差分母】更不湏乗便以此為半段黃方冪【更無(wú)分母】又二之得□□為一段黃方冪【寄左】然后以天元冪與左相消得□□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
依前問(wèn)假令乙出東門(mén)南行不知步數(shù)而止甲從干東行三百二十步望乙與城相直復(fù)就乙斜行一百七十步
法曰以甲東行乘二行差冪為實(shí)以甲東行乘二之二行差為從方二之二行差為隅法得半徑
草曰識(shí)別得二行相減余一百五十即半城徑與乙南行共數(shù)也得此數(shù)更不湏用斜立天元一為半徑減于二行差得□□即半梯頭也又以二天元減甲東行步得□□為勾率又以一百五十為股率乃置甲東行以股率乘之得□合勾率除不除便以此為大股【內(nèi)寄勾率分母】再置天元以勾率乘之得□□以減于大股得□□□為半梯底也頭底相乘得下□□□□為半徑冪也【內(nèi)帶勾率分母】寄左然后以勾率乘天元冪得□□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)南門(mén)東不知逺近有樹(shù)甲從干隅東行三百二十步見(jiàn)樹(shù)復(fù)向樹(shù)斜行二百七十二步至樹(shù)問(wèn)答同前法曰二之二行差乘二之甲東行為實(shí)并二之二行差及二之甲東行為從二步益隅得城徑
草曰別得二行相減余四十八步即虛積之勾也立天元一為城徑內(nèi)減二之二行差得□□為梯頭于上置甲東行步以二之內(nèi)減天元得□□為梯底以乘上位得□□□為城徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得□□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲從干隅東行三百二十步而止乙出南門(mén)直行不知步數(shù)望見(jiàn)甲復(fù)就甲斜行四百二十五步與甲相防問(wèn)答同前
法曰二行步相減以乘東行冪得數(shù)半之為實(shí)以半之東行步乗東行步于上二行步相減余乗東行步減上位為從二之東行步為益亷一步常法得半徑草曰識(shí)別得二行相減是髙積上勾股較【此勾即半徑也】又別得是髙?不及股圓差數(shù)乃立天元為半城徑以減東行步得□□為中勾其斜行步即中?也又置半城徑以斜步乗之得□合以中勾除之不受除便以此為髙?【內(nèi)寄中勾為母】又以二行步相減余一百五步為髙?不及股圓差數(shù)置此數(shù)以中勾乘之得□□加入髙?得□□為大差于上【內(nèi)帶中勾分母】又倍天元減東行步得□□為小差又半之得□□以乘上位得□□□為半徑冪【內(nèi)有中勾分母】寄左乃以天元自乗又以中勾乘之得□□□為同數(shù)與左相消得□□□□以立方開(kāi)得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人俱在干隅乙直南行不知步數(shù)而立甲直東行三百二十步望見(jiàn)乙復(fù)就乙斜行六百八十步與乙相防問(wèn)答同前
法曰以二行差乘甲東行步又二之為實(shí)以二之二行差為從一步常法得城徑
草曰別得二行步相減余三百六十步即股圓差也乃立天元一為圓徑以減于甲東行步得□□為小差以東行斜行差三百六十步乘之得□□倍之得□□為一段城徑冪【寄左】乃以天元冪與左相消得丨□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)東門(mén)外不知逺近有樹(shù)甲從干隅東行三百二十步望樹(shù)與城叅相直復(fù)就樹(shù)斜行一百三十六步至樹(shù)問(wèn)答同前
法曰倍二行相減數(shù)內(nèi)減甲東行得數(shù)復(fù)以乘甲東行為實(shí)【按或云倍斜步以減甲東行余以甲東行乗之亦同】倍二行差為從二步虛常法得半徑
草曰識(shí)別得斜行步乃樹(shù)至城心步也立天元一為半徑加斜行步得□□即樹(shù)至城西門(mén)之步也乃以減于甲東行得下□□為小勾率其天元半徑即小股率其斜步即小?數(shù)也再置甲東行步內(nèi)減天元得□□為梯底于上又置梯底內(nèi)減二之小勾率得□□【按倍小勾得三百六十八步少二元以少二元減梯底之少一元反為多一元以三百六十八步減梯底之三百二十步反為少四十八步也】以乘上位得□□□為半徑冪乃以天元冪與左相消得下式□□□以平方開(kāi)之得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)南門(mén)外不知步數(shù)有槐一株甲從干隅直東行至柳樹(shù)下望見(jiàn)槐樹(shù)復(fù)斜行至槐樹(shù)下甲自云我共行了七百四十五步乙從坤隅南行望見(jiàn)槐柳與城叅相直復(fù)斜行至槐樹(shù)下乙自云我南行步多于斜行步一百五步
按此問(wèn)下有草無(wú)法今依細(xì)草補(bǔ)之
法曰置甲共步內(nèi)減乙較步余數(shù)折半自之再倍乙較步乗之為立方實(shí)置上減余折半數(shù)又減二之乙較步復(fù)以減余折半數(shù)乗之為從甲共步內(nèi)減乙較步為亷五分為負(fù)隅開(kāi)立方得城徑
草曰識(shí)別得一百五步是大差多于髙?數(shù)又為髙?上勾股差數(shù)又別得是甲斜行多于東行數(shù)也乃副置甲共行七百四十五步在地其上位加一百五步而半之得四百二十五步即甲斜行也其下位減一百五步而半之得三百二十步即甲東行也乃立天元一為圓徑以半之減于甲東行步得□□為中勾其甲斜行四百二十五步即中?也再置天元以半之為小勾以中?乘之得□合以中勾除不除便以為髙?于上【內(nèi)?中勾分母】別置乙多步一百五步以中勾乘之得□□為大差多于髙?數(shù)也以加入上位得下式□□為一個(gè)大差也置甲東行以天元減之又倍之得□□為二個(gè)小差以乗大差得下□□□為一段黃方冪【內(nèi)帶中股分母】寄左然后置天元冪丨□以中勾通之得□□□與左相消得□□□□開(kāi)立方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)出東門(mén)直行不知步數(shù)有槐樹(shù)一株出南門(mén)東行不知步數(shù)有柳樹(shù)一株槐栁斜相距一百五十三步甲從干東行三百二十步望槐柳與城防相直問(wèn)答同前
法曰二行相乘訖又以乗甲東行冪為實(shí)斜行乗甲東行冪又三之為從方甲東行冪內(nèi)減兩段二行相乘數(shù)為第一亷二之甲東行為益二亷二步常法開(kāi)三乗方得半徑
草曰立天元一為半徑以二之減于甲東行得□□為小差以自之得□□□加于甲東行冪復(fù)半之得□□□為大?【內(nèi)寄小差分母】又置斜相距步以大勾乘之得□合大?除不除便以此為小勾【內(nèi)?大?分母】乃以天元減甲東行數(shù)得□□為半梯底以乘小勾半梯頭得□□為半徑冪于上此半徑冪內(nèi)有大?分母此大?分母元?小差分母故先用小差分母以乗上半徑冪得□□□為半徑冪也內(nèi)?本大?分母【寄左】然后以大?乘天元冪得□□□□為同數(shù)與左相消得□□□□□開(kāi)三乗方得一百二十步即半城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲從干隅東行三百二十步而止丙出東門(mén)南行乙出東門(mén)直行各不知步數(shù)而立甲廻望乙丙悉與城叅相直既而乙就丙斜行三十四步相防問(wèn)答同前
法曰甲東行再自之于上以二之斜行步乘甲東行冪減上位為立方實(shí)兩段南行冪內(nèi)減東行斜行相乘數(shù)為益從以甲東行加五【按加五即加半】為從亷五分虛隅得全徑
草曰立天元一為城徑以減于甲東行步得□□為小差以自之得丨□□為小差冪也乃置甲東行冪內(nèi)加小差冪而半之得□□□為大?也【內(nèi)帶小差分母】又置甲東行冪乃減小差冪而半之得□□○為大股也【內(nèi)帶小差分母】乃置斜行步在地以大股乘之得□□合以大?除之不除而又倍之得□□為梯頭也【即兩個(gè)小股內(nèi)寄大?為母權(quán)寄】乃置天元圓徑以半之以小差分母通之得□□以減于大股余得□又倍之得□為梯底也【即兩個(gè)邊股內(nèi)亦有小差分母】以乘權(quán)寄得□□□為城徑冪也【內(nèi)寄大?及小差分母】寄左然后以天元自之為冪以大?通之又以小差通之得□□□□□為同數(shù)與左相消得□□□□開(kāi)立方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
依前問(wèn)假令東門(mén)外有樹(shù)乙出東門(mén)南行不知步數(shù)而立【只云樹(shù)去城步少于乙南行步】甲從干隅向東行三百二十步望乙與樹(shù)悉與城叅相直乙復(fù)就樹(shù)斜行三十四步到樹(shù)問(wèn)答同前
法曰甲東行自之又以斜步乘之為立方實(shí)置半段甲東行冪于上以斜步乗甲東行減上位為從亷空半步常法得勾圓差
草曰別得乙斜行即□?也□?得小勾股即大股?較也乃立天元一為勾圓差以自之為冪副之上以加于甲東行冪而半之得□□□為大?也【寄小差分母】下以減于甲東行冪而半之得□□□為大股也【寄小差分母】乃置斜步以大股乘之得□□□合大?除不除便以此為小股【寄大?分母】又置斜步以甲東行乗之得□合大?除不除便以此為小勾而又以通母分通之得□為同分小勾也【寄大?分母】注【大股乘時(shí)有小差分母今大勾無(wú)母故又以齊同之】又置斜步以大?通之得□□□為同分小?也三位相并得□□為勾圓差也【寄左】然后置天元以大?通之得□○□為同數(shù)與左相消得□○□□開(kāi)立方得八十步即勾圓差也以勾圓差減于甲東行步余二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)南門(mén)外不知步數(shù)有樹(shù)甲從干東行三百二十步而立乙出西門(mén)便南行望樹(shù)及甲與城叅相直卻就樹(shù)斜行二百五十五步至樹(shù)問(wèn)答同前
法曰二行相乘于上以半之甲東行乗之為實(shí)二行相乘于上又半之甲東行以乘甲東行加上位為益從甲東行為從亷一步虛法開(kāi)立方得半徑
草曰立天元一為半徑便以為小勾其斜行即小?也乃以甲東行為大勾以小?乘之復(fù)以天元除之得□□即大?也又倍天元減東行余□□為小差以減大?余□□□為大股也又倍天元以減股余□□為大差也卻以半小差□□乗之得下式□□□為半徑冪【寄左】乃以天元冪與左相消得丨□□□開(kāi)立方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)南門(mén)外不知步數(shù)有槐樹(shù)一株?yáng)|門(mén)外不知步數(shù)有柳樹(shù)一株槐柳相距二百八十九步甲從干東行三百二十步斜望槐柳與城叅相直問(wèn)答同前法曰二行相乗得數(shù)又自增乘為實(shí)斜行冪乘甲東行又倍之為益從兩行相乘又倍之為益亷二之斜步為第二亷二步常法開(kāi)三乘方得栁至城心步草曰別得柳至城心步即甲立處柳樹(shù)步也立天元一為柳至城心步加斜步得□□為底?以天元乘之得丨□○合斜步除不除便以此為底勾【寄斜步分母】乃再置通勾以斜步乘之得□為帶母通勾內(nèi)減底勾余□□□為半徑以自之得丨□□□□為半徑冪內(nèi)帶斜步冪分母【寄左】乃以天元減斜步得□□為明?以天元乘之得□□合斜步除不除便以此為半梯頭【寄斜步為母】復(fù)以底勾半梯底乘之得□□□□為同數(shù)與左相消得□□□□□開(kāi)三乘方得一百三十六步即柳至城心步也合問(wèn)
或問(wèn)甲從干隅東行三百二十步而立乙出城東行丙出城南行三人相望俱與城相直乙丙共行了一百五十一步問(wèn)答同前
法曰以甲東行為冪折半又以自之為三乘方實(shí)倍共步加甲東行以乗半段甲行冪為從方甲行乗共數(shù)為從亷甲東行加五為第二益亷二分五厘常法得小差
草曰別得乙丙共行步即明股□勾共也立天元一為小差以自之副置二位上位減于甲東行冪以天元除之又折半得□○□即大股也下位加甲行冪以天元除之又折半得□○□為大?也其甲東行即大勾也并大勾大股得□□□即大和也再立天元以減甲東行步得□□即圓徑也以圓徑加共行步得□□即皇極和也【即小和又為髙?平?共數(shù)】又倍之得□□即黃長(zhǎng)?黃廣?共也內(nèi)減大?得下式□□□為皇極內(nèi)小黃方也【亦為虛?】再置大和□□□以小黃方乘之得下式□□□□□合以小和除之不除便以為城徑內(nèi)寄小和為母【寄左】然后天元減甲東行得□□為大黃方以小和乘之得丨□□為同數(shù)與左相消得□□□□□開(kāi)三乗方得八十步即小差也以小差減甲東行余二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)丙出南門(mén)東行乙出東門(mén)南行各不知步數(shù)而立甲從干隅東行三百二十步望乙丙悉與城防相直乙就丙斜行一百二步相防問(wèn)答同前
法曰甲東行自之于上倍斜行步乘之為立方實(shí)倍斜行步乘甲東行于上加兩段甲東行冪為從四之甲東行為益亷四為隅法得半城徑
草曰別得斜步即虛?減于全徑即小和也乃立天元一為半徑以二之減于甲東行得□□為小差也以自之得□□□為小差冪也置甲東行冪內(nèi)加小差冪而半之得下□□□為大?【內(nèi)帶小差分母】置甲東行冪內(nèi)減小差冪而半之得□□為大股也內(nèi)亦帶小差為母又以小差乘大勾得□□并入大股得□□□為大和也【帶小差母】乃先以小?乗大和得下□□□寄左次以斜步減于二天元得□□為小和以乗大?得下式□□□□為同數(shù)與左相消得□□□□開(kāi)立方得一百二十步即半城徑也合問(wèn)
依前問(wèn)假令乙出東門(mén)南行丙出南門(mén)東行各不知步數(shù)而立【只云丙行多于乙行步】甲從干隅東行三百二十步望乙丙與城防相直其乙丙共行一百二步問(wèn)答同前法曰倍共步以乗甲東行冪為立方實(shí)共步乗甲東行于上又以甲東行自之加上位為益從甲東行為從亷五分隅常法得城徑
草曰別得共步便為小?得小勾小股即與圓徑同立天元為城徑以減乙東行得□□為小差以自之得□□□為小差冪也乃置甲東行以自之為冪副之上以加小差冪而半之得□□□為大?也【內(nèi)寄小差分母】下以減小差冪而半之得□□○為大股也【內(nèi)寄小差分母】乃置共步在地以大股乘之得□□合大?除不除便以此為小股也【寄大?分母】又置共步以甲東行乘之得□合以大?除不除便以此為小勾而又以元分母小差乘之得□□為同分小勾【只寄大?分母】注【其大?內(nèi)元帶小差分母其大勾內(nèi)卻無(wú)分母故母故今復(fù)以小差通之齊同其分母也】又置共步以大?通之得□□□同分小?也三位相并得□□為城徑也【內(nèi)有大?分母】寄左然后置天元城徑□以大?分母通之得□□□○為同數(shù)與左相消得□□□□開(kāi)立方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
測(cè)圓海鏡卷六
<子部,天文算法類,算書(shū)之屬,測(cè)圓海鏡>
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷七
元 李冶 撰
明□前一十八問(wèn)
或問(wèn)出南門(mén)東行七十二步有樹(shù)出東門(mén)南行三十步見(jiàn)之問(wèn)答同前
法曰倍南行以乘倍東行為平實(shí)并二行又倍之為從一虛隅得城徑
草曰識(shí)別得此問(wèn)名為?外容圓又為內(nèi)率求虛積其二行步相并為虛?若以相減即虛較也又倍東行為?較和倍南行即?較較此二數(shù)相乘則兩虛積也若直以二行相乘則半個(gè)虛積也又倍東行減于城徑余即二虛勾也倍南行減于城徑則二虛股也虛積上三事和即城徑也乃立天元一為圓徑便以為三事和也倍二行步減之得□□為黃方一天元乘之得□□為二虛積【寄左】然后倍東行以乗倍南行得八千六百四十為同數(shù)與左相消得丨□□益積開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
又法二行步相乘為實(shí)二行步相并為從一步虛法得半徑
草曰立天元一為半徑副置二位上加?xùn)|行步得□□為大差勾下加□股得□□為小差股此二數(shù)相乘得下式丨□□為半段黃方冪【寄左】然后立天元以自之又二之與左相消得丨□□益積開(kāi)平方得一百二十步即半城徑也
又法二云數(shù)相乘倍之于上加云數(shù)差冪權(quán)寄并二云數(shù)又自增乗得數(shù)內(nèi)減上位為平實(shí)并云數(shù)而倍之為從二步益隅得半徑
草曰立天元一為半徑副之上減明勾得下□□為虛勾下減□股得□□為虛股勾股相乘得丨□□又倍之得□□□又加二行差冪□得□□□為?冪【寄左】然后并云步以自之得□為同數(shù)與左相消得□□□益積開(kāi)平方得一百二十步即半城徑也
又法云數(shù)相乘又倍之為平實(shí)云數(shù)相減為從一常法得虛勾
草曰立天元一為虛勾以南行減東行余四十二步為虛較也以虛較加天元得丨□為虛股以天元乘之得下丨□為直積【寄左】然后倍南行乘東行得□與左相消得丨□□開(kāi)平方得四十八步即虛勾也以勾除積得九十步即虛股也并勾股得□為虛和也內(nèi)加入二行并□得□即圓徑也
又法并兩行步以自乘于上又倍南行乘倍東行加上位為平實(shí)一隅法得小和
草曰立天元一為小和并二行步加之得□□為三事和也倍二行步而并之得□以減三事和余□□為黃方卻以三事和乘之得下丨□□為二虛積也【寄左】乃倍南行以乘倍東行得□為同數(shù)與左相消得丨□□開(kāi)平方得一百三十八步即虛和也加入二行步得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)丙出南門(mén)直行一百三十五步而立甲出東門(mén)直行一十六步見(jiàn)之問(wèn)答同前
法曰以丙行步一百三十五步再自之得二百四十六萬(wàn)零三百七十五于上又以甲行步一十六乘丙行冪一萬(wàn)八千二百二十五得二十九萬(wàn)一千六百以乘上位得七千一百七十四億四千五百三十五萬(wàn)為三乘方實(shí)以二行步相乘又倍之得四千三百二十以乘丙行步再自之?dāng)?shù)得一百六億二千八百八十二萬(wàn)為益從第一亷空以甲行乘丙行冪得二十九萬(wàn)一千六百又倍之得五十八萬(wàn)三千二百于上四之甲行冪一千零二十四以乘丙行步得一十三萬(wàn)八千二百四十減上位余四十四萬(wàn)四千九百六十為第二亷二行步相乘得二千一百六十為虛常法得丙行步上勾?差八十一
按法中載數(shù)自此始亦擇其數(shù)繁者詳之使人易曉也
草曰識(shí)得二數(shù)相并以減于皇極?余即虛勾虛股并也若以二數(shù)相減余為髙?內(nèi)減平?又為皇極?內(nèi)少個(gè)小差?又為大差?內(nèi)減個(gè)皇極?也立天元一為丙行大差數(shù)置丙行步一百三十五自乘得□用天元除之得□□為勾?并也上減天元得□□□為二丙勾也復(fù)用丙南行乘之得□□□為二積也又以天元除之得□□○□為丙勾外容圓徑【泛寄】別置丙南行用二甲勾乘之得□合用二丙勾除之不受除便以此為甲股【內(nèi)寄二丙勾為分母】復(fù)用二甲勾三十二乘之得□為二個(gè)甲直積也又置丙南行內(nèi)減天元得□□為黃方以自乘得丨□□為丙上勾?差乘股?差二段以天元除之得□□□為兩個(gè)丙小差也乃用甲股乗之得下式□□□復(fù)用丙南行除之得□□□又折半得□□□為一個(gè)甲步股?差也內(nèi)亦帶前二丙勾分母復(fù)置二個(gè)甲直積內(nèi)已寄此甲股?差分母便為甲步股外容圓徑【寄左】乃再置先求到泛寄【按即前所寄□□○□之?dāng)?shù)】用甲股?差分母乘之得□□○□□為同數(shù)與左相消得下式□□○□□開(kāi)三乗方得八十一步即丙步上勾?差也鈐經(jīng)載此法以勾?差率冪減丙行差冪復(fù)以丙行乘之為實(shí)以差率冪為法如法得徑此法只是以勾外求容圓半合以大差除陪積而今皆以大差冪為分母也依法求之勾?差八十一自之得六千五百六十一以減于丙行冪一萬(wàn)八千二百二十五余一萬(wàn)一千六百六十四復(fù)以丙行一百三十五乘之得一百五十七萬(wàn)四千六百四十為實(shí)以大差冪六千五百六十一為法如法得二百四十步即城徑也
又法二行相乘得數(shù)又自之為三乘方實(shí)并二行步以乗二行相乘數(shù)又倍之為從二行相并數(shù)以自乘于上又二行相減數(shù)自乗減上位為第一亷第二亷空一益隅益積開(kāi)之得半徑【其第一亷只是四段二行相乗數(shù)】
草曰立天元一為半城徑副置之上加南行步得□□為股下位加?xùn)|行步得□□為勾勾股相乘得丨□□為直積一段以天元除之得丨□□為?以自之得丨□□□□為?冪【寄左】乃以勾自之得丨□□又以股自之得丨□□二位相并得□□□為同數(shù)與左相消得丨○□□□益積開(kāi)三乘方得一百二十步即半城徑也
又法條段同前
草曰以前求得勾股率置出南門(mén)步為小股以勾率乘之得□□合以股率除不除寄為母便以此為半梯頭于上又置南行步加二天元得□□為大股以勾率乘之得□□□合以股率除不除寄為母便以此為梯底以乘上位得□□□□為半徑自乘數(shù)內(nèi)帶股率冪為母【寄左】然后置天元以自之又以股率冪乘之得下丨□□□為同數(shù)與左相消得數(shù)一如前答
又法以二行差冪數(shù)自乗又倍之為實(shí)并二行步以乘二行差冪又四之為益從四段南行冪內(nèi)減二段差冪于上又二段差冪內(nèi)減四段東行冪余以減上位【按并二行冪減二行差冪四因之亦同】為第一亷四之二行共為第二亷二步虛法益積開(kāi)之得皇極?二百八十九草曰立天元一為皇極?以自之為?冪于上以二行步相減余□以自之得□為較冪以減上得丨□□為二直積復(fù)以天元除之得□○□為一個(gè)城徑也副置之上位加二之東行步得□□□為二勾也以自增乘得丨□□□□為四段勾冪于上下位加二之南行得□□□為二股也以自增乘得丨□□□□為四段股冪也并入上位得下式□□□□□為四段?冪【寄左】然后以天元為冪四之為同數(shù)與左相消得下式□□□□□益積開(kāi)三乘方得二百八十九步即皇極?也 欲見(jiàn)城徑者別立天元半徑副之加?xùn)|行為勾加南行為股勾股各為冪并之與?冪相消開(kāi)方得城徑也
又法以二行差一百一十九自乘得一萬(wàn)四千一百六十一為差冪以東行步乘之得二十二萬(wàn)六千五百七十六為泛率又自增乗得五百一十三億三千六百六十八萬(wàn)三千七百七十六為五乘方實(shí)倍東行步得三十二以二行差一百一十九乘之得三千八百八為小泛以乘泛率又倍之得一十七億二千五百六十○萬(wàn)二千八百一十六為從方并兩行而倍之得三百二以乘泛率得六千八百四十二萬(wàn)五千九百五十二于上位以小泛冪一千四百五十萬(wàn)○○八百六十四加入上位共得八千二百九十二萬(wàn)六千八百一十六為第一亷并兩行而倍之得三百二以乗小泛得一百一十五萬(wàn)○○一十六為寄數(shù)倍二行差以乘差冪得三百三十七萬(wàn)零三百一十八內(nèi)減寄數(shù)余二百二十二萬(wàn)零三百零二為第二亷六段二行差冪八萬(wàn)四千九百六十六內(nèi)減二行并數(shù)冪二萬(wàn)二千八百一余六萬(wàn)二千一百六十五為第三益亷六之二行差七百一十四為第四益亷二步虛法得□?三十四步
草曰立天元一為皇極?上股?差【即東行步上斜也亦謂□斜】以元加二行差得□□即明?也【此即皇極?上勾?差也】以天元乗之又倍之得□□□即皇極內(nèi)黃方冪也【泛寄】置皇極?上勾?差以東行步乘之得□□以天元除之得□□為明勾也又置天元以南行乘之得□□合用明?除不除寄為母便以此為□股于上【寄明?母】乃再置明勾以明?乘之得□□□亦為帶分明勾加入上位得□□□即是一個(gè)虛?也以自增乘得下式□□□□□為一段虛?冪也內(nèi)帶明?冪分母【寄左】然后置明?以自之得丨□□為明?冪以乘泛寄得□□□□為同數(shù)與左相消得下式□□□□□□□開(kāi)五乗方得三十四步為東行步上斜步也【即□?】其東行十六步即□勾也勾?各自為冪以相減余九百步開(kāi)方得三十步即□股也既各得此數(shù)乃以股外容圓半法求圓徑得二百四十步即城徑也合問(wèn)
按此草又法求□?至開(kāi)帶縱五乘方法愈繁數(shù)愈賾而天元一之用愈見(jiàn)其妙苐所得帶縱五乘方亷隅積數(shù)雖具而未習(xí)其法者不能信其數(shù)之必然今姑取已得之□?數(shù)按亷隅數(shù)推其積數(shù)以明其數(shù)之無(wú)可疑焉置五乘方數(shù)二以□?三十四乘之得六十八與四乘方數(shù)七百一十四相加得七百八十二又以□?乘之得二萬(wàn)六千五百八十八與三乘方數(shù)六萬(wàn)二千一百六十五相加得八萬(wàn)八千七百五十三又以□?乘之得三百零一萬(wàn)七千六百零二與立方數(shù)二百二十二萬(wàn)零三百零二相加得五百二十三萬(wàn)七千九百零四又以□?乘之得一億七千八百零八萬(wàn)八千七百三十六內(nèi)減所少平方數(shù)八千二百九十二萬(wàn)六千八百一十六余九千五百一十六萬(wàn)一千九百二十又以□?乘之得三十二億三千五百五十萬(wàn)零五千二百八十內(nèi)減所少元數(shù)十七億二千五百六十萬(wàn)零二千八百一十六余十五億零九百九十萬(wàn)零二千四百六十四又以□?乗之得五百一十三億三千六百六十八萬(wàn)三千七百七十六為積數(shù)與草中積數(shù)合【此即無(wú)次商帶縱五乘方法】
或問(wèn)出東門(mén)一十六步有樹(shù)出南門(mén)東行七十二步見(jiàn)之問(wèn)答同前
法曰二行步相減得數(shù)以自之于上又以出東門(mén)步自之減上位為平方實(shí)二之出南門(mén)東行步為益從一步常法翻開(kāi)得半徑
草曰別得人到樹(shù)即平?也半圓徑即平股也其東行七十二步則平勾平?差也乃立天元一為半徑加一十六減七十二得□□為勾也以自之得丨□□為勾冪又加入天元股冪得□□□為?冪【寄左】再立天元一為半徑加出東門(mén)步得□□即?也以自之得丨□□為同數(shù)與左相消得□□□翻法開(kāi)之得一百二十步即半城徑也合問(wèn)
或問(wèn)出南門(mén)一百三十五步有樹(shù)出東門(mén)南行三十步見(jiàn)之問(wèn)答同前
法曰樹(shù)去城步內(nèi)減南行步余以為冪于上又以樹(shù)去城步為冪內(nèi)減上位為平實(shí)倍樹(shù)去城步為從一虛隅翻法得半城徑
草曰別得人距樹(shù)即髙?也半圓徑即髙勾也其南行三十步即髙?上小差也乃立天元一為半徑加樹(shù)去城步為?內(nèi)減小差□得□□即股也以自之得丨□□為股冪內(nèi)加入天元冪得□□□為?冪【寄左】再置?□□自之得丨□□為同數(shù)與左相消得丨□□翻開(kāi)得一百二十步即半城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)不知逺近而立甲出南門(mén)東行七十二步望見(jiàn)乙就乙斜行一百三十六步與乙相會(huì)問(wèn)答同前
法曰以斜行步自之于上以二行相減余自為冪減上位為平實(shí)從空一步常法得半徑
草曰別得七十二步即大差也斜行即?半徑即股也立天元一為半徑以自之為股冪又以二行差六十四以自之得□為勾冪并二冪得丨□□為?冪【寄左】然后以斜行步自之得□為同數(shù)與左相消得丨□□開(kāi)平方得一百二十步倍之即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出南門(mén)不知逺近而立乙出東門(mén)南行三十步望見(jiàn)甲卻就甲斜行二百五十五步與甲相防問(wèn)答同前
法曰二行差自之為冪以減于斜行冪為平實(shí)一虛隅得半徑
草曰別得南行步即股?差也斜步即?也半徑即勾也乃立天元一為半城徑以自之為冪以二行相減余二百二十五以自之得□為股冪二冪相并得丨□□為?冪【寄左】然后以斜行自之得□為同數(shù)與左相消得下丨□□開(kāi)平方得一百二十步即半徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出南門(mén)東行不知步數(shù)而立乙出東門(mén)南行三十步望見(jiàn)甲斜行一百二步相防問(wèn)答同前
法曰二行相乘四之于上又加入斜行冪為平實(shí)得虛和一百三十八
草曰別得斜步內(nèi)減南行為甲東行步也此問(wèn)以?外容圓入之以二行相減數(shù)乘乙南行三十步得□又四之得□為二直積也又加入斜步冪□共得□即和冪也平方而一得一百三十八步即虛和也又加斜步得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出東門(mén)南行不知步數(shù)而立甲出南門(mén)東行七十二步望見(jiàn)乙斜行一百二步與乙相防問(wèn)答同前法曰倍相減步以乘倍東行得數(shù)復(fù)以減于斜步冪余為實(shí)平方而一得較也又以二行相減數(shù)乘倍東行為平實(shí)以較為從方得勾勾較共為長(zhǎng)又以斜步并入勾股共即城徑
草曰別得二行相減余□為乙南行步也以此數(shù)又減于甲東行余四十二步即較也乃以二行相減數(shù)□乘倍東行得□為平實(shí)以較為從平方開(kāi)得四十八即勾也勾內(nèi)加較得九十步即股也勾股共得一百三十八又加入斜步共得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出南門(mén)東行甲出東門(mén)南行兩相望見(jiàn)既而乙云我東行不及城徑一百六十八步甲云我南行不及城徑二百一十問(wèn)答同前
法曰半甲不及步以自之為冪半甲不及步內(nèi)減云數(shù)差以自之為冪二冪相并內(nèi)卻減差冪為平實(shí)二之乙不及為益從三步半虛法得甲南行
草曰別得乙不及為虛勾半徑共又為徑內(nèi)減明勾也甲不及為虛股半徑共又為徑內(nèi)減□股也又二云數(shù)相并為虛和圓徑共也云數(shù)相減即虛較也乃立天元一為甲南行以減于甲不及步又半之得□□為虛股也虛股內(nèi)減虛較得□□為虛勾勾自之得□□□為勾冪也又股自之得下式□□□為股冪也二冪相并得□□□為?冪【寄左】然后以天元加虛較得□□為乙東行又加入天元甲南行得□□為虛?以自之得□□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得三十步即甲南行也內(nèi)加少步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)丙出南門(mén)直行甲出東門(mén)直行兩相望見(jiàn)既而丙云我行少于城徑一百五步甲云我行少于城徑二百二十四步問(wèn)答同前
法曰二少歩相乘訖又自乗為實(shí)六之共步乘云數(shù)相乘數(shù)為益從十八之云數(shù)相乘數(shù)于上又三之共步自乘加上位內(nèi)復(fù)減丙少步冪甲少步冪為從亷四十八之共步為益二亷六十三步常法翻法開(kāi)三乗方得一百二十步即半徑
草曰別得云數(shù)共減于倍城徑為甲丙共數(shù)又云數(shù)相減即皇極差亦為甲行不及丙行數(shù)立天元一為半城徑以三之副置二位上位減丙少步得□□為皇極股也下位減甲少步得□□為皇極勾也勾股相乘得□□□以天元除之得□□□為?也?自之得□□□□□為?冪【寄左】然后以股自之得下□□□為股冪于上又以勾自之得□□□為勾冪并以加入上位得□□□為同數(shù)與左相消得□□□□□翻法開(kāi)三乘方得一百二十步即半城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出東門(mén)直行丙出南門(mén)直行各不知步數(shù)而立乙望見(jiàn)甲就甲斜行了二百八十九步與甲相防其二直行共一百五十一步問(wèn)答同前
法曰斜冪內(nèi)減共步冪為平實(shí)倍共步內(nèi)減斜步為從一常法得徑
草曰別得共數(shù)城徑并即皇極和也立天元一為圓徑加共步得□□為皇極和以自之得丨□□于上以斜行冪□減上位余丨□□為二直積【寄左】然后以天元乘斜步得□□與左相消得丨□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出東門(mén)直行乙出東門(mén)南行丙出南門(mén)直行丁出南門(mén)東行各不知步數(shù)而立四人遙相望悉與城叅相直只云甲丙共行了一百五十一步乙丁立處相距一百二步又云丙直行步多于甲直行步問(wèn)答同前
法曰共步距步相減得數(shù)自之于上以共步為冪內(nèi)減上為平實(shí)二之距步內(nèi)減共步距步差為從一步虛法得城徑
草曰別得共步得城徑即皇極和也相距步即虛?也皇極和內(nèi)減虛?即皇極?也又共步距步差□即皇極?內(nèi)減城徑也【此名旁差】乃立天元一為城徑加共步得□□為皇極和也以自之得丨□□于上以共步距步差□加天元得□□為皇極?也以自之得下式丨□□減上位余得□□為二直積【寄左】然后以天元徑乘皇極?得丨□為同數(shù)與左相消得丨□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出南門(mén)東行不知步數(shù)而立乙出東門(mén)南行望見(jiàn)甲復(fù)就甲斜行與甲相防乙通計(jì)行了一百三十二步其乙南行步不及斜行七十二步其甲東行多于乙南行問(wèn)答同前
法曰倍不及步在地以不及步減通步以乗之為實(shí)以四之不及步為法得乙南行三十步
草曰別得乙南行即□股也以減通步即虛?也以減不及步即虛較也其不及步即甲東行也立天元一為乙南行置不及步以天元乘之又四之得□為二直積【寄左】然后倍不及步以為?較和于上□以不及步減通步得□為?較較以乗上位得□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得三十步為乙南行也余各以數(shù)求之
又法別得通行步為兩個(gè)乙南行一個(gè)甲東行共也其不及步即東行步也云步相并即兩個(gè)虛?相減即兩個(gè)乙南行也
或問(wèn)甲出南門(mén)東行不知步數(shù)而立乙出東門(mén)南行望見(jiàn)甲復(fù)斜行與甲相防二人共行了二百四步又云甲行不及乙一百三十二【按甲不及乙六十步非一百三十二步當(dāng)云甲行不及共步方合】問(wèn)答同前
法曰別得二行共即兩個(gè)虛?也其不及步即乙南行與一虛?共也置不及步內(nèi)減一?余三十步即乙南行也以乙南行反以減虛?余七十二步即甲東行也以乙南行減甲東行余即虛較也 此問(wèn)無(wú)草
按右二問(wèn)語(yǔ)若淺近然以發(fā)明加減乘除相通之
義最為深切集中仿此者可類推之
或問(wèn)乙出東門(mén)南行甲出西門(mén)南行甲望見(jiàn)乙斜行五百一十步相防乙云我南行少于城徑二百一十步問(wèn)答同前
法曰少步冪為平實(shí)四斜步內(nèi)減二少步為益從五步常法得乙南行
草曰別得少步為徑內(nèi)減叀股立天元一為乙南行以二之減于倍斜行步得□□為梯底也以二之天元乘之得□□為徑冪【寄左】再置天元加少步得下式□□為城徑以自之得丨□□與左相消得□□□開(kāi)平方得三十步即乙南行也加少步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出南門(mén)東行甲出北門(mén)東行甲望見(jiàn)乙斜行二百七十二步與乙相防乙云我東行不及城徑一百六十八步問(wèn)答同前
法曰以不及步冪之為實(shí)四斜內(nèi)減二之不及步為虛從五常法平實(shí)開(kāi)得乙東行七十二
草曰別得不及步為城徑減明勾也立天元一為乙東行以倍之減于二之斜行步得下□□為梯底也倍天元乘之得□□為徑冪【寄左】再置天元加不及步得□□為城徑以自之得丨□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得七十二步即乙東行也加入少步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙出南門(mén)東行丁出東門(mén)南行卻有甲丙二人共在西北隅甲向東行丙向南行四人遙相望見(jiàn)俱與城叅相直既而相防甲云我多乙二百四十八步丙云我多于丁五百七十步問(wèn)答同前
法曰二多步相乗為平實(shí)并二多步而半之為從七分半常法得城徑
草曰別得甲多步為大勾內(nèi)減明勾也丙多步為大股內(nèi)少叀股也又乙東行得一虛勾為半徑丁南行得一虛股為半徑又二多數(shù)相并得□為大和內(nèi)少虛?也又二多數(shù)相減余□為兩個(gè)角差又甲多步內(nèi)減半徑即勾方差也丙多步內(nèi)減半徑即股方差也立天元一為城徑以半之減于甲多步得□□為勾方差又以半徑減于丙多步得□□為股方差二差相乘得□□□為徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得下式□□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲丙二人俱在西北隅甲向東行丙向南行又乙出南門(mén)東行丁出東門(mén)南行各不知步數(shù)而立四人遙相望見(jiàn)悉與城叅相直既而相防甲云我與乙共行了三百九十二步丙云我與丁共行六百三十步問(wèn)答同前
法曰甲乙共自之為冪丙丁共自之為冪二冪又相乘為三乘方實(shí)甲乙共自之為冪以丙丁共乘之于上又以丙丁共自之為冪以甲乙共乘之加上位為益從甲乙共自之為冪丙丁共自之為冪并以七分半乘之于上又以甲乙共乘丙丁共得數(shù)減上位為第一益亷并二共數(shù)以七分半乘之為第二亷以七分半自之得五分六厘二毫五絲于上位以一步內(nèi)減上位余四分三厘七毫五絲為虛隅得城徑草曰別得甲為大勾乙為明勾丙為大股丁為叀股也甲乙共內(nèi)減半徑即是黃長(zhǎng)?也丙丁共內(nèi)減半徑即黃廣?也黃長(zhǎng)?黃廣?二數(shù)相減余為兩個(gè)皇極差也乃立天元為城徑半之副置二位上以減于甲乙共數(shù)得□□即黃長(zhǎng)?也以自之得□□□為黃長(zhǎng)?冪也內(nèi)減天元一冪余得下式□□□為勾方差冪也下位以減于丙丁共得下式□□即黃廣?也以自之得□□□為黃廣?冪也內(nèi)減天元一冪余得□□□為殷方差冪也再以勾方差冪股方差冪相乘得□□□□□為徑冪【寄左】然后以天元為冪又以冪自之與左相消得下式□□□□□開(kāi)三乘方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
測(cè)圓海鏡卷七
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷八
元 李冶 撰
明叀后一十六問(wèn)
或問(wèn)出南門(mén)向東有槐樹(shù)一株出東門(mén)向南有柳樹(shù)一株丙丁俱出南門(mén)丙直行丁往至槐樹(shù)下甲乙俱出東門(mén)甲直行乙往至柳樹(shù)下四人遙相望見(jiàn)各不知所行步數(shù)只云丙丁共行了二百七步甲乙共行四十六步又云甲丙立處相距二百八十九步問(wèn)答同前
法曰以二共相減數(shù)又以減距數(shù)為實(shí)二為法得平勾
草曰識(shí)別得丙丁共即明和也甲乙共即叀和也相距步即極?也二共相并即極?內(nèi)少個(gè)虛黃也又為極和內(nèi)少個(gè)虛和也二共相減余為平勾髙股差也又為虛差極差共也又為通差內(nèi)減極差也立天元為平勾加入二共相減數(shù)得□□為髙?又加天元得□□為極?【寄左】以相距步二百八十九與左相消得□□上法下實(shí)如法得六十四即平勾也以二共相減數(shù)加平勻得二百二十五為髙股復(fù)以平勾乘之得一萬(wàn)四千四百步開(kāi)平方得一百二十步即城半徑也合問(wèn)
又法二共數(shù)并以減相距數(shù)余者半為泛率以泛率加丙丁共為長(zhǎng)以泛率加甲乙共為闊長(zhǎng)闊相乘為平方實(shí)得半徑
草曰置極?內(nèi)減二共并數(shù)余三十六步即虛黃也半之副置二位上以加明和得二百二十五步為髙股也下以加叀和得六十四步為平勾也二位相乘得一萬(wàn)四千四百步開(kāi)平方得一百二十步即半徑也合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)丙丁共二百七步甲乙共四十六步又云二樹(shù)相去一百二步問(wèn)答同前
法曰以甲乙共乘樹(shù)相去步得數(shù)又以自之為平實(shí)從空并二共數(shù)為冪于上內(nèi)減甲乙共自之?dāng)?shù)丙丁共自之?dāng)?shù)【按或云二共數(shù)相乘倍之亦同】為益隅得叀?
草曰識(shí)別得兩樹(shù)相去步即虛?也余數(shù)具前立天元一為叀?置明和以天元乘之合叀和除不除便以□為明?也【內(nèi)帶□和分母】乃置虛?以分母叀和乘之得□加入明?得□□為極股也內(nèi)帶叀和分母以自之得下式□□□為極股冪【內(nèi)寄叀和羃為分母】又以天元加虛?得□□為極勾以自之得丨□□又以叀和冪□乘之得□□□為勾冪也勾股相并得□□□為兩積一較冪也內(nèi)有叀和冪分母【寄左】然后置明?□于上以叀和乘天元得□加上位得□為二?并又置虛?以叀和乘之得□并入上位得下式□□為極?以自之得□□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得三十四步即叀?也
又法以樹(shù)相去步自之又以甲乙共乘之為平實(shí)從空倍丙丁共為虛隅得叀?
草曰立天元一為叀?依前術(shù)求得明?□便以為皇極勾?差也【內(nèi)帶叀和分母】以天元□?便為皇極股?差以乘之又倍之得□□為虛?冪【內(nèi)有叀和分母寄左】然后以虛?自之又以分母□乘之得四十七萬(wàn)八千五百八十四為同數(shù)與左相消得□○□開(kāi)平方得三十四步即叀?也合問(wèn)
或問(wèn)皇極大小差共一百八十七步明黃叀黃共六十六步問(wèn)答同前
法曰后數(shù)自乘為實(shí)前后數(shù)相減余為法得虛黃方草曰別得一百八十七即明叀二?共也其六十六即太虛大小差共也又二數(shù)相并得□即明叀二和共若以相減余□即明叀四差共也立天元一為太虛黃方面加二黃共得□□即虛?也倍虛?又加天元得□□即城徑也又以虛?加皇極大小差得□□即極?也以極?乘城徑得□□□為兩段皇極勾股積【寄左】再以極?虛?相并得□□即皇極勾股共也自之得□□□內(nèi)減皇極?冪丨□□得□□□為同數(shù)與寄左相消得□□上法下實(shí)如法得三十六步即太虛黃方靣也合問(wèn)
或問(wèn)東門(mén)南有柳一株南門(mén)東有槐一株甲出東門(mén)直行丙出東門(mén)直行甲丙槐柳悉與城防相直既而甲就柳樹(shù)斜行三十四步至柳樹(shù)下丙就槐樹(shù)斜行一百五十三步至槐樹(shù)下問(wèn)答同前
法曰云數(shù)相乘倍之便為平方實(shí)開(kāi)方得虛?一百二步以此?加甲行步即極勾以此?加丙行步即極股余各依法求之 識(shí)別甲斜行即叀?也丙斜行即明?也 無(wú)草
或問(wèn)東門(mén)南有柳一株南門(mén)東有槐一株甲出東門(mén)直行丙出南門(mén)直行二人遙相望槐栁與城邊悉相直既而甲復(fù)斜行至柳樹(shù)下丙復(fù)斜行至槐樹(shù)下各不知步數(shù)只云丙共行了二百八十八步甲斜行與柳至東門(mén)步共得六十四步問(wèn)答同前
法曰二云數(shù)相乘于上以六十四步自之又二之減上位為平實(shí)十四之六十四于上倍丙行減上位為從【按倍丙行乃數(shù)偶合當(dāng)云九個(gè)半六十四內(nèi)減丙行為從】二十常法得甲直行步
草曰別得丙共步即明股明?和也六十四即平勾也內(nèi)甲斜行即叀?也柳至東門(mén)步即叀股也又云二數(shù)相并即明差與極?共也二云數(shù)相減即明差與平勾髙股差共也又平勾內(nèi)減叀勾即虛勾也立天元一為叀勾置丙共步以天元乘之復(fù)以六十四除之得□□呔為明勾也又以天元減于六十四得□□為虛勾也并虛明二勾□□為半徑也以自之得□□□□倍之得□□□□為半段圓城徑冪【寄左】乃以天元加六十四得□□為勾圓差于上又以明勾加丙共步得□□□為股圓差于下上下相乘得□□□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一十六步即叀勾也此叀勾乃甲出東門(mén)直行步也余皆依數(shù)求 合問(wèn)
或問(wèn)東門(mén)南有柳樹(shù)一株南門(mén)東有槐樹(shù)一株甲出東門(mén)直行丙出南門(mén)直行二人遙相望槐柳與城邊悉相直既而甲復(fù)斜行至柳樹(shù)下丙復(fù)斜行至槐樹(shù)下各不知步數(shù)只云甲共行五十步丙斜行與槐至南門(mén)步共得二百二十五步問(wèn)答同前
法曰以二百二十五步自之為冪又以此冪自為冪于上置甲共行以二百二十五步三度乘之得數(shù)復(fù)折半減上位為平實(shí)置二百二十五步自之?dāng)?shù)以二云數(shù)相減數(shù)乘之又倍之于上倍五十步在地以二百二十五步自之?dāng)?shù)乘之復(fù)折半加上位為益從云數(shù)相減自乘于上以云數(shù)相乘復(fù)折半減上位為常法得明股
草曰識(shí)別得甲共步即叀勾叀?共也二百二十五即髙股也內(nèi)丙斜行即明?槐至南門(mén)步即明勾也又二云數(shù)相并即極?內(nèi)減一個(gè)叀差也云數(shù)相減即叀差與髙股平勾差共也又髙股內(nèi)減明股即虛股也立天元一為明股即丙出南門(mén)直行步也置五十步以天元乘之得□合髙股除不除便以此□為叀股也內(nèi)帶髙股□分母再置髙股內(nèi)減天元得□□為虛股以分母髙股乘之得下式□□加入?yún)」傻谩酢跫窗霃揭惨宰栽龀说孟隆酢酢鯙榘霃絻缫矁?nèi)帶髙股冪為母【寄左】然后置甲共步以分母髙股乘之得□加入?yún)」傻谩酢鯙楣磮A差于上【內(nèi)帶髙股分母】又以天元加髙股得□□為股圓差于下上下相乘得□□□又以分母髙股乘之得□□□復(fù)折半得□□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一百三十五步即明股也合問(wèn)
或問(wèn)通勾通?共一千步叀勾叀?共五十步問(wèn)答同前
法曰置一千減二之五十步為泛率以自乘復(fù)半之于上又置泛率復(fù)以五十乘之加上位為平實(shí)二十二之泛率于上【按二十二乃此題叀和除通和所得通倍叀數(shù)加二數(shù)之?dāng)?shù)易題則數(shù)不同矣當(dāng)直云通倍叀數(shù)加二數(shù)乘泛率】以四十二【按四十二乃此題倍通倍叀數(shù)加二數(shù)之?dāng)?shù)當(dāng)直云倍通倍叀數(shù)加二數(shù)】乘五十得數(shù)內(nèi)減泛率加上位為益從二百【按二百乃此題通倍叀數(shù)加二數(shù)自乘折半于上又倍通倍叀數(shù)并二數(shù)以減上位之?dāng)?shù)當(dāng)同上不必載數(shù)】為常法得叀股
草曰立天元一為叀股置一千以天元乘之以五十除之得□為通股也又以天元加五十步得□□即小差也通股加小差得□□即通?也以通?減一千得□□即通勾也以小差減通勾得□□即圓徑也以圓徑減通股得□□即大差也置大差以小差乘之得□□□【寄左】然后置圓徑以自之得□□□折半得□□□與左相消得□□□開(kāi)平方得三十步即叀股也合問(wèn)
按此題通勾?和為叀勾?和度盡之?dāng)?shù)則不用寄分而用除法以從省便作者蓋舉一以例其余也
或問(wèn)通勾通?共一千步明勾明?共二百二十五步問(wèn)答同前
法曰以后數(shù)再自乘又以前數(shù)乘之為平實(shí)以后數(shù)為冪又以前數(shù)乘之為從以前數(shù)冪為常法得明股草曰別得二百二十五步即髙股也立天元一為明股置一千以天元乘之合以髙股除不除便以此□為通股【內(nèi)帶髙股為母】以天元加髙股□□即大差也置大差以髙股分母乘之得□□即帶分大差也以此減于通股余□□即圓徑也以自增乘得□□□寄左【內(nèi)?髙股冪分母】然后置一千以髙股分母通之得□內(nèi)減帶分大差得□□為兩個(gè)通勾也內(nèi)減兩個(gè)圓徑得□□為兩個(gè)小差也以帶分大差乘之得下式□□□為同數(shù)與左相消得□□開(kāi)平方得一百三十五步即明股也合問(wèn)
或問(wèn)通股通?共一千二百八十步叀股叀?共六十四步問(wèn)答同前
法曰云數(shù)相乘為平實(shí)前數(shù)為益從置前數(shù)以后數(shù)除之得二十為泛率泛率減一以自乘于上又倍泛率減一加上位為常法倒積開(kāi)得叀勾
草曰別得六十四步即平勾也立天元一為叀勾置前數(shù)以天元乘之以后數(shù)除之得□即通勾也又置天元加后數(shù)得□□即小差也以小差減通勾余□□即圓徑也以自之得□□□【寄左】然后以小差減于前數(shù)得□□為二通股內(nèi)減兩個(gè)圓徑得□□為二大差也以小差乘之得下□□□與左相消得□□□開(kāi)平方得一十六步即叀勾也合問(wèn)
或問(wèn)通股通?共一千二百八十步明股明?共二百八十八步問(wèn)答同前
法曰二數(shù)相減以后數(shù)乘之內(nèi)減后數(shù)冪又半之為泛率以自乘為平實(shí)【按或云前數(shù)內(nèi)減二后數(shù)余以后數(shù)乘之折半自之亦同】置前數(shù)加二之后數(shù)而半之為次率以乘泛率于上以后數(shù)乘泛率減上位【按或云二數(shù)相加以乘前折半數(shù)亦同】為益從次率自乘之于上以前數(shù)加次率復(fù)以后數(shù)乘之減上位【按或云前數(shù)折半內(nèi)減后數(shù)又以半前數(shù)乘之亦同】為隅法得明勾
草曰別得二數(shù)相減余□為通勾通股及明勾共也立天元一為明勾置前數(shù)以天元乘之合以后數(shù)除之不除便以此□為通勾也【內(nèi)寄后數(shù)分母】又以二數(shù)相減得數(shù)內(nèi)又減天元得□□為通和也乃以分母二百八十八乘之得下式□□內(nèi)減通勾余□□為通股也又以天元加后數(shù)又以分母【即后數(shù)也】通之得□□為大差也以此大差減于通股得下式□□為一個(gè)圓徑也半之得□□以自得之□□□為半徑冪【寄左】然后以半圓徑減通勾得□□為底勾又以天元乘之又以分母二百八十八乘之得□□呔為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得七十二步即明勾也合問(wèn)
或問(wèn)明股明?并二百八十八步叀勾叀?并五十步又云明股叀勾并多于虛?四十九步問(wèn)答同前法曰前二數(shù)相并內(nèi)減二之多步即圓徑又只以前二數(shù)相乘便是半徑冪
草曰識(shí)別得前二數(shù)相減而半之即極差也其多步名傍差又圓徑不及極?數(shù)
或問(wèn)平差髙差共一百六十一步明股叀勾并多于虛?四十九步問(wèn)答同前
法曰二數(shù)相減又半之以自乘為實(shí)后數(shù)為法得平勾
草曰立天元一為平勾以加前數(shù)得□□為髙股也又以天元加髙股得□□為極?內(nèi)減后數(shù)得□□又半之得□□為半徑以自之得丨□□【寄左】然后以天元乘髙股得丨□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得六十四步即平勾也合問(wèn)
或問(wèn)平勾髙股差一百六十一步明差叀差并七十七步又云極?多于城徑四十九步問(wèn)答同前
法曰并上二位而半之為平率其四十九即旁率也副置平率上加旁率下減旁率以相乘為實(shí)倍旁差為法得勾圓差【按求實(shí)數(shù)有誤當(dāng)云并上二位而半之內(nèi)減后數(shù)于上又置上前數(shù)內(nèi)減后數(shù)以乘上位為實(shí)方合】
草曰識(shí)別得平勾髙股差名為角差副置角差上加七十七而半之得□即極差也下減七十七而半之得□即虛差也角差加極差得□即通差也又極?多于城徑步名為旁差副置角差上加旁差得□為兩個(gè)髙段上勾股較下減傍差得□為兩個(gè)平段上勾股較也又副置極差上加傍差得□為股圓差上勾股較下減旁差□為勾圓差上勾股較也立天元一為勾圓差依法求得通差加入天元得□□即大差也以天元乘之得丨□為半段圓徑冪【寄左】乃置大差□□內(nèi)減股圓差上勾股較□余有□□為股圓差之勾于上再置天元內(nèi)加勾圓差上勾股較□得□□為勾圓差之股以乘上位得丨□□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得八十歩即勾圓差也
又依前問(wèn)見(jiàn)角差一百六十一步見(jiàn)明差叀差并七十七步又見(jiàn)太虛?較較六十步問(wèn)答同前
法曰前二數(shù)相減而半之得數(shù)加入半之太虛?較較為泛率以自乘為平實(shí)置一百六十一內(nèi)減二之泛率為從一常法得平勾
草曰別得□即二叀股也立天元一為平勾先以前二數(shù)相減而半之得□為虛差以虛差加叀股得□即明勾也以明勾加天元得丨□為平?以自之得丨□□內(nèi)減天元冪得□□為半徑冪【寄左】然后以天元加一百六十一為髙股以天元乘之得丨□為同數(shù)與左相消得丨□□開(kāi)平方得六十四步即平勾也
又法曰前數(shù)內(nèi)加半之太虛?較較以自乘【按此語(yǔ)內(nèi)有誤當(dāng)云倍角差加半太虛較以半太虛較乘之】為實(shí)前數(shù)內(nèi)減太虛?較較為從一常法開(kāi)平方得平勾此更不用明差叀差并也草曰依前求平勾前髙股內(nèi)加叀股得□□為髙?也以自之得丨□□于上位內(nèi)減髙股冪丨□□余得□□為半徑冪【寄左】然后以天元乘髙股得丨□為同數(shù)與左相消得下丨□□開(kāi)平方得六十四步即平勾也合問(wèn)
或問(wèn)髙差平差并一百六十一步明差叀差并七十七步問(wèn)答同前
法曰以前數(shù)自乘于上二數(shù)相并而半之以自乘減上位得數(shù)復(fù)自增乘為平實(shí)前數(shù)自之于上又以四之前數(shù)乘之寄位以前數(shù)自之于上并二數(shù)而半之以自乘減上位得數(shù)又以四之前數(shù)乘之【按此下落又倍之三字】減于寄位為從前數(shù)自之又四之于上又以四之前數(shù)為冪加上位權(quán)寄以前數(shù)為冪于上并二數(shù)而半之以自乘減上位得數(shù)復(fù)八之加上位又以四之前數(shù)為冪加入上位并以減于權(quán)寄為常法【按或云二和并而自之又半之以減髙平共差冪又四之為常法亦同】得平勾
草曰識(shí)別得二位相并而半之得□即極差也立天元一為平勾加一百六十一得□□為髙股髙股內(nèi)又加天元得□□為極?以自之得□□□于上內(nèi)減極差冪一萬(wàn)四千一百六十一余□□□為兩段極積合以極?除不除寄為母便以此為城徑以自增乘得□□□□□為圓徑冪【內(nèi)有極?冪分母寄左】然后以天元乘髙股又四之得□□又以分母極?冪□□□通之得□□□□呔為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得六十四步即平勾也合問(wèn)
或問(wèn)見(jiàn)明和二百七步叀和四十六步問(wèn)答同前法曰二和上下相減數(shù)同則止名為泛率又以二和直相減余為泛實(shí)【此則角差也】乃以泛率除泛實(shí)所得為差率也以差率加減泛率若半訖與勾股相應(yīng)者其泛率便為和率其泛實(shí)便為較率乘和率也若不相應(yīng)則直取差率以消息之定為相管和率【其勾股數(shù)少得見(jiàn)?黃而相為率者勾三股四則其和七而其較一也勾五股十二則其和一十七而其較七也勾八股十五則其和二十三而其較亦得七七勾七股二十四則其和三十一而其較一十七也勾九股二十則其和二十九而其較一十一也此消息之大畧也余皆仿此】乃以和率約二和其明和所得為明壘率其叀和所得為叀壘率也又副置和率上加差率而半之則為股率也下位減差率而半之則為勾率也既見(jiàn)勾股及差三率各以壘率乘之即各得勾股及差之真數(shù)也
按此用約分以勾股率數(shù)求之甚為省便然必兩數(shù)度盡而得數(shù)最小者方可用若兩數(shù)不能度盡或雖度盡而得數(shù)尚大者轉(zhuǎn)屬繁難故又設(shè)后法
又法二云數(shù)相并以自乘于上二之云數(shù)相乘又四之以相并以四分半乘之又四之以并入上位為從方以七十步零四分三厘七毫五絲為常法得叀小差四步
按此法未求實(shí)數(shù)其求從隅皆用本題數(shù)不可通用今依細(xì)草意另演一法于后亦惟二和數(shù)可以度盡者用之若不能度盡者仍用寄分為便
法曰二和數(shù)相減自之為平方實(shí)叀和除明和得數(shù)自而倍之內(nèi)減四之除得數(shù)再加二單數(shù)以乘二和相并之?dāng)?shù)為從除得數(shù)自而四之于上又以除得數(shù)自乘內(nèi)減四之除得數(shù)外加一單數(shù)自之以減上位為常法得叀小差
草曰以二和相約命得叀率一明率四步半其兩數(shù)大小差率并同又別得明小差叀大差俱為半虛黃也立天元為叀小差以四歩半乘之得□元為□大差也又為明小差又為半虛黃置此□大差又以四步半乘之得□為明大差也其四差相并得□減于二和并得□□即兩段太虛大小差并也內(nèi)加三段虛黃方□得□□合成一個(gè)太虛三事和即圓城徑也以自增乘得□□□為徑冪【寄左】乃置叀和加半虛黃得□□為平勾又置明和內(nèi)加半虛黃得□□為髙股勾相乘得下式□□□又四之得□□□為同數(shù)與左相消得下式□□□開(kāi)平方得四步即叀小差也合問(wèn)
或問(wèn)明叀二勾共八十八步明叀二股共一百六十五步問(wèn)答同前
法曰先識(shí)別得二大差共二小差共及四差共乃以二大差二小差相乘為實(shí)以四差共為法如法得半之虛黃方
草曰先置前后云數(shù)以約法約之得一十一即壘率也復(fù)各置前后數(shù)如壘率而一前得八即勾率也后得一十五即股率也再以勾股率求得較率七和率二十三?率一十七黃方率六大差率九小差率二即見(jiàn)諸率各以壘率乘之其二和共得□二較共得□二?共得□二黃共得□二大差共□二小差共□四差共□已上皆為明叀所得之共數(shù)也乃立天元一為半虛黃便為明小差又為叀大差也以減于大差共得□□即明大差也又以減于小差共得□□即叀小差也以二數(shù)相增乘得丨□□【寄左】以天元冪與寄左相消得□□上法下實(shí)得一十八步即半之虛黃方也以倍之得□又加于二黃共六十六共得一百二即明勾叀股共也又為極黃方又為虛?也又以三十六減于一百八十七余一百五十一即明股叀勾共也此數(shù)內(nèi)減虛?余□為明叀二差較也此名傍差以旁差減二?共一百八十七余得□即太虛和也卻加入虛?一百二并得□為太虛三事和即圓城徑也合問(wèn)
又或以虛黃方加于上和共二百五十三得□為極?也以旁差減極?余二百四十步亦同
又或前后副置勾股較和?黃六率在地前以小差率二因之則勾得□股得□較得□和得□?得□黃得□即叀段各數(shù)也后以大差率九因之則勾得□股得□較得□和得□?得□黃得□即明段各數(shù)也既得明叀各數(shù)余可知【按此因明?即皇極形勾?差叀?即皇極形股?差故以小差率乘各率即得叀段各數(shù)以大差率乘各率即得明段各數(shù)也】
按右二卷明叀前十八問(wèn)后十六問(wèn)在集中尤為神妙惜其中有偶爾思省未至者亦未暇修飾故耳
測(cè)圓海鏡卷八
<子部,天文算法類,算書(shū)之屬,測(cè)圓海鏡>
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷九
元 李冶 撰
大斜四問(wèn)
或問(wèn)甲丙俱在中心丙望南門(mén)直行不知步數(shù)而止甲出東門(mén)直行不知步數(shù)望見(jiàn)丙斜行與丙相防二人共行了六百八十步仍云甲直行少于丙直行一百一十九步問(wèn)答同前
法曰二數(shù)相減余以為冪內(nèi)卻減差冪為平實(shí)二數(shù)相減又四之于上又加入二之差步為益從二步常法得皇極勾
草曰別得共步即皇極三事和少步即勾股差也立天元一為皇極勾加少步得□□為股也又以天元加股得□□為和也以和減共步得□□為?也?自之得□□□為一段?冪【寄左】然后置股以天元乘之又倍之得□□為二直積加入少步冪□共得□□□為同數(shù)與左相消得□□□平方而一得一百三十六即勾也勾加差為股勾股相乘倍之為實(shí)勾股和減共步為法得城徑
又法云數(shù)并與云數(shù)差相乘【按此句有誤當(dāng)云和數(shù)與倍差相加相減二得數(shù)相乘】為平實(shí)云數(shù)并與二數(shù)差相并得數(shù)以減于八之共步為益從【按此只云六因和步為益從亦同】一步常法得皇極黃方
草曰立天元一為黃方【即虛?也】副置之上位加共步得□□為二和也下位減共步得□□為二?也先以二和自乘得丨□□為四段和冪又以二?自乘得丨□□為四段?冪二數(shù)相減余得□又倍之得下式□為十六段直積于天元位【寄左】然后副置二和上位加二之少步得□□為四股下位減二之少步得□□為四勾勾股相乘得丨□□為同數(shù)與左相消得□□□平方而一得一百二步即皇極黃方也余各依法求之合問(wèn)
或問(wèn)甲丙俱在西北隅起丙向南行不知步數(shù)而立甲向東行望見(jiàn)丙就丙斜行六百八十步與丙相防丙云我南行步多于甲東行二百八十步問(wèn)答同前法曰以云數(shù)差乘云數(shù)并為實(shí)倍多步為從二為平隅得大勾
草曰立天元為大平【按大平即大勾】加差得□□為股倍天元乘之得□□為二積【寄左】然后以斜步多步并□與斜步多步較□相乘得□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得三百二十步即大勾也合問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人共立于艮隅乙南行過(guò)城外而立甲東行望乙與城叅相直而止丙丁二人共立于坤隅丁向東行過(guò)城門(mén)而立丙向南行望丁及甲乙悉與城俱相直丙復(fù)就甲斜行六百八十步與甲相防乙丁又云吾二人直行共得三百四十二問(wèn)答同前法曰二云數(shù)相乘倍之為實(shí)倍斜行于上以二云數(shù)相減加上位為從一步常法開(kāi)平方得城徑
草曰別得斜步即大?也其共步則一徑一虛?共也其二數(shù)相并為一大和一虛?共數(shù)也立天元為徑減于共步得□□為虛?也以虛?復(fù)減于天元得□□為虛和以斜步乘之得□□【寄左】乃以天元加斜步得□□為大和以虛?乘之得□□□為同數(shù)與左相消得丨□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲從北門(mén)向東直行庚從西門(mén)穿城東行丙從西門(mén)向南直行壬從北門(mén)穿城南行四人遙相望悉與城叅相直只云丙相望處六百八十步庚壬穿城共行了六百三十一步問(wèn)答同前
法曰共步自之得數(shù)以共步減斜余自乘以減上為實(shí)二之斜步加入共步減斜余數(shù)為從一步常法得城徑
草曰共行步為一徑與皇和共也又為大和皇?差也甲丙相望即大?也以共步減大?余□為皇極?上減一徑也立天元一為圓徑減于共步得□□為皇極和也以自之得丨□□于上?內(nèi)減共步余□又以天元加之得□□為皇極?以自之得丨□□減上位余得□□為兩個(gè)皇直積【寄左】乃以天元乘皇?得下式丨□為同數(shù)與左相消得丨□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
大和八問(wèn)
或問(wèn)庚從西門(mén)穿城東行二百五十六步而立壬從北門(mén)穿城南行三百七十五步而立又有甲丙二人俱在干隅甲向東行丙向南行各不知步數(shù)而立四人遙相望只云甲丙共行了九百二十步問(wèn)答同前法曰庚東行冪壬南行冪相并于上并庚壬步而倍之內(nèi)減大和余復(fù)減于庚壬共得數(shù)【按或云并庚壬步以減大和亦同】以自乘減上位為平實(shí)并庚壬步為益從半步為隅法得城徑
草曰立天元一為圓徑以半之副置二位上以減于庚東行得□□為平?也下以減于壬南行得□□為髙?也二?相并得□□為皇?虛?共也倍此數(shù)得□□為大?虛?共也以大?虛?共減于大和余□□為虛勾虛股共也天元內(nèi)減虛勾虛股共余□□即虛?也復(fù)置皇?虛?共內(nèi)減虛?余□□即皇極?也以自之得□□【寄左】然后以平?自之得下式□□□為勾冪也又以髙?自之得□□□為股冪也二冪相并得□□□為同數(shù)與左相消得□□□平方而一得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)丙甲俱在西北隅甲向東行不知步數(shù)而立丙向南行望見(jiàn)甲就甲斜行與甲相防甲直行丙直行共九百二十步【甲步少于丙步】又出東門(mén)南行有柳樹(shù)一株出南門(mén)東行有槐樹(shù)一株戊己二人同在巽隅戊就柳樹(shù)已從槐樹(shù)亦與甲乙遙相望只云已行少于戊行數(shù)與兩樹(shù)相距數(shù)相并得一百四十四步其二數(shù)相減余六十步問(wèn)答同前
法曰二云數(shù)相并而半之為虛?以乘大和九百二十步于上以一百四十四減大和以虛較乘之減上位為平實(shí)以一百四十四減大和又二之于上以二之虛較減上位【按或云倍甲丙直行共加己戊較與兩樹(shù)距之較減三之己戊較與兩樹(shù)距之和亦同】為從四虛隅得太虛勾
草曰別得甲丙直行共即大和也戊就柳樹(shù)步即虛股也已就槐樹(shù)步即虛勾也其一百四十四步即二明勾其六十步即二叀股也立天元一為虛勾加明勾得□□為半徑也倍之得□□即城徑也【又為虛?上三事和】二云數(shù)相并而半之得□即小?也相減而半之得□即小較也以天元加較得□□即小股也小勾股共得□□即小和也以小三事減大和得□□即大?也乃先置小和以大?乘之得下式□□□【寄左】次以小?乘大和得□□與左相消得下式□□□開(kāi)平方得四十八步即虛勾也加明勾又倍之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲從干隅東行乙從艮隅南行丙從干隅南行丁從坤隅東行四人遙相望見(jiàn)既而甲還至艮隅就乙丙還至坤隅就丁甲丙直行共九百二十步甲還就乙共二百三十步丙還就丁共五百五十二步問(wèn)答同前
法曰并就數(shù)以減直行共復(fù)以所并就數(shù)乘之為實(shí)并就數(shù)減直行共得數(shù)復(fù)加入直行共為法得虛?草曰別得甲丙直行共為大和也甲還就乙步為小差勾股共也丙還就丁步為大差勾股共也以大差勾股共減于大股余即虛勾也以小差勾股共減于大勾余即虛股也二數(shù)相并得□為大?虛?共也二數(shù)相減余□為通差及大虛勾股差共也又并二數(shù)而半之得□為太極?虛?共又為太極勾股共也立天元一為虛?先以二共數(shù)減于大和余□為虛勾虛股和于上次以虛?減于二共數(shù)余□□為大?以乘上位得下□□【寄左】然后以天元乘大和得□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得一百二步即虛?也加入虛和得二百四十步即城徑也合問(wèn)
又法并云數(shù)減大和復(fù)以二數(shù)相減乘之為實(shí)并云數(shù)減大和得數(shù)復(fù)加入大和為法得虛差
草曰立天元一為虛較先以并云數(shù)減大和余□為虛和于上次以天元減于二就步較□得□□為通差以乘之得□□【寄左】然后以天元乘大和得□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得四十二步即虛差也副置虛和為二位上加虛差而半之得九十即虛股也下減虛差而半之得四十八即虛勾也勾冪股冪相并得□開(kāi)平方得一百二步即虛?也加入虛和得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)大和只云股圓差上勾?差二百一十六勾圓差上股?差二十步問(wèn)答同前
法曰以云數(shù)二十步減通和復(fù)以二十步乘之于上以云數(shù)二百一十六減九百步【按即并二差以減大和】而半之乘上位為立實(shí)三因二十步以減通和得八百六十以二百一十六減通和而半之得二百四十二二數(shù)相乗訖內(nèi)減二十之九百步又以三百四十二及二百一十六共得五百五十八又以之以減之為從方【按取從方內(nèi)語(yǔ)有誤當(dāng)云三因小差減大和并二差減大和半之相乘于上三因大和加大差減三之小差半之以小差乘之得數(shù)減上位為從方】以二百一十六減通和又以三之二十步減通和相并于上以二之五百五十八內(nèi)卻減二十步余以減上位為益亷【按取益亷內(nèi)語(yǔ)亦有誤當(dāng)云三因大和減六之小差為益亷】四步常法得小差股
草曰別得小差上股?差□加二股為大勾也大差上勾?差□加二勾為大股也立天元一為小差股加□得□□為小差?也小差?上又加天元得□□為通勾以減于和步得□□為通股也通股內(nèi)減大差上勾?差□得□□半之得下式□□即大差之勾也大差勾上又加勾?差□得□□為大差?也再置通股以小差?乘之得□□□以天元除之得□□□為一個(gè)大?也【泛寄】再置通勾以大差?乘之得□□□合以大差勾除不除寄母便以為大?【寄左】乃以大差勾乘泛寄得□□□□為同數(shù)與左相消得□□□□益積開(kāi)立方得一百五十步為小差股也合問(wèn)
或問(wèn)依見(jiàn)前大和只云髙?平?共得三百九十一步髙?平?相較得一百一十九步問(wèn)答同前
法曰以較數(shù)冪減于共數(shù)冪又半之為實(shí)以共數(shù)減大和為益從一步常法開(kāi)平方得圓徑
草曰別得髙數(shù)減于通股為邊股內(nèi)減明股也平?減于通勾為邊勾內(nèi)減明勾也其共數(shù)即大?內(nèi)減皇極?又為皇極勾股共也其相較步即皇極差也二云數(shù)相并即黃廣?也二云數(shù)相減余即黃長(zhǎng)?也以共數(shù)減于大和余□為皇極?與圓徑共立天元一為圓徑以減皇極?與圓徑共得□□為皇極?也以共數(shù)自之得□于上以相較數(shù)自之得□減上位余□又半之得□為兩段皇極積【寄左】乃以天元乘皇極?得卜□為同數(shù)與左相消得下□□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)大和只云大差?四百八步小差?一百七十步問(wèn)答同前
法曰以并云數(shù)減大和復(fù)以乘大和又倍之為平實(shí)三之通和于上又以并云數(shù)減大和加上位為從二步虛法得圓徑
草曰大差?減和步余□為大勾大差勾共也以小差?減大和余□為大股小差股共也云數(shù)相并□即大?內(nèi)減虛?也云數(shù)相減得□為虛?平?共也【按此二語(yǔ)因數(shù)偶合而誤見(jiàn)前】以相并數(shù)減于大和余□為大差勾小差股共又為圓徑虛?共也立天元一為圓徑減于□得□□為虛?也返以減于圓徑得□□為小和也以天元減大和得□□為大?以乘小和得□□□【寄左】乃再置虛?以通和乘之得□□與左相消得□□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)大和只云黃廣?五百一十步黃長(zhǎng)?二百七十二步問(wèn)答同前
法曰云數(shù)相并減大和復(fù)以相并數(shù)乘之為實(shí)云數(shù)相并減大和得數(shù)復(fù)以加大和為法得虛?
草曰別得黃廣?又為大差?虛?共又為邊股叀股共也黃長(zhǎng)?又為小差?虛?共又為底勾明勾共也以黃廣?減于大股余即虛股以黃長(zhǎng)?減于大勾余即虛勾故并數(shù)以減于大和余□為虛和也以虛和減徑□□即虛?也二云數(shù)相并得□為大?虛?共也云數(shù)相減余□為虛?平?共【按此句誤同上】立天元一為虛?以減于七百八十二得□□為大?也以小和乘之得□□【寄左】乃以天元虛?乘大和得□呔為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得一百二步即虛?也合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)大和只云邊?五百四十四步底?四百二十五問(wèn)答同前
法曰云數(shù)相減自之為實(shí)以大和減并數(shù)為法得皇極?
草曰別得以邊?減大股余為半徑內(nèi)減平勾又為平?內(nèi)減勾圓差也以底?減于大勾余為髙股內(nèi)少半徑又為股圓差內(nèi)少髙股也二云數(shù)相并得九百六十九為大?皇極?共也二云數(shù)相減□為皇極勾股差也并數(shù)內(nèi)減通和余□為皇極?內(nèi)減圓徑也立天元一為皇極?以自之于上以一百一十九自之減上位得丨□□為二皇積【寄左】復(fù)置天元內(nèi)減四十九得下式□□為黃方復(fù)以天元乘之得丨□與左相消得□□上法下實(shí)得二百八十九步即皇極?也內(nèi)減四十九余即城徑也合問(wèn)
按右大和八問(wèn)每問(wèn)于大和外復(fù)設(shè)二數(shù)然多有大和外設(shè)一數(shù)即可求者細(xì)考其法草所載皆三數(shù)并用婉轉(zhuǎn)求之蓋意在發(fā)明三數(shù)取用之理非不知其可省也
測(cè)圓海鏡卷九
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷十
元 李冶 撰
三事和八問(wèn)
或問(wèn)甲乙同立于干隅乙向東行不知步數(shù)而立甲向南直行多于乙步望見(jiàn)乙復(fù)就東北斜行與乙相防二人共行了一千六百步又云甲南行不及斜行八十步問(wèn)答同前
法曰共步內(nèi)減四之小差復(fù)以自之于上以十八個(gè)小差冪減于上為實(shí)四之共步內(nèi)減十六個(gè)小差于上卻以十八小差加上為益從四步常法開(kāi)平方得中差
草曰別得共步為三事和也不及步即小差也立天元一為中差加二之小差得□□為大小差并以加入三事和得□□為三?也倍三事得三千二百內(nèi)去大小差并得□□為三和也內(nèi)減三?余□□為三個(gè)黃方以自之得□□□為九段黃方冪【寄左】再置天元中差加小差得□□為大差以小差□乘之得□□為半個(gè)黃方冪就一十八之得□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得二百八十步即中差也其余各依法求之合問(wèn)
或問(wèn)以前三事和又云大差三百六十步問(wèn)答同前法曰倍云數(shù)以云數(shù)乘之又九之于上倍云數(shù)加三事和為前數(shù)倍云數(shù)減二之三事和為后數(shù)二數(shù)又相減余一百六十為泛率以自乘減上位為平實(shí)十八之云數(shù)內(nèi)又加四之泛率為從四常法得中差草曰立天元一為中差置云步倍之內(nèi)減天元得□□為大小差共數(shù)加于三事和得□□為三?也倍三事內(nèi)減大小差共數(shù)得下式□□為三和也內(nèi)減三?得□□為三個(gè)黃方靣也以自之得□【□□】□為九段黃方冪【寄左】再以天元減大差得下式□□為小差又倍之得□□以云數(shù)乘之得下式□□又就分九之得下式□□與左相消得下式□□□開(kāi)平方得二百八十步即中差也合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)三事和又云中差二百八十步問(wèn)答同前法曰和步加差步以自乘于上又和步內(nèi)減差步以自乘加上位為平實(shí)四之和步為從二步益隅得大?
草曰立天元一為大?減共步得□□為和副置之上位減差步得□□為二勾以自之得丨□□為四段勾冪也下位加差步得□□為二股以自之得丨□□為四段股冪也二位相并得□□□為四段?冪【寄左】然后以天元自之又四之得□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得六百八十步即大?也倍之以減于三事和余即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)三事和又云小差大差并四百四十步問(wèn)答同前
法曰并前后二數(shù)三而一為?反以減共步得數(shù)又以減?得城徑
草曰二數(shù)相并得□三而一得□即?也以?減三事和得□即和也?和又相減余二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)三事和又云小差中差大差共七百二十問(wèn)答同前
法曰半云數(shù)自之又三之于上以三事減上位為平實(shí)【按以三事減上位有誤此系偶合三事之?dāng)?shù)耳當(dāng)云加半段三事冪又倍三事和加大差復(fù)以大差乘之減上位為平實(shí)】倍三事于上半云數(shù)而五之加上位為益從二常法得小差
草曰別得三差共為二大差也立天元一為小差并大差加入三事和得□□為三?也以自之得丨□□為十八積九較冪【寄起】又以共三事步自之得□方于上又以天元小差乘大差倍之得□加于上得□□為十二積四較冪又加五【按即三因二歸】得□□為十八個(gè)直積六個(gè)較冪以減寄起余得丨□□為三個(gè)較冪【寄左】然后以天元小差減大差得□□為中差以自之得丨□□又三之得下式川□□為同數(shù)與寄左相消得□□□平方而一得八十步即小差也余各依數(shù)求之合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)三事和又云明黃方叀黃方共六十六問(wèn)答同前
法曰二事內(nèi)加二之共步復(fù)以二之共步乘之于上位三事內(nèi)減二之共步復(fù)以二之共步乘之得數(shù)減上位為平實(shí)三事內(nèi)加二之共步又倍之于上又三【按三當(dāng)作六】之共步加上位為泛寄三事內(nèi)減二之共步又四之于上又三【按三亦當(dāng)作六】之共步減上位得數(shù)以減泛寄為從作十八段虛平方開(kāi)之得虛黃方
草曰別得共步即虛大小差也立天元一為虛黃方以三之加入倍之共步得□□為圓徑也以圓徑加三事得□□為二通和以圓徑減三事得□□為二通?又副置圓徑上加天元得□□為二虛和下減天元得□□為二虛?乃置二大和以二小?乘之得下□□□【寄左】然后置二大?以二小和乘之得下式□□□與左相消得□□□平方開(kāi)之得三十六步即虛黃方也其余各依法求之合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)三事和又云皇極?二百八十九步問(wèn)答同前
法曰二數(shù)相乘為實(shí)從空一益隅得大?
草曰立天元一為通?內(nèi)減皇?余□□為皇極勾股和以自之得丨□□于上以皇極?冪減上位得丨□為二直積合于皇極除之不除寄為母便以此為城徑【寄左】乃以二之天元?減共步得□□為黃方面以皇?通之得□□與左相消得丨□□開(kāi)平方得六百八十步即大?也合問(wèn)
或問(wèn)依前見(jiàn)三事和又云見(jiàn)太虛?一百二步問(wèn)答同前
法曰半虛?乘三事為實(shí)三事為從四虛隅翻開(kāi)之得半大?
草曰識(shí)別得以虛?減大?半之為皇極?以虛?加大?半之為皇極勾股共也立天元一為半大?以二之內(nèi)減虛?得□□折半得□□為皇極?也又以虛?加大?而半之得□□為皇極和也和自之得丨□□于上又以?自之得丨□□減上位余得下□為二直積合以皇極?除之不除寄為分母便以此為城徑【寄左】然后以四之天元減三事共余□□又以皇極?分母通之得□□□為同數(shù)與左相消得□□□倒積開(kāi)得三百四十步倍之即大?也合問(wèn)
測(cè)圓海鏡卷十
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷十一
元 李冶 撰
雜糅一十八問(wèn)
或問(wèn)城南有槐樹(shù)一株城東有柳樹(shù)一株甲出北門(mén)東行丙出西門(mén)南行甲丙槐柳悉與城叅相直既而丙就柳行五百四十四步至柳樹(shù)下甲就槐行四百二十五步至槐樹(shù)下問(wèn)答同前
法曰甲就步自之于上以二行相減數(shù)自之減上位為實(shí)二之二行相減數(shù)并入二之甲就步為從一步常法得平?
草曰別得丙就步為邊?也甲就步為底?也邊?即皇?髙?共也底?即皇?平?共也二行相并即大?皇?共也二行相減即皇極勾股較也倍皇?以減于大?余即虛?也倍皇?內(nèi)減邊?余即叀?也倍皇?內(nèi)減底?余即明?也皇極?加一差【按一差即皇極勾股較】則大差?也內(nèi)減一差則小差?也立天元一為平?加一皇極勾股差得□□即髙?也髙?自之得丨□□內(nèi)加天元冪得□□□為皇?冪【寄左】然后以天元減底?得下式□□自之得丨□□為同數(shù)與左相消得丨□□開(kāi)平方得一百三十六步即平?也余各依法求之合問(wèn)
或問(wèn)出南門(mén)東行有槐樹(shù)一株甲出北門(mén)東行斜望槐樹(shù)與城相直就槐樹(shù)行二百七十二步出東門(mén)南行有柳樹(shù)一株丙出西門(mén)南行斜望柳樹(shù)與城相直就柳樹(shù)行五百一十步問(wèn)答同前
法曰云數(shù)相并而半之以自乘于上半丙斜行以為冪半甲斜行以為冪并二冪減上位為實(shí)并云數(shù)為益從一步平隅得虛?
草曰別得丙斜行為黃廣?也亦為兩個(gè)髙?也此勾則城徑也甲斜行即黃長(zhǎng)?也亦為兩個(gè)平?也此股則城徑也二數(shù)相并得□即大?虛?共也二數(shù)相減余□即兩個(gè)皇極差也二數(shù)相并而半之得□即皇極和也立天元一為虛?以減于皇極和得□□即皇極?也以自之得丨□□為皇?冪【寄左】然后以髙?自之得□以平?自之得□二自乘數(shù)相并得□與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二即虛?也合問(wèn)
或問(wèn)甲從坤隅南行不知步數(shù)而立乙從艮隅南行一百五十步望見(jiàn)甲復(fù)斜行五百一十步與甲相防問(wèn)答同前
法曰斜行自之于上倍南行減斜余自之以減上為實(shí)倍南行減斜又四之為從八步常法平方得半徑草曰別得南行即小差股斜行即黃廣?也小差股內(nèi)減半徑余即半個(gè)黃廣積上股?差也全徑即其勾也立天元一為半城徑減于乙南行倍之得□□即一個(gè)黃廣即上股?差也以減于斜行步余□□即股也自之得□□□為股冪也又倍天元以自之得□□為大勾冪加入大股冪得□□□【寄左】然后以斜行冪□與寄左相消得下式□□□開(kāi)平方得一百二十步即半徑也合問(wèn)
或問(wèn)乙從艮隅東行不知逺近而止甲從坤隅東行一百九十二步望見(jiàn)乙復(fù)斜行二百七十二步與乙相防問(wèn)答同前
法曰倍東行減斜行得數(shù)自為冪以減于斜行冪為平實(shí)倍東行減斜行又四之為從八益隅翻法開(kāi)平方得半徑
草曰別得甲東行即大差勾也斜行則黃長(zhǎng)?也大差勾內(nèi)減半徑余即半個(gè)黃長(zhǎng)積上勾?差也全徑即其股也立天元一為半徑減于東行倍之得□□即一個(gè)黃長(zhǎng)積上勾?差也以減于斜行步得□□即黃長(zhǎng)勾也以自之得□□□為勾冪于上倍天元以自之得□□加上位得下式□□□為?冪【寄左】然后以斜行冪□為同數(shù)與左相消得□□□平開(kāi)得一百二十步即半城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲從坤東行一百九十二步丙從艮南行一百五十步望見(jiàn)之問(wèn)答同前
法曰二行相乘倍之為平實(shí)如法得圓徑
草曰別得甲行即大差勾丙行即小差股此二數(shù)相乘恰與大小差相乘正同如法相乘訖倍之得□為圓徑冪【寄左】然然立天元為圓徑以自之與左相消得丨□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
又法以二行相減數(shù)減于二行相并數(shù)余者半之于上復(fù)以二行相減數(shù)加于上即城徑
草曰別得甲東行減于徑為虛勾也丙南行減于徑為虛股也二行共為一徑一虛?共也二行相減即虛和也以相并數(shù)相減數(shù)又相減即兩個(gè)虛?也如法求得虛和□虛?□相并得□即城徑也合問(wèn)按又法未合蓋以二行相減為虛較而草中誤以為虛和也其義甚淺非難知者是殆偶爾之遺忘然亦可以決其為當(dāng)日未定之稿矣
或問(wèn)出西門(mén)南行二百二十五步有塔出北門(mén)東行六十四步望塔正當(dāng)城徑之半問(wèn)答同前
法曰二行相乘為平實(shí)一步常法得半徑
草曰別得二百二十五步為髙股此乃半徑為勾之股也其六十四步為平勾此乃半徑為股之勾也二數(shù)相并即太極?也二數(shù)相減即中差內(nèi)去皇極差也又別得二行相乘恰是半徑冪一段此與半梯頭相乘其意正同今且以?上容圓取之立天元一為半徑副之上加南行得□□為股也下加?xùn)|行步得□□為勾也勾股相乘得丨□□為大直積以天元半徑除之得□□□為勾股和【寄左】然后并勾股得□□與左相消得丨○□開(kāi)平方得一百二十步即半徑也合問(wèn)
或問(wèn)丙從干隅南行丁從艮隅亦南行甲從干隅東行乙從坤隅亦東行各不知步數(shù)四人悉與城相直只云丙行內(nèi)減丁行余四百五十步甲行內(nèi)減乙行余一百二十八步問(wèn)答同前
法曰二行相乘為實(shí)一步常法得城徑
草曰別得丙行即大股丁行即小差之股也甲行即大勾乙行即大差之勾也其□即黃廣股其□即黃長(zhǎng)之勾也立天元一為城徑先置黃廣股□為股方差以□為勾方差以乘之得□為城徑冪【寄左】然后以天元冪與左相消得下式丨□□開(kāi)平方得二百四步合問(wèn)
或問(wèn)出南門(mén)東行有槐樹(shù)一株出東門(mén)南行有柳樹(shù)一株丙丁二人同立于坤隅甲乙二人同立于艮隅丁直東行至槐而止乙直南行至柳而止丙直南行甲直東行四人遙相望見(jiàn)只云丙行多于丁行一百六十八步乙行多于甲行七十步問(wèn)答同前
法曰云數(shù)相乘為實(shí)二數(shù)相減又半之為法得城徑草曰別得□即大差勾股較也其□即小差上勾股較也二數(shù)相并為大差?內(nèi)減小差?也二數(shù)相較又半之皇極?與城徑差也二數(shù)相并而半之即皇極差也立天元一為圓徑二云相減數(shù)又半之加天元得□□為極?也并二數(shù)而半之得□為極差也副置極?上位加極差得□□為?較和也下位內(nèi)減極差得□□為?較較也上下相乘得丨□□為二直積【寄左】然后以天元一乘極?得下式丨□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)而一得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲從坤東行丙從艮南行適相見(jiàn)斜行一百二步甲丙相防丙云我南行不及汝四十二步問(wèn)答同前法曰二數(shù)相并以斜行乘于上二數(shù)相并而半之以乘相并數(shù)減上位為平實(shí)不及步為從一步常法得虛勾
草曰別得一百二步即虛?四十二步即虛較也又斜行得虛股為乙東行此便為大差勾也斜行步得虛勾為丙東行此便是小差股也立天元一為虛勾加斜行步得□□為小差股也以不及步加于小差股得下式□□為大差勾也勾股相乘得丨□□為半段黃方冪【寄左】然后再置虛勾加不及步得□□為虛股又加入天元得□□為虛和又加入虛?得□□為圓徑以自之得□□□又半之得□□□與寄左相消得丨□□平方開(kāi)得四十八步即虛勾也合問(wèn)
或問(wèn)甲從城心東行丙從城心南行庚從巽隅西行壬從巽隅北行四人遙相望見(jiàn)各不知步數(shù)只云甲丙共行了三百九十一庚壬共行了一百三十八問(wèn)答同前
法曰云數(shù)相乘為實(shí)相并為法得虛?
草曰別得甲丙共為皇極和也又為極?極黃共庚壬共為太虛和也又為虛?虛黃共立天元一為皇極黃方靣【亦為虛?也】減于甲丙共得□□即極?也又以天元減于庚壬共得□□即太虛黃方靣也以太虛黃方靣乘極?得丨□□【寄左】然后以天元冪與左相消得□□上法下實(shí)如法得一百二步即皇極黃方靣也合問(wèn)【按此亦系相消后得一邊之二數(shù)者】
或問(wèn)甲從干隅東行不知步數(shù)而止丙向南行亦不知步數(shù)望見(jiàn)甲就甲斜行七百八十步與甲相防甲云我行地雖少于汝以我東行步為法除汝南行步則汝止得二步四分問(wèn)答同前
法曰斜步自之為平實(shí)除步自之又加一步為隅得甲東行
草曰此問(wèn)所求城徑與諸問(wèn)并同其勾股則與前后諸率不同今特為此草者欲使后學(xué)有以考較諸率當(dāng)否也立天元一為甲東行【即大勾】以乗二步四分得□為長(zhǎng)以自之得□□為股冪又并入天元冪得□□為?冪【寄左】乃以斜行自之得□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得三百即甲東行也以二步四分乘之得七百二十步即丙南行也倍丙東行以甲東行乘之得四十三萬(wàn)二千為實(shí)以三事和一千八百為法除之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)小差黃方靣少于大差黃方靣八十四步太虛黃方靣少于皇極黃方靣六十六步問(wèn)答同前
法半八十四為中差以中差減六十六為二小差半之為小差又中小差相并為大差乃以小差乘大差為平實(shí)半步常法得虛黃
草曰別得八十四為兩個(gè)虛積中差其六十六為虛積大小差并半八十四得□為虛中差也以中差減六十六余二十四半之得□即虛小差也以小差反減六十六余□即虛大差也又別得小差黃方為兩叀股大差黃方為兩明勾也立天元一為虛黃方置三位上加小差得□□為虛勾也中加大差得下□□為虛股也下加大小差并得□□為虛?也三位并之得□□即城徑也倍虛勾減城徑得□□為大差黃方靣也又倍虛股減城徑得□□為小差黃方靣也半小差黃方靣得□□以乘大差黃方得□□□為一個(gè)虛直積【寄左】乃以虛勾虛股相乘得丨□□為同數(shù)與左相消得□□□平方開(kāi)得三十六步即虛黃方靣也其余依法求之合問(wèn)據(jù)此問(wèn)既別得大小差正數(shù)自可以求得黃方靣也諸如此數(shù)實(shí)不湏草今特為細(xì)草者庶使后學(xué)知其來(lái)歴
或問(wèn)大差?較較減皇極?余四十九步小差?較和減太虛?余一百三十八步又皇極差一百一十九步問(wèn)答同前
法曰并前二數(shù)為冪內(nèi)減極差冪為平實(shí)從空二益隅得虛?
草曰別得大差?較較與小差?較和皆同為圓徑也又二數(shù)相并得□為明?叀?共又為極和內(nèi)少兩個(gè)虛?也其一百三十八即虛和也□則旁差也立天元一為虛?加入一百三十八得□□為圓徑也又加入□得□□為極?以自之得丨□□又倍之得□□□內(nèi)卻減極差冪□得下式□□□為和冪【寄左】乃倍天元加并數(shù)得□□為極和以自增乘得□□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二步即虛?也加入一百三十八得二百四十步為圓徑合問(wèn)【前二數(shù)相并加虛?便是極?】
或問(wèn)小差不及平?五十六步髙?不及大差一百五步問(wèn)答同前
法曰以前數(shù)自之為實(shí)二數(shù)相減為法得平勾草曰別得云數(shù)相并得□為平勾不及髙股也此數(shù)得極差則通差也此數(shù)內(nèi)減虛差則極差也云數(shù)相減余□即城徑不及極?也以前數(shù)減于半徑余即平勾以后數(shù)加于半徑即髙股也倍前數(shù)加小差則為股圓差之勾也此與前數(shù)加平?同倍后數(shù)減于大差則為勾圓差之股也此與后數(shù)減于髙?同立天元一為平勾加相并數(shù)得□□即髙股也又加天元得□□即極?也內(nèi)減二云數(shù)差得□□為城徑也半之得□□以自之得丨□□為半徑冪【寄左】然后以天元乘髙股得丨□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得六十四步即平勾也合問(wèn)
又法云數(shù)相得為實(shí)相減為法得半徑
草曰立天元為半徑副之上內(nèi)減五十六得□□為平勾下加一百五得□□為髙股上下相乘得丨□□為半徑冪【寄左】以天元冪與左相消得下式□□上法下實(shí)得一百二十步即半徑也合問(wèn)
或問(wèn)通勾通?共一千步大差小差共得四百四十步問(wèn)答同前
法曰以二差共減于一千又半之以自乘為平實(shí)以二差共減于一千又半之加入二之前數(shù)為縱【前數(shù)謂一千也 按此語(yǔ)有誤應(yīng)加入二之后數(shù)后數(shù)謂大小差共也】二步二分五厘益隅得勾圓差
草曰立天元一為小差數(shù)加入后數(shù)得□□卻以減于前數(shù)得□□折半得□□為一個(gè)圓徑也以自之得下式□□□【寄左】然后以天元減后數(shù)得□□為大差以天元乘之又倍之得□□與左相消得□□□開(kāi)平方得八十步即勾圓差也
或問(wèn)皇極三事和六百八十步太虛?和較三十六問(wèn)答同前
法曰二數(shù)相得為實(shí)半之后數(shù)為益從五分常法平開(kāi)得城徑
草曰別得皇極三事和即大?也立天元一為城徑減三個(gè)后數(shù)□而半之得□□為太虛大小差并也卻加入兩個(gè)后數(shù)□得下□□為虛和也又以虛和減天元得下□□為虛?也置通?【即皇極三事和也】?jī)?nèi)加天元得下式□□即通和也乃置通和以虛?乘之得下式□□□【寄左】再置虛和以通?乘之得下□□為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)出南門(mén)行一百三十五步有樹(shù)出北門(mén)行一十五步折而東行二百八步望見(jiàn)問(wèn)答同前
法曰以東行步乘南行步得數(shù)又自乘為實(shí)以東行步自乘乘南行步又倍之為從東行步自乘于上并南北二行步以減于東行步余數(shù)自之為冪以減上再寄位又并南北二行步以東行步乘而倍之內(nèi)減再寄為第一益亷四之東行步于上又并南北二行步減于東行步又四之減上位為第二益亷四步虛隅開(kāi)三乘方得半徑
草曰立天元一為半徑【即髙勾也】置南行步加天元得□□為髙?也置大勾□以髙?乘之得□□復(fù)以髙勾除之得下式□□為大?也令之自乘得□□□【寄左】又置二之天元加南北行并得□□為大股復(fù)用大勾二百八減之得□□為較也以自乘得□□□為較冪以減寄左得□□□□□為二直積【寄左】再置大股□□以大勾□乘之得□□為直積又倍之得□□為同數(shù)與左相消得□□□□□翻法開(kāi)三乘方得一百二十步即城徑之半也合問(wèn)
或問(wèn)出北門(mén)一十五步折而東行二百八步有樹(shù)出西門(mén)八步折而南行四百九十五步見(jiàn)之問(wèn)答同前法曰先置南行步內(nèi)減一東二西并步余二百七十一為前泛率次并一南二北內(nèi)減東行步余三百一十七為中泛率次并東西步以南行步乘之于上位又以西行乘南北并得數(shù)減上位余一十萬(wàn)二千八百四十為后泛率乃以后泛率自乘得一百五億七千六百六萬(wàn)五千六百為三乘方實(shí)以前中二泛相減余四十六以乘后法數(shù)為從前中二泛相乘得八萬(wàn)五千九百七加入二之后泛數(shù)共得二十九萬(wàn)一千五百八十七于上位又并東西行以乘南北并得二十二萬(wàn)三百二十加上位通得五十一萬(wàn)一千九百七為第一亷二之前泛數(shù)加入四之東西并得一千四百五十二于上位又以前中二泛相減于四十六減上位余一千四百六為第二亷一步常法得半徑【按此法乃取于又法草中其求第二亷云二之前泛數(shù)句誤當(dāng)云二之四數(shù)并若二之前泛數(shù)加入四之東西并便得第二亷一千四百零六更不待再減然原文之意不如是也】
草曰立天元一為半城徑加入東行西行并得□□為大勾也又置天元加入南行北行并得□□為大股也置西行八步以大股乘之得下式□□合以大勾除之不除寄為母便以此為股尖也置南行四百九十五步減天元得□□用分母大勾乘之乘訖得下式□□□內(nèi)減了股尖余□□□為小股也【內(nèi)帶大勾分母】置小股合以大勾乘了復(fù)以大股除之為小勾今為小股內(nèi)已有大勾為母更不湏乘只以小股□□□便為小勾也【內(nèi)帶大股為母】小勾小股相乘得數(shù)為一個(gè)小勾股相乘直積內(nèi)帶大勾股相乘直積為分母也乃以半城徑【即天元也】除之為一個(gè)?較和也丨□□□□此法本取勾外容圓合以?較和除二積為勾外所容之圓今用天元半徑除一個(gè)積則卻得一個(gè)?較和也內(nèi)依舊帶大積分母也【寄左】然后再置小股□□□合用大積乘之縁內(nèi)已帶大勾分母今只用大股□□乘之得□□□□為大積所乘小股于上再置小勾合用大積乘之縁內(nèi)已帶大股分母合只用大勾□□乘之得□□□□為大積所乘之小勾也以此小勾減上小股得□□□即帶分小較也又二因小較得下式□□□為帶分二較也又以大勾股直積丨□□乘二之天元半徑得□□□為一個(gè)帶分?較較也【?較較乘?較和為二直積既以圓徑除二百積為?較和則是圓徑為?較較也今又為半天元圓徑除一積為?較和故倍天元半徑作一個(gè)?較較也】遂將此?較較加入前二較得□□□□亦為一個(gè)?較和也與寄左相消得下式丨□□□□開(kāi)三乘方得一百二十步即城半徑也合問(wèn)
又法此問(wèn)系是洞淵測(cè)圓門(mén)第一十三前答亦依洞淵細(xì)草用勾外容圓術(shù)以入于?較和然其數(shù)煩碎宛轉(zhuǎn)費(fèi)力今別草一法其亷從與前不殊而中間段絡(luò)逕捷明白方之前術(shù)極為省易學(xué)者當(dāng)自知也 立天元一為半徑副之上并加?xùn)|西行得□□為通勾率下并加南北行得□□為通股率乃置西行八步以通股乘之得下□□合通勾除不除寄為母便以此為南小股也又置南行四百九十五步內(nèi)減天元得□□用通勾乘之得□□□內(nèi)減了南小股下式卜□□為股圓差也內(nèi)帶通勾分母又置北行一十五步以通勾乘之得□□合通股除不除寄為母便以此為北小勾也又置東行二百八步內(nèi)減天元得□□用通股乘之得□□□內(nèi)減了北小勾余□□□為勾圓差也【內(nèi)帶通股分母】乃以二差相乘得下式丨□【□□】□【□□】為半段圓徑冪也內(nèi)帶通積為母【寄左】然后以通勾通股相乘得丨□□以天元冪乘之得丨□□□又倍之得下式□□□□為同數(shù)與左相消得亷從一與前同合問(wèn)
按洞淵疑為古之精于算者序中謂老大以來(lái)得洞淵九容之說(shuō)而于此問(wèn)又明其為洞淵測(cè)圓門(mén)第十三題前答亦依其細(xì)草大抵是書(shū)之作皆師其意而演之者也今洞淵之為人與書(shū)雖不可考而即此一草觀之其取徑遙深而惟變所適亦可見(jiàn)文豹之一班矣至謂其數(shù)煩碎宛轉(zhuǎn)費(fèi)力特為初學(xué)難易而言讀者宜善防也
測(cè)圓海鏡卷十一
欽定四庫(kù)全書(shū)
測(cè)圓海鏡卷十二
元 李冶 撰
之分一十四問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人俱在西北隅乙向直東行不知步數(shù)而止甲向直南行望見(jiàn)乙復(fù)向乙斜行甲告乙云我直行斜行共一千二百八十步汝?yáng)|行步居我南行步十五分之八
法曰十六之共步冪為實(shí)二百五十七之共步為益從一十六步常法得勾圓差
草曰別得共步即股?共也立天元一為小差以乘共步得□為勾冪就分以二百二十五通之得□為二百二十五段勾冪【寄左】然后再置共步內(nèi)減小差得□□為二股就分四之得□□為一十五勾以自之得□□□為同數(shù)與左相消得□□□平方開(kāi)之得八十步即小差也既得小差加共步而半之得六百八十步即?也若以減共步而半之得六百步即股也以股冪減?冪余一十萬(wàn)二千四百步開(kāi)平方得三百二十步即勾也勾股相乘倍之得三十八萬(wàn)四千步為實(shí)以?和和一千六百步為法實(shí)如法而一得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲乙二人俱在西北隅乙直南行不知步數(shù)而立甲直東行望見(jiàn)乙復(fù)向乙斜行與乙相防甲云我共行了一千步又云我東行步居汝南行步十五分之八
法曰二百二十五段共步冪為實(shí)七百六之共步為益從二百二十五步常法得股圓差
草曰別得共步即勾?共也立天元一為大差以乘共步得□又就分以二百五十六通之得□為二百五十六個(gè)股冪【寄左】然后再置共步內(nèi)減天元大差得□□為二勾就分以一十五之得□□為十六個(gè)股也以自之得□□【□□】為同數(shù)與左相消得□□□開(kāi)平方得三百六十即大差也副置共步上位減大差而半之得三百二十步即勾也下位加大差而半之得六百八十步即?也余數(shù)各依法求之合問(wèn)
或問(wèn)甲乙俱在城西北隅甲南行不知步數(shù)而立乙東行亦不知步數(shù)望見(jiàn)甲就甲斜行與之相防乙云我東步少于城周九分之五甲云我南行卻多于汝?yáng)|行二百八十步問(wèn)答同前
法曰別得周居九分徑居三分乙東行居四分【按此法未詳當(dāng)加倍較步為實(shí)徑分?jǐn)?shù)自之內(nèi)減二分?jǐn)?shù)為法得數(shù)三之即城徑二十四字】
草曰立天元一為一分之?dāng)?shù)以三之得□為徑以四之得□為勾以徑減勾余□為小差【只天元便是小差】再置小差加入甲多步得□□為大差倍大差以天元乘之得□□為一段圓徑冪【寄左】再置城徑以自之得下式□□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得八十步即一分之?dāng)?shù)也以三之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出西門(mén)南行不知步數(shù)而立乙出北門(mén)東行望見(jiàn)甲既而乙云我所行居城徑六分之五甲云然則我所行卻多于汝二百八十步問(wèn)答同前
法曰四之卻多步為實(shí)分自之于上半分母減子得數(shù)倍之又以減數(shù)乘之減上位為法得一分之?dāng)?shù)草曰別得卻多步即勾股差也乃立天元一為一分?jǐn)?shù)以六之為城徑以五之為乙行置乙行內(nèi)減半城徑得□為小差也又加入?yún)s多步得□□又二之得□□為二大差又以小差乘之得□□為徑冪【寄左】然后以徑冪□□與左相消得下□□上法下實(shí)得四十步即一分之?dāng)?shù)也六之則為城徑五之則為乙行又以卻多步加乙行即甲行步也合問(wèn)
或問(wèn)甲丙二人俱在西北隅甲向東行不知步數(shù)而立丙向南行望見(jiàn)甲與之相防丙語(yǔ)甲云我行既多于汝又城徑少于我四十分之十六【按四十為股分十六為徑當(dāng)云徑少于我為四十分之十六原文脫為字似十六為股圓差分矣】甲云然則吾二人共行了九百二十步問(wèn)答同前
法曰倍子以減倍母又乘共行步為實(shí)倍子減倍母以乘子母并數(shù)于上又以子冪加上位為法如法得一十五步即一分之?dāng)?shù)也
草曰別得共行步即通和也又別得四十分之十六或作二十分之八或作十分之四亦得但所得分?jǐn)?shù)不同耳乃立天元一為一分之?dāng)?shù)以十六之為城徑以四十之為丙行丙行減和步得□□為通勾勾內(nèi)減徑余得□□為小差于上以分母分子相減余□又倍之得□為兩個(gè)大差以乘上位得□□為圓徑冪【寄左】然后以分子十六分自之得下□□與左相消得□□上法下實(shí)得一十五步即一分之?dāng)?shù)也以十六之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲乙俱立于城中心乙出東門(mén)直行不知步數(shù)而立甲出南門(mén)直行亦不知步數(shù)望見(jiàn)乙向乙斜行與之相防乙云我居汝南行十五分之八又云斜行步內(nèi)若減甲直行余三十四步若減乙直行余一百五十三步問(wèn)答同前
法曰以云數(shù)二減步為小差大差以相乘倍之開(kāi)平方加入大小差并以自之于上又以大小差相較數(shù)以自之減上位為實(shí)甲行分乙行分相乘又倍之為隅法得一分之?dāng)?shù)
草曰別得云步相并得一百八十七是于皇極?內(nèi)少一個(gè)皇極黃方靣也又別得三十四步是個(gè)小勾圓差其一百五十三步是一個(gè)小股圓差此二差又相減余一百一十九即中差也乃立天元一為一分之?dāng)?shù)以八之得□為乙東行數(shù)以十五之得□為甲南行數(shù)以二數(shù)相乘又倍之得□□為二直積于上【寄左】然后以云步三十四乘一百五十三得五千二百二又倍之得一萬(wàn)四百四為平方實(shí)開(kāi)之得一百二步即小黃方也加入相并數(shù)一百八十七得二百八十九為小?也以自之得八萬(wàn)三千五百二十一為?冪于上以中差冪一萬(wàn)四千一百六十一減上位余□與左相消得□□□平方開(kāi)之得一十七步即一分之?dāng)?shù)也副置一分之?dāng)?shù)上位以八之得一百三十六即乙東行也下位以十五之得二百五十五即甲東行也二位相乘得三萬(wàn)四千六百八十又倍之得六萬(wàn)九千三百六十為實(shí)以?二百八十九為法如法得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出西門(mén)南行乙出北門(mén)東行各不知逺近兩相望見(jiàn)復(fù)相斜行各行了三百四十步相防甲云城徑居我南行二分之一乙云我東行居城徑六分之五問(wèn)答同前
法曰以二之斜行步自之為實(shí)以各行分?jǐn)?shù)自之為冪【按此語(yǔ)未詳當(dāng)云以城徑六分乘甲南行二分得十二分加半城徑三分得十五分為大股分乙東行五分加半城徑三分得八分為大勾分各自之為冪】又相并為隅法開(kāi)平方得一分之?dāng)?shù)
草曰別得倍斜行為大?又別得乙行五分城徑六分甲行十二分乃立天元一為一分之?dāng)?shù)以六之得□為城徑以五之得□為乙行分以十二之得□為甲行分乃副置半城徑上位加甲行步得□以自之得□□為甲行冪下位加乙行步得□以自之得□□為乙行冪二冪又相并得□□為大?冪【寄左】然后置大?六百八十步以自之得□與左相消得□□□平方開(kāi)之得四十步即一分之?dāng)?shù)也以六之得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲出西門(mén)南行不知步數(shù)而立乙出北門(mén)東行見(jiàn)之乙斜行與甲相防甲乙二人共行了一千三百六十步其甲南行居斜十七分之十二其乙東行居斜十七分之五問(wèn)答同前
法曰別得共步即二?也半共步得六百八十步副置上位以五之得三千四百以十七而一得二百步即乙東行也下位以十二之得八萬(wàn)一千六百以十七而一得四百八十即甲南行也二行相減余二百八十即勾股差也其余各依法求之合問(wèn)
或問(wèn)甲出西門(mén)南行不知步數(shù)而立乙出北門(mén)東行望見(jiàn)之既而乙謂甲云我取汝六分之五得六百步甲謂乙云我取汝五分之三亦得六百步問(wèn)答同前法曰求得各行步【按見(jiàn)后草】相并以自之于上并甲南行冪乙東行冪以減上為實(shí)并各行為從半步常法得全徑
草曰置【乙取甲六分之五六百步甲取乙五分之三六百步】以上六分五分各自直乗步數(shù)訖得人【六分 之五 三千六百步五分 之三 三千步】別得左行三千六百步為六乙行五甲行也右行三千步為五甲行三乙行也以方程法入之乃再置【五甲行 六乙行 三千六百步五甲行 三乙行 三 千 步】先以左行直減右行右上空中余三乙行下余六百步上法下實(shí)得二百步即乙行也卻以今右行減于元左行上余五甲行空中下余二千四百步上法下實(shí)得四百八十步即甲行也既得此數(shù)乃立天元一為城徑以半之副置二位上以加甲行得□□為通股以自之得□□□為大股冪下位加乙行得□□為通勾以自之得□□□為大勾冪二冪相并得□□□為大?冪【寄左】乃并甲行乙行以自乗得下式□亦為大?冪與左相消得下□□□開(kāi)平方得二百四十步即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)甲從坤隅南行不知步數(shù)而立乙從艮隅東行望見(jiàn)之既而乙謂甲云我所行取汝所行三分之一得二百步甲謂乙云我所行內(nèi)減汝所行四分之三得三百步問(wèn)答同前
法曰如法求得各行【按見(jiàn)后草】以相乗又二之開(kāi)平方得全徑
草曰置【乙取甲三分 之一 二百步甲減乙四分 之三 三百步】以上三分四分置乗步數(shù)訖得【三分之一 六百步 四分之三 一千二百步】別得右行六百步為三乙行一甲行也左行一千二百步為四甲行內(nèi)少三之乙行步也以方程法入之乃再置【一甲行 三乙行 六 百 步四甲行 三乙行負(fù) 一千二百步】先以左行直加右行右上得五甲行中空下一千八百步上法下實(shí)得三百六十步即甲行也次以一甲行減元右行六百步余二百四十步以中三除之得八十步即乙行步也甲行乙行二數(shù)相乘得數(shù)又倍之開(kāi)平方即城徑也合問(wèn)
或問(wèn)股圓差如股五分之三勾圓差如勾四分之一又云其大小差相減余二百八十步問(wèn)答同前
法曰二之中差為實(shí)置股子以勾母乗之內(nèi)減股母為法得小差
草曰別得勾圓差即小差股圓差即大差云步即中差乃立天元一為小差以四之得□為勾勾上加中差得□□為股又三之得□□為五個(gè)大差也內(nèi)減五個(gè)天元得□□為五個(gè)中差也【寄左】乃以五之相減步□與左相消得□□上法下實(shí)得八十步即小差也合問(wèn)
或問(wèn)股圓差如股五分之三勾圓差如勾四分之一又云勾母每分少于股母每分四十步問(wèn)答同前法曰二之少步實(shí)以股子母相減數(shù)減勾子母相減數(shù)為法如法得小差
草曰立天元一為勾圓差便為勾母每分?jǐn)?shù)以天元加四十步得□□為股母每分?jǐn)?shù)于上乃以股子減股母余二分以乘上位得□□為城徑【寄左】再置天元在地以勾子減勾母余三分以乗之得□□為同數(shù)與左相消得下丨□上法下實(shí)得八十步即勾圓差也合問(wèn)
或問(wèn)甲出南門(mén)直行乙出東門(mén)直行望見(jiàn)甲斜行與甲相防甲云我行不及股圓差二十四分之十五乙云我行不及勾圓差五分之四又云甲行多于乙行一百一十九股圓差多于勾圓差二百八十問(wèn)答同前法曰以大差母分二十四以乘甲多一百一十九得數(shù)倍小差母五得一十以乘之于上以小差母五乗二之二差相較數(shù)又九之減上位為實(shí)倍小差母得一十卻以小差乗之又九之于上倍甲分母以小差母乗之得數(shù)減上位以為法得小差一分之?dāng)?shù)草曰立天元一為小差一分之?dāng)?shù)【此一分之?dāng)?shù)便是乙直行之?dāng)?shù)也】以五之得□為小差加二百八十得下□□為大差又倍之得□□以小差乗之得下式□□為一個(gè)圓徑冪又九之得□□【寄左】乃又置乙行步加一百一十九□□即甲行步也以二十四之得□□為九個(gè)大差也倍小差母得□以乘之得□□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得一十六步即小差一分之?dāng)?shù)也既得此數(shù)余各如法求之合問(wèn)
或問(wèn)大勾大股大?三事和一千六百步以明勾除大股得八步三分之一以□股除大勾得一十步三分之二以虛勾明勾相減余二十四步以虛股□股相減余六十步問(wèn)答同前
法曰六十步加入大三事和又三之二而一為實(shí)并二云數(shù)分母分子內(nèi)減六步為法如法得□股草曰別得六十步與二十四步二數(shù)相并而半之得□即明勾□股差也又為虛勾虛股差也若以二數(shù)直相減即虛黃方也其二十四步得二虛勾即半徑也其六十步得二□股亦為半徑也立天元一為□股加差步得□□為明勾也以乗八步三分之一得□□為大股也以天元乗一十步三分之二得□為大勾也勾股相并得下□□為大和也【寄左】然后四之天元加入二之六十步得□□為小三事和以小三事和加入大三事和得□□為二個(gè)大和也合折半為大和了又就三分之為前數(shù)今不折半三因但身外加五得□□為同數(shù)與左相消得□□上法下實(shí)得三十步即□股也四之□股加入二之六十步得二百四十步即城徑也合問(wèn)
按之分即通分也張邱建謂學(xué)者不患乘除之為難而患通分之為難又謂夏侯陽(yáng)之方倉(cāng)孫子之蕩杯皆未盡其妙于是作為算經(jīng)三卷以發(fā)其義是書(shū)末設(shè)十四問(wèn)皆以立天元一之法御之尤為簡(jiǎn)妙殆所以明立天元一之法其用無(wú)不周也又按問(wèn)中兩言以方程入之張邱建算經(jīng)內(nèi)數(shù)問(wèn)亦然蓋有通分而乗除不窮有方程而通分益便此又因通分及之非立天元一本法也秦九韶謂時(shí)人誤以大衍法為方程者蓋此類也
按右書(shū)十二卷皆為立天元一法而作也其法神明變化不可端倪今略舉數(shù)端言之如諸法中有求之不可得者此法求之可得若此法求之不可得者則必不可求矣又諸法中有難求者雖強(qiáng)探力索毫厘未至則不可得此法但知大意不待深思加以步算即可得矣又諸法中有所求或先得彼而后得此者不能移易此法任其所求或先得此或先得彼無(wú)不如志又諸法有數(shù)始可求一數(shù)不具則不可求此法數(shù)不具亦可求且有無(wú)數(shù)即可求者又諸法遇甚繁甚密者湏次第步算或累日累月其功不能再省此法有經(jīng)年步算可約之頃刻而得者凡此皆尋常智慮所不能及要皆自然之理數(shù)易知易從然自不習(xí)者觀之蓋有茫然莫解其故者矣是書(shū)之作殆深憂?習(xí)者難其人而其法遂泯于后世也其謄寫(xiě)魯魚(yú)算式舛訛今悉正之
測(cè)圓海鏡卷十二
后序
敬齋先生病且革語(yǔ)其子克修曰吾平生著述死后可盡燔去獨(dú)測(cè)圓海鏡一書(shū)雖九九小數(shù)吾嘗精思致力焉后世必有知者庶可布廣垂永乎先生于六藝百家靡不貫串文集近數(shù)百卷常謙謙不自伐惟于此書(shū)不忘稱異于易簀之間想有?妙內(nèi)得于心者予以先生與先人同牓之故素常兄事克修克修兄命予重為序之予不敢詭論艷藻刻畫(huà)無(wú)鹽唐突西子直以所聞?wù)Z意載之于后至元二十四年春三月朔翰林修撰承直郎廣平王德淵后序