欽定四庫全書 子部六
圜容較義 天文算法類一【推步之屬】提要
【臣】等謹(jǐn)案圜容較義一卷明李之藻撰亦利瑪竇之所授也前有萬厯甲寅之藻自序稱凡厥有形惟圜為大有形所受惟圜至多渾圜之體難名而平面之形易析試取同周一形以相叅考等邊之形必距于不等邊形多邊之形必距于少邊之形最多邊者圜也最等邊者亦圜也析之則分杪不億是知多邊聨之則圭角全無是知等邊不多邊等邊則必不成圓惟多邊等邊故圜容最鉅昔從邢公研窮天體因論圜容拈出一義次為五界十八題借平面以推立圜設(shè)角形以徴渾體云云蓋形有全體視為一面從其一面例其全體故曰借平面以測立圜面必有界界為線為邊兩線相支必有角析圜形則各為角合角形則共成圜故曰設(shè)角以徴渾體其書雖明圜容之義而各面各體比例之義胥于是見且次第相生于周髀圓出于方方出于矩之義亦多足發(fā)明焉乾隆四十六年十二月恭校上
總纂官【臣】紀(jì)昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅
總 ?！」佟境肌筷憽≠M 墀
圜容較義序
自造物主以大圜天包小圜地而萬形萬象錯落其中親上親下肖呈圜體大則日躔月離軌度所以循環(huán)細(xì)則防雪花潤澤旉于涓滴人文則有旋中規(guī)而坐抱鼓況顱骨目瞳耳竅之渾成物宜則有谷孕實而核含仁暨鳶翔魚泳虵蟠之咸若胎生卵育混沌合其最初葩發(fā)苞藏團(tuán)欒于焉保合俯視漚浮水面仰觀暈合天心?風(fēng)滃乎蘋端湛露擎于荷葢砂傾活永任分合以成顆鮫泣明珠撒柈桿而競走無情者飛蓬轉(zhuǎn)石斡運總屬天機(jī)有情若鼄網(wǎng)蟲窠經(jīng)營自憑意匠若乃靈心濬發(fā)尤多規(guī)運成能壁水明堂居中而宣政敎六花八陣周衞而運正奇樂部在懸簫鼓共圜鐘迭奏軺車欲駕輪轅貫樞軸其旋戲塲有蹴鞠彈棊雅事對莆團(tuán)蓮漏忽然一啑成如珠如霧之談奇謾説恒沙滿三千大千之國土至于火炎鋭上試逺矚而一防圓光水積紆回指寥天而兩縫規(guī)合葢天籟地籟人籟聲聲觸竅皆圜如象官象事象物粒粒浮空有爛所以龜疇蓍防用九之妙無窮羲畫文重圍圜之圖不改草?翁之三數(shù)安樂窩之一丸先天后天此物此志云爾凡厥有形惟圜為大有形所受惟圜最多夫渾圜之體難明而平面之形易晰試取同周一形以相參考等邊之形必鉅于不等邊形多邊之形必鉅于少邊之形最多邊者圜也最等邊者亦圜也析之則分秒不億是知多邊聨之則圭角全無是知等邊不多邊等邊則必不成圜惟多邊等邊故圜容最鉅若論立圜渾成一面則夫至圜何有周邊周邊尚莫能窺容積奚復(fù)可量所以造物主之化成天地也令全覆全載則不得不從其圜而萬物之賦形天地也其成大成小亦莫不鑄形于圜即細(xì)物可推大物即物物可推不物之物天圜地圜自然必然何復(fù)疑乎第儒者不究其所以然而異學(xué)顧恣誕于必不然則有設(shè)兩小兒之爭以為車葢近而盤盂逺滄涼逺而探湯近者不知二曜附麗于乾元將旦午之近逺疇異氣行周繞于地域其厚薄以斜直殊觀初?暎氣故暉散影巨而炎旭應(yīng)防亭午籠虛則障薄光澄而曝射當(dāng)烈又有造四大洲之誑以為日月繞須彌為晝夜地形較縱廣于由旬者試問須彌何物凌日與月而虧天且縱廣奚稽乃狹與彎之變相積由旬至億千萬則地徑有度金輪豈厚載所容統(tǒng)忉利謂三十三則象緯正圜諸天之棊絫可怪且夫極辨者方圜之體若白黒一二之難欺最精者方圜之度當(dāng)防渺毫茫之必析沖虛撰模棱而侮圣釋氏騁荒忽以誣民彼曽不識圜形惡足與窺乾象夫寰穹邈矣豈排空馭氣可以縱觀乃道理躍如若指掌按圖無難坐得昔從利公研窮天體因論圜容拈出一義次為五界十八題借平面以推立圜設(shè)角形以征渾體探原循委辨解九連之環(huán)舉一該三光映萬川之月測圜者測此者也割圜者割此者也無當(dāng)于厯厯稽度數(shù)之容無當(dāng)于律律窮絫黍之容存是論也庸謂迂乎譯旬日而成編名曰圜容較義殺青殺竟被命守澶時戊申十一月也柱史畢公梓之京邸近反人汪孟樸氏因校算指重付剞劂以公同志匪徒廣略異聞實亦闡著實理其于表里祘術(shù)推演防何合而觀之抑亦解?詩之頤者也
圜容較義序
欽定四庫全書
圜容較義
明 李之藻 撰
萬形有全體目視惟一面即面可以推全體也面從界顯界從線結(jié)總曰邊線邊線之最少者為三邊形多者四邊五邊乃至千萬億邊不可數(shù)盡也三邊形等度者其容積固大于三邊形不等度者四邊以上亦然而四邊形容積恒大于三邊形多邊形容積恒大于少邊形恒以周線相等者驗之邊之多者莫如渾圜之體渾圜者多邊等邊試以周天度剖之則三百六十邉等也又剖度為分則二萬一千六百邊等也乃至秒忽毫厘不可勝算凡形愈多邊則愈大故造物者天也象天者圜也圜故無不容無不容所以為天試論其槩
凡兩形外周等則多邊形容積恒大于少邊形容積假如有甲乙丙三角形其邊最少就底線乙丙兩平分于丁作甲丁線其甲乙甲丙兩腰等丁乙丁丙又等甲丁丙角甲丁乙角皆等則甲丁線為乙丙之垂線【幾何原本一卷八】次作甲戊丙丁直角形而甲戊與丁丙平行戊丙與甲丁平行視前形增一角者【一卷四又三十六】既甲
丁丙甲丁乙兩形等而甲丙戊與甲丁乙亦等【一卷三十四】則甲丁丙戊方形與甲乙丙三角形自相等矣以周論之其甲戊戊丙丙丁甲丁四邊皆與乙丁相等甲丙邊為?其線稍長試引丙戊至已引丁甲至庚皆與甲丙甲丁線等而作庚丁己丙形與甲乙丙三角形同周則贏一甲庚己戊形故知四邊形與三邊形等周者四邊形容積必大于三邊形
凡同周四直角形其等邊者所容大于不等邊者假有直角形等邊者每邊六共二十四其中積三十六另有直角形不等邊者兩邊數(shù)十兩邊數(shù)二其周亦二十四與前形等周而其邊不等故中積只二十又設(shè)直角形其兩邊各九其兩邊各三亦與前形同周而中積二十七又設(shè)一形兩邊各八兩邊各四亦與前同周而中積三十二或設(shè)以兩邊為七以兩邊為五亦與前同周而中積三十五是知邊度漸相等則容積固漸多也
試作直角長方形令中積三十六
同前形之積然周得三十與前周
二十四者逈異令以此周作四邊等形則中積必大于前形
凡同周四角形其等邊等角者所容大于不等邊等角者設(shè)甲乙丙丁不等角形從丙丁各作垂線又設(shè)引甲乙至己作戊丙己丁四角相等形【一卷三十五】與不等角形同底原相等【一卷十九又三十四】甲乙亦同戊己而乙丁
及甲丙線則贏于己丁戊丙線是甲乙丙丁之周大于戊丙己丁之周試引丁己至辛與乙丁等引丙戊至庚與甲丙等而作庚丙辛丁形則多一庚戊辛己形因顯四等角形大于不等角形
以上四則見方形大于長形而多邊形更大于少邊形則圜形更大于多邊形此其大略若詳論之則另立五界說及諸形十八論于左
第一界等周形 謂兩形之周大小等
第二界有法形 謂不拘三邊四邊及多邊但邊邊相
等角角相等即為有法其欹邪不就
規(guī)矩者為無法形
第三界求各形心 但從心作圜或形內(nèi)切圜或形外切
圜皆相等者即系圜與形同心
第四界求形面 謂周線內(nèi)所容人目所見乃形之一
面
第五界求形體 如立方立圜三乘四乘諸形乃形之
全體
第一題
凡諸三角形從底線中分作垂線與頂齊高以中分線及高線作矩內(nèi)直角方形必與三角形所容等
解曰有甲乙丙三角形平分乙丙于丁于庚作垂線至甲至辛作甲丁己丙及辛庚己丙直角題言直角與三角形等
先論曰甲乙丙三角形平分乙丙于丁作甲丁線次從甲作戊己線與乙丙平行又作己丙戊乙二線成直角形此直角倍大于甲丁丙己形亦倍大于甲乙丙角形【一卷四十一】故甲乙丙三角形與甲丁丙己形等【一卷三十六】
次論曰作甲丁垂線而第二圖丁非甲乙之平分第三圖甲在方形之外皆從甲作戊己線引長之與乙丙平行成戊己丙乙方形及甲己丙丁方形而各以丙乙平分于庚作庚辛垂線視甲丁為平行亦相等【一卷三十四】其戊己丙乙倍大
于辛庚丙己亦即倍大于三角形何者以辛庚丙己長方形分三角形底線半故【一卷三十六】
第二題
凡有法六角等形自中心到其一邊之半徑線作直角形線其半徑線及以形之半周線舒作直線為矩內(nèi)直角長方形亦與有法形所容等
解曰有甲乙丙丁戊己有法形其心庚自庚至甲乙作直
角線為庚辛另作壬癸線與庚辛
等作癸子與甲乙丙丁線等即半
周線也題言壬癸子丑直角形與
甲乙丙丁戊己形之所容等
論曰自庚到各角皆作直線皆分
作三角形皆相等【一卷八】其甲乙庚
三角形與甲辛辛庚二線所作矩
內(nèi)直角形等【以甲辛分甲乙之半故本篇一題】若
以甲乙丙丁半形之周線為癸子
線以與壬癸線共作矩內(nèi)直角形
即與有法全形等葢此半邊三個
三角形照甲乙庚形作分中垂線
其矩線內(nèi)直角形俱倍本三角形
故
第三題
凡有法直線形與直角三邉形并設(shè)直角形傍二線一長一短其短線與有法形半徑線等其長線與有法形周線等則有法形與三邉形正等
解曰甲乙丙有法形其心丁從丁望甲乙作垂線又有丁戊己直角形其邊丁戊與法形丁戊有等其戊己線又與甲乙丙之周線等題言丁戊己三角之體與甲乙丙全形等
論曰試作丁戊己庚直角形兩平
分于壬辛作直線與丁戊平行則
丁戊辛壬直角形與甲乙丙形相
等【本篇二題】何者戊辛線得甲乙丙之
半周而又在丁戊矩內(nèi)即與有法
形全體等故也其丁戊己三角形
與丁戊壬辛直角形等則丁戊巳
三角形與甲乙丙全形亦等
第四題
凡圜取半徑線及半周線作矩內(nèi)直角形其體等
解曰有甲乙丙圜其半徑為丁乙
又有丁乙戊巳直角形兩丁乙等
之半圜線與戊乙等題言甲乙丙
所容與丁乙戊巳直角形所容等
論曰試以乙戊引長到庚令庚戊
與乙戊等則乙庚與圜周全等次
從丁望庚作直線既丁乙庚三角形之地與全圜地相等【在圜書一題】而丁乙戊巳又與丁乙庚三角形等【本篇四又一卷四十注】則丁乙戊巳自與全圜體等
第五題
凡直角三邊形任將一銳角于對邊作一直線分之其對邊線之全與近直角之分之比例大于全銳角與所分內(nèi)銳角之比例
解曰有甲乙丙直角三邊形丙為直角從甲銳角望所對丙乙邊任作甲丁線題言丙乙線與丙丁線之比例大于乙甲丙角與丁甲丙角之比例
論曰甲丁線大于甲丙而小于甲乙【一卷十九】若以甲為心以丁為界作半規(guī)必分甲己線于乙之內(nèi)而透甲戊線于丙之外其甲
乙丁三角形與甲己丁三角形之比例大于甲丁丙三角形與甲丁戊之比例何者一為甲乙丁大形與甲己丁小形比一為甲丁丙小形與甲丁戊大形比也則更之乙甲丁形與丁甲丙形之比例大于己甲丁形與丁甲戊形之比例【五卷二十七】合之則乙甲丙形與丁甲丙形即是乙丁線與丁丙線之比例【形之比例與底線之比例相等在六卷】固大于甲己戊形與甲丁戊形之比例其甲己戊圜分與甲丁戊圜分之比例原若己甲戊角與丁甲戊角之比例【六卷三十三系】則乙丙線與丁丙線之比例大于乙甲丙角與丁甲丙角之比例也
第六題
凡直線有法形數(shù)端但周相等者多邊形必大于少邊形
解曰設(shè)直線有法形二為甲乙丙為丁戊己其圜周等
而甲乙丙形之邊多于丁
戊己【不拘四邊六邊雖十邊與十一二邊皆同
此論】題言甲乙丙之體大于
丁戊己之體
論曰試于兩形外各作一圜而從心望一邊作庚壬作辛癸兩垂線平分乙丙于壬分戊己于癸【三卷三】其甲乙丙形多邊者與丁戊己形少邊者外周既等而以乙丙求周六而徧以戊己求周四而徧則乙丙邊固小于戊己邊而乙壬半線亦小于戊癸半邊矣茲截癸子與壬乙等而作辛子線又作辛戊辛己及庚丙庚乙諸線次第論之其己丁戊圜內(nèi)各切線等即勻分各邊俱等而全形邊所倍于戊己一邊數(shù)與全圜切分所倍于戊己切分地亦等則甲乙丙內(nèi)形全邊所倍于乙丙一邊與其全圜切分所倍于乙丙切分不俱等乎其戊己圜切分與戊丁己全圜之切分若戊辛己角之與全形四直角【六卷三十三題之系】則以平理推之移戊己邊于甲乙丙全邊亦若戊辛己角之于四直角也而甲乙丙內(nèi)形周與乙
丙一邊猶甲乙丙諸切圜與乙丙界之一切圜亦猶四直角之與庚乙丙角也【六卷三十三之二系】則又以平理推戊己與乙丙即戊癸與乙壬而乙壬即是癸子又以平理推而戊辛己角與乙庚丙角亦若戊辛癸之與乙庚壬也【五卷十五】夫戊癸與癸子之比例原大于戊辛癸角與子辛癸角之比例【本篇五】則戊辛癸與乙庚壬之比例大于癸辛戊與癸辛子之比例【五卷十三】而癸辛子角大于壬庚乙角【五卷十】其辛癸子與庚壬乙皆系直角而辛子癸角明小于庚乙壬角【一卷三十二】令移壬乙庚角于癸子上而作癸子丑角則其線必透癸辛到丑其庚壬乙三角形之壬與乙兩角等于丑癸子三角形之癸子兩角而乙壬邊亦等于子癸邊則丑癸線亦等于庚壬線而庚壬實贏于辛癸【一卷二十六】令取庚壬線及甲乙丙半周線作矩內(nèi)直角形必大于辛癸線及丁戊己半周線所作矩內(nèi)
直角形也【本篇二】然則多邉直線形之所容豈不大于等周少邊直線形之所容乎
第七題
有三角形其邉不等于一邊之上另作兩邊等三角形與先形等周
解曰有甲乙丙三角形其甲乙大于丙乙兩邊不等欲于甲丙上另作三角形與甲乙丙周等兩邊又等其法作丁戊線與甲乙乙丙合線等兩平分于己甲乙乙丙兩邊并既大于甲丙邊【一卷十】則丁己己戊兩邊并亦大于甲丙而丁己己戊甲丙可作三角形矣【一卷三十二】以作甲庚丙得所求葢庚甲庚丙自相等而甲丙同邊則二形之周等而甲
庚丙與甲乙丙為兩邊等之三角形【此庚防必在甲乙線外若在甲乙邉上過辛則辛丙線小于辛乙乙丙合線即不得同周】
第八題
有三角形二等周等底其一兩邊等其一兩邊不等其等邊所容必多于不等邉所容
解曰有甲乙丙形其甲乙邊大于乙
丙令于甲丙上更作甲丁丙三角形
與甲乙丙等周【本篇上】而丁甲丁丙兩
腰等亦與甲乙乙丙合線等題言甲丁丙角形大于甲乙丙
論曰試引甲丁至戊令丁戊與丁甲等亦與丁丙等又作丁乙乙戊線夫甲乙乙戊合線既大于甲戊即大于甲丁丁丙合線亦大于甲乙乙丙合線此兩率者令減一甲乙則乙戊大于乙丙而丁戊乙三角形之丁戊丁乙兩邊與丁丙乙三角形之丁丙丁乙兩邊等其乙戊底大于乙丙底則戊丁乙角大于丙丁乙角而戊丁乙角逾戊丁丙角之半【一卷三十二】令別作戊丁己角與丁甲丙角等則丁己線在丁乙之上而與甲丙平行【一卷廿八】又令引長丁己與甲乙相遇而作己丙線聨之其甲丁丙甲己丙既在兩平行之內(nèi)又同底是三角形相等也【六卷
一】因顯甲己丙大于甲乙丙而甲丁
丙兩邊等三角形必大于等周之甲
乙丙矣【問戊丁乙角何以逾戊丁丙角之半曰丁甲丙與丁丙甲】
【兩角等而戊丁丙為其外角凡外角必兼兩內(nèi)角故也】
第九題
相似直角三邊形并對直角之兩?線為一直線以作直角方形又以兩相當(dāng)之直線四并二直線各作直角方形其容等
解曰有甲乙丙及丁戊己三角形二相似其乙戊兩角為直角而甲與丁丙與己角各相等甲丙與丁己相當(dāng)甲乙與丁戊相當(dāng)題言并甲丙丁己為一直線于上作直角方形與并甲乙丁戊作直線及并乙丙戊己作直線各于其上作直角方形兩并
等
論曰引長丁戊至庚令戊庚與甲乙同度次從庚作線與戊己平行又引丁己長之令相遇于辛從己作己壬線與戊庚平行【一卷二十九】則巳壬辛之角形與丁戊巳相似而丁戊巳與甲乙丙相似矣【一卷三十二】何者巳壬辛角與庚角等庚角與丁戊巳角等己角又與乙角等而辛角與丁巳戊角及丙角俱等壬巳辛角與甲角亦等【一卷三十四】又巳壬邊與戊庚相等則亦與甲乙相等而壬辛與乙丙巳辛與甲丙俱相等【一卷二十六】故丁辛線兼丁巳甲丙之度丁庚線兼丁戊甲乙之度而庚辛亦兼戊巳乙丙之度庚壬即戊巳也【一卷三十四】然則丁辛上直角方形與丁庚及庚
辛上兩直角方形并自相等矣
第十題
有三角形二其底不等而腰等求于兩底上另作相似三角形二而等周其兩腰各自相等
解曰甲乙丙丁不等兩底上有甲戊乙及丙己丁三角形二其戊甲戊乙腰與巳丙巳丁腰俱相等若甲乙大于丙丁者則戊角大于己角【一卷二十五】而兩三角形不相似求于兩底上各作三角形相似而兩腰各相等其周亦等
法曰作庚辛線與甲戊戊乙丙己己丁四
線等而分之于壬令庚壬與壬辛之比例若甲乙與丙丁【六卷十】甲乙既大于丙丁則庚壬亦大于壬辛而平分庚壬于癸平分壬辛于子庚壬與壬辛既若甲乙與丙丁則合之而庚辛之視壬辛若甲乙丙丁并之視丙丁矣【五卷一】夫庚辛并既大于甲乙丙丁并【兩邊必大于一邊在一卷二十】則壬辛大于丙丁而庚壬大于甲乙也【五卷十四】甲乙庚癸癸壬三線每二線必大于一線而丙丁壬子子辛亦然令于甲乙上用庚癸癸壬線作甲丑乙三角形為兩腰等而其周在甲戊乙形之外【以戊】
【甲戊乙得庚辛之半而庚壬之度過之故】于丙丁上用壬子子辛線作丙寅丁三角形亦兩腰等而其周在丙己丁之內(nèi)【己丙己丁亦得庚壬之半而壬辛之度不及故俱一卷二十二】
論曰并甲戊戊乙丙己己丁四線之度既與并甲丑丑乙丙己己丁四線之度相等則甲丑乙丙寅丁兩形自與甲戊乙丙己丁兩形同周而其兩腰亦自相同至于兩形相似何也甲乙與丙丁若庚壬與壬辛而減半之庚壬與壬子【五卷十五】又若丑甲與寅丙丑乙與寅丁也則更之而甲乙與甲丑若丙丁與丙寅而甲丑與丑乙若丙寅與寅丁是兩形為同邊之比例自相似【六卷五】第十一題
有大小兩底令作相似平腰三角形相并其所容必大于不相似之兩三角形相并其底同其周同又四腰俱同而不相似形并必小于相似形并
解曰甲丙丙戊兩底上設(shè)有甲乙丙及丙丁戊兩三角形而甲乙乙丙丙丁丁戊四線俱等令于兩底上依前
題別作甲己丙及丙庚戊兩形相
似而與前兩三角形相并者等周
題言甲己丙丙庚戊并大于甲乙
丙丙丁戊并
論曰將甲丙丙戊作一直線而甲
丙底大于丙戊底乃從已過乙作
己壬線兩分甲丙于壬又從丁過庚作丁辛線兩分丙戊于辛其甲己乙三角形之甲己己乙兩邊與乙己丙三角形之己丙己乙兩邊等而甲乙乙丙兩底又等則甲己乙角與丙己乙角亦等【一卷八】又甲巳壬三角形之甲巳巳壬兩邊與丙巳壬三角形之丙巳巳壬兩邊等則甲巳壬角與丙巳壬角等而甲壬壬丙之兩底亦等【一卷四】壬之左右皆直角因顯丙辛辛戊亦等而辛之左右角亦直角矣次引丁辛至癸令辛癸與丁辛同度而從癸過丙作癸丑直線則丁丙辛三角形之丁辛辛丙兩邊與辛癸丙三角形之辛癸辛丙兩邊等而辛之上下角亦等為直角丁丙丙癸兩底等而丁丙辛角與癸丙辛角俱等【一卷四】丁丙辛角既大于庚丙辛角而庚丙辛角相似與巳丙壬角即相等【一卷五】而丁丙辛即癸丙辛總大于巳丙壬其癸丙辛角等于對角之丑丙壬【一卷十五】是丑丙壬亦大于巳丙壬而引癸丑線當(dāng)在于丙巳之外也若夫癸丙丙乙二線涵癸丙乙角向壬試作癸乙線以分壬丙于子而并乙丙丙癸二線必大于癸乙線【一卷二十】則巳丙丙庚并亦大于乙癸線何也此四形者兩
兩相并為等周則甲乙乙丙丙丁
丁戊四線并與甲巳巳丙丙庚庚
戊四線并原相等而減半之乙丙
丙丁即乙丙丙癸與巳丙丙庚亦
相等故也并巳丙丙庚二線為一
直線就其上作直角方形必大于
乙癸線上之直角方形夫己丙丙庚并之直角方形與己壬庚辛并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并相等【九題】而癸乙上之直角方形與乙壬并辛丁【即辛癸】上直角方形及壬子子辛上直角方形并又自相等【九題從子上分兩對角其角等而壬與辛俱為直角相似之形令移置辛癸與乙壬之下移置壬辛為癸垂線則乙壬辛癸為股壬辛為句乙癸為?矣】此己壬庚辛線并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并明大于乙壬丁辛并之直角方形及壬子子辛上之直角方形并也此兩率者每減一壬辛上直角方形則巳壬庚辛共線上之直角方形大于乙壬丁辛共線上直角方形矣而己壬庚辛兩線
并大于乙壬丁辛兩線并矣此兩率
者令一減乙壬一減庚辛則己乙豈
不大于丁庚乎壬丙原大于丙辛【以甲
丙原大于丙戊故】則己乙與壬丙矩內(nèi)直角
形大于丁庚與辛丙矩內(nèi)直角形而
乙己丙三角形為己乙壬丙矩內(nèi)直角形之半何者令從壬丙作垂線與乙己平行而以乙己為底就作直角形此謂己乙壬丙矩內(nèi)直角形其中積倍于己乙丙三角形反之則己乙丙角形為己乙壬丙矩形之半其丁庚丙三角形亦然乃丁庚及辛丙矩內(nèi)直角形之半也則己乙丙三角形大于丁庚丙三角形而甲己丙乙甲形為丙乙己三角之倍者亦大于丙庚戊丙形為丁庚丙三角之倍者矣此兩率者又每加甲乙丙與丙庚戊之三角形則甲己丙及丙庚戊之兩三角形并豈不大于甲乙丙及丙丁戊之兩三角形并哉
第十二題
同周形其邊數(shù)相等而等角等邊者大于不等角等邊者
先解曰有甲乙丙丁戊己多邊形與他形同周同角者較必邊邊相等乃為最大之形
論曰若謂不然先設(shè)甲乙乙丙不等邊如第一圖又作甲丙線于上作等邊三角為甲庚丙形與甲乙丙等周【本篇七】則甲庚丙丁戊己形亦與甲乙丙丁戊己形等周而甲庚丙三角形必大于甲乙丙三角形【本篇八】令每加丙丁戊己角形則甲庚丙丁戊己形亦大于甲乙丙丁戊己形故知不等邊者不為最大其他如丙丁邊之類或不等者亦如此推
次解曰又設(shè)甲乙丙丁戊己等邊形與他形同周同邊者較必角角相等乃為最大之形
論曰依上論各邊俱等則甲乙丙丙丁戊為等邊三角形【邊角俱等】而甲乙乙丙與丙丁丁戊相等若謂不然而乙角可大于丁角則甲丙線必大于丙戊線【一卷二十四】試于甲丙丙戊兩底上別作三角形為甲庚丙為丙辛戊如第十題相似形令與甲乙丙丙丁戊并者等周則甲庚丙并丙辛戊者大于甲乙丙并丙丁戊【本篇十一】而每加丙戊己角形則甲庚丙辛戊己必大于甲乙丙丁戊己也何得以等周等邊而不等角者為最大乎
第十三題
凡同周形惟圜形者大于眾直線形有法者
解曰有甲乙丙圜形又有丁戊己多邊有法形其周等
題言甲乙丙大于丁戊己
論曰庚為甲乙丙之心辛為丁戊己之心甲乙丙外另作壬乙丙癸多邊形與丁戊己相似【四卷十六注】而從壬癸切圜于甲者作半徑線于庚則庚甲為壬癸垂線而分壬癸之半【三卷十八】又從辛作子丑垂線則辛丁亦分子丑之半【三卷三設(shè)于兩多邊形外作切形圜而以壬癸子丑為切圜線向心作垂線則垂線必分切線之中央故説在四卷十二】兩形相似其壬全角與子全角等則半之而甲壬庚角與丁子辛角亦等壬甲庚直角與子丁辛直角亦等【一卷三十二】然乙壬癸丙之周大于圜周而圜周與丁戊己形相同則是乙壬癸丙
周原大于丁戊己周矣夫兩形相似而壬癸邊大于子丑邊則半之而壬甲亦大于子丁又壬甲與甲庚若子丁與丁辛之比例【六卷四】而壬甲大于子丁則甲庚亦大于丁辛【五卷十四】是故取甲庚線與半圜周線以作矩內(nèi)直角形其與圜地等也大于取丁辛線與丁戊己半周線以作矩內(nèi)直角形其與形地等也【本篇四】系曰推此見圜形大于各等周直線形【第五題證有法形同周者多邉為大又十二題證等周及邊數(shù)之等者有法為大又本題證等周之有法形惟圜為大則圜為凡形等周者之最大】
第十四題
銳觚全形所容與銳頂至邊垂線及三分底之一矩內(nèi)直角立形等
解曰有觚形不拘幾面如甲乙丙丁戊底其頂己又有寅庚直角立方形者其底庚辛壬癸得甲乙丙丁戊底三之一其髙庚子與觚等髙題言此寅庚形與觚形所容等
論曰從立形底諸角與相對一角如子角者皆作線以成庚辛壬癸子觚形此
形與寅庚形同底同髙又同己甲鋭觚之髙既己甲形兼庚辛壬癸子觚之三【十二卷六注言兩觚形同髙者其所容之比例如其底底等亦等底倍亦倍】寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三【以同防同髙故在十二卷七系】則寅庚全方與己甲觚等
第十五題
平面不拘幾邊其全體可容渾圜切形者設(shè)直角立形其底得本形三之一其髙得圜半徑即相等【可容渾圜?形者必圜形與諸面相切若長廣不切諸面者不在此論】
解曰有甲乙丙丁形內(nèi)含戊己庚辛圜其心壬而外線甲乙切圜于戊【十一卷三題】試從戊壬割圜之半作戊己庚辛圜【圜形書一卷一題】從壬心望各切圜之防作壬戊為甲乙垂線【三卷十八】壬己為乙丙垂線壬庚為丙丁垂線壬辛為甲丁垂線別一直角立方形午子其底子丑寅癸得甲乙丙丁體三之一而其髙辰子與圜半徑等題言此直角立方形與甲乙丙丁全體等
論曰從壬心與甲乙丙丁各角作直線即分其體為數(shù)觚形其面即為觚底而皆以壬心為觚銳頂此各觚皆以其三分底之一及至銳髙之?dāng)?shù)為直角立方形皆與觚所容等【本篇十四】又并為一形即與甲乙丙丁體等亦與午子等以午子底正得甲乙全形三之一而其髙合圜半徑也
第十六題
圜半徑及圜面三之一作直角立方形以較圜之所容等解曰有甲乙丙渾圜其心為丁又有直角立形之戊在甲丁徑及甲乙丁渾圜三之一矩內(nèi)題言戊形所容與甲乙丙渾圜等
論曰若言不等謂戊大于渾圜形其較有己者合以丁為心外作庚辛壬渾圜大于甲乙丙而勿令大于戊第令或等或小以驗之而于庚辛壬內(nèi)試作有法形勿切甲乙丙圜【十二卷十七】自丁心至形邊各作垂線則垂線必長于甲丁又自丁心至形各角作直線以分此形為幾觚其庚辛壬法形諸直線為觚底而垂
線至丁心為觚銳頂試取各觚底三之一及丁垂線之髙以作直角立形與觚等【本篇十四】則并為大直角立形亦與庚辛壬內(nèi)之法形等【本篇十五】如云以甲丁為髙而以各觚底三之一為直角立形并為大形則必小于前形因顯庚辛壬三之一大于甲乙丙三之一而戊形甲丁徑及甲乙丙圜三之一內(nèi)小于庚辛壬體而謂庚辛壬不大于戊形則向庚辛壬之內(nèi)形尚大于戊形也又論曰戊形小于甲乙丙渾圜體者其較為己試從丁心再作癸子丑圜小于甲乙丙而勿令小于戊或大或等者以驗之于甲乙丙圜內(nèi)作有法形不令切癸子丑【十二卷十七】而從丁至甲乙丙各面為垂線此垂線大于丁癸之半徑又從丁向法形諸角作直線以分此形為數(shù)觚以形之各面為觚底丁心為觚銳頂而取觚底三之一及底至丁之垂線以作直角立形與觚等若使以甲丁為髙而以各觚三之一為底以作直角立形則其形必髙于前形既甲乙丙圜之面大于其內(nèi)形之面則圜面三之一大于內(nèi)形面三之一而直角立方形在甲丁髙及甲乙丁面三之一固即戊體矣愈大于甲乙丁之內(nèi)形矣而云癸子丑圜或等或大于戊豈癸子丑圜大于甲乙丙圜而分大于全與則戊體不小于甲乙丙矣從后論不可為小從前論不可為大故曰等也
第十七題
圜形與平面他形之容圜者其周同其容積圜為大
解曰有甲圜其心甲其半徑甲乙
又丙形與甲等周其周內(nèi)可作諸
切邊圜形而從心至邊為丙丁題
言甲圜大于丙形
論曰甲圜外試作與丙相似形【十二卷】而從甲心至各邊切處作半徑垂線皆等【本篇十五有解】其一為甲乙甲圜外形大于甲圜其周面亦大于丙面而甲乙垂線亦大于丁丙垂線以甲半徑為髙乃以三分圜體之一作直角立方形即與甲圜形等【本篇十六】以丙丁線為髙而以三分丙形之一作直角立方形亦與丙形等而甲之立方固大于丙之立方【本篇十五】則甲圜與丙形雖同周而甲圜所容為大矣
第十八題
凡渾圜形與圜外圜角形等周者渾圜形必大于圜角形
解曰有甲乙丙丁圜外作戊己庚辛等法形率以四數(shù)
相偶若八面十二面十六面二十面
及二十四二十八之類等邊等角近
于圜形者又作戊壬過心線為樞以
轉(zhuǎn)甲乙丙圜及戊己庚辛法形使平
面旋為立圜之體則其形為圜外圜
角之形而角與邊周遭皆等【圜書一卷廿二
廿七】又有渾圜形寅與圜角形等周題
言寅圜大于圜角形
論曰圜角外形既大于內(nèi)之甲乙丙圜形則寅圜亦大于甲乙丙圜寅圜之半徑亦大于甲乙丙圜之半徑也夫渾圜中剖是為過心最大之圜此過心大圜之面恒得渾體四分之一【圜書一卷三十一題】令倍寅徑以作卯辰徑其圜面四倍大于寅之圜面【此專以圜而相較也卯辰徑既倍寅徑則卯辰圜□四倍于寅圜以圜與圜為徑與徑再加之比例故也在六卷附一增題】則卯辰圜與寅渾圜等【此卯辰圜為欲見角故畫作扁圜實正圜也】次作未申圜與卯辰等作未面申圜角形而取寅半徑為酉戌之髙又于卯辰上亦作卯巳辰圜角形而取甲乙丙圜半徑為己午之髙兩圜體等而未酉申圜角形髙于卯巳辰圜角形則亦大于卯巳辰圜角形【圜角形同底之比例若其髙之比例在十二卷十四題】夫割寅
渾圜之中半以為底【即過心大圜也】而以其
半徑之髙為圜角形恒得寅渾圜四
分之一【此旋?所成尖頂半圜形非只論其一面也在圜書一卷
三十二】則是一寅圜恒兼四圜角之形
而未申圜原四倍大于寅圜則未酉
申圜角形固與寅之渾圜形等矣【圜角
形同髙之比例若其防之比例故也在十二卷十一題】其卯巳
辰圜角形底原等戊己庚形之面【戊己庚之面與寅圜之面等故】而巳午之髙亦等于甲圜半徑即戊己庚辛角形自與卯巳辰圜角形等【圜書一卷二十九題論凡圜外有圜角形如甲乙丙外有戊己庚形者以圜體過心大圜為底而以圜半徑為髙旋作圜角形即與圜外諸圜角等】卯巳辰圜角形既小于未酉申圜角形而戊己庚辛壬癸子丑形寧大于同周之寅乎
圜容較義
圜容較義 天文算法類一【推步之屬】提要
【臣】等謹(jǐn)案圜容較義一卷明李之藻撰亦利瑪竇之所授也前有萬厯甲寅之藻自序稱凡厥有形惟圜為大有形所受惟圜至多渾圜之體難名而平面之形易析試取同周一形以相叅考等邊之形必距于不等邊形多邊之形必距于少邊之形最多邊者圜也最等邊者亦圜也析之則分杪不億是知多邊聨之則圭角全無是知等邊不多邊等邊則必不成圓惟多邊等邊故圜容最鉅昔從邢公研窮天體因論圜容拈出一義次為五界十八題借平面以推立圜設(shè)角形以徴渾體云云蓋形有全體視為一面從其一面例其全體故曰借平面以測立圜面必有界界為線為邊兩線相支必有角析圜形則各為角合角形則共成圜故曰設(shè)角以徴渾體其書雖明圜容之義而各面各體比例之義胥于是見且次第相生于周髀圓出于方方出于矩之義亦多足發(fā)明焉乾隆四十六年十二月恭校上
總纂官【臣】紀(jì)昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅
總 ?！」佟境肌筷憽≠M 墀
圜容較義序
自造物主以大圜天包小圜地而萬形萬象錯落其中親上親下肖呈圜體大則日躔月離軌度所以循環(huán)細(xì)則防雪花潤澤旉于涓滴人文則有旋中規(guī)而坐抱鼓況顱骨目瞳耳竅之渾成物宜則有谷孕實而核含仁暨鳶翔魚泳虵蟠之咸若胎生卵育混沌合其最初葩發(fā)苞藏團(tuán)欒于焉保合俯視漚浮水面仰觀暈合天心?風(fēng)滃乎蘋端湛露擎于荷葢砂傾活永任分合以成顆鮫泣明珠撒柈桿而競走無情者飛蓬轉(zhuǎn)石斡運總屬天機(jī)有情若鼄網(wǎng)蟲窠經(jīng)營自憑意匠若乃靈心濬發(fā)尤多規(guī)運成能壁水明堂居中而宣政敎六花八陣周衞而運正奇樂部在懸簫鼓共圜鐘迭奏軺車欲駕輪轅貫樞軸其旋戲塲有蹴鞠彈棊雅事對莆團(tuán)蓮漏忽然一啑成如珠如霧之談奇謾説恒沙滿三千大千之國土至于火炎鋭上試逺矚而一防圓光水積紆回指寥天而兩縫規(guī)合葢天籟地籟人籟聲聲觸竅皆圜如象官象事象物粒粒浮空有爛所以龜疇蓍防用九之妙無窮羲畫文重圍圜之圖不改草?翁之三數(shù)安樂窩之一丸先天后天此物此志云爾凡厥有形惟圜為大有形所受惟圜最多夫渾圜之體難明而平面之形易晰試取同周一形以相參考等邊之形必鉅于不等邊形多邊之形必鉅于少邊之形最多邊者圜也最等邊者亦圜也析之則分秒不億是知多邊聨之則圭角全無是知等邊不多邊等邊則必不成圜惟多邊等邊故圜容最鉅若論立圜渾成一面則夫至圜何有周邊周邊尚莫能窺容積奚復(fù)可量所以造物主之化成天地也令全覆全載則不得不從其圜而萬物之賦形天地也其成大成小亦莫不鑄形于圜即細(xì)物可推大物即物物可推不物之物天圜地圜自然必然何復(fù)疑乎第儒者不究其所以然而異學(xué)顧恣誕于必不然則有設(shè)兩小兒之爭以為車葢近而盤盂逺滄涼逺而探湯近者不知二曜附麗于乾元將旦午之近逺疇異氣行周繞于地域其厚薄以斜直殊觀初?暎氣故暉散影巨而炎旭應(yīng)防亭午籠虛則障薄光澄而曝射當(dāng)烈又有造四大洲之誑以為日月繞須彌為晝夜地形較縱廣于由旬者試問須彌何物凌日與月而虧天且縱廣奚稽乃狹與彎之變相積由旬至億千萬則地徑有度金輪豈厚載所容統(tǒng)忉利謂三十三則象緯正圜諸天之棊絫可怪且夫極辨者方圜之體若白黒一二之難欺最精者方圜之度當(dāng)防渺毫茫之必析沖虛撰模棱而侮圣釋氏騁荒忽以誣民彼曽不識圜形惡足與窺乾象夫寰穹邈矣豈排空馭氣可以縱觀乃道理躍如若指掌按圖無難坐得昔從利公研窮天體因論圜容拈出一義次為五界十八題借平面以推立圜設(shè)角形以征渾體探原循委辨解九連之環(huán)舉一該三光映萬川之月測圜者測此者也割圜者割此者也無當(dāng)于厯厯稽度數(shù)之容無當(dāng)于律律窮絫黍之容存是論也庸謂迂乎譯旬日而成編名曰圜容較義殺青殺竟被命守澶時戊申十一月也柱史畢公梓之京邸近反人汪孟樸氏因校算指重付剞劂以公同志匪徒廣略異聞實亦闡著實理其于表里祘術(shù)推演防何合而觀之抑亦解?詩之頤者也
圜容較義序
欽定四庫全書
圜容較義
明 李之藻 撰
萬形有全體目視惟一面即面可以推全體也面從界顯界從線結(jié)總曰邊線邊線之最少者為三邊形多者四邊五邊乃至千萬億邊不可數(shù)盡也三邊形等度者其容積固大于三邊形不等度者四邊以上亦然而四邊形容積恒大于三邊形多邊形容積恒大于少邊形恒以周線相等者驗之邊之多者莫如渾圜之體渾圜者多邊等邊試以周天度剖之則三百六十邉等也又剖度為分則二萬一千六百邊等也乃至秒忽毫厘不可勝算凡形愈多邊則愈大故造物者天也象天者圜也圜故無不容無不容所以為天試論其槩
凡兩形外周等則多邊形容積恒大于少邊形容積假如有甲乙丙三角形其邊最少就底線乙丙兩平分于丁作甲丁線其甲乙甲丙兩腰等丁乙丁丙又等甲丁丙角甲丁乙角皆等則甲丁線為乙丙之垂線【幾何原本一卷八】次作甲戊丙丁直角形而甲戊與丁丙平行戊丙與甲丁平行視前形增一角者【一卷四又三十六】既甲
丁丙甲丁乙兩形等而甲丙戊與甲丁乙亦等【一卷三十四】則甲丁丙戊方形與甲乙丙三角形自相等矣以周論之其甲戊戊丙丙丁甲丁四邊皆與乙丁相等甲丙邊為?其線稍長試引丙戊至已引丁甲至庚皆與甲丙甲丁線等而作庚丁己丙形與甲乙丙三角形同周則贏一甲庚己戊形故知四邊形與三邊形等周者四邊形容積必大于三邊形
凡同周四直角形其等邊者所容大于不等邊者假有直角形等邊者每邊六共二十四其中積三十六另有直角形不等邊者兩邊數(shù)十兩邊數(shù)二其周亦二十四與前形等周而其邊不等故中積只二十又設(shè)直角形其兩邊各九其兩邊各三亦與前形同周而中積二十七又設(shè)一形兩邊各八兩邊各四亦與前同周而中積三十二或設(shè)以兩邊為七以兩邊為五亦與前同周而中積三十五是知邊度漸相等則容積固漸多也
試作直角長方形令中積三十六
同前形之積然周得三十與前周
二十四者逈異令以此周作四邊等形則中積必大于前形
凡同周四角形其等邊等角者所容大于不等邊等角者設(shè)甲乙丙丁不等角形從丙丁各作垂線又設(shè)引甲乙至己作戊丙己丁四角相等形【一卷三十五】與不等角形同底原相等【一卷十九又三十四】甲乙亦同戊己而乙丁
及甲丙線則贏于己丁戊丙線是甲乙丙丁之周大于戊丙己丁之周試引丁己至辛與乙丁等引丙戊至庚與甲丙等而作庚丙辛丁形則多一庚戊辛己形因顯四等角形大于不等角形
以上四則見方形大于長形而多邊形更大于少邊形則圜形更大于多邊形此其大略若詳論之則另立五界說及諸形十八論于左
第一界等周形 謂兩形之周大小等
第二界有法形 謂不拘三邊四邊及多邊但邊邊相
等角角相等即為有法其欹邪不就
規(guī)矩者為無法形
第三界求各形心 但從心作圜或形內(nèi)切圜或形外切
圜皆相等者即系圜與形同心
第四界求形面 謂周線內(nèi)所容人目所見乃形之一
面
第五界求形體 如立方立圜三乘四乘諸形乃形之
全體
第一題
凡諸三角形從底線中分作垂線與頂齊高以中分線及高線作矩內(nèi)直角方形必與三角形所容等
解曰有甲乙丙三角形平分乙丙于丁于庚作垂線至甲至辛作甲丁己丙及辛庚己丙直角題言直角與三角形等
先論曰甲乙丙三角形平分乙丙于丁作甲丁線次從甲作戊己線與乙丙平行又作己丙戊乙二線成直角形此直角倍大于甲丁丙己形亦倍大于甲乙丙角形【一卷四十一】故甲乙丙三角形與甲丁丙己形等【一卷三十六】
次論曰作甲丁垂線而第二圖丁非甲乙之平分第三圖甲在方形之外皆從甲作戊己線引長之與乙丙平行成戊己丙乙方形及甲己丙丁方形而各以丙乙平分于庚作庚辛垂線視甲丁為平行亦相等【一卷三十四】其戊己丙乙倍大
于辛庚丙己亦即倍大于三角形何者以辛庚丙己長方形分三角形底線半故【一卷三十六】
第二題
凡有法六角等形自中心到其一邊之半徑線作直角形線其半徑線及以形之半周線舒作直線為矩內(nèi)直角長方形亦與有法形所容等
解曰有甲乙丙丁戊己有法形其心庚自庚至甲乙作直
角線為庚辛另作壬癸線與庚辛
等作癸子與甲乙丙丁線等即半
周線也題言壬癸子丑直角形與
甲乙丙丁戊己形之所容等
論曰自庚到各角皆作直線皆分
作三角形皆相等【一卷八】其甲乙庚
三角形與甲辛辛庚二線所作矩
內(nèi)直角形等【以甲辛分甲乙之半故本篇一題】若
以甲乙丙丁半形之周線為癸子
線以與壬癸線共作矩內(nèi)直角形
即與有法全形等葢此半邊三個
三角形照甲乙庚形作分中垂線
其矩線內(nèi)直角形俱倍本三角形
故
第三題
凡有法直線形與直角三邉形并設(shè)直角形傍二線一長一短其短線與有法形半徑線等其長線與有法形周線等則有法形與三邉形正等
解曰甲乙丙有法形其心丁從丁望甲乙作垂線又有丁戊己直角形其邊丁戊與法形丁戊有等其戊己線又與甲乙丙之周線等題言丁戊己三角之體與甲乙丙全形等
論曰試作丁戊己庚直角形兩平
分于壬辛作直線與丁戊平行則
丁戊辛壬直角形與甲乙丙形相
等【本篇二題】何者戊辛線得甲乙丙之
半周而又在丁戊矩內(nèi)即與有法
形全體等故也其丁戊己三角形
與丁戊壬辛直角形等則丁戊巳
三角形與甲乙丙全形亦等
第四題
凡圜取半徑線及半周線作矩內(nèi)直角形其體等
解曰有甲乙丙圜其半徑為丁乙
又有丁乙戊巳直角形兩丁乙等
之半圜線與戊乙等題言甲乙丙
所容與丁乙戊巳直角形所容等
論曰試以乙戊引長到庚令庚戊
與乙戊等則乙庚與圜周全等次
從丁望庚作直線既丁乙庚三角形之地與全圜地相等【在圜書一題】而丁乙戊巳又與丁乙庚三角形等【本篇四又一卷四十注】則丁乙戊巳自與全圜體等
第五題
凡直角三邊形任將一銳角于對邊作一直線分之其對邊線之全與近直角之分之比例大于全銳角與所分內(nèi)銳角之比例
解曰有甲乙丙直角三邊形丙為直角從甲銳角望所對丙乙邊任作甲丁線題言丙乙線與丙丁線之比例大于乙甲丙角與丁甲丙角之比例
論曰甲丁線大于甲丙而小于甲乙【一卷十九】若以甲為心以丁為界作半規(guī)必分甲己線于乙之內(nèi)而透甲戊線于丙之外其甲
乙丁三角形與甲己丁三角形之比例大于甲丁丙三角形與甲丁戊之比例何者一為甲乙丁大形與甲己丁小形比一為甲丁丙小形與甲丁戊大形比也則更之乙甲丁形與丁甲丙形之比例大于己甲丁形與丁甲戊形之比例【五卷二十七】合之則乙甲丙形與丁甲丙形即是乙丁線與丁丙線之比例【形之比例與底線之比例相等在六卷】固大于甲己戊形與甲丁戊形之比例其甲己戊圜分與甲丁戊圜分之比例原若己甲戊角與丁甲戊角之比例【六卷三十三系】則乙丙線與丁丙線之比例大于乙甲丙角與丁甲丙角之比例也
第六題
凡直線有法形數(shù)端但周相等者多邊形必大于少邊形
解曰設(shè)直線有法形二為甲乙丙為丁戊己其圜周等
而甲乙丙形之邊多于丁
戊己【不拘四邊六邊雖十邊與十一二邊皆同
此論】題言甲乙丙之體大于
丁戊己之體
論曰試于兩形外各作一圜而從心望一邊作庚壬作辛癸兩垂線平分乙丙于壬分戊己于癸【三卷三】其甲乙丙形多邊者與丁戊己形少邊者外周既等而以乙丙求周六而徧以戊己求周四而徧則乙丙邊固小于戊己邊而乙壬半線亦小于戊癸半邊矣茲截癸子與壬乙等而作辛子線又作辛戊辛己及庚丙庚乙諸線次第論之其己丁戊圜內(nèi)各切線等即勻分各邊俱等而全形邊所倍于戊己一邊數(shù)與全圜切分所倍于戊己切分地亦等則甲乙丙內(nèi)形全邊所倍于乙丙一邊與其全圜切分所倍于乙丙切分不俱等乎其戊己圜切分與戊丁己全圜之切分若戊辛己角之與全形四直角【六卷三十三題之系】則以平理推之移戊己邊于甲乙丙全邊亦若戊辛己角之于四直角也而甲乙丙內(nèi)形周與乙
丙一邊猶甲乙丙諸切圜與乙丙界之一切圜亦猶四直角之與庚乙丙角也【六卷三十三之二系】則又以平理推戊己與乙丙即戊癸與乙壬而乙壬即是癸子又以平理推而戊辛己角與乙庚丙角亦若戊辛癸之與乙庚壬也【五卷十五】夫戊癸與癸子之比例原大于戊辛癸角與子辛癸角之比例【本篇五】則戊辛癸與乙庚壬之比例大于癸辛戊與癸辛子之比例【五卷十三】而癸辛子角大于壬庚乙角【五卷十】其辛癸子與庚壬乙皆系直角而辛子癸角明小于庚乙壬角【一卷三十二】令移壬乙庚角于癸子上而作癸子丑角則其線必透癸辛到丑其庚壬乙三角形之壬與乙兩角等于丑癸子三角形之癸子兩角而乙壬邊亦等于子癸邊則丑癸線亦等于庚壬線而庚壬實贏于辛癸【一卷二十六】令取庚壬線及甲乙丙半周線作矩內(nèi)直角形必大于辛癸線及丁戊己半周線所作矩內(nèi)
直角形也【本篇二】然則多邉直線形之所容豈不大于等周少邊直線形之所容乎
第七題
有三角形其邉不等于一邊之上另作兩邊等三角形與先形等周
解曰有甲乙丙三角形其甲乙大于丙乙兩邊不等欲于甲丙上另作三角形與甲乙丙周等兩邊又等其法作丁戊線與甲乙乙丙合線等兩平分于己甲乙乙丙兩邊并既大于甲丙邊【一卷十】則丁己己戊兩邊并亦大于甲丙而丁己己戊甲丙可作三角形矣【一卷三十二】以作甲庚丙得所求葢庚甲庚丙自相等而甲丙同邊則二形之周等而甲
庚丙與甲乙丙為兩邊等之三角形【此庚防必在甲乙線外若在甲乙邉上過辛則辛丙線小于辛乙乙丙合線即不得同周】
第八題
有三角形二等周等底其一兩邊等其一兩邊不等其等邊所容必多于不等邉所容
解曰有甲乙丙形其甲乙邊大于乙
丙令于甲丙上更作甲丁丙三角形
與甲乙丙等周【本篇上】而丁甲丁丙兩
腰等亦與甲乙乙丙合線等題言甲丁丙角形大于甲乙丙
論曰試引甲丁至戊令丁戊與丁甲等亦與丁丙等又作丁乙乙戊線夫甲乙乙戊合線既大于甲戊即大于甲丁丁丙合線亦大于甲乙乙丙合線此兩率者令減一甲乙則乙戊大于乙丙而丁戊乙三角形之丁戊丁乙兩邊與丁丙乙三角形之丁丙丁乙兩邊等其乙戊底大于乙丙底則戊丁乙角大于丙丁乙角而戊丁乙角逾戊丁丙角之半【一卷三十二】令別作戊丁己角與丁甲丙角等則丁己線在丁乙之上而與甲丙平行【一卷廿八】又令引長丁己與甲乙相遇而作己丙線聨之其甲丁丙甲己丙既在兩平行之內(nèi)又同底是三角形相等也【六卷
一】因顯甲己丙大于甲乙丙而甲丁
丙兩邊等三角形必大于等周之甲
乙丙矣【問戊丁乙角何以逾戊丁丙角之半曰丁甲丙與丁丙甲】
【兩角等而戊丁丙為其外角凡外角必兼兩內(nèi)角故也】
第九題
相似直角三邊形并對直角之兩?線為一直線以作直角方形又以兩相當(dāng)之直線四并二直線各作直角方形其容等
解曰有甲乙丙及丁戊己三角形二相似其乙戊兩角為直角而甲與丁丙與己角各相等甲丙與丁己相當(dāng)甲乙與丁戊相當(dāng)題言并甲丙丁己為一直線于上作直角方形與并甲乙丁戊作直線及并乙丙戊己作直線各于其上作直角方形兩并
等
論曰引長丁戊至庚令戊庚與甲乙同度次從庚作線與戊己平行又引丁己長之令相遇于辛從己作己壬線與戊庚平行【一卷二十九】則巳壬辛之角形與丁戊巳相似而丁戊巳與甲乙丙相似矣【一卷三十二】何者巳壬辛角與庚角等庚角與丁戊巳角等己角又與乙角等而辛角與丁巳戊角及丙角俱等壬巳辛角與甲角亦等【一卷三十四】又巳壬邊與戊庚相等則亦與甲乙相等而壬辛與乙丙巳辛與甲丙俱相等【一卷二十六】故丁辛線兼丁巳甲丙之度丁庚線兼丁戊甲乙之度而庚辛亦兼戊巳乙丙之度庚壬即戊巳也【一卷三十四】然則丁辛上直角方形與丁庚及庚
辛上兩直角方形并自相等矣
第十題
有三角形二其底不等而腰等求于兩底上另作相似三角形二而等周其兩腰各自相等
解曰甲乙丙丁不等兩底上有甲戊乙及丙己丁三角形二其戊甲戊乙腰與巳丙巳丁腰俱相等若甲乙大于丙丁者則戊角大于己角【一卷二十五】而兩三角形不相似求于兩底上各作三角形相似而兩腰各相等其周亦等
法曰作庚辛線與甲戊戊乙丙己己丁四
線等而分之于壬令庚壬與壬辛之比例若甲乙與丙丁【六卷十】甲乙既大于丙丁則庚壬亦大于壬辛而平分庚壬于癸平分壬辛于子庚壬與壬辛既若甲乙與丙丁則合之而庚辛之視壬辛若甲乙丙丁并之視丙丁矣【五卷一】夫庚辛并既大于甲乙丙丁并【兩邊必大于一邊在一卷二十】則壬辛大于丙丁而庚壬大于甲乙也【五卷十四】甲乙庚癸癸壬三線每二線必大于一線而丙丁壬子子辛亦然令于甲乙上用庚癸癸壬線作甲丑乙三角形為兩腰等而其周在甲戊乙形之外【以戊】
【甲戊乙得庚辛之半而庚壬之度過之故】于丙丁上用壬子子辛線作丙寅丁三角形亦兩腰等而其周在丙己丁之內(nèi)【己丙己丁亦得庚壬之半而壬辛之度不及故俱一卷二十二】
論曰并甲戊戊乙丙己己丁四線之度既與并甲丑丑乙丙己己丁四線之度相等則甲丑乙丙寅丁兩形自與甲戊乙丙己丁兩形同周而其兩腰亦自相同至于兩形相似何也甲乙與丙丁若庚壬與壬辛而減半之庚壬與壬子【五卷十五】又若丑甲與寅丙丑乙與寅丁也則更之而甲乙與甲丑若丙丁與丙寅而甲丑與丑乙若丙寅與寅丁是兩形為同邊之比例自相似【六卷五】第十一題
有大小兩底令作相似平腰三角形相并其所容必大于不相似之兩三角形相并其底同其周同又四腰俱同而不相似形并必小于相似形并
解曰甲丙丙戊兩底上設(shè)有甲乙丙及丙丁戊兩三角形而甲乙乙丙丙丁丁戊四線俱等令于兩底上依前
題別作甲己丙及丙庚戊兩形相
似而與前兩三角形相并者等周
題言甲己丙丙庚戊并大于甲乙
丙丙丁戊并
論曰將甲丙丙戊作一直線而甲
丙底大于丙戊底乃從已過乙作
己壬線兩分甲丙于壬又從丁過庚作丁辛線兩分丙戊于辛其甲己乙三角形之甲己己乙兩邊與乙己丙三角形之己丙己乙兩邊等而甲乙乙丙兩底又等則甲己乙角與丙己乙角亦等【一卷八】又甲巳壬三角形之甲巳巳壬兩邊與丙巳壬三角形之丙巳巳壬兩邊等則甲巳壬角與丙巳壬角等而甲壬壬丙之兩底亦等【一卷四】壬之左右皆直角因顯丙辛辛戊亦等而辛之左右角亦直角矣次引丁辛至癸令辛癸與丁辛同度而從癸過丙作癸丑直線則丁丙辛三角形之丁辛辛丙兩邊與辛癸丙三角形之辛癸辛丙兩邊等而辛之上下角亦等為直角丁丙丙癸兩底等而丁丙辛角與癸丙辛角俱等【一卷四】丁丙辛角既大于庚丙辛角而庚丙辛角相似與巳丙壬角即相等【一卷五】而丁丙辛即癸丙辛總大于巳丙壬其癸丙辛角等于對角之丑丙壬【一卷十五】是丑丙壬亦大于巳丙壬而引癸丑線當(dāng)在于丙巳之外也若夫癸丙丙乙二線涵癸丙乙角向壬試作癸乙線以分壬丙于子而并乙丙丙癸二線必大于癸乙線【一卷二十】則巳丙丙庚并亦大于乙癸線何也此四形者兩
兩相并為等周則甲乙乙丙丙丁
丁戊四線并與甲巳巳丙丙庚庚
戊四線并原相等而減半之乙丙
丙丁即乙丙丙癸與巳丙丙庚亦
相等故也并巳丙丙庚二線為一
直線就其上作直角方形必大于
乙癸線上之直角方形夫己丙丙庚并之直角方形與己壬庚辛并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并相等【九題】而癸乙上之直角方形與乙壬并辛丁【即辛癸】上直角方形及壬子子辛上直角方形并又自相等【九題從子上分兩對角其角等而壬與辛俱為直角相似之形令移置辛癸與乙壬之下移置壬辛為癸垂線則乙壬辛癸為股壬辛為句乙癸為?矣】此己壬庚辛線并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并明大于乙壬丁辛并之直角方形及壬子子辛上之直角方形并也此兩率者每減一壬辛上直角方形則巳壬庚辛共線上之直角方形大于乙壬丁辛共線上直角方形矣而己壬庚辛兩線
并大于乙壬丁辛兩線并矣此兩率
者令一減乙壬一減庚辛則己乙豈
不大于丁庚乎壬丙原大于丙辛【以甲
丙原大于丙戊故】則己乙與壬丙矩內(nèi)直角
形大于丁庚與辛丙矩內(nèi)直角形而
乙己丙三角形為己乙壬丙矩內(nèi)直角形之半何者令從壬丙作垂線與乙己平行而以乙己為底就作直角形此謂己乙壬丙矩內(nèi)直角形其中積倍于己乙丙三角形反之則己乙丙角形為己乙壬丙矩形之半其丁庚丙三角形亦然乃丁庚及辛丙矩內(nèi)直角形之半也則己乙丙三角形大于丁庚丙三角形而甲己丙乙甲形為丙乙己三角之倍者亦大于丙庚戊丙形為丁庚丙三角之倍者矣此兩率者又每加甲乙丙與丙庚戊之三角形則甲己丙及丙庚戊之兩三角形并豈不大于甲乙丙及丙丁戊之兩三角形并哉
第十二題
同周形其邊數(shù)相等而等角等邊者大于不等角等邊者
先解曰有甲乙丙丁戊己多邊形與他形同周同角者較必邊邊相等乃為最大之形
論曰若謂不然先設(shè)甲乙乙丙不等邊如第一圖又作甲丙線于上作等邊三角為甲庚丙形與甲乙丙等周【本篇七】則甲庚丙丁戊己形亦與甲乙丙丁戊己形等周而甲庚丙三角形必大于甲乙丙三角形【本篇八】令每加丙丁戊己角形則甲庚丙丁戊己形亦大于甲乙丙丁戊己形故知不等邊者不為最大其他如丙丁邊之類或不等者亦如此推
次解曰又設(shè)甲乙丙丁戊己等邊形與他形同周同邊者較必角角相等乃為最大之形
論曰依上論各邊俱等則甲乙丙丙丁戊為等邊三角形【邊角俱等】而甲乙乙丙與丙丁丁戊相等若謂不然而乙角可大于丁角則甲丙線必大于丙戊線【一卷二十四】試于甲丙丙戊兩底上別作三角形為甲庚丙為丙辛戊如第十題相似形令與甲乙丙丙丁戊并者等周則甲庚丙并丙辛戊者大于甲乙丙并丙丁戊【本篇十一】而每加丙戊己角形則甲庚丙辛戊己必大于甲乙丙丁戊己也何得以等周等邊而不等角者為最大乎
第十三題
凡同周形惟圜形者大于眾直線形有法者
解曰有甲乙丙圜形又有丁戊己多邊有法形其周等
題言甲乙丙大于丁戊己
論曰庚為甲乙丙之心辛為丁戊己之心甲乙丙外另作壬乙丙癸多邊形與丁戊己相似【四卷十六注】而從壬癸切圜于甲者作半徑線于庚則庚甲為壬癸垂線而分壬癸之半【三卷十八】又從辛作子丑垂線則辛丁亦分子丑之半【三卷三設(shè)于兩多邊形外作切形圜而以壬癸子丑為切圜線向心作垂線則垂線必分切線之中央故説在四卷十二】兩形相似其壬全角與子全角等則半之而甲壬庚角與丁子辛角亦等壬甲庚直角與子丁辛直角亦等【一卷三十二】然乙壬癸丙之周大于圜周而圜周與丁戊己形相同則是乙壬癸丙
周原大于丁戊己周矣夫兩形相似而壬癸邊大于子丑邊則半之而壬甲亦大于子丁又壬甲與甲庚若子丁與丁辛之比例【六卷四】而壬甲大于子丁則甲庚亦大于丁辛【五卷十四】是故取甲庚線與半圜周線以作矩內(nèi)直角形其與圜地等也大于取丁辛線與丁戊己半周線以作矩內(nèi)直角形其與形地等也【本篇四】系曰推此見圜形大于各等周直線形【第五題證有法形同周者多邉為大又十二題證等周及邊數(shù)之等者有法為大又本題證等周之有法形惟圜為大則圜為凡形等周者之最大】
第十四題
銳觚全形所容與銳頂至邊垂線及三分底之一矩內(nèi)直角立形等
解曰有觚形不拘幾面如甲乙丙丁戊底其頂己又有寅庚直角立方形者其底庚辛壬癸得甲乙丙丁戊底三之一其髙庚子與觚等髙題言此寅庚形與觚形所容等
論曰從立形底諸角與相對一角如子角者皆作線以成庚辛壬癸子觚形此
形與寅庚形同底同髙又同己甲鋭觚之髙既己甲形兼庚辛壬癸子觚之三【十二卷六注言兩觚形同髙者其所容之比例如其底底等亦等底倍亦倍】寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三【以同防同髙故在十二卷七系】則寅庚全方與己甲觚等
第十五題
平面不拘幾邊其全體可容渾圜切形者設(shè)直角立形其底得本形三之一其髙得圜半徑即相等【可容渾圜?形者必圜形與諸面相切若長廣不切諸面者不在此論】
解曰有甲乙丙丁形內(nèi)含戊己庚辛圜其心壬而外線甲乙切圜于戊【十一卷三題】試從戊壬割圜之半作戊己庚辛圜【圜形書一卷一題】從壬心望各切圜之防作壬戊為甲乙垂線【三卷十八】壬己為乙丙垂線壬庚為丙丁垂線壬辛為甲丁垂線別一直角立方形午子其底子丑寅癸得甲乙丙丁體三之一而其髙辰子與圜半徑等題言此直角立方形與甲乙丙丁全體等
論曰從壬心與甲乙丙丁各角作直線即分其體為數(shù)觚形其面即為觚底而皆以壬心為觚銳頂此各觚皆以其三分底之一及至銳髙之?dāng)?shù)為直角立方形皆與觚所容等【本篇十四】又并為一形即與甲乙丙丁體等亦與午子等以午子底正得甲乙全形三之一而其髙合圜半徑也
第十六題
圜半徑及圜面三之一作直角立方形以較圜之所容等解曰有甲乙丙渾圜其心為丁又有直角立形之戊在甲丁徑及甲乙丁渾圜三之一矩內(nèi)題言戊形所容與甲乙丙渾圜等
論曰若言不等謂戊大于渾圜形其較有己者合以丁為心外作庚辛壬渾圜大于甲乙丙而勿令大于戊第令或等或小以驗之而于庚辛壬內(nèi)試作有法形勿切甲乙丙圜【十二卷十七】自丁心至形邊各作垂線則垂線必長于甲丁又自丁心至形各角作直線以分此形為幾觚其庚辛壬法形諸直線為觚底而垂
線至丁心為觚銳頂試取各觚底三之一及丁垂線之髙以作直角立形與觚等【本篇十四】則并為大直角立形亦與庚辛壬內(nèi)之法形等【本篇十五】如云以甲丁為髙而以各觚底三之一為直角立形并為大形則必小于前形因顯庚辛壬三之一大于甲乙丙三之一而戊形甲丁徑及甲乙丙圜三之一內(nèi)小于庚辛壬體而謂庚辛壬不大于戊形則向庚辛壬之內(nèi)形尚大于戊形也又論曰戊形小于甲乙丙渾圜體者其較為己試從丁心再作癸子丑圜小于甲乙丙而勿令小于戊或大或等者以驗之于甲乙丙圜內(nèi)作有法形不令切癸子丑【十二卷十七】而從丁至甲乙丙各面為垂線此垂線大于丁癸之半徑又從丁向法形諸角作直線以分此形為數(shù)觚以形之各面為觚底丁心為觚銳頂而取觚底三之一及底至丁之垂線以作直角立形與觚等若使以甲丁為髙而以各觚三之一為底以作直角立形則其形必髙于前形既甲乙丙圜之面大于其內(nèi)形之面則圜面三之一大于內(nèi)形面三之一而直角立方形在甲丁髙及甲乙丁面三之一固即戊體矣愈大于甲乙丁之內(nèi)形矣而云癸子丑圜或等或大于戊豈癸子丑圜大于甲乙丙圜而分大于全與則戊體不小于甲乙丙矣從后論不可為小從前論不可為大故曰等也
第十七題
圜形與平面他形之容圜者其周同其容積圜為大
解曰有甲圜其心甲其半徑甲乙
又丙形與甲等周其周內(nèi)可作諸
切邊圜形而從心至邊為丙丁題
言甲圜大于丙形
論曰甲圜外試作與丙相似形【十二卷】而從甲心至各邊切處作半徑垂線皆等【本篇十五有解】其一為甲乙甲圜外形大于甲圜其周面亦大于丙面而甲乙垂線亦大于丁丙垂線以甲半徑為髙乃以三分圜體之一作直角立方形即與甲圜形等【本篇十六】以丙丁線為髙而以三分丙形之一作直角立方形亦與丙形等而甲之立方固大于丙之立方【本篇十五】則甲圜與丙形雖同周而甲圜所容為大矣
第十八題
凡渾圜形與圜外圜角形等周者渾圜形必大于圜角形
解曰有甲乙丙丁圜外作戊己庚辛等法形率以四數(shù)
相偶若八面十二面十六面二十面
及二十四二十八之類等邊等角近
于圜形者又作戊壬過心線為樞以
轉(zhuǎn)甲乙丙圜及戊己庚辛法形使平
面旋為立圜之體則其形為圜外圜
角之形而角與邊周遭皆等【圜書一卷廿二
廿七】又有渾圜形寅與圜角形等周題
言寅圜大于圜角形
論曰圜角外形既大于內(nèi)之甲乙丙圜形則寅圜亦大于甲乙丙圜寅圜之半徑亦大于甲乙丙圜之半徑也夫渾圜中剖是為過心最大之圜此過心大圜之面恒得渾體四分之一【圜書一卷三十一題】令倍寅徑以作卯辰徑其圜面四倍大于寅之圜面【此專以圜而相較也卯辰徑既倍寅徑則卯辰圜□四倍于寅圜以圜與圜為徑與徑再加之比例故也在六卷附一增題】則卯辰圜與寅渾圜等【此卯辰圜為欲見角故畫作扁圜實正圜也】次作未申圜與卯辰等作未面申圜角形而取寅半徑為酉戌之髙又于卯辰上亦作卯巳辰圜角形而取甲乙丙圜半徑為己午之髙兩圜體等而未酉申圜角形髙于卯巳辰圜角形則亦大于卯巳辰圜角形【圜角形同底之比例若其髙之比例在十二卷十四題】夫割寅
渾圜之中半以為底【即過心大圜也】而以其
半徑之髙為圜角形恒得寅渾圜四
分之一【此旋?所成尖頂半圜形非只論其一面也在圜書一卷
三十二】則是一寅圜恒兼四圜角之形
而未申圜原四倍大于寅圜則未酉
申圜角形固與寅之渾圜形等矣【圜角
形同髙之比例若其防之比例故也在十二卷十一題】其卯巳
辰圜角形底原等戊己庚形之面【戊己庚之面與寅圜之面等故】而巳午之髙亦等于甲圜半徑即戊己庚辛角形自與卯巳辰圜角形等【圜書一卷二十九題論凡圜外有圜角形如甲乙丙外有戊己庚形者以圜體過心大圜為底而以圜半徑為髙旋作圜角形即與圜外諸圜角等】卯巳辰圜角形既小于未酉申圜角形而戊己庚辛壬癸子丑形寧大于同周之寅乎
圜容較義
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