欽定四庫全書　　　　　子部六
　　弧矢筭術(shù)　　　　　　　天文算法類二【算書之屬】提要
　　【臣】等謹(jǐn)案弧矢算術(shù)一卷明顧應(yīng)祥撰應(yīng)祥有人代紀(jì)要巳著録弧矢之法始于元郭守敬授時(shí)厯草其有弧背求矢草立天元一為矢云云反覆求之至得三乘方積數(shù)及廉隅縱數(shù)而止不載開方筭式大抵開諸乗方法尚為當(dāng)時(shí)疇人所習(xí)抑或別有専書皆不可知其?矢相求及弧容直濶諸法皆以勾股法御之明唐順之謂為步日躔月離源頭作弧矢論以示顧應(yīng)祥應(yīng)祥遂演為是書名其編曰弧矢算術(shù)應(yīng)祥未明立天元一法故置之不論惟補(bǔ)其開帶縱三乗之式并詳各?矢相求之法與測圓海鏡分類釋術(shù)之作相同亦専備其數(shù)使學(xué)者可考而已乾隆四十六年二月恭校上
　　總纂官【臣】紀(jì)昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅
　　總　?！」佟　境肌俊￡憽≠M(fèi)　墀

　　弧矢算術(shù)序
　　弧矢一術(shù)古今算法所載者絶少錢唐呉信民九章法止載一條四元玉鑒所載數(shù)條皆不言其所以然之故沈存中夢溪筆談?dòng)懈顖A之法雖自謂造微然止于徑矢求?而于弧背求矢截積求矢諸法俱未備予每病之南曹訟牒頗暇乃取諸家算書間附己意各立一法名曰弧矢算術(shù)藏諸篋笥俟高明之士取正焉未敢謂盡得其閫奧也嘉靖壬子春三月吉吳興顧應(yīng)祥識

　　弧矢論說
　　弧矢者割圓之法也割平圓之旁狀若弧矢故謂之弧矢其背曲曰弧背其?直曰弧?其中衡曰矢而皆取法于徑徑也者平圓中心之徑也背有曲直?有脩短系于圓之大小圓大則徑長圓小則徑短非徑無以定之故曰取則于徑而其法不出于勾股開方之術(shù)以矢求?則以半徑為?半徑減矢為股股?各自乗相減余為實(shí)平方開之得勾勾即半截?也以?求矢亦以半徑為?半截?為勾勾?各自乗相減余為實(shí)平方開之得股股乃半徑減矢之余也以減半徑即矢或以矢減全徑為勾股和以矢為勾股較乘之亦得勾筭即半截?筭也矢自乗圓徑除之得半背?差倍以加?即弧背以半背?差除矢筭亦得圓徑半截?自乗為實(shí)以矢除之得矢徑差加矢即圓徑以矢加?以矢乗而半之即所截之積也倍截積以矢除之減矢即?倍截積以?為從方開之即矢惟弧背與徑求矢截積與徑求矢開方不能盡用三乗方法開之弧背求矢以半弧背筭與徑筭相乗為實(shí)徑乗徑筭為從方徑筭為上亷全背與徑相乗為下亷約矢乗上亷以減從方以矢自乗以減下亷又以矢乗余下亷與減余從方為法除實(shí)得矢曷為以矢乗上防減從方也蓋從方乃徑與徑筭相乗其中多一矢乗徑筭之?dāng)?shù)故減之曷為又以矢自乗以減下亷也下亷乃背徑相乗其中多一矢自乗之?dāng)?shù)故亦減之減之則法與實(shí)相合矣以截積求矢則倍積自乗為實(shí)四因積為上亷四因徑為下亷五為負(fù)隅約矢以隅因之以減下亷又以矢一度乗上亷兩度乗下亷并而為法矢減下亷者何也矢本減徑而得故減徑以求之五為負(fù)隅者何也凡以方為圓毎一寸得虛隅二分五厘四其虛隅與四其矢合而為五也四其亷者何也倍積則乗出之?dāng)?shù)為積者四故亦四其亷以就之升法以就實(shí)也若以截?與截余外周求矢則以?筭半?筭相乗四而三之為實(shí)并?及余周為益方半?乗?加?筭為從上亷并亷及余周為下亷以約出之矢乗上亷又以矢自乗再乗為隅法并上亷以減益方矢自之以乗下亷并減余從方為法除實(shí)得矢

　　方圓論說【附】
　　世之習(xí)算者咸以方五斜七圍三徑一為凖殊不知方五則斜七有奇徑一則圍三有奇故古人立法有勾三股四?五之論而不能使方斜為一定之法有割圓矢?之論而不能使方圓為一定之法試以勾股法求之勾股各自乗并為?實(shí)平方開之此施之于長直方則可若一整方勾五股五各自乗并得五十平方開之得七而又多一筭矣割圓之法求矢求?固是至于求弧背則恐未盡也何以知之試以平圓徑十寸者例之中心剖開矢闊五寸自乗得二十五寸以徑除之得二寸五分為半背?差倍之得五寸以加?得一十五寸與圍三徑一之論正合然徑一則圍三有竒奇數(shù)則不能盡矣以是知弧背之説猶未盡也不特是也凡平圓一十二立圓三十六皆不過取其大較耳或曰宻率徑七則圍二十二徽率徑五十則圍一百五十七何不取二術(shù)酌之以立一定之法曰二術(shù)以圓為方以方為圓非不可但其還原與原數(shù)不合數(shù)多則散漫難收故算厯者止用徑一圍三亦勢之不得已也曰厯家以徑一圍三立法則其數(shù)似猶未精然郭守敬之厯至今行之無弊何也曰厯家以萬分為度秒以下皆不録縱有小差不出于一度之中況所謂黃赤道弧背度乃測驗(yàn)而得止以徑一圍三定其平差立差耳雖然行之日久安保其不差也竊嘗思之天地之道隂陽而已方圓天地也方象法地靜而有質(zhì)故可以象數(shù)求之圓象法天動(dòng)而無形故不可以象數(shù)求之方體本靜而中斜者乃動(dòng)而生陽者也圓體本動(dòng)而中心之徑乃靜而根隂者也天外陽而內(nèi)隂地外隂而內(nèi)陽隂陽交錯(cuò)而萬物化生其機(jī)正在于奇零不齊之處上智不能測巧厯不能盡者也向使天地之道俱可以限量求之則化機(jī)有盡而不能生萬物矣余因論方圓之法而并著其理如此

　　欽定四庫全書
　　弧矢筭術(shù)　　　　　　　明　顧應(yīng)祥　撰
　　圓徑與截矢求截?
　　術(shù)曰半徑為?半徑減矢為股各自乗相減余為勾筭平方開之得勾即半截?
　　又曰以矢減徑以矢乗之即半截?筭
　　圓徑十寸從旁截一弧矢闊一寸問截?
　　答曰六寸
　　術(shù)曰半徑自之得二十五　半徑減矢自之得一十六寸相減余九平方開之得三倍之即截?
　　又曰圓徑自之得一百為?筭圓徑減倍矢自之得六十四為股筭相減余三十六為勾筭平方開之得全?
　　圓徑十三步截矢闊四歩問截?
　　答曰十二歩
　　術(shù)曰半徑筭四十二步【二五】減矢半徑筭六歩【二五】相減余三十六歩為勾筭
　　又曰全徑筭一百六十九　減倍矢徑筭二十五相減余一百四十四平方開之得全截?
　　圓徑九十歩截矢九歩問截?
　　答曰五十四步
　　術(shù)同
　　圓材徑二尺五寸鋸板欲厚七寸問闊幾何
　　答曰板闊二尺四寸
　　術(shù)曰圓徑為?自之得六十二尺五寸　板厚為勾自之得四尺九寸相減得五十七尺六寸為股筭平方開之

　　【闕】

<子部,天文算法類,算書之屬,弧矢算術(shù),弧矢算術(shù)>
<子部,天文算法類,算書之屬,弧矢算術(shù),弧矢算術(shù)>

　　商得
　　一寸　置一于左上為法　置一乗上亷仍得一十四寸　置一隅因得五以減下亷余三十五寸　置一自之以乗下亷仍得三十五寸并上亷得四十九為下法
　　圓徑九十歩從旁截積二百八十三歩半問截矢答曰矢九歩
　　術(shù)曰倍積自之得三十二萬一千四百八十九歩為正實(shí)　四因積得一千一百三十四為上亷　四因徑得三百六十為下亷　五為負(fù)隅　商得九　置一于左上為法　置一乗上亷得一萬○二百○六置一隅因得四十五以減下亷余三百一十五　置一自之以乗余下亷得二萬五千五百一十五并上亷共二萬五千七百二十一為下法
　　圓徑九十歩從旁截積八百一十歩問矢
　　荅曰矢一十八歩
　　術(shù)曰倍積自之得二百六十二萬四千四百爲(wèi)正實(shí)四因截積得三千二百四十為從上亷　四因圓
　　徑得三百六十為從下亷　五爲(wèi)負(fù)隅　初商一十置一于左上為法　置一乗上亷得三萬二千四
　　百　置一以隅因之得五十以減從下亷余三百一十　置一自之以乗余下亷得三萬一千　并上亷共六萬三千四百為下法與上法相乗除實(shí)六十三萬四千　余實(shí)一百九十九萬○四百未盡　倍上亷得六萬四千八百初商自之三因得三百為下亷方法　初商三之得三十為下亷亷法　初商自乗再乗隅因得五千為下亷減隅　次商八　置一于左上為法　置一乗上亷得二萬五千九百二十并倍上亷共九萬○七百二十　置一并入初商得一十八以隅因之得九十以減從下亷余二百七十以方法乗之得八萬一千　置一乗亷法得二百四十以乗余下亷得六萬四千八百　置一自之得六十四以乗余下亷得一萬七千二百八十減去減隅五千止存一萬二千二百八十　下亷方亷隅共一十五萬八千○八十并上亷共二十四萬八千八百為下法與上法相乗除實(shí)盡
　　又術(shù)次商八　置一于左上為法　倍初商加次商得二十八以乗上亷得九萬○七百二十　置一隅因得四十以減余下亷止存二百七十倍初商加次商并初次商因之得五百○四加初商自之一百共六百○四以乗二百七十得一十六萬三千○八十以初商自乗再乗隅因得五千減之止存一十五
　　萬八千○八十并上亷共二十四萬八千八百為下法
　　又為添積開三乗方法
　　術(shù)曰倍積自之得二百六十二萬四千四百為正實(shí)四因截積得三千二百四十為上亷　四因圓徑
　　得三百六十為下亷　五為負(fù)隅
　　初商一十　置一于左上為法　置一自之又自之得一萬為三乗方面以隅因之得五萬為益實(shí)加入正實(shí)得二百六十七萬四千四百為通實(shí)　置一乗上亷得三萬二千四百　置一自之以乗下亷得三萬六千并上亷共六萬八千四百為下法與上法相乗除實(shí)六十八萬四千　余實(shí)一百九十九萬○四百未盡為次商正實(shí)
　　次商八　置一于左上為法　置一加初商自之又自之得一十○萬四千九百七十六為三乗方面以隅法因之得五十二萬四千八百八十內(nèi)減初益實(shí)五萬余四十七萬四千八百八十為益實(shí)加入次正實(shí)共二百四十六萬五千二百八十為通實(shí)　倍初商加次商得二十八以乗上亷得九萬○七百二十倍初商加次商得二十八并初次商一十八相因
　　加初商自乗共六百○四以乗下亷得二十一萬七千四百四十　并上亷共三十○萬八千一百六十與上法相乗除實(shí)盡
　　圓徑八十九歩從旁截積一千三百一十二歩半問截矢
　　答曰矢二十五歩
　　不用倍積術(shù)曰積自之得一百七十二萬二千六百五十六歩【二五】　截積一千三百一十二歩半為上亷徑八十九歩為下亷以一歩二分五厘為負(fù)隅初商二十　置一于左上為法　置一乗上亷得二萬六千二百五十　置一以隅因之得二十五以減下亷余六十四　置一自之以乗余下亷得二萬五千六百并上亷得五萬一千八百五十為下法與上法相乗除實(shí)一百○三萬七千　余實(shí)六十八萬五千六百五十六歩二五未盡
　　次商五　置一于左上為法　置一以隅因之得六歩二分五厘以減余下亷余五十七歩七分五厘倍初商加次商得四十五以乗上亷得五萬九千
　　○六十二半　倍初商加次商并初次商因之得一千一百二十五加初商自之四百共一千五百二十五以乗余下亷得八萬八千○六十八歩七五　內(nèi)減初商自乗再乗隅因一萬　止存七萬八千○六十八歩七五并上亷共一十三萬七千一百三十一歩二五　與上法相乗除實(shí)盡
　　解曰弧矢狀類勾股勾股得直方之半故倍其積以股除之即得勾弧背曲倍積則長一?而又一矢以矢乗積倍之恰得一?一矢之?dāng)?shù)因未知矢故以積自乗為實(shí)約矢一度乗積以為上亷兩度乗徑以為下亷并之為法而后可以得矢用三乗者何也積本平方以積乗積是兩度平方矣故用三乗方法開之上亷下亷俱用四因者何也倍積則乗出之?dāng)?shù)為積者四故上下亷俱四以就之減徑者何也徑乃圓之全徑矢乃截處之勾矢本減徑而得故亦減徑以求矢五為負(fù)隅者何也凡平圓之積得平方四之三在內(nèi)者七五在外者二五不拘圓之大小毎方一尺該虛隅二寸五分四其矢得四四其虛隅得一合而為五亦升實(shí)就法之意如不倍積亷不用四因以一二五為隅法亦通　或不減徑作添積三乗方法亦通

　　圓徑與截積求截?
　　術(shù)曰倍積以矢除之減矢即?
　　又法用矢徑求?術(shù)
　　圓徑八十九歩從旁截積一千三百一十二歩半問截?
　　答曰?八十歩
　　術(shù)曰倍積得二千六百二十五歩以求出矢二十五除之得一百○五歩乃一?一矢減矢即?
　　又曰倍矢減徑余三十九自之得一千五百二十一為勾筭全徑自之得七千九百二十一為?筭相減余六千四百為股筭平方開之
　　若求弧背以徑除矢筭即半背?差
　　圓徑與弧背求矢
　　術(shù)曰半弧筭徑筭相乗為實(shí)徑乗徑筭為從方徑筭為上亷徑背相乗為下亷以上亷減從以隅減下亷三乗方法開之
　　平圓徑十尺從旁截處弧背八尺八寸問矢
　　答曰矢二尺
　　術(shù)曰半弧背自之得一十九尺三寸六分　徑自之得一百尺　相乗得一千九百三十六尺為正實(shí)徑乗徑筭得一千尺為從方　徑筭一百尺為上亷全背乗徑得八十八尺為下亷
　　約商二尺　置一于左上為法　置一乗上亷得二百尺以減從方余八百尺　置一自之得四以減下亷余八十四尺　又以二乗余下亷得一百六十八尺　并從方共九百六十八尺為下法
　　又術(shù)商矢減徑存八尺以矢乗之得十六平方開之即得半?
　　平圓徑九十歩旁截邊弧背五十五歩八分問矢答曰九歩
　　術(shù)曰半背筭七百七十八歩四一　徑筭八千一百二筭相乗得六百三十○萬五千一百二十一為正實(shí)　徑乗徑筭得七十二萬九千為從方　徑筭八千一百為上亷　徑背相乗得五千○二十二為下亷如前法求之
　　平圓徑九十歩旁截弧背七十九歩二分問矢
　　答曰矢一十八歩
　　術(shù)曰半弧筭一千五百六十八歩一六　徑筭八千一百　二筭相乗得一千二百七十○萬二千○九十六為正實(shí)　徑乗徑筭得七十二萬九千為益從方　徑筭八千一百為上亷　徑背相乗得七千一百二十八為下亷
　　初商一十　置一于左上為法　置一乗上亷得八萬一千以減從方余六十四萬八千　置一自之得一百以減下亷余七千○二十八　置一乗余下亷得七萬○二百八十并減余從方共七十一萬八千二百八十為下法與上法相乗除實(shí)七百一十八萬二千八百余實(shí)五百五十一萬九千二百九十六未盡
　　次商八　置一于左次為上法　倍初商加次商得二十八以乗上亷得二十二萬六千八百以減益從方余五十○萬二千二百為從方　并初次商得一十八自之得三百二十四加初商自之一百為四百二十四以減下亷余六千七百○四　倍初商加次商得二十八因之得一十八萬七千七百一十二并入從方共六十八萬九千九百一十二為下法與上法相乗除實(shí)盡
　　解曰徑除矢筭得半背?差今以弧背求矢故亦用半背筭與徑筭相乗為實(shí)以徑乗徑筭為從方而從方內(nèi)多一矢乗徑筭之?dāng)?shù)故以徑筭為上亷以矢乗而減之然從方得矢之方而未得矢之亷也故又以全背與徑相乗為下亷而下亷之中又多一矢自乗之?dāng)?shù)故又約矢以減之而以余數(shù)乗矢為下亷并從方以為法
　　假如周天徑一百二十一度七十五分二十五秒【厯書中不用秒故因之】
　　黃赤道內(nèi)外弧背二十四度　問矢度
　　答曰四度八十四分八十二秒
　　術(shù)曰半弧背自之得五百七十六度為半弧背筭周天徑自之得一萬四千八百二十三度○六分二十五秒為徑筭　二筭相乗得八百五十三萬八千○八十四度為正實(shí)　徑乗徑筭得一百八十○萬四千七百○七度八十五分九十三秒七五為益從方　以徑筭為上亷　倍半弧背得四十八度以乗周徑得五千八百四十四度為下亷
　　初商四度　置一于左上為法　置一乗上亷得五萬九千二百九十二度二十五分以減益從方余一百七十四萬五千四百一十五度六十○分九十三秒七五置一自之得一十六度以減下亷余五千八百二十八度又以四度因之得二萬三千三百一十二度為從亷并從方共一百七十六萬八千七百二十七度六十○分九十三秒七五為下法與上法相乗除實(shí)七百○七萬四千九百一十○度四十三分七十五秒
　　余實(shí)一百四十六萬三千一百七十三度五十六分二十五秒
　　次商八十分　置一于左上為法　置一倍初商共八度八十分以乗上亷得一十三萬○四百四十三度九十五分以減益從方余一百六十七萬四千二百六十四度九十○分九十三秒七五為從方　置一并初商自之得二十三度○四分加初商自之一十六度共三十九度○四分以減下亷余五千八百○四度九十六又以八度八十分因之得五萬一千○八十三度六十四分八十秒為從亷　并從方共一百七十二萬五千三百四十八度五十五分七十三秒七五為下法與上【闕】

<子部,天文算法類,算書之屬,弧矢算術(shù),弧矢算術(shù)>
<子部,天文算法類,算書之屬,弧矢算術(shù),弧矢算術(shù)>

　　度九十九分一十八秒五二
　　七六又以九度六十九分六十二秒乗之得五萬六千二百○八度七十九分二十四秒○二七三一五一二為從亷　并從方共一百七十一萬七千一百八十九度二十七分三十一秒六五二三一五一二為下法與上法相乗除實(shí)三百四十三度四十三分七十八秒五四六三三○四六三○二四
　　余實(shí)一百○五度○九分五十五秒五三○○一七六九六九七六不勾一秒之?dāng)?shù)
　　圓徑與弧背求截?
　　術(shù)曰求得矢用矢求?術(shù)
　　圓徑與弧背求截積
　　術(shù)曰求得矢用矢徑求積
　　截積與截矢求截?
　　術(shù)曰倍積減矢筭余如矢而一即?
　　又曰倍積以矢除之減矢
　　圓不知徑從旁截積二百八十三歩二分歩之一矢闊九歩問截?
　　答曰截?五十四歩
　　術(shù)曰倍積得五百六十七歩減矢筭八十一余四百八十六以矢除之得五十四為?
　　圓不知徑從旁截積八百一十步矢闊一十八步問截?
　　答曰截?長七十二歩
　　術(shù)同
　　截積與截?求截矢
　　術(shù)曰倍積以?為從方平方開之
　　圓不知徑從旁截積二百八十三歩二分歩之一截?長五十四步問矢
　　答曰九歩
　　術(shù)曰倍積得五百六十七為實(shí)　以五十四為從方約商九　置一于左上為法　置一帶從得六十三為下法與上法相乗除實(shí)盡
　　圓不知徑從旁截積八百一十歩?長七十二歩問矢答曰矢一十八歩
　　術(shù)曰倍積得一千六百二十為實(shí)　以七十二為從方
　　初商一十　置一于左上為法　置一帶從方共八十二為下法與上法相乗除實(shí)八百二十　余實(shí)八百　倍初商得二十帶從方共九十二為方法次商八　置一于左上為法　置一帶方法共一百為下法與上法相乗除實(shí)盡
　　截積與截矢求圓徑
　　術(shù)曰先求出?半之為筭如矢而一即矢徑差又曰積自乗減矢自乗乗積余為實(shí)矢自乗再乗為法除之加虛隅即徑
　　圓不知徑從旁截積六十二歩半矢五歩問徑
　　術(shù)曰積自之得三千九百○六歩二五　矢自之乗積得一千五百六十二步五相減余二千三百四十三步七五為實(shí)矢自乗再乗得一百二十五為法除之得一十八步七五矢乗虛隅一步二分五厘得六步二分五厘加入即圓徑二十五
　　截積與截?求圓徑
　　術(shù)曰先求得矢矢除半?筭加矢即徑
　　圓不知徑從旁截積一千三百一十二步半截?長八十步問圓徑幾何
　　答曰圓徑八十九步
　　術(shù)曰先倍積以?為從方平方開之得矢二十五步后用半?自之得一千六百步以矢除之得六十四為矢徑差加矢即圓徑
　　截積與截矢求截弧背【?求弧背同】
　　術(shù)曰先求得徑以除矢筭得半背?差
　　截矢與?求圓徑
　　術(shù)曰半?自之如矢而一為矢徑差
　　圓不知徑從旁截一弧矢闊九步?長五十四步問圓徑
　　答曰圓徑九十步
　　術(shù)曰半?自之得七百二十九以矢除之得八十一為矢徑差加矢即徑
　　截矢與?求截弧背
　　術(shù)曰先求得徑以除矢筭為半背?差
　　截矢與截?求截積
　　術(shù)曰以矢加?以乗矢得二積
　　截?與外周求截矢【外周乃割殘之周也】
　　術(shù)曰?筭半?筭相乗四而三之為實(shí)并?及殘周乗半?筭為益方倍半?筭加?筭為從上亷并?及殘周為下亷以隅并上亷減從以余從并下亷為法三乗方法開之
　　平圓旁割一弧截處?五十四步外殘周二百一十四步二分問截矢幾何
　　答曰矢九步
　　術(shù)曰?自之得二千九百一十六為?筭　半?自之得七百二十九為半?筭　二筭相乗得二百一十二萬五千七百六十四四而三之得一百五十九萬四千三百二十三為正實(shí)　?并殘周共二百六十八步二分以半?筭乗之得一十九萬五千五百一十七步八分為益方　倍半?筭加全?筭得四千三百七十四為從上亷　?并殘周得二百六十八步二分為下亷一為隅法
　　商得九　置一于左上為法　置一乗上亷得三萬九千三百六十六為減亷　置一自之為八十一以乗下亷得二萬一千七百二十四步二分為益亷置一自乗再乗得七百二十九為隅法并入減亷共四萬○○九十五　以減從方余一十五萬五千四百二十二步八分并入下亷共一十七萬七千一百四十七步為下法
　　圓田一段西邊被水浸入一弧?長二十步外殘周五十三步問矢闊田徑田積
　　答曰截矢闊五步圓徑二十五步　弧背二十二步術(shù)曰如積求之得三萬為正實(shí)　七千三百為益方六百為從上亷七十三為益下亷　一為正隅　三乗方開之得矢闊　矢除半?筭加矢得徑　倍矢筭以徑除之得背?差加?即弧背　徑自之四而三之得田積
　　圓田水浸一弧?長七十二步外有殘周一百九十○步八分問矢闊
　　答曰矢闊一十八步　弧背七十九步二分
　　圓徑九十歩　原田二十五畆三分一厘二毫五絲術(shù)曰先求矢闊　?筭五千一百八十四　半?筭一千二百九十六相乗得六百七十一萬八千四百六十四步四歸三因得五百○三萬八千八百四十八為正實(shí)　并?及殘周共二百六十二步八分以半?筭乗之得三十四萬○五百八十八步八分為益從方　倍半?筭加全?筭得七千七百七十六為減上亷　?并殘周二百六十二步八分為益下亷
　　初商一十　置一于左上為法　置一乗減上亷得七萬七千七百六十為減亷　置一自之以乗益下亷得二萬六千二百八十為益亷　置一自乗再乗得一千為減隅并入減亷共七萬八千七百六十為減從之算以減益方余二十六萬一千八百二十八步八分為從方并益亷共二十八萬八千一百○八步八分為下法　與上法相乗除實(shí)二百八十八萬一千○八十八　余實(shí)二百一十五萬七千七百六十未盡
　　二因減上亷得一十五萬五千五百二十
　　三因益下亷得七萬八千八百四十為益亷之方四因隅法得四千為方法
　　又以初商三之以乗益下亷得七千八百八十四為益亷之亷　初商自之六因得六百為隅上亷初商四之得四十為隅下亷
　　次商八　置一于左上為法　置一乗初減上亷得六萬二千二百○八加入前二因上亷得二十一萬七千七百二十八為減亷　置一乗益亷之亷得六萬三千○七十二步并益亷之方共一十四萬一千九百一十二為益亷之筭　置一自之以乗初益下亷得一萬六千八百一十九步二分并入益亷之筭共一十五萬八千七百三十一步二分為益亷　置一乗隅上亷得四千八百　置一自之以乗隅下亷得二千五百六十　置一自乗再乗得五百一十二為隅法并方法上下亷隅法共一萬一千八百七十二為減隅　并減亷共二十二萬九千六百為減從之筭以減原從余一十一萬○九百八十八步八分加益亷共二十六萬九千七百二十為下法與上法相乗除實(shí)盡
　　矢除半?筭得七十二為矢徑差加矢即圓徑倍矢筭以圓徑除之得七步二分為?背差加?即弧背　圓徑自之四而三得六千○七十五步以畆約之為畆
　　解曰求矢者起于?與徑今不知徑而有殘周故以?自乗半?自乗相乗為實(shí)方中取圓故四而三之為三乗方實(shí)以?并殘周與半?筭相乗為從方而從方之中又多一?筭兩半?筭及矢自乗再乗之?dāng)?shù)故以全?筭與倍半?筭為上亷并求出矢自乗再乗之?dāng)?shù)以減之卻以?并殘周為益下亷以求出矢兩度乗之并余從以為法蓋隅與上亷專主于減從而下亷所以益從也
　　?筭為平方以?乗之為立方又以半?筭乗是為三乗方
　　正實(shí)五百○三萬八千八百四十八乃三乘方數(shù)內(nèi)下亷該除一百五十三萬二千六百四十九步六分從方該除三百五十○萬六千一百九十八步四分從方三十四萬○五百八十八步八分乃立方之?dāng)?shù)內(nèi)上亷減一十三萬九千九百六十八隅減五千八百三十二止存一十九萬四千七百八十八步八分以矢十八因之以除實(shí)
　　上亷減從除實(shí)用減從開平方法
　　從方帶上亷一度矢乗之?dāng)?shù)共三十三萬四千七百五十六步八分以十八因之該正實(shí)六百○二萬五千六百二十二步四分欠二百五十一萬九千四百二十四乃上亷減去之?dāng)?shù)
　　初商一十　置一為上法　置一乗上亷得七萬七千七百六十以減從方余二十五萬六千九百九十六步八分與上法相乗除實(shí)二百五十六萬九千九百六十八余實(shí)九十三萬六千二百三十○步四分　倍上防得一十五萬五千五百二十為亷法
　　次商八　置一為上法　置一乗上亷得六萬二千二百○八并亷法共二十一萬七千七百二十八以減原從余一十一萬七千○二十八步八分為下法與上法相乗除實(shí)盡
　　從方假作平方形長一十九萬四千七百八十八步八分濶一十八步帶十八因上亷共長三十三萬四千七百五十六步八分　初商十步十因上亷止除七萬七千七百六十少減六萬二千二百○八步計(jì)多除正實(shí)六十二萬二千○八十　次商濶八步如從方原長該除實(shí)一百五十五萬八千三百一十○步八分今止余實(shí)九十三萬六千二百三十○步四分欠六十二萬二千○八十正合初商多除之?dāng)?shù)　次商倍亷法多減七萬七千七百六十以八因之其數(shù)適合此自然之妙凡用減從者俱如此
　　隅減從用減從開三乗方法
　　隅立方并從共二十○萬○六百二十○步八分以十八因該正實(shí)三百六十一萬一千一百七十四步四分欠一十○萬四千九百七十六乃隅減之?dāng)?shù)初商一十　置一為上法　置一自乗再乗得一千為方法以減從方余一十九萬九千六百二十○步八分為下法與上法相乗除實(shí)一百九十九萬六千二百○八步余實(shí)一百五十○萬九千九百九十○步四分　四因方法得四千為方法　初商自之六因得六百為上亷初商四之得四十為下亷次商八　置一為上法　置一乗上亷得四千
　　八百　置一自之以乗下亷得二千五百六十置一自乗再乗得五百一十二為隅法并方亷隅共一萬一千八百七十二為減從以減原從余一十八萬八千七百四十八步八分為下法與上法相乗除實(shí)盡
　　初商多存長四千八百三十二濶十步共四萬八千三百二十次商多減六千○四十以八因之相合下亷除實(shí)
　　下亷二百六十二步八分十八因之得四千七百三十○步四分為平方積又十八因得八萬五千一百四十七步二分為立方積又十八因得一百五十三萬二千六百四十九步六分為三乗方積
　　初商一十　置一為上法　置一自之以乗下亷得二萬六千二百八十為下法與上法相乗除實(shí)二十六萬二千八百余實(shí)一百二十六萬九千八百四十九步六分　三因下法得七萬八千八百四十為方法　三因初商以乗下亷得七千八百八十四為亷法　次商八置一為上法　置一乗亷法得六萬三千○七十二步置一自之以乗下亷得一萬六千八百一十九步二分并方亷共一十五萬八千七百三十一步二分為下法除盡
　　方圓術(shù)【附】
　　圓求容方
　　術(shù)曰方徑即圓徑若求圓積四而三之不必立法惟以圓求方其法不一姑録于此蓋徑一則圍不止于三所謂圍三徑一者舉其大較耳
　　圓周五尺中容一斗斗方面幾何
　　答曰斗靣一尺一寸六分六厘【三分厘之二】
　　術(shù)曰七因周得三尺五寸以三歸之
　　此術(shù)載呉信民筭法以周為?以方為股然七因五尺為三十五未是
　　圓材徑二尺一寸為方靣幾何
　　答曰方徑一尺四寸五十八分寸之四十九
　　術(shù)曰徑為股自之得四百四十一寸折半平方開之又曰三因徑得六尺三寸七分因之三歸得方靣一尺四寸一十分寸之七
　　圓徑十尺問容方面幾何
　　答曰容方面七尺
　　術(shù)曰三其徑得三十尺以七寸因之得二十一尺三歸得七尺方圓之術(shù)徑一則圍三有竒方五則斜七有竒難以一定之法例之【徑自之折半平方開之多一筭】
　　圓徑折變
　　圓周求徑
　　古法圍三徑一　徽術(shù)周一百五十七徑五十宻術(shù)周二十二徑七
　　周八十四問徑
　　古術(shù)答曰二十八
　　術(shù)用三歸
　　徽答曰二十六步【一百五十七分步之一百一十八】術(shù)曰周五十因如一百五十七而一
　　宻答曰二十六步【一十一分步之八】
　　術(shù)曰周七因如二十二而一
　　周八十七【二十五分步之二十三】問徑
　　古術(shù)答曰二十九步【七十五分步之二十三】
　　術(shù)曰分母通其全分子從之得二千一百九十八為實(shí)三因分母得七十五為法
　　徽答曰二十八步
　　術(shù)曰分母通其全分子從之以五十因之得一十○萬九千九百為實(shí)　一百五十七因分母得三千九百二十五為法
　　宻答曰二十七步【二百七十五分步之二百六十八】術(shù)曰分母乗其全分子從之七因得一萬五千三百八十六置分母以二十二因得五百五十為法不盡者法實(shí)俱半約之
　　假如厯法周天三百六十五度二十五分七十五秒問周天徑幾何
　　答曰一百二十一度七十五分二十五秒
　　此以圍三徑一求之
　　以徽術(shù)求之為徑幾何
　　答曰徑一百一十六度三十二分四十秒【一百五十七分秒之七】
　　術(shù)曰五十因周得一萬八千二百六十二度八十七分五十秒以一百五十七除之
　　以宻術(shù)求之為徑幾何
　　答曰一百一十六度二十一分八十二秒【二十二分秒之二十一】
　　術(shù)曰七因周得二千五百五十六度八十○分二十五秒以二十二除之
　　圓徑求周
　　圓徑二十八問周
　　古法答曰八十四
　　術(shù)用三因
　　徽答曰八十七步【二十五分步之二十三】
　　術(shù)曰徑一百五十七因得四千三百九十六如五十而一
　　宻答曰八十八步
　　術(shù)曰徑二十二因如七而一
　　圓徑二十六步【一百五十七分步之一百一十八】問周古法答曰八十步【一百五十七分步之四十】
　　術(shù)曰分母通其全分子從之三因得一萬二千六百為實(shí)如分母而一
　　徽答曰八十四步
　　術(shù)曰分母通其全分子從之又一百五十七因得六十五萬九千四百為實(shí)　分母五十因得七千八百五十為法
　　又曰分母通其全分子從之得四千二百如五十而一
　　宻答曰八十四步【一百五十七分步之一十二】術(shù)曰分母通其全分子從之又二十二因得九萬二千四百為實(shí)　七因分母得一千○九十九為法
　　圓徑二十六歩【一十一分步之八】問周
　　古法答曰八十步【一十一分步之二】
　　術(shù)曰分母通其全分子從之得二百九十四又三因得八百八十二為實(shí)如分母而一
　　徽答曰八十三步【二百七十五分步之二百五十四】術(shù)曰分母通其全分子從之又一百五十七因得四萬六千一百五十八為實(shí)　五十因分母得五百五十為法
　　宻答曰八十四步
　　術(shù)曰分母通其全分子從之又二十二因得六千四百六十八為實(shí)　七因分母得七十七為法
　　又曰分母通其全分子從之倍之得五百八十八如七而一
　　圓周求積
　　周八十四問積
　　古術(shù)答曰五百八十八步
　　術(shù)曰周自之得七千○五十六如圓法十二而一徽答曰五百六十一步【一百五十七分步之一百二十三】術(shù)曰周自之又二十五因得一十七萬六千四百為實(shí)如三百一十四而一
　　宻答曰五百六十一步【一十一分步之三】
　　術(shù)曰周自之七因得四萬九千三百九十二為實(shí)如八十八而一
　　圓周八十七步【二十五分步之二十三】問積
　　古法答曰六百四十四步【一千八百七十五分步之三百○一】術(shù)曰分母通其全分子從之得二千一百九十八自之得四百八十三萬一千二百○四為實(shí)　分母自之得六百二十五又十二因得七千五百為法徽答曰六百一十五步【二十五分步之一十一】術(shù)曰分母通其全分子從之自乗又以二十五乗之得一億二千○七十八萬○一百為實(shí)　分母自乗又以三百一十四乗之得一十九萬六千二百五十為法除之不盡八萬六千三百五十法實(shí)皆七千八百五十約之
　　宻答曰六百一十四步【一萬三千七百五十分步之一萬二千一百○七】術(shù)曰分母通其全分子從之自乗又七因得三千三百八十一萬八千四百二十八為實(shí)　分母自乗又八十八因得五萬五千為法除之不盡四萬八千四百二十八法實(shí)皆四約之
　　周八十八步問積
　　古法答曰六百四十五步【三分步之一】
　　術(shù)曰周自之得七千七百四十四如十二而一徽答曰六百一十六步【一百五十七分步之八十八】術(shù)曰周自乗二十五因得一十九萬三千六百為實(shí)如三百一十四而一
　　宻答曰六百一十六步
　　術(shù)曰周自之七因得五萬四千二百○八為實(shí)如八十八而一
　　圓徑求積
　　圓徑二十八步問積
　　古術(shù)答曰五百八十八步
　　術(shù)曰徑自乗四歸三因
　　徽答曰六百一十五步【二十五分步之一十一】術(shù)曰徑自乗以七十八步半因之得六萬一千五百四十四如百而一
　　宻答曰六百一十六步
　　術(shù)曰徑自乗一十一因得八千六百二十四如一十四而一
　　圓徑二十六步【一百五十七分步之一百一十八】問積古法答曰五百三十六步【二萬四千六百四十九分步之一萬八千一百三十六】術(shù)曰分母通其全分子從之自乗四歸三因得一千三百二十三萬為實(shí)分母自之得二萬四千六百四十九為法
　　徽答曰五百六十一步【二萬四千六百四十九分步之一萬九千三百一十一】術(shù)曰分母通其全加分子自乗又以七十八步半乗之得一十三億八千四百七十四萬為實(shí)　分母自乗百因得二百四十六萬四千九百為法
　　宻答曰五百六十二步【二萬四千六百四十九分步之七千二百六十二】術(shù)曰分母通其全加分子自乗得數(shù)又以一十一因之得一億九千四百○四萬為實(shí)
　　分母相乗又十四因之得三十四萬五千○八十六為法除之未盡一十○萬一千六百六十八法實(shí)皆一十四約之
　　圓徑二十六步【一十一分步之八】問積
　　古法答曰五百三十五步【一百二十一分步之九十二】術(shù)曰分母通其全加分子自乗得數(shù)四而三之得六萬四千八百二十七為實(shí)
　　分母相乗為法
　　徽答曰五百六十步【六千○五十分步之四千六百一十三】術(shù)曰分母乗其全加分子自乗又以一百五十七乗之得一千三百五十七萬○四百五十二為實(shí)　分母自乗二百因之得二萬四千二百為法
　　宻答曰五百六十一步【一十一分步之三】
　　術(shù)曰分母通其全加分子自乗又一十一因之得九十五萬○七百九十六為實(shí)　分母自之又十四因之得一千六百九十四為法
　　圓積求周
　　圓積五百八十八步問周
　　古法答曰周八十四步
　　術(shù)曰十二因積平方開之
　　徽答曰八十五步【一萬七千一百分步之一萬六千五百二十八】術(shù)曰積三百一十四因得一十八萬四千六百三十二以二十五除之得七千三百八十五步二八平方開之
　　宻答曰八十五步【一百七十一分步之一百六十七】術(shù)曰積八十八因得五萬一千七百四十四七除之得七千三百九十二平方開之
　　平方還原方自乗以分母乗之得一百二十三萬五千四百七十五　分母子相乗得二萬八千五百五十七為益實(shí)并得一百二十六萬四千○三十二為實(shí)分母為法除之還原
　　圓積六百一十六步問周
　　古法答曰周八十五步【一百七十一分步之一百六十七】術(shù)曰十二因積得七千三百九十二為實(shí)平方開之徽答曰八十七步【一萬七千五百分步之一萬六千七百九十六】術(shù)曰積三百一十四因得一十九萬三千四百二十四以二十五除之得七千七百三十六步九六平方開之不盡者以百因約之
　　宻答曰八十八步
　　術(shù)曰積八十八因得五萬四千二百○八以七除之得七千七百四十四平方開之
　　圓積五百六十一步【一百五十七分步之一百二十三】問周幾何古法答曰周八十二步【二萬五千九百○五分步之二千七百三十二】術(shù)曰分母乗其全加分子得八萬八千二百以圓法十二因之得一百○五萬八千四百為實(shí)　以一百五十七為隅法作?從隅開平方法除之
　　初商八十　置一于左上為法　置一乗從隅得一萬二千五百六十為隅法與上法相乗除實(shí)一百○○萬四千八百余五萬三千六百未盡　倍隅法得二萬五千一百二十為亷法　約次商二　置一于左次為上法　置一乗從隅得三百一十四并入亷法共二萬五千四百三十四為下法與上法相乗除實(shí)五萬○八百六十八　尚余二千七百三十二倍八十二加一筭以分母乗之為母約之
　　又術(shù)分母通其全加分子十二因之得一百○五萬八千四百又以母乗之得一億六千六百一十六萬八千八百平方開之得一萬二千八百九十　余實(shí)一萬六千七百未盡另寄　將開出之?dāng)?shù)以分母約之得八十二　仍未盡一十六以分母乗之得二千五百一十二加入寄位共一萬九千二百一十二為不盡之?dāng)?shù)　倍八十二加一筭得一百六十五以分母乗之得二萬五千九百○五
　　徽答曰八十四步
　　術(shù)曰分母通其全加分子得八萬八千二百以三百一十四因得二千七百六十九萬四千八百以二十五因分母得三千九百二十五為法除之得七千○五十六平方開之
　　宻答曰八十四步【二千○四十一分步之一百○八】術(shù)曰分母通其全加分子得八萬八千二百又八十八因得七百七十六萬一千六百　七因分母作一千○九十九除之得七千○六十二　余實(shí)四百六十二未盡
　　置七千○六十二平方開之得八十四　余六未盡以分母通之得九百四十二加前未盡共一千四百○四倍八十四加一筭得一百六十九以分母乗之得二萬六千五百三十三是謂二萬六千五百三十三分步之一千四百○四　法實(shí)皆十三約之得二千○四十一分步之一百○八
　　積四十五步【一十一分步之九】爲(wèi)宻圓周幾何
　　答曰二十四步
　　術(shù)曰分母乗其全加分子得五百○四以八十八因之得四萬四千三百五十二以七因分母為七十七除得五百七十六平方開之
　　右四元玉鑒所載不用從隅
　　圓積求徑
　　圓積五百八十八步問徑
　　古法答曰二十八步
　　積三歸四因平方開之
　　徽答曰二十七步【八千六百三十五分步之三千一百四十七】術(shù)曰積百因得五萬八千八百以七十八步半為從隅平方開之　初商二十置一于左上為法置一乗從隅得一千五百七十為隅法與上法相乗除實(shí)三萬一千四百余實(shí)二萬七千四百未盡　倍隅法得三千一百四十為亷法　約次商七　置一于左次為上法　置一乗從隅得五百四十九步半并亷法共三千六百八十九步半為下法與上法相乗除實(shí)二萬五千八百二十六步半　余實(shí)一千五百七十三步半　倍二十七加一筭得五十五以七十八步半因之得四千三百一十七步半法實(shí)皆倍命之宻答曰二十七步【六百○五分步之二百一十三】術(shù)曰積一十四因得八千二百三十二以一十一為從隅平方開之　初商二十　置一于左上為法置一乗從隅得二百二十為隅法與上法相乗除實(shí)四千四百余實(shí)三千八百三十二　倍隅法得四百四十為亷法　約次商七　置一于左次為上法置一乗從隅得七十七為隅法　并亷隅共五百一十七為下法與上法相乗除實(shí)三千六百一十九余實(shí)二百一十三未盡如前法約之
　　積六百一十五步【二十五分步之一十一】問徑
　　古法答曰二十八步【四千二百七十五分步之二千七百四十四】術(shù)曰分母乗其全加分子得一萬五千三百八十六以四因之得六萬一千五百四十四分母三之為七十五為從隅平方開之余實(shí)二千七百四十四倍開出之?dāng)?shù)加一算得五十七以從隅因之得四千二百七十五為母約之
　　徽答曰二十八步
　　術(shù)曰以積分母除分子得四分四厘加全步得六百一十五步四分四厘百之得六萬一千五百四十四為正實(shí)以七十八步五分為從隅平方開之
　　宻答曰二十七步【一萬五千一百二十五分步之一萬四千九百二十九】術(shù)曰置積以分母通之加分子得一萬五千三百八十六以一十四因之得二十一萬五千四百○四為正實(shí)以二百七十五為從隅平方開之　余實(shí)一萬四千九百二十九　倍徑加一算以從隅乗之為分母約之
　　平圓積四十五步【一十一分步之九】問宻圓徑幾何答曰七步【一十一分步之七】
　　術(shù)曰分母乗其全加分子以一十四乗之得七千○五十六平方開之得八十四以一十一除之不盡七還原法曰分母乗七加分子自之又一十一因得七萬七千六百一十六為實(shí)　分母自之又一十四因得一千六百九十四為法　除之得四十五余一千三百八十六法實(shí)皆一百五十四約之還原數(shù)
　　黃鐘算附
　　假如黃鐘之管空容九分問圍圓幾何
　　答曰圍圓一十○分三厘【二百○七分厘之一百九十一】此以圍三徑一求之十二因積得一百○八平方開之以徽術(shù)推之得幾
　　答曰圍一十○分七厘【二百一十五分厘之五十五】術(shù)曰積三百一十四因得二千八百二十六以二十五除之得一百一十三○四平方開之
　　以宻術(shù)推之得幾
　　答曰圍一十○分【一百四十七分分之九十二】術(shù)曰積八十八因得七百九十二如七而一得一百一十三【七分之一】平方開之不盡一十三以七因加一為子倍十分加一七因?yàn)槟该?br />　　黃鐘之管空容九分問徑
　　答曰徑三分四厘六毫【六百九十三分毫之二百八十四】此用三歸四因平方開之
　　以徽術(shù)求之
　　答曰徑三分三厘八毫【五十三萬一千四百四十五分毫之三萬一千八百四十六】術(shù)曰百因積得九百分以七十八分半為從隅平方法開之　初商三分　置一于左上為法　置一乗從隅得二百三十五分五厘為下法與上法相乗除實(shí)七百○六分半余實(shí)一百九十三分半倍隅法得六分為防法　次商三厘　置一于左上為法　置一并亷法共六十三厘以乗從隅得四千九百四十五厘五毫與上法相乗除實(shí)一百四十八分三厘六毫五絲余實(shí)四十五分一厘三毫五絲　倍初次商得六分六厘為亷法三商八毫　置一于左上為法置一并亷法共六分六厘八毫以乗從隅得五百
　　二十四分三厘八毫與上法相乗除實(shí)四十一分九厘五毫○四忽余實(shí)三分一厘八毫四絲六忽　倍商加一算以從隅乗之為分母命之
　　以宻術(shù)求之得徑幾
　　答曰徑三分三厘【七百三十七分厘之六百二十一】術(shù)曰一十四因積得一百二十六以一十一為從隅平方開之　初商三分　置一于左上為法　置一乗從隅得三十三分與上法相乗除實(shí)九十九分余實(shí)二十七分　倍下法得六分為亷法　次商三厘置一為上法　置一并亷法乗從隅得六百九十
　　三厘與上法相乗除實(shí)二十○分七厘九毫余實(shí)六分二厘一毫　倍商加一算以從隅因之得七百三十七為分母命之
　　還原曰徑相乗得一十○分八厘九毫以一十一因得一百一十九分七厘九毫加不盡四分二厘一毫得原數(shù)
　　黃鐘之大小不系于此但假此以明數(shù)之防妙耳嘗觀儒者之論律管徃徃泥于數(shù)而不察夫理假如黃鐘之實(shí)乃十一度三因以起十一律之?dāng)?shù)律管以三分為損益故十一度三之非實(shí)有數(shù)也實(shí)乃算法中之實(shí)耳雖蔡九峯亦謂仲呂之實(shí)數(shù)不可三其數(shù)不行此律之所以止于十二也殊不知五音六律乃天地隂陽自然之理圣人因之制管以宣其聲而又三分損益以定其管之長短使其無相奪倫顧乃以數(shù)為造律之本豈不謬哉
　　律管算附律管以三分損益故止立二三四乗除之法二一如二　　二二如四　　二三如六
　　二四如八　　二五作一一　二六作一三
　　二七作一五　二八作一七　二九作二
　　三一如三　　三二如六　　三三作一
　　三四作一三　三五作一六　三六作二
　　三七作二三　三八作二六　三九作三
　　四一如四　　四二如八　　四三作一三
　　四四作一七　四五作二二　四六作二六
　　四七作三一　四八作三五　四九作四　右因二歸逢一作四一逢二進(jìn)一
　　三歸逢一作三　逢二作六　　逢三進(jìn)一
　　四歸逢一作二一逢二作四二　逢三作六三
　　逢四進(jìn)一　　　　　　　　　　　右歸
　　黃鐘管長九寸　　　　　　　　　　　三歸二因
　　林鐘管長六寸　　　　　　　　　　　三歸四因
　　太簇管長八寸　　　　　　　　　　　三歸二因
　　南呂管長五寸三分　　　　　　　　　三歸四因
　　姑洗管長七寸一分　　　　　　　　　三歸二因
　　應(yīng)鐘管長四寸六分六厘　　　　　　　三歸四因
　　防賔管長六寸二分八厘　　　　　　　三歸四因
　　大呂管長八寸三分七厘六毫　　　　　三歸二因
　　夷則管長五寸五分五厘一毫　　　　　三歸四因夾鐘管長七寸四分三厘七毫三絲　　　三歸二因無射管長四寸八分八厘四毫八絲　　　三歸四因仲呂管長六寸五分八厘三毫四絲六忽
　　右術(shù)止用九寸損益以定十一律管不必用十一度三因若求變黃鐘就以仲呂之管三歸四因即是不必更用七百二十九乗之?dāng)?shù)

　　弧矢算術(shù)