計開
　　甲原金四百　加贏乙四百【二之一也】共八百　除丙又贏去甲一百【四之一也】仍余七百
　　乙原金八百　加贏丙三百【三之一也】共一千一百　甲贏去四百【乙二之一也】仍余七百
　　丙原金九百　贏甲一百【四之一也】共一千　乙贏去三百【丙三之一也】亦仍余七百
　　論曰此與刋誤條騾馬逓借一匹同但馬一騾二驢三即是原物偕所借之一而為和數(shù)今乙一丙二甲三卻是各所存之余分偕所贏之一分而為和數(shù)也得數(shù)大異者馬騾即是全數(shù)今則用分故丙之全數(shù)轉(zhuǎn)多于乙若以一分計則乙之分自多于丙如馬力之于騾矣
　　又論曰此三條皆是兩相交易而又是和數(shù)與前數(shù)條金銀交易幾錠不同
　　難題歌曰一條竿子一條索索比竿子長一托雙折索子去量竿卻比竿子短一托
　　解曰一托者五尺也
　　法以零整襍列位　因雙折是二之一故以二通索

　　法一即以實(shí)一丈命為繩之一分　分母二因之得繩長二丈　減負(fù)五尺余得竿長一丈五尺
　　假如有繩長不知數(shù)但云比竿長六尺若三折其繩則短于竿八尺

　　法二除實(shí)三丈得竿長一丈五尺　加正六尺得繩長二丈一尺
　　論曰原法別有求法然不如方程穏捷故作此問以明之若用難題法不能通矣故方程能御雜法而雜法不能御方程　此條統(tǒng)宗原入均輸今改正
　　問井不知深先將繩折作三條入井汲永繩長四尺復(fù)將繩折作四條入井亦長一尺其井深繩長各若干
　　法以兩母【三四】相乗得十二分為繩母數(shù)　以母【三四】互乗其子【之一之一】得【四三】是為以繩十二分之四汲水而長四尺以繩十二分之三汲水而長一尺也

　　余一分為法　即以實(shí)三尺命為繩十二分之一以十二分乗一分得三十六尺為繩長　以繩之三分計九尺同減負(fù)一尺得八尺為井深
　　計開
　　井深八尺
　　繩長三十六尺
　　三折之得一十二尺　比井多四尺
　　四折之得九尺　　　比井多一尺
　　論曰此條原屬盈朒今以方程御之尤簡易故曰方程能御雜法也
　　試更之則先得井深

　　法一省除即以八尺命為井深　加正四尺共十二尺繩之四分除之得三尺為一分　一十二分母乗之得繩長三十六尺
　　論曰此余八尺者即物實(shí)也前以余三尺為繩長實(shí)者即人實(shí)即此可悟盈朒章作法之原要之是二色方程法耳【人實(shí)物實(shí)不同而除法則同故皆可以互求】
　　今有絹一疋欲作帳幅先折成六幅比舊帳長六寸改折作七幅卻又短四寸其絹并舊帳幅各長若干【折作六幅以較長即六之一七幅即七之一】
　　法如前以【六七】幅相乗得四十二分為總母　以【六七】互乗其【之一之一】得【之七分之六分】為所用之分而列之【以絹四十二之七則長于帳六寸　以絹四十二之六則短于帳四寸】為較數(shù)

　　法一　實(shí)一尺即為絹之一分　以分母四十二乗之得絹長四丈二尺　以絹之七分計七尺減負(fù)六寸余六尺四寸為舊帳之長
　　計開
　　舊帳幅六尺四寸
　　絹長四丈二尺
　　均作六幅得七尺　比帳長六寸
　　均作七幅得六尺　比帳短四寸
　　論曰此與井不知深皆是以一物之細(xì)分與一整物較皆零整雜用之法也
　　又以上三條盈朒章舊有求法然皆因所較之井深與舊帳幅皆為一數(shù)而不變故可用盈朒之法若亦有分?jǐn)?shù)不同則非盈朒所能御此方程之用能包盈朒諸法而諸法不能御方程
　　今有臺不知髙從上以繩縋而度之及臺三之二而余六尺雙折其繩度之及臺之半而不足三尺問臺之髙及繩之長若何
　　法以臺【三二】之【二一】用母相乗為母之法通臺為六分　又用母互乗子為子之法變臺三之二為六之四臺之半為六之三　又以雙折通繩為二　皆以化整為零而列之

　　余繩二分為法　并三十尺為實(shí)　因二為分母與法同省除與乗徑以實(shí)三十尺為繩長　減負(fù)六尺余二十四尺以臺之四分除之母六乗之得三十六尺為臺髙
　　計開
　　臺髙三十六尺
　　繩長三十尺
　　臺三之二髙二十四尺　以繩度之余六尺
　　臺之半髙一十八尺　　以半繩一十五尺比之短三尺
　　今有井不知深以乙繩汲之余繩二尺以庚繩汲之亦余繩四尺雙折庚繩三折乙繩以相續(xù)而汲之適足問井深及二繩各長若何
　　法以乙繩通為三　庚繩通為二
　　以三色列之　井整數(shù)乙庚用分

　　以隔行之同名仍為較數(shù)列之　余較皆與庚同名

　　余庚一分為法　即以實(shí)一丈命為庚二之一　倍之得庚繩二丈　減負(fù)二尺得乙繩一丈八尺【用減余之右行葢乙正三即全數(shù)也】
　　又減負(fù)二尺得井深一丈六尺【用原列之右行亦以乙負(fù)三即全數(shù)故】計開
　　井深一丈六尺
　　乙繩一丈八尺　比井多二尺
　　庚繩二丈　　　比井多四尺
　　三折乙繩六尺加雙折庚繩一丈共一丈六尺即同井深
　　論曰此二條與前井深絹帳同理然即非盈朒所能御又按田之橫直亦可以繩折比量水面亦然
　　今有直田欲截一段之積只云截長六歩不足積七步截長八步又多積九步問所截之積及原濶
　　法以較數(shù)列之【其原濶即截長每一步之積】
　　上　　　　　中　　　　　　下

　　長二步除積十六步得原濶八步　以截長六步乗濶得四十八步加不足七步得截積五十五步
　　論曰此盈朒中方田也然無闗于方田之實(shí)用故入盈朒然不知宜入方程也
　　試更作問
　　今有方田欲截橫頭之積改為直田但云截濶五步則不足十二步截濶九步則如所截之積一有半問所截直田積并原田之方
　　如法列位

　　濶一歩半為法　積十八歩為實(shí)　法除實(shí)得原方一十二歩　以濶五歩乗方得六十歩加不足十二歩得截直田七十二歩
　　計開
　　原方田方十二歩　積一百四十四歩
　　截直田七十二歩　宜截濶六歩
　　若此條則盈朒不能御
　　今有米換布七疋多四斗換九疋適足問原米若干及布價
　　法列位
　　上　　　中　　　下

　　布二疋為法　四斗為實(shí)　法除實(shí)得布價每疋二斗　以九疋適足乗布價得原米一石八斗
　　論曰此盈朒中粟布法也
　　試更設(shè)問
　　今有谷換絹十疋余三石以谷之半換絹六疋不足五斗問原谷若干及絹價
　　法列位

　　法一免除　得絹每疋價二石　以十疋乗價加余三石得原糓二十三石
　　若此條則非盈朒所能御
　　論曰直田截積及米換布盈朒本法也愚所設(shè)方田截積及糓換絹非盈朒本法也乃帶分盈朒之變例也【如舊法芝蔴糶銀是其例也】雖盈胸亦有求法頗多轉(zhuǎn)折非其質(zhì)矣不如用方程之省約
　　今有芝蔴不知總但云取麻八分之三糶銀十兩不足二石取麻三分之一糶銀八兩適足問原麻總數(shù)及每銀一兩之麻
　　法先以麻【八　之三三　之一】用母相乗得二十四為母母互乗子得【之九之八】為所用之分而列之　依省算左加九之一而徑減

　　法一兩省除即以麻二石命為銀每兩之麻　以銀八兩麻八分適足省乗除徑以二石為麻之一分以二十四分乗得原麻四十八石
　　計開
　　原麻四十八石　　　　銀毎兩麻二石
　　其八之三計一十八石　銀十兩該二十石　故不足二石
　　其三之一計一十六石　銀八兩恰該一十六石　故適足
　　若問麻每石之銀則以二石為法轉(zhuǎn)除一兩得每石價五錢
　　按此條宜入方程舊列帶分盈胸之末
　　問者若云有銀買麻以麻八之三與之則余二石以麻三之一與之適足問原麻及銀所買

　　依法求得二石為麻之一分　以總母廿四分乗之得原麻四十八石　以九分乗二石減負(fù)二石得銀所買麻十六石
　　論曰此所設(shè)問則盈朒帶分本法也然不能知每價以方程法求之亦同　觀此益見前條之宜入方程也
　　今有黃連木香不知數(shù)但云取連三之一換木香七之二則連多二斤取連四之三換木香五之四則連少一斤若于五之四內(nèi)減去木香三斤則連多一斤
　　法先以通分齊其分

　　乃列位

　　如法乗減　余木香二十二分為法　異并黃連二十二斤為實(shí)　法除實(shí)得每木香一分【即三十五分之一】換黃連一斤　以木香十分換黃連十斤異加正二斤共十二斤以黃連正四分除之得黃連每三斤為一分　以分母十二乗之得總黃連三十六斤
　　另并黃連多一斤少一斤共二斤為法除減木香三斤得每黃連一斤換木香一斤半【原少連一斤減木香三斤而轉(zhuǎn)多連一斤故知其數(shù)】
　　此連所換之木香一斤半即其三十五分之一分也以三十五分乗之得木香五十二斤半
　　計開
　　黃連三十六斤
　　木香五十二斤半
　　每黃連一斤換木香一斤半
　　三分三十六斤而取其一得一十二斤為黃連三之一七分五十二斤半而取其二得十五斤為木香七之二該換連十斤今連有十二斤是連多二斤也
　　四分三十六斤而取其三得二十七斤為黃連四之三五分五十二斤半而取其四得四十二斤為木香五之四該換連二十八斤今連只二十七斤是連少一斤也
　　若于木香五之四減三斤余三十九斤該換連二十六斤今連有二十七斤是連多一斤也
　　論曰凡較數(shù)方程有若干物共幾色又有其所較之價銀若錢之類今所用較數(shù)即用其物之斤兩而無銀若錢微有不同乃古者貿(mào)遷有無交易之術(shù)也專用銀若錢以權(quán)物價后世事耳
　　問綾每尺多羅價三十六文今買綾六尺羅八尺其共價綾比羅少三十六文
　　畣曰綾每尺一百六十二文　羅每尺一百二十六文

　　羅二尺除二百五十六尺得羅價每尺一百二十六文　加多三十六文得綾價每尺一百六十二文
　　問銀二千九百二十八兩買綾一百五十疋羅三百疋絹四百五十疋只云綾每疋比羅多四錢七分羅每疋多絹一兩三錢五分　畣曰綾每疋四兩三錢二分　羅每疋三兩八錢五分　絹每疋二兩半

　　絹九百疋為法除實(shí)二千二百五十兩得絹價二兩五錢　加多一兩三錢半得羅價三兩八錢半　又加多四錢七分得綾價四兩三錢二分
　　今有兄弟三人不知年小弟謂長兄曰我年比汝四之三次兄比汝六之五比我多八歳
　　法以帶分別之　皆變零從整

　　季弟二　除一百四十四歳得年七十二歳　加八歳得仲兄年八十　六因仲年五除之得伯年九十六歳
　　計開
　　伯九十六歳　仲八十歳【為伯年六之五】　季七十二歳【為伯年四之三】今有四人分錢但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之十七其丁與丙差四文
　　甲正五　　乙負(fù)六　　　空　　空　　　適足【此行不用乙無對故也】

　　丁四除二百七十二得丁錢六十八文
　　加四文得丙錢七十二文
　　四乗丙錢三除之得甲錢九十六文
　　五乗甲錢六除之得乙錢八十文
　　計開
　　甲九十六文
　　乙八十文
　　丙七十二文
　　丁六十八文
　　甲六之一得一十六以五因得八十文為六之五乙數(shù)也甲四之一得二十四以三因得七十二為四之三丙數(shù)也甲二十四之一得四以一十七因得六十八為二十四之一十七丁數(shù)也
　　論曰此雖四色實(shí)三色也故徑以三色取之
　　今有七人逓差分錢但知首二人共七十七文次二人共六十五文不知各數(shù)亦不知余人數(shù)
　　法以逓差故知倍乙當(dāng)甲丙倍丙當(dāng)乙丁而列之

　　重列減余與三行　減余變較

　　重列減余與四行

　　丁八為法除實(shí)二百四十八文得三十一文為丁數(shù)倍丁數(shù)與六十五文相減得逓差三文　以差逓
　　加得甲乙丙數(shù)以差逓減得戊己庚數(shù)　皆加減丁數(shù)得之
　　計開　甲四十文　乙三十七文　丙三十四文　丁三十一文戊二十八文　己二十五文　庚二十二文
　　今有銀二百四十兩以四人逓差分之只云甲多丁一十八兩
　　如前法以倍乙當(dāng)甲丙倍丙當(dāng)乙丁　又依省算移甲于丁位
　　和較列位

　　重列兩減余

　　又重列減余與末行

　　甲四除二百七十六兩得甲數(shù)六十九兩　甲數(shù)內(nèi)減十八兩得丁數(shù)五十一兩　以甲數(shù)減二百四十兩余一百七十一兩丙三除之得丙數(shù)五十七兩　并丙數(shù)甲數(shù)一百廿六兩半之得乙數(shù)六十三兩計開
　　甲六十九兩　乙六十三兩　丙五十七兩　丁五十一兩　逓差六兩
　　今有米二百四十石五人逓差分之其甲乙二人與戊丁丙三人共數(shù)等
　　如前法列位　依省算倒甲位自下而上

　　重列減余與三行

　　又重列減余與四行

　　又重列減余與末行

　　甲十五除九百六十得甲數(shù)六十四石　倍甲數(shù)減一百廿石余得逓差八石　以差逓減各數(shù)得乙丙丁戊數(shù)
　　計開

　　細(xì)分之逓差八石
　　論曰凡差分章竹筒七節(jié)盛米之類皆可以此法求之茲不煩列

　　厯算全書卷四十五
<子部,天文算法類,推步之屬,歷算全書>
　　欽定四庫全書
　　歴算全書卷四十六
　　宣城梅文鼎撰
　　句股闡微卷一
　　句股正義
　　首題
　　句股?者橫曰句縱曰股【亦可云勾縱股橫】斜曰?三線相聨而成句股?形也
　　如圖甲乙丙形甲乙為股乙丙為句甲丙為?亦可云【甲乙為句乙丙為股】也　凡三角形或三角俱鋭或兩鋭一鈍或兩鋭一
　　正【鋭鈍正説具三角形算法中】句股?形者兩鋭一正形也其句股兩線縱橫相遇而成者為正角如乙防句?兩線及股?兩線相遇而成者為鋭角如甲丙兩防　此三線者或三線俱不等其最大者必?或兩線等其等者必句股而無三線等何者以句股?形一角正故也
　　一題
　　句股求?
　　法曰句股各自乘并之開方得?
　　如圖甲乙句自乘得乙丁方乙丙股自乗得乙戊方兩方相并即甲巳方開之得甲丙?
　　論曰試移庚實(shí)形補(bǔ)辛虛形移丑實(shí)形補(bǔ)卯虛形移壬實(shí)形補(bǔ)子虛形移卯午實(shí)形補(bǔ)壬辰虛形所移者恰盡所補(bǔ)者恰足得乙丁與乙戊兩方并恰與甲巳方等又論曰更以句與股相等之形觀之夫句與股既等則句股各自乗固方也即句股互相乗亦方也【凡句股不等則句股互相乗必是矩形】如丁戊大方平分方邊于方形中縱橫作線中分四
　　小方形必等又句與股既等則?上方邊為句股各自乗兩方之對角線亦為句股互相乗兩方之對角線如于四小方形中作四對角線相聨而成一中方形也此中方形者割小方形四之半即涵小方形二之全就此圖觀之尤為明顯
　　又法曰句與股相乗倍之另以句股差自乗并入倍數(shù)開方得?
　　論曰甲乙股乙丙句相乗得乙丁矩形中分為庚戊兩形夫庚形即辛形也倍之者再加癸卯兩形也乙丙為句丙巳
　　為股乙巳為句股差自乗得乙子方并入倍數(shù)共成甲壬方為甲丙?上方也
　　又法曰句自乗倍股依長濶相差法求之得股?差加股為?
　　論曰甲乙丙句股形甲丙?也丁已亦?也丁戊?上方也乙丙股也乙壬亦股也乙子股上方也余乙戊子磬折形即句自乗之?dāng)?shù)也而已壬矩與乙丑矩等即丙戊矩亦
　　句自乗之?dāng)?shù)也此丙戊矩形中乙丙為股加乙壬為倍股曰長濶相差者丙午為長午戊為濶與壬午等即壬丙倍股為長濶之差也依法求之得壬午為股?差
　　二題
　　句?求股
　　法曰?自乗內(nèi)減句自乗余開方得股
　　論曰一題句股求?苐一法句股各自乗并之即?自乗數(shù)則?自乗數(shù)中有句股各自乗之?dāng)?shù)也今于?自乗數(shù)中減去句自乗所存者即股自乗數(shù)矣就一題之圖觀之自見
　　又法曰句?相并得數(shù)相減得數(shù)兩數(shù)相乗得數(shù)開方得股
　　如圖甲乙丙句股形乙丙句甲乙股甲丙與乙丙相并即乙丁線相減即乙巳線【乙巳與乙子等】兩線【乙丁乙子】相乗得子丁矩即
　　甲乙股上方
　　論曰己午方者已丙線上方即甲丙?上方也內(nèi)減子午形為乙丙句上方所存卯巳未磬折形即甲乙股上方矣而巳未矩又與丁卯矩等則丁子矩形即卯巳未磬折形矣亦即甲乙股上方矣
　　又法曰句自乗倍?依長濶相和法求之得股?差用減?得股
　　論曰甲乙丙句股形甲丙?也丁己亦?也丁戊?上方也乙丙股也乙壬亦股也乙子股上方也余乙戊子磬折形
　　即甲乙句自乗之?dāng)?shù)也而己壬矩與乙丑矩等即丙戊矩亦甲乙句自乗之?dāng)?shù)也此丙戊矩形中乙午為?乙丙并午戊為倍?曰長濶相和者丙午為長午戊為濶即丙午午戊并為長濶相和也依法求之得壬午為股?差
　　三題
　　股?求句
　　法同二題句?求股
　　附長濶相和法
　　如圖丁乙矩形積九百七十二尺丁甲為長乙甲為濶兩邊之和共六十三尺求甲丁甲乙二邊各若干　法以和數(shù)
　　自乗得三千九百六十九尺次以積四倍之得三千八百八十八尺與和自乗相減存八十一尺開方得九尺【即丁甲乙甲二邊之較數(shù)】以與和【六十三尺】相并折半得三十六尺為甲丁長邊又與和相減折半得二十七尺為甲乙矩邊長濶相差法【圖同上】
　　丁乙矩形積九百七十二尺甲乙為濶戊乙為長丙戊九尺【乙丙即甲乙】為長濶相差數(shù)甲乙戊乙二邊各若干法以較數(shù)【九尺】自乗得八十一尺次以積四倍之得三千八百八十八尺與較自乗相并得三千九百六十九尺開方得六十三尺【即戊乙甲乙二邊之和數(shù)】以與較九尺相并折半得三十六尺為戊乙長邊又與較【九尺】相減折半得二十七尺為甲乙短邊
　　解曰甲午矩形作乙丙對角線成甲乙丙句股形甲丙長句也甲乙濶股也丙丑長濶和也【甲丑即乙甲】自乗得丙
　　子大方四倍矩積也并大方內(nèi)戊丁
　　庚辛四矩形之積【大方內(nèi)所容四矩俱與元形等如丙
　　壬矩即甲午矩其八句股形亦俱等元形】相減存己壬小
　　方開方得巳未邊即甲乙甲丙二邊之較數(shù)也【卯亥即甲乙股卯壬即甲丙句則壬亥為兩邊較數(shù)即長濶相差也】既得較數(shù)與所有和數(shù)相加減得甲乙甲丙二邊矣
　　若長濶相差法是先有巳未較數(shù)故以上法反用之求得丙丑和得丙丑亦得甲乙與甲丙矣
　　四題
　　?與句股較求句股
　　法曰?自乗倍之較自乗用減倍數(shù)余開方得句股和于是和加較半之得長股和減較半之得短句
　　論曰甲乙丙句股形甲乙句也乙丁句上方也乙丙股也丙戊股上方也兩方并共為?上方辛壬亦句上方
　　庚已亦股上方兩方并亦共為?上
　　方此即?自乗倍之之?dāng)?shù)也而兩句
　　方兩股方并為丙己大方則中間重
　　疊庚戊方矣此何方乎曰戊子即句股較也庚戊方即較上方也減之而重疊者去矣所存者為句股和上方矣故開之得丙丑為句股和也
　　又法曰?自乗內(nèi)減較自乗余半之以較為長濶相差法求之得短句加較得長股
　　論曰甲乙丙句股形甲丙?也甲丁?上方也巳子較也己丑較上方也兩方相減余壬辛午未四形半之余午未二
　　形而午形又即戊形則是余未戊二形也此未戊二形者句股矩內(nèi)形也故以巳子較用長濶相差法求之得子丙短句句加較得巳丙長股
　　五題
　　股與句?較求句?
　　法曰股自乗內(nèi)減較自乗余半之以較為法除之得句句加較得?
　　論曰甲乙丙句股形甲丙?也甲丁?上方也甲巳較也甲戊較上方也庚甲辛磬折形股自乗數(shù)也內(nèi)減甲戊較上
　　方所余丙戊戊壬兩形即為句與句?較矩內(nèi)形者二矣取其一如丙戊形以戊己較除之得己丙句【或不用折半倍較為法除之亦同】
　　又法曰股自乗以較為法除之得句?和于是加較折半得?減較折半得句
　　論曰甲乙丙句股形甲丙?也甲丁?上方也丙己亦句也丁戊句上方也所余庚甲辛　折形即股自乗數(shù)也而壬辛形與戊丙形等即壬己矩形亦股自乗數(shù)也以甲巳較除之得甲壬為句?和也
　　又法曰股自乗較自乗相并倍較為法除之得??減較得句
　　論曰甲乙丙句股形甲丙?也甲丁?上方也丁己為句上方即戊甲辛磬折形為股上方矣又己丙矩與庚壬矩等
　　即甲辛子磬折形亦股上方也加甲子較上方共得辛丑矩形其庚辛邊即是倍較
　　六題
　　句與股?較求股?
　　法同五題
　　七題
　　?與句股和求句股
　　法曰?自乗倍之內(nèi)減句股和自乗余開方得句股較于是較加和半之得長股較減和半之得短句
　　論曰甲乙丙句股形丙丁句股和也丁子和上方也丁午未子兩句上方丙丑壬巳兩股上方此即?自乗倍之之?dāng)?shù)
　　也以較丁子和上方則其中重疊一壬丑方矣而此方之邊即是句股較
　　又法曰句股和自乗內(nèi)減?自乗余半之以句股和用長濶相和法求之得句股
　　論曰丙丁為句股和丁巳為和上方午乙壬磬折形即?上方兩方相減余午丑壬磬折形分為午丑及丑壬兩形形
　　之兩邊即句股
　　八題
　　股與句?和求句?
　　法曰句?和自乗內(nèi)減股自乗余半之以句?和除之得句用減句?和得?【或不用折半倍句?和除之亦同】
　　論曰甲乙丙句股形甲丁為句?和甲巳為和上方又甲午為?上方甲子為句上方即未午壬磬折形為股自乗而子丙矩與午辛矩等即戊辛矩形亦股自乗也于和方中減之所存者為未丁及戊己兩矩形矣形之一邊如甲丁即句?和其一邉如甲未即句
　　又法曰股自乗得數(shù)以句?和除之得句?較于是用加句?和半之得?用減句?和半之得句
　　論曰甲乙丙句股形甲丁句?和也甲戊?上方也戊己句上方也即午甲未磬折形為股自乗矣而卯巳矩與午丁
　　矩等即甲子矩形亦股自乗矣形之甲丁邊即句?和丁子邊即句?較
　　又法曰句?和自乗股自乗相并倍和為法除之得??減和得句
　　論曰甲丁為句?和甲戊為和自乗
　　戊丑為句今試依庚戊矩作丁卯矩
　　即卯甲丑磬折形亦和自乗矣又甲
　　巳為?上方未壬為句上方即未己壬磬折形為股自乗矣而壬子矩與子丑矩等即未丑矩亦股自乗矣然此猶在和自乗數(shù)中也今另加一股自乗如丑卯矩并
　　前卯甲丑磬折形共成一庚癸矩形
　　即為兩自乗相并之?dāng)?shù)形之甲癸邉
　　即句?和之倍形之甲庚邊即是?
　　也
　　九題
　　句與股?和求股?
　　法同八題
　　十題
　　句?較股?較求句股?
　　法曰先以兩較相減得即為句股較次以兩較各自乗相并內(nèi)減句股較自乗余開方得?和較【和句股和也】于是加股?較得句加句?較得股以句?較加句或以股?較加股得?
　　論曰甲乙丙句股形甲丙?也甲巳即股也巳丙股?較也甲壬即句也壬丙句?較也壬己句股較也今試引甲壬句至丁令甲丁為句股和即丙丁為?和較也次作甲戊為和上方午未為句?較上方午子為股?較上方【即庚辰方】兩較上方相并共為午未辰磬折形內(nèi)減
　　未子句股較上方余辰午癸磬折形
　　即戊午?和較上方何則試觀丑午
　　已磬折形句上方也子戊形亦句上
　　方也今于丑午已磬折形中減丑申及辛巳兩矩形即是于子戊形中減卯子亥磬折形也然則所余之辰午癸磬折形非即戊午方乎
　　又法曰兩較相乗倍之開方亦得?
　　和較以下同前法
　　論曰甲乙丙句股形試引甲丙至丁
　　得甲丁為句股和甲戊為和上方【甲未股未丁句】丁子己子句也丁辛己壬?也子辛子壬句?較也未子亥子股也未申亥卯?也子申子卯股?較也然則卯辛與申壬兩矩形即是兩較相乘倍之之?dāng)?shù)也此兩矩形者即戊午?和較上方【丙丁為?和較】何則未申亥磬折形句實(shí)也子戊方形亦句實(shí)也今試于未午亥磬折形減辛丙庚亥兩矩形【辛未及亥壬皆是?和較】及子午方即是于戊子方中減癸子丑磬折形也然則卯辛與申壬兩矩形非戊午方乎
　　十一題
　　句股較句?較求句股?【句短股長看此題】
　　法曰先以兩較相減得即為股?較次以兩較各自乗相減余為實(shí)倍股?較為法用長濶相差法求之得句句加句股較得股句加句?較得?
　　論曰甲乙丙句股形丙乙股丙戊句
　　丙巳?戊乙句股較戊己句?較乙
　　巳股?較乙丁亦為句丙丁為句股
　　和丙庚為和上方辛壬為句股較上方辛子為句?較上方兩較上方相減余丑子午磬折形夫乙子卯磬折形句實(shí)也壬庚方亦句實(shí)也今于壬庚方中作未庚未申兩矩形與己丑寅卯兩矩形等即所余壬申形與丑
　　子午磬折形等矣于是依壬申形作
　　壬亥形此形壬酉為長壬癸為濶與
　　壬辰等即辰未未酉為股?較之倍
　　為長濶之差
　　按此法句股較句?較相減得股?較即三較皆備矣十題第一法句?較股?較相減得句股較即三較亦皆備矣既皆備三較則法可互用特以就題立法則法固各有攸屬耳
　　十二題
　　句股較股?較求句股?【股短句長看此題】
　　法同十一題
　　十三題
　　句?和股?和求句股?
　　法曰兩和各自乗相并兩和相減即為句股較自乗用減相并數(shù)余開方為?和和【?和?也句股和也?和和?與句股和相并也】于是內(nèi)減句?和得股內(nèi)減股?和得句內(nèi)減句股得?
　　論曰甲乙丙形甲乙股也丁乙股
　　?和也乙午股?和上方也乙丙
　　句也丙子句?和也丙未句?和
　　上方也甲丙?也丙丑股也丑巳
　　句也甲己?和和也甲壬?和和
　　上方也乙午丙未兩方并較甲壬
　　方則兩方多一句股較自乗之?dāng)?shù)何則試觀甲壬方中?股句三方即乙午丙末兩方中?句股三方也甲壬方中股?矩二句?矩二即乙午丙未兩方中股?矩二句?矩二也無或異也所異者惟甲壬方中余句股矩二與乙午丙未兩方中余?方一則?方一與句股
　　矩二其較為句股較上方何則試
　　觀另圖甲丙?也甲丁?上方也
　　甲乙股也乙丙勾也甲乙丙形句
　　股矩形之半也而丙巳丁丁子丑
　　丑午甲三形皆與甲乙丙形等共
　　四形即得句股矩之二也中余乙巳子午方即句股較上方然則乙午丙未兩方并較甲壬方不多一句股較上方乎故于兩方中減之即得甲壬方也
　　又法曰兩和相乗倍之開方得?
　　和和以下同前法
　　論曰甲乙丙形乙丁股?和也丁
　　午句?和也乙午兩和矩內(nèi)形也丙子句?和也丙辛股?和也丙未兩和矩內(nèi)形也甲丙?也丙丑股也丑
　　巳句也甲己?和和也甲壬?和
　　和上方也乙午丙未兩矩形與甲
　　壬方形等者兩矩形中有兩?方
　　甲壬形中有?方一股方一句方
　　一亦即兩?方也兩矩形中有股
　　?矩二句?矩二句股矩二甲壬形亦有股?矩二句?矩二句股矩二也然則乙午丙未兩矩形不與甲壬方形等乎
　　十四題
　　句股和句?和求句股?
　　法曰先以兩和相減得即為股?較次以兩和各自乗相減余為實(shí)倍股?較為法依長濶相差法求之得句句減句股和得股句減句?和得?
　　論曰甲乙丙形甲丁句?和也甲戊句?和上方也巳丁句股和也子戊句股和上方也兩和之較為甲巳兩方之較
　　為壬甲丑磬折形此形中午甲未磬折形句實(shí)也癸戊方形亦句實(shí)也夫癸戊方形與壬甲丑磬折形其余為辛未午丁兩矩形今試作癸寅寅申兩矩形與之等即戊申矩形與壬甲丑磬折形等矣此戊申矩形戊庚為濶即句與庚癸等癸卯卯申為倍數(shù)為長濶之差
　　十五題
　　句股和股?和求句股?
　　法同十四題
　　十六題
　　句股?形中求容方
　　先論曰凡于句股形中依句股兩邊作方形或矩形則作形之外所余之角形二自相似亦與元形相似如圖甲乙丙元形作壬丁乙子方形則此形之外所余甲丁壬及壬子丙兩角形自相似何則謂甲丁與壬子相似丁壬與子丙相似也若
　　作壬丁乙子矩形亦然又此兩形之各兩邊與元形之兩邊相似何則謂甲丁壬子兩邊與甲乙邊相似丁壬子丙兩邉與乙丙邊相似也于是遂生求容方之法如左【獨(dú)不能生求容矩之法者以容方則甲丁丁壬兩邉即甲乙邉壬子子丙兩邉即乙丙邉也若容矩則否】
　　法曰句股相乗為實(shí)并句股為法除之得方邊
　　論曰甲乙股乙丙句相乗得甲丙矩即未午矩矩之甲
　　午邊甲乙股乙午即句乙子即方
　　邊何則甲丙?為甲丙矩形之對
　　角線亦為甲壬壬丙矩形之對角線則甲乙丙與甲丑丙甲丁壬與甲未壬壬子丙與壬亥丙各角形自相等今于甲乙丙甲丑丙相等之兩形中各減去相等之角形所余之乙壬方與壬丑方必等次于兩方各加一同用之子亥矩則乙亥矩與子丑矩亦必等而子午矩與乙亥矩等亦即與子丑矩等然則甲丙矩不與未午矩等乎
　　又法曰句自乗為實(shí)并句股為法除之得余句用減句余即方邊
　　論曰甲乙丙句股形乙丙句自乗
　　得乙丁方即未已矩形形之戊丙
　　即股丙巳即句丙子即余句乙子即方邊何則丑丁形即子巳形也壬乙形即壬戊形也然則乙丁方即未巳矩也
　　十七題
　　句股?形中求容圓
　　法曰句股相乗倍之為實(shí)句股?共為法除之得容圓徑【或句股相乗為實(shí)句股?共為法除之得容員之半徑　或句股相乗半之為實(shí)句股?并而半之為法除之得容圓之半徑】
　　論曰試于形之三邊截取己子未
　　三防令乙子與乙巳等甲巳與甲
　　未等丙未與丙子等次于已子未
　　三防各作己丁未丁子丁三線為
　　形三邊之垂線必相遇于丁而相
　　等何則試先就己甲未丁四邊形論之甲巳甲未兩邊等己未兩角皆正即巳丁未丁兩線必等依顯未丁與子丁兩線子丁與巳丁兩線亦必各等然則丁即圓心三線即圓之半徑矣果何術(shù)以求之乎曰試作甲丁丙丁乙丁三對角線平分甲乙丙三角及丁角因平分三個四邊形為六個三邊形各兩相等次引乙丙至壬令丙壬與甲已等則乙壬線為甲乙丙三邊之半何則乙子者乙子乙巳之半丙子者丙子丙未之半丙壬者甲未甲巳之半然則乙壬者甲乙丙三邊之半矣次引長巳丁線至亥令己亥與乙壬等必相與為平行次作壬亥丙午兩線與子丁線等而相與為平行末作丙亥對角線則乙亥矩形與甲乙丙元形等何則乙巳丁子方形在元形之內(nèi)丙子丁角形亦在元形之內(nèi)丁午丙角形雖不全在元形之內(nèi)然即丙未丁形而倒置之湊合丙子丁形而成子午矩形者也至于壬午矩形全在元形之外然亦即甲巳丁甲未丁兩形顛倒湊合而成者也然則乙亥矩形與甲乙丙元形等矣于是以句股相乗半之得甲乙丙元形即乙亥矩形以乙壬三邊之半分之得子丁為圓半徑或以三邉之全分元形之倍亦
　　得圓之半徑或三邊之全分元形
　　之四倍得全圓徑也
　　又法曰句?股三邊半之內(nèi)減?
　　得圓之半徑【或倍?用減三邉之全得全圓徑】論曰甲乙丙元形之乙角既是正
　　角乙子丁乙已丁兩角又是正角即子丁己亦必正角然則子丁己乙形必是正角方形而四邊等矣即乙巳乙子兩邊必與丁己丁子圓之兩半徑等矣此乙已乙子之兩邊果何術(shù)以求之乎依前論乙壬線為三邊之半而丙壬即甲未也丙子即丙未也則子壬線即甲丙?也于是子壬?減乙壬三邊之半得乙子即圓之半徑若倍?數(shù)用減三邊之全得全圓徑
　　又法曰句股并以?減之得全圓徑
　　論曰如前圖乙丙句也丙壬與乙巳并即甲乙股也何則以丙壬與甲巳等故也壬子即甲丙?也何則以丙壬與甲未等丙子與丙未等故也于是以子壬?減壬己句股并得子巳為圓之全徑何則以乙子與子丁等乙巳又與乙子等故也
　　巳上十七題除求方求圓二題余十五題已盡句股?之蘊(yùn)矣然論其題則不止于己上十五題也今反覆推之凡得一百四十四題雖究其歸不出于己上十五題之法要亦不可不備使習(xí)者得以按題而索之逐類而通之也
　　勾股較勾股和　句股較句?和　句股較股?和句?較句?和　句?較句股和　句?較股?和股?較股?和　股?較句股和　股?較句?和已上共九題
　　【句】和和
　　?較較　　　句較較　　　股較較
　　?和較　　　句和較　　　股和較
　　?較和　　　句較和　　　股較和
　　巳上十則各以　　　　　　　　　　　【股】三則配之得三十題
　　各以　　　　　　　　　　　　　【股?和】三則配之得三十題
　　各以　　　　　　　　　　　　　【股?較】三則配之得三十題
　　又巳上十則　　　　　　　　　　【股】和和為一則以下九則配之得九題?較較為一則以下八則配之得八題句較較為一則以下七則配之得七題股較較為一則以下六則配之得六題?和較為一則以下五則配之得五題句和較為一則以下四則配之得四題股和較為一則以下三則配之得三題?較和為一則以下二則配之得二題句較和為一則以下一則配之得一題
　　已上共一百四十四題學(xué)者按題而索之逐類而通之要不出于前所列之十五題也
　　又一題【后十四題盡句股之變】
　　容方與余句求余股與余股求余句因得全句全股法曰方邊自乗以余句除之得余股以余股除之得余句各以所得加方邊因得全句全股
　　論曰乙丁方邊也自乗得乙壬方
　　即壬丑矩【論詳前十六題】故以己壬【即丙未余】
　　【句】除之得子壬【即甲丁余股】以子壬除之得己壬因以己壬加壬丁共已丁即句以子壬加壬未共子未即股又法曰以余句除方邊【余句小于方邉】得數(shù)即用以乗方籩得余股或以方邊除余股【余股大于方邉】得數(shù)即用以除方邊得余句
　　論曰方邊為余句余股連比例之中率以前率余句比中率方邊則方邊為幾倍大即以中率方邊比后率余股則余股亦必為幾倍大又以后率余股比中率方邉
　　則方邊為幾倍小即以中率方邊
　　比前率余句則余句亦必為幾倍
　　小故得數(shù)者得其幾倍大幾倍小之?dāng)?shù)也大用乗小用除
　　又二題
　　余句余股求容方因得全句全股
　　法曰余句股相乗開方得方邊各以余句股加之得全句股
　　論曰子壬即余股也己壬即余句
　　也丑壬矩即乙壬方也【論詳前十六題】因
　　以甲丁【余股】丙未【余句】加之得全股【甲乙】全句【乙丙】
　　又法曰以余句除余股【以小除大】得數(shù)開方得中率之比例于是以中率之比例除余股得方邊或以中率之比例乗余句亦得方邉
　　論曰余句余股之于方邊為連比例之前后率今以己壬余句比子壬余股得子壬為幾倍大即是以己壬線上方比己壬線與子壬線上矩得丑壬矩為幾倍大也而丑壬矩又與乙壬方等開方得連比例之中率者以方則邊等邊等則比例連故也既得連比例之中率則方邊可得而知矣
　　右兩題宜附前十六題之后
　　又三題
　　句股?形句股較求句股?
　　法曰形四倍之另以較自乗相并開方得?次依前四題法求句股
　　論曰甲乙丙形四倍之即丁已甲子午丁丙未子與甲乙丙四形也乙巳為句股較
　　乙午為較上方四形與一方相并成甲子方開方得甲丙?
　　又法曰形八倍之另以較自乗相并開方得句股和于是和加較折半得股和減較折半得句論曰甲乙丙形八倍之即甲丙丙丁丁己己甲四矩形也乙子為句股較乙午
　　為較上方四矩形與一方并成丑未方開方得丑壬為句股和
　　又法曰形倍之以句股較用長濶相差法求之得句句加較得股
　　論曰甲乙丙句股?形倍之得乙丁矩形甲乙股乙丙句已甲較即乙已與乙丙句等丙巳為句上方丁句為句與較矩內(nèi)形今試商
　　得乙丙為句乙巳加已甲為股
　　又四題
　　句股?形句股和求句股?
　　法曰形四倍之另以句股和自乗相減開方得?次依前七題法求句股
　　論曰甲乙丙形四倍之者甲乙丙丙戊丁丁己辛辛壬甲四形并也乙壬為句股和乙巳為和上方內(nèi)減四形并余甲
　　辛丁丙方開方得甲丙?
　　又法形八倍之另以句股和自乗相減開方得句股較于是用加和折半為股用減和折半為句
　　論曰甲乙丙形八倍之者即甲丙丙丁丁辛辛甲四矩形并也午戊為和戊壬為和上方內(nèi)減四矩形并余子乙未丑
　　方開方得子乙為句股較
　　又法曰形倍之以句股和用長濶相和法求之得句句減和得股
　　論曰甲乙丙句股?形倍之得乙巳
　　矩形甲乙股乙丙句并之為和今試
　　商得乙丙為句用減和余甲乙即股
　　又五題
　　句股形中求從直角【句股相聯(lián)處】至?作垂線【與?相交為直角】分元形為兩句股形
　　法曰?上方句上方并之內(nèi)減股上方余半之以?除之得數(shù)為?上作垂線之處于是以所得數(shù)與句依句?求股法作垂線
　　論曰甲乙丙元形求從直角作乙午線為甲丙之垂線甲丙?也甲丑?上方也乙丙句也乙己句上方也
　　甲乙股也乙辛股上方也夫乙辛方中之子未方乙午
　　線上方也乙巳方中之丁申方亦
　　乙午線上方也即兩方等矣又乙
　　辛方中之子辛未磬折形甲丑方
　　中之午壬方也今于甲丑乙巳兩
　　方中減乙辛方即于兩方中減丁申方與午壬方也兩方中所存者為申巳丁磬折形午丑壬磬折形矣而申巳丁磬折形又與丑卯方等半之即得午丑矩故以丙丑?除之得丙午【若乙辛方與甲丑方并內(nèi)減乙巳方余半之以?除之得甲午同上論按此法不但可施諸句股直角形凡鋭角鈍角形俱可用此法求垂線】
　　又法曰句股相并得數(shù)相減得數(shù)兩得數(shù)相乗以?除之得數(shù)用減?余半之得數(shù)為?上作垂線之處
　　如圖甲乙丙形甲乙股乙丙句相
　　加得甲丁相減得甲巳甲丁與甲
　　巳相乗得數(shù)以甲丙?除之得甲
　　子用減?余丙子半之于午即午防為?上作垂線之處一論曰甲丁偕甲已矩內(nèi)形及乙巳上方形并與甲乙上方形等如圖壬丁矩甲丁偕甲巳矩內(nèi)形也【甲壬與甲巳等】辛甲未磬折形即壬丁矩也【壬未矩與辛丁矩等】未辛方
　　乙巳上方也并之得甲戊方即甲乙上方
　　二論丁已甲線貫圜心于乙庚甲線切圜周于庚乙庚甲為直角夫丁甲偕巳甲矩內(nèi)形與甲庚線上方形等何則乙庚庚甲兩線上方形與乙甲線上方等而丁甲
　　偕巳甲矩內(nèi)形及乙已上方并亦與
　　乙甲線上方等【一論之圖可見】此兩率者每
　　減一相等之乙庚乙巳兩線上方則
　　甲丁偕甲巳矩內(nèi)形與甲庚線上方形必等
　　三論曰丙甲線不貫圜心于乙庚甲
　　線切圜周于庚乙庚甲直角形乙午
　　甲亦直角形兩形合一乙甲?則乙
　　庚庚甲兩線上方并與乙午午甲兩線上方并必等又乙午子直角形則乙午午子兩線上方并與乙子線上方等夫午甲上方形中原有【一論之圖可見】丙甲偕子甲矩內(nèi)
　　形及午子上方形今于乙甲上方形
　　中減乙庚上方形即減去同乙庚之
　　乙子上方同乙子之乙午午子兩線
　　上方然則所余之丙甲偕子甲矩形與甲庚上方形必等四論曰前甲丁偕甲巳矩內(nèi)形與庚甲上方等【二論之圖】甲丙偕甲子矩內(nèi)形與庚甲上方亦等【三論之圖】則兩矩形自
　　相等而等角防之各兩邊彼此互相
　　視何則試引戊子壬己兩線相遇于
　　丑而成甲丑形夫甲戊與甲丑兩形
　　同在戊丑丙己兩平行線內(nèi)等髙則兩形之比例若其底甲丙與甲己之比例依顯甲壬與甲丑兩形之比例亦若其底甲丁與甲子之比例夫甲戊與甲壬兩矩形元等則甲戊形與甲丑形即甲壬形與甲丑形也即甲丙與甲己之比例亦即甲丁與甲子之比例也更之則甲丙與甲丁之比例亦若甲己與甲子之比例
　　于是以甲丙為一率甲丁為二率
　　甲己為三率二三率相乗一率除
　　之得四率甲子也既得甲子用減
　　甲丙余丙子半之于午得午防為?上作垂線之處何則試作乙子線與乙丙同為圜之半徑即等而成乙丙子兩邊等角形則午點(diǎn)折丙子之半必是直角【此法不但可施諸句股形凡鋭角鈍角形俱可用此法求垂線】
　　右既得乙午垂線即分甲乙丙原形為甲午乙乙午丙兩句股形此兩形者自相似亦與元形相似
　　又六題
　　句股?形中求依?一邊容方
　　法曰先依又五題法求形中垂線次以?與垂線相乗得數(shù)并?與垂線為法除之得方邊
　　論曰甲乙丙元形乙丁為垂線求依甲乙?作方邊如子丑而成子午方形夫甲乙丙元形與己乙午分形相似何則以己午與甲丙平行故也次觀己午與未丁等即乙未
　　與己午并是乙丁垂線也然則乙丁偕甲丙并而與甲丙若乙未偕己午并【即乙丁垂線】而與己午
　　又法曰垂線自乗并?與垂線為法除之得數(shù)用減垂線得方邊
　　論曰乙丁偕甲丙并【一率】而與乙丁【二率】若乙未偕己午并【三率即乙丁】而與乙未【四率】于是以乙未減乙丁余未丁即方邊【此法不但可施諸句股形凡鋭角鈍角形俱可用】
　　又七題
　　句股形中求分作兩邊等三角形二
　　法曰?半之即是兩邊等之一邊
　　論曰甲乙丙形半?于丁于是以丁為心甲丙為界作圜必切乙角得乙丁與
　　半?等因成乙甲丁乙丙丁兩形皆兩邊等三角形也
　　又八題
　　斜三角形中求作中垂線分元形為兩句股形
　　法具又五題
　　又九題
　　斜三角形中求積
　　先分別是銳角形或是鈍角形【若是正角形法以句股相乗半之即得】法曰大中小三邊用小中兩邊依句股求?法求之若求得數(shù)小于大邊即是鋭角形大則是鈍角形
　　鋭角形求積法曰任取一角依又五題求中垂線【鋭角形求中垂線任取一角皆在形內(nèi)】分元形為兩句股形次以兩分形句與股各相乗半之得積
　　論曰甲乙丙鋭角形先求得乙丁中垂線分為甲丁乙乙丁丙兩句股形次以
　　甲丁與丁乙丁乙與丁丙各相乗得丁戊與丁己兩矩形各半之得甲乙丙形之積【或以乙丁因甲丙之半亦得或以甲丙因乙丁之半亦得】鈍角形求積法【于鈍角至對邊作垂線則垂線在形內(nèi)法同前】于鋭角至對邊作垂線則垂線在形外而引對邊出形外湊之曰大邊上方內(nèi)減中小兩邊上方余半之以中邊除之得引湊數(shù)與小邊為股?求句得垂線【或以小邉除半數(shù)得引湊數(shù)與中邉為句?求股亦得垂線】既得垂線則與引湊數(shù)湊成一小句股形又以垂線與引湊數(shù)偕元形之邊湊成一大句股形大小兩句股形相減得所求
　　論曰甲乙丙鈍角形【乙為鈍角】求從丙鋭角作丙丁垂線而引乙丁線以湊之【從甲角作垂線亦在形外茲不備述】夫甲丙上方元包
　　丙丁與甲丁兩邊上方今于甲丙上
　　大方中減乙甲乙丙上兩方即是減
　　丙庚與子午兩方為乙丙上方減甲
　　子方為甲乙上方也而所存者為丁
　　子子辛兩矩形矣半之為子丁一矩
　　形以中邊乙子除之得乙丁為引數(shù)
　　也丙丁乙為小句股形丙丁甲為大
　　句股形兩形相減得甲乙丙斜三角形積
　　又法曰三邊數(shù)并而半之以每邊數(shù)各減之得三較數(shù)三較連乗【任以二較相乗得數(shù)又以一較乗之】得數(shù)又以半數(shù)乗之得數(shù)開方得積
　　如后圖甲乙丙元形求其積
　　一圖　　　　　　　　一論曰壬乙矩形與元形等
　　論同前十七題所論乙亥矩
　　形與甲乙丙元形等
　　二論曰丁心方與乙戊相乗又與乙戊相乗開方與乙
　　二圖　　　　　　壬矩形等如圖子壬二丑壬三相
　　乗得六為子丑矩形今以子壬二
　　自乗得四為子卯方即壬寅邊以
　　丑壬三乗之得十二為丑寅矩形又以三乗之得三十六為辰寅矩形即午丑方形故開方得辰午六與子丑
　　三圖　　　　矩形等
　　三論曰丁心偕戊庚矩形與乙丁相乗其所得數(shù)與丁心方偕乙戊相乗所得
　　數(shù)等何則乙丁心形與乙戊庚形相似之形也戊庚與丁心若乙戊與乙丁則戊庚偕丁心矩形【即庚未矩形】與丁心方【即己戊方形】亦若乙戊與乙丁也
　　四論曰丙丁偕丙戊矩形與丁心偕戊庚矩形等【就一圖觀之】何則心丁丙形與丙戊庚形相似之形也夫庚乙線平分丁乙甲角庚戊為丙戊之垂線則戊為直角次依丙戊線截取丙卯線作卯庚線為丙卯之垂線則卯為直角此庚乙庚戊庚卯三線必相交于庚防三線既相
　　交于庚點(diǎn)則丙庚線必平分
　　卯丙戊角而卯丙戊角又即
　　己心丁角因得心丁丙形與
　　丙戊庚形為相似之形也兩形既相似則丁心與丁丙若丙戊與戊庚也
　　解庚乙庚卯庚戊三線必相交于庚點(diǎn)所以然之故庚心乙界作圈　次依甲乙丙形作丙丁辛形　次引乙丁線至癸引辛甲線至壬乙庚線平分丙乙甲角則
　　庚防必是圈心戊防折乙癸線之
　　半則戊防必直角　卯防折壬辛
　　線之半則卯防必直角　乙癸與
　　乙己等　乙丙辛丙為大邊甲丙
　　丁丙為中邊甲壬丁癸即小邊
　　總論曰二論丁心方與乙戊相乗又與乙戊相乗所得數(shù)開方與乙壬矩形等夫乙戊半數(shù)也亦既得之矣次欲求丁心與乙戊相乗而丁心不可得　三論丁心戊庚矩形與乙丁相乗所得數(shù)與丁心方偕乙戊相乗所得數(shù)等夫乙丁三較之一也則又得之矣次欲求丁心與戊庚兩線而兩線又不可得　四論丁丙偕丙戊矩形與丁心偕戊庚矩形等夫丁丙丙戊三較之二也則盡得之矣　今法于四論用丁丙偕丙戊二較相乗于三論用乙丁一較乗之于二論用乙戊半數(shù)乗之開方得數(shù)與乙壬矩形等
　　又十題
　　斜三角形中求容圓
　　法曰先依又九題求積次取三邊數(shù)并而半之用除積得員之半徑【或置二較連乗數(shù)以半數(shù)除之得開方亦得圓半徑】
　　論曰先依又九題求得乙壬矩
　　形為甲乙丙元形積次以乙戊
　　除之【即三邊數(shù)之半也】得丁心即圓之半徑【若以三邊之全除元形之倍亦得圓半徑若以三邊之全除元形之四倍得圓全徑】
　　又十一題
　　斜三角形中求容方
　　法同又六題
　　又十二題
　　斜三角形有三和數(shù)求三邊
　　法曰三和數(shù)相減得三較數(shù)各置三較數(shù)各以非所較之邊加減之各半之其加而半者得大邊或中邊減而半者得小邊或中邊
　　如圖戊己庚為三和數(shù)【戊為大中兩和數(shù)己為大小兩和數(shù)庚為小中兩和數(shù)】甲為戊庚兩和之較乙為己庚兩和之較丙為戊己兩和之較于是置甲較數(shù)以己為非所較之邊加而半之得大邊減而半之得小邊置乙較數(shù)以戊為非所較之邊加而半之得大邊減而
　　半之得中邊置丙較數(shù)以庚為非所較之邊加而半之得中邊減而半之得小邊
　　論曰戊者大中兩和數(shù)也加減用乙者乙為己庚兩和之較庚者小中兩和數(shù)己者大小兩和數(shù)此兩和數(shù)中皆有相等之小數(shù)而余為大中兩數(shù)矣此乙所以爲(wèi)大中兩數(shù)之較也余仿此
　　又十三題
　　句股測髙【測逺測廣測深同法】
　　法曰先準(zhǔn)地平【地平者必令所測地面自所測之處至髙之根如水之平也】次立表與地平為垂線退后立望竿令所測髙表尖竿頭叅相直末自竿至髙根量得若干逺然后以表竿差與逺相乗而以表竿相去若干除之加竿長若干得所求之髙如圖丙乙髙乙甲逺丁甲竿己戊表己子為表竿差戊甲為表竿相去夫丁子己形與丁辛丙形相似故丁子與己子若丁辛
　　與丙辛也
　　又十四題
　　句股重測髙逺【測廣測深同法】
　　法曰若無髙根之可量者則用重測法謂一次立表竿令表竿與髙叅相直二次立表竿令表竿與髙防相直【兩表兩竿要各相等又要或前或后立成一直線】然后以表竿之較乗兩表相去而以兩表竿相去之較除之加表髙若干得所求之髙又以前表竿相去乗兩表相去而以兩表竿相去之較除之加前表竿相去得所求之逺
　　如圖甲乙髙乙丙逺各不知數(shù)用重
　　表測之　丁子為前表己丙為望竿
　　子丙為表竿相去甲丁己三防叅相
　　直午壬為后表丑辛為望竿壬辛為
　　表竿相去甲午丑三防叅相直丁亥為表竿之較子壬為兩表相去未辛為兩表竿相去之較己上用以測髙借丁卯【元是表竿相去】為表竿相差借卯己【元是表竿相差】為表竿
　　相去辰戊亦借為表竿相差戊癸亦借為表竿相去甲辰癸三防亦叅相直丁辰亦借為兩表相去與丁午等即庚癸亦為兩表竿相去之較與辛未等以上用以測逺解庚癸線與辛未線必等所以然之故
　　如圖甲乙矩內(nèi)形甲乙為對角線丙丁及戊己兩線與
　　矩形之邊為平行而交角線
　　于庚　次任作辛壬線亦交
　　角線于庚　次截甲癸線與
　　甲辛線等作癸子線亦交角
　　線于庚則子乙線與壬乙線必等
　　論曰試作午丑及午未兩線與甲辛及甲癸相線為平行夫庚甲辛及庚午丑兩角形相似之形也則庚甲與庚午若甲辛與午丑依顯庚甲與庚午若甲癸與午未然則甲辛與甲癸亦若午丑與午未夫午丑與午未如是則子乙與乙壬亦如是矣
　　先論甲乙矩形此形甲己為對角線寅卯申亥兩線交于角線上之丁防則卯申矩形與亥寅矩形等
　　次論甲丑矩形此形甲丑為對角
　　線寅酉房壬兩線交于角線之午
　　點(diǎn)則房酉矩形與寅心矩形等
　　末總論曰夫房酉矩形與寅心矩
　　形既等而午井形又與卯申形等即亦與亥寅形等然則房酉矩形中所余之井酉形與寅心矩形中所余之丁心形必等
　　于是以丁亥表竿相差乗丁午兩表相去得丁心矩形即井酉形而以井女兩表竿相去之較除之得女酉加酉辛表共女辛即甲乙髙
　　先論甲己矩形同前
　　次論甲癸矩形此形甲癸為對角線申氐戊亢兩線交于角線之辰防則亢氐矩形與戊申矩形等
　　末總論曰夫亢氐矩形與戊申矩形既等而辰牛形又與亥寅形等即亦與卯申形等然則亢氐矩形中所余之牛氐形與戊申矩形中所余之丁戊形必等
　　于是以丁卯表竿相差乗丁辰兩表相去得丁戊矩形即牛氐形而以牛危兩表竿相去之較除之得危氐加氐癸表竿差共危癸即乙丙逺也
　　求髙又法　既得危氐線即以亢牛乗之得牛辰形此形即寅亥矩形亦即申卯矩形也故以丁卯除之得丁申髙
　　求逺又法　既得女酉線即以房井乗之得井午矩形此形即申夘矩形亦即寅亥矩形也故以丁亥除之得丁寅逺

　　歴算全書卷四十六
　　欽定四庫全書
　　厯算全書卷四十七
　　宣城梅文鼎撰
　　句股闡微卷二
　　句股積求句股?句股積與?較較求諸數(shù)
　　第一法
　　假如句股積【一百二十】?較較【十二】
　　法以積四之得【四百八十】?較較自之【一百四十四】兩數(shù)相減余【三百三十六】折半【一百六十八】為實(shí)?較較【十二】為法除之得句股較【十四】以加?較較【十二】共得【二十六】為?【有?有句股較即諸數(shù)可求】論曰甲乙丙丁合形為?自乗大方冪甲小方為句股較冪?冪內(nèi)減句股較冪所余丙乙丁磬折形原與四
　　句股積等于中又減去乙小方
　　為?較較自乗冪仍余丁丙二
　　長方并以句股較為其長以?
　　較較為其濶故折半而用其一
　　為實(shí)以?較較為法除之得句股較矣【是以濶求長】
　　第二法
　　置四句股積【四百八十】與?較較自冪【一百四十四】相加得共【六百二十四】折半【三百十二】為實(shí)?較較【十二】為法除之得【二十六】為??內(nèi)減去?較【十二】得余【十四】為句股較
　　論曰乙丙丁磬折形原與四句股積等今加一小方形如己為?較自乗冪與乙等又丁丙二長方原相等于是合丁己為一長方合乙丙為一長方必亦相等矣【并以
　　?較較為濶以?為長】故折半而用其一
　　為實(shí)以?較較為法除之即得
　　?矣【亦是以濶求長】

　　第三法
　　置四句股積【四百八十】為實(shí)?較較【十二】為法除之得【四十】為?較和以?較較【十二】加?較和四十得【五十二】折半【二十六】為?以?較較【十二】減?較和【四十】得【二十八】折半【十四】為句股較于前圖乙丙丁磬折形即四句股積移丁長方置于戊
　　為乙丙戊長方其長如?
　　較和其闊如?較較故以
　　?較較除之得?較和【若以
　　?較和除之亦得?較較】
　　又簡法
　　置句股積【一百二十】為實(shí)以?較較【十二】半之得【六】為法除之得【二十】為半?較和以半?較較【六】加半?較和【二十】得【二十六】為?又以半較【六】減半和【二十】得【十四】為句股較
　　論曰長方形濶【十二】如?較較長【四十】如?較和其積如四
　　句股今只用一句股積是四
　　之一也積四之一者其邊必
　　半觀圖自明
　　句股積與?較和求諸數(shù)
　　第一法
　　假如句股積【一百二十】?較和【四十】
　　法以積四之得四百八十?較和自之得【一千六百】兩數(shù)相減余【一千一百二十】折半得【五百六十】為實(shí)?較和【四十】為法除之得【十四】為句股較以減?較和得【二十六】為??自乗【六百七十六】加四句股積【四百八十】得【一千一百五十六】平方開之得【三十四】為句股和以與句股較【十四】相加得【四十八】折半【二十四】為股又相減得【二十】折半得【一十】為句
　　句【一十】　　　股【二十四】　　?【二十六】
　　句股和【三十四】　句股較【十四】　?較和【四十】
　　?較較【十二】
　　論曰總方為?較和【四十】自乗
　　之冪內(nèi)分甲戊己方為?自
　　乗冪乙小方為句股較自乗
　　冪于?冪內(nèi)減去戊己磬折
　　形即四句股積則所余者甲
　　小方即句股較冪與乙方等以甲小方合丁長方即與乙丙長方等【以丁丙小長方原相等故】此二長方并以句股較【十四】為濶以?較和為長【四十】故折半而用其一為實(shí)?較和【四十】為法除之即得句股較【是為以長求濶】
　　第二法
　　?較和自乗【一千六百】與四句股積【四百八十】兩數(shù)相加【二千○八十】折半【一千○四十】為實(shí)?較和【四十】為法除之得【二十六】為?以減?較和得【十四】為句股較余如前【觀后圖自明】
　　第三法
　　置四句股積【四百八十】為實(shí)?較和【四十】為法除之得【十二】為?較較余同?較較第三法
　　又簡法
　　句股積【一百二十】為實(shí)?較和【四十】半之得【二十】為法除之得【六】為?較較之半余并同?較較簡法
　　論曰乙丁丙甲戊己合形為?
　　較和【四十】自乗之大方外加一庚
　　辛長方為四句股積與戊己磬
　　折形等于是中分之為兩長方
　　【乙丁庚辛合為左長方丙甲己戊合為右長方】并以?為濶【二十六】?較和【四十】為長故折半為實(shí)以?較和除之得?【亦為以長求濶】借此圖可解第三法之理何則庚辛長方形既為四句股積而其濶【十二】如?較較其長【四十】如?較和是【十二】與【四十】相乗之積也故以?較較除之得?較和若以?較和除之即復(fù)得?較較
　　若庚辛長方橫直皆均剖之成四小長方則其濶皆【六】加半較其長【二十】如半和而其積皆【一百二十】為一句股積矣此又簡法之理也
　　句股積與?和較求諸數(shù)
　　第一法
　　假如句股積【六千七百五十】?和較【六十】
　　法以?和較自之得【三千六百】與四句股積【二萬七千】相減余【二萬三千四百】折半【一萬一千七百】為實(shí)?和較【六十】為法除之得【一百九十五】為?加較【六十】得句股和【二百五十五】?冪內(nèi)減四句股積開方得句股較以加句股和折半得股以減句股和折半得句
　　句【七十五】　　　股【一百八十】　　?【一百九十五】句股和【二百五十五】　句股較【百○五】　?和和【四百五十】?較和【三百】　　?和較【六十】　　?較較【九十】第二法
　　以?和較自乗【三千六百】與四句股積【二萬七千】相加得【三萬○六百】折半【一萬五千三百】為實(shí)?和較【六十】為法除之得【二百五十五】為句股和內(nèi)減?和較【六十】得【一百九十五】為?
　　論曰丁丙方為句股和自乗方冪
　　內(nèi)減甲戊方為?自乗冪其余丁
　　戊丙磬折形四句股積也內(nèi)減戊
　　乙小方為?和較自乗積則所余
　　丁戊長方與戊丙長方等而并以
　　?為長?和較為濶故以?和較除之得?此第一法減四句股積之理也
　　若于丁戊丙乙磬折形外加一己丙小方與戊乙等乃并之為庚戊長方與辛乙等并以句股和為長?和較為濶此第二法加四積之理也【兩法并以濶求長】
　　第三法
　　置四句股積【二萬七千】為實(shí)?和較【六十】除之得【四百五十】為?和和以與?和較相加折半為句股和又相減折半為?此如有句股積有容圓徑而求句股?乃還元之法也
　　論曰前圖中辛乙長方并戊丙
　　長方是四句股積聯(lián)之為辛丙
　　長方則其濶丁辛?和較也其長丁丙?和和也
　　又簡法
　　置句股積【六千七百五十】為實(shí)半?和較【三十】除之得【二百二十五】為半?和和以與半?和較相加得二百五十五為句股和又相減得【一百九十五】為?　此如有容圓半徑以除句股積而得半?和和句股積與?和和求諸數(shù)
　　第一法
　　假如句股積【六千七百五十】?和和【四百五十】
　　法以積四之得【二萬七千】?和和自之得【二十○萬二千五百】兩數(shù)相減余【十七萬五千五百】折半【八萬七千七百五十】為實(shí)?和和【四百五十】為法除之得【一百九十五】為?以減?和和得【二百五十五】為句股和
　　第二法
　　以四句股積與?和和冪兩數(shù)相加得【二十二萬九千五百】折半得【十一萬四千七百五十】為實(shí)?和和【四百五十】為法除之得【二百五十五】為句股和以減?和和得【一百九十五】為?
　　論曰甲乙大方?和和自乗也內(nèi)分甲丁方?自乗也
　　與丁丙方等丁乙方句股和
　　自乗也于丁乙內(nèi)減去丁丙
　　?冪則所余者四句股積即
　　壬乙丙戊二小長方也而己
　　辛小長方與丙戊等則己乙
　　長方亦四句股積也今于甲乙大方內(nèi)減去己乙則所余者甲戊己戊二長方并以?為濶?和和為長故以?和和除之而得?此第一法減四句股積之理也是為以長求濶
　　又論曰若于甲乙大方外増一甲庚長方與己乙等而中分之于癸戊則癸乙與癸庚兩長方等并以句股和為濶?和和為長故以?和和除之而先得句股和此苐二法加四句股積之理也亦是以長求濶
　　第三法
　　置四句股積【二萬七千】為實(shí)?和和【四百五十】除之得?和較【六十】此如并句股?除四倍積而得容員徑
　　又簡法
　　置句股積【六千七百五十】為實(shí)半?和和【二百二十五】除之得半?和較【三十】此如合半句半股半?除積得容員半徑欲明加減用四句股之理當(dāng)觀古圖
　　甲乙丙句股形　甲丙句六
　　甲乙股八　乙丙?十
　　甲丁句股和十四　壬辛句
　　股較二甲己大方句股和自
　　乗冪也其積一百九十六　丙戊次方?自乗冪也其積一百　壬庚小方句股較自乗冪也其積四　甲己和冪內(nèi)減?冪所余者四句股也　?冪內(nèi)減較冪所余者亦四句股也　句股之積并二十四
　　甲丁句股和十四癸丁?十子丁句股較二甲丙方爲(wèi)句股和自乗冪【一百九十六】內(nèi)減癸辛?冪【一百】余【九十六】爲(wèi)甲己丙磬折形【亦卽四句股積】內(nèi)分甲己直形移置于丙戊成乙戊長方卽爲(wèi)?【和較乗?和和】又壬丁小方爲(wèi)句股較自乗其冪四以減?冪一百余九十六爲(wèi)癸壬辛巳磬折形【亦卽
　　四句股積】內(nèi)分癸壬直
　　形移置于辛庚成
　　己庚長方卽爲(wèi)?
　　較較乗?較和
　　假如方環(huán)田有積有田之濶問內(nèi)外方各若干
　　法以積四之一爲(wèi)實(shí)田濶除之得數(shù)爲(wèi)內(nèi)外二方半和與田濶相加得外方又相減得內(nèi)方【葢田濶卽如半較】若但知外方及內(nèi)小方及環(huán)田積法即并大小方邊為和以除積得數(shù)為較較與和相加折半為外周大方又相減折半為小方以兩方之較折半為環(huán)田濶
　　若方田內(nèi)有方墩法同或方墩不居正中其法亦同但只可求大小方邊不能知濶
　　總論曰?較較乗?較和之積與?和較乗?和和之積等為四句股乃立法之根也而其理皆具古圖中學(xué)者所宜深玩
　　又如有辛庚壬圓池不知其徑法于乙作甲乙直線切員池于庚又乙丙橫線切圓池于壬乙為正方角又自
　　丙望甲作斜線切員池于辛
　　乃自丙取乙丙之度截斜線
　　于丁又自甲取甲乙之度截
　　斜線于戊末但量丁戊有若
　　干尺即圓池徑
　　解曰此即句股容員法也丙乙句截甲丙?于丁則丁甲為句?較甲乙股截?于戊則戊丙為股?較而丁戊為?和較故即為圓徑　其句股?不必問其丈尺但取三直線并切員而乙為方角足矣故為測員簡法【凡城堢墩臺錐塔員柱之類形正員者并同一法也】
　　句股容方【系鮑燕翌法】
　　句股形引股線法
　　即依正角作方形于形外　又即引小形成大形甲乙丙句股形今欲引甲乙股至丁甲丙?至戊而令
　　乙丁與戊丁等
　　法曰以乙丙分甲乙得數(shù)減一余
　　用歸甲乙得之
　　解曰乙丙與甲乙原若丁戊與甲
　　丁故以乙丙分甲乙與以丁戊分甲丁所得之分?jǐn)?shù)等然則減一者雖似于甲乙分?jǐn)?shù)內(nèi)減乙丙之一分實(shí)于甲丁分?jǐn)?shù)內(nèi)減丁戊之一分也【即乙丁之一分】故以減余分甲乙而得
　　【勿庵又法句股相乗為實(shí)句股較為法除之亦即得所引乙丁與乙戊同數(shù)】
　　句股形截股法
　　即依正角作方形于形內(nèi)　又即截大形成小形甲丁戊句股形內(nèi)今欲截甲丁股于乙甲戊?于丙而
　　令乙丁與乙丙等
　　法曰以丁戊分甲丁得數(shù)加一共
　　用歸甲丁得之　【勿庵又法句股相乗為實(shí)句股
　　和為法除之亦即得所截乙丁與丁丙同數(shù)即句股容方法】
　　解曰丁戊與甲丁原若乙丙與甲乙故以丁戊分甲丁與以乙丙分甲乙所得之分?jǐn)?shù)等然則加一者雖似于甲丁分?jǐn)?shù)外加丁戊之一分實(shí)于甲乙分?jǐn)?shù)外加乙丙之一分也【即乙丁之一分】故以加共分甲丁而得
　　若欲令丙戊與丁戊等或欲令乙丙與丙戊等依法推之按后一法即句股容方也原法簡易今鮑燕翼先生所設(shè)殊新要其理亦相通耳【勿庵補(bǔ)例】
　　設(shè)甲乙股十六　乙丙句八　今引甲乙股長出至丁
　　而令引出之乙丁股分與所當(dāng)之丁
　　戊句等問若干答曰乙丁十六
　　法以乙丙句【八】甲乙股【十六】相乗得【一百】
　　【廿八】為實(shí)句股相減得較【八】為法除之得乙丁引出一十六與丁戊句相等　若如鮑法以句【八】除股【十六】得【二】內(nèi)減去一仍余一用為法以除股【十六】仍得【十六】為乙丁又設(shè)甲乙股【四十八】乙丙句【十二】依法引出乙丁股【十六】與丁戊句等
　　法以句十二乗股【四十八】得積【五百
　　七十六】為實(shí)　句減股得較【三十六】為
　　法除之得【十六】為乙丁
　　或以句【十二】除股【四十八】得數(shù)【四】內(nèi)減【一】余【三】為法以除股【四十八】亦得【十六】為乙丁
　　又設(shè)甲乙股【六】乙丙句【四】依法引出乙丁股【十二】與丁戊句等法以句乗股得【二十四】為實(shí)　句股較【二】為法除之得【十二】為乙丁
　　或以句【四】除股【六】得【一半】內(nèi)減一余【半】為法以除股【六】
　　亦得【十二】為乙丁
　　解曰半為除法則得倍數(shù)此畸零除
　　法也詳別卷
　　又設(shè)甲乙股【三十】乙丙句【十二】依法引出乙丁股【二十】與丁戊句等
　　法以句乗股得【三百六十】為實(shí)句股較【十八】為法除之得乙丁【二十】
　　或以句【十二】除股【三十】得【二半】內(nèi)減
　　一余【一半】為法以除股【三十】亦得乙
　　丁【二十】
　　解兩法相同所以然之故　葢此是依句股正角【即乙角】作正方形于形之外也本法以句?較為法除句股形倍積【即句股相乗】今不用句股較之本數(shù)而用其除過之句股較為法【以句除股則股內(nèi)所原帶句數(shù)及句股較數(shù)并為句所除而減去其一即減去除過之句也用減余為法即是用其除過之句股較為法也】故亦不用句股形之倍積而用其除過之倍積為實(shí)【倍即是句股相乗之?dāng)?shù)若以句除之必仍得股今徑以股數(shù)受除即是用其除過之倍積為實(shí)也】法實(shí)并為除過之?dāng)?shù)則其理相同而得數(shù)亦同矣
　　以上補(bǔ)第一條之例
　　設(shè)甲丁戊形甲丁股【廿八】丁戊句【廿一】甲戊?【三十五】欲截甲
　　丁股于乙截甲戊?于丙而令所截
　　之乙丁與乙丙等問其數(shù)若干
　　答曰乙丁一十二
　　法以甲丁股【二十八】丁戊句【二十一】相乗得【五百八十八】為實(shí)并句股得和【四十九】為法除之得【一十二】為所截乙丁與乙丙截句等
　　如鮑法以句【二十一】除股【二十八】得一【又三之一】又外加一數(shù)共二【又三之一】為法【通作七】用以除股二十八【通作八十四】亦得【十二】為乙丁截股
　　設(shè)甲丁股【三百四十五】丁戊句【一百八十四】?甲戊【三百九十一】欲截乙丁與乙丙等該若干　答曰一百二十
　　法以句【一百八十四】股【三百四十五】相乗得【六萬三千四百八十】為實(shí)句股和【五百二十九】為法除之得所截乙丁【一百二十】與截句乙丙等
　　或以句【一百八十四】除股【三百四十五】得一【又八之七】又外加一共二【又八之七】通作【二十三】為法以股【三百四十五】通作【二千七百六十】為實(shí)法除實(shí)亦得【一百二十】為乙丁截股
　　解兩法相同所以然之故　葢此是依句股形正角作方形于內(nèi)【即句股容方】也本法以句股和為法除句股形倍積【即句股相乗】今不用句股和本數(shù)而用其除過之句股和為法【股被句除既變?yōu)槌^之股而得數(shù)中之一其本數(shù)皆與句同今于得數(shù)又加一是又加一除過之句合之則共為除過之句股和矣】故即用股為實(shí)以當(dāng)除過之倍積法與實(shí)并為除過之?dāng)?shù)則其理相同而得數(shù)亦同矣以上補(bǔ)第二條之例
　　按數(shù)度衍有在逺測正方形之算立破句名色不穏圖亦不真今于此第一例中生二法補(bǔ)之
　　分角線至對邊【亦系鮑法】
　　甲乙丙句股形　今平分乙方角作乙丁線至對邊?欲知丁防之所在
　　法曰先依句股求方求得己丁戊乙正方形
　　次用丁戊丙形或丁己甲形求得丁丙?或甲丁?即得
　　甲乙丙句股形　今平分乙鋭角作線至甲丙股欲知丁防所在
　　法以甲丙股乙丙句相乗得丙庚長方亦即乙辛長斜
　　方其辛戊小長斜方又即戊壬長斜
　　方取甲子癸小句股形補(bǔ)壬寅丑虛
　　句股形成甲寅長方此即句股相乗
　　實(shí)以句?和除之也【甲乙為?乙壬即句】得壬寅邊
　　丙甲辛句股形中【即甲乙丙原設(shè)形】作甲卯垂線至丙辛?【法另具】于是一率甲卯二率甲辛三率甲子四率甲癸【即丁己】成丁己乙戊四斜方形
　　次用丁戊丙形或丁己甲形依句?求股求得丁丙或丁甲即得
　　按上鮑法此寅甲長方為句?和除句股形倍積所得壬寅邊必小于句股容方之邊其內(nèi)容丁己乙戊四斜方形之丁己邊又必大于句股容方之邊二者之間可以得容方邊矣【容方邉除倍積得句股和以減句?和得股?較即其他可知】
　　求丁己線法　一率甲丙股　二率甲乙?　三率壬寅　四率丁己【即壬丑】
　　甲乙丙鋭角形　求分乙角作線至甲丙邊之丁防
　　法于形中求得辰丙垂線【丙辛甲形即甲乙丙
　　形故其垂線等】用丙長線乗乙丙所得即辛
　　乙長斜方形自此以下至成丁己乙
　　戊四斜方【并同前法】
　　次用比例法　一率甲乙　二率甲丙　三率丁戊四率得丁丙
　　或一率甲乙　二率甲丙　三率甲己　四率甲丁甲乙丙鈍角形　法先從形外求得甲辰外垂線　引乙丙線與之相遇　次以甲辰垂線乗乙丙得乙辛長
　　斜方形　余同前法

　　甲乙丙鈍角形　甲辰垂線在形外
　　與右圖同法
　　鼎按若依幾何六卷三題法甚防
　　句股容員
　　甲乙丙句股形　求容員徑卯戌【即丁辛】
　　法于甲丙?上截丁丙如句【乙丙】又截甲辛如股【乙甲】因得丁辛即容員之徑
　　試依所截丁丙為句作戊丁丙句股形【自丁作?之垂線至戊又引乙丙句遇于戊即成此形】又依所截甲辛為股作甲辛氐句股形【自辛作?之垂線長出至氐引甲乙股遇于氐】又作戊戌房句股形【引戊丁股至房如?之度自房作垂線至戌即成】乃自甲自戊各為分角線遇于己成十字則己即容員心也又引十字線透出而以甲己為度截之于癸于女乃自癸作線與丙戊平行至辰又自女作
　　辛氐及房戊之垂線穿而
　　過之與癸辰線遇于辰又
　　引氐辛線至癸引房戌線
　　至女得女辰女房癸辰癸
　　氐四線皆如甲丙?女卯
　　女亢癸丑癸未四線皆如
　　甲乙股卯辰房亢丑氐辰未四線皆如乙丙句又成女卯辰女亢房癸未辰癸丑氐四句股形共八句股形縱橫相疊并以容員心己防為心此同心八句股形各線相交成正方形二其一卯戌丑乙形依原形之句股而立其乙方角即原形之所有也其一丁辛亢未形依原形之?而立即所謂?和較也此兩形者皆相等而其方邊并與容員徑等即容員徑上之方冪也
　　然則何以又為?和較試即以原?論之甲丙?上所截之丁丙即句也甲辛即股也句股相并即重疊此丁辛一邊是句股和多于?之?dāng)?shù)古人以?和較為容員徑葢謂此也八句股形即有相等之八?每一?上各有此重疊之線以成兩四方形相等之八邊可以觀矣【因鮑圖改作之彼原有八角形外小句股形輳成一等面八角形之論但圖欠明顯】
　　相似兩句股并求簡法
　　假如癸辛己大形癸壬乙小形其癸角等則為相似之兩句股形今欲求兩形之兩句合線【兩句者一為己辛大句一為壬乙小句即辛甲也則己甲為兩句合線】
　　法以兩?【一癸己大?一癸乙小?】并之為三率以癸角之正?【兩癸
　　角等只用其一】為二率二三相
　　乗為實(shí)半徑全數(shù)為法
　　實(shí)如法而一得四率己
　　甲即【己辛壬乙】兩句之合
　　數(shù)
　　何以知之曰試引癸己?
　　至丁截己丁?如癸乙則丁癸即兩?合數(shù)也乃以癸角之正?乗之半徑【全】除之即得丁丙而丁戊即壬乙【以己丁即癸乙也亦即甲辛】戊丙即己辛【同在直線限內(nèi)也】則所得丁丙亦即己甲矣
　　有句股和有?求句求股【量法】乙甲句股和　丙甲?
　　原法以甲為心作乙己卯
　　象限　又以丙甲?半之
　　于丁以丁為心作甲戊丙
　　半圓
　　次于丙戊半員上任以辛為心丙為界作丙己小員屢試之令小員正切象限如己乃作己辛甲及辛丙二線則辛丙為句辛甲為股如所求按此法不誤但己防正切處難真今別立法求己防
　　法曰自丁防作垂線分半圓于戊以戊為心用丙為界作丙己庚丑甲全員全員與象限相割于己從己向甲作直線割半員于辛乃作辛丙為句即辛甲為股合問如此則徑得辛防不用屢試得數(shù)既易且真確矣論曰凡平員內(nèi)作兩通?至員徑兩端必為句股而員徑常為?今既以丙甲?為半員徑則其辛丙與辛甲兩通?必句與股也而己辛甲線與乙甲等即句股和也今以辛為心作小員而其邊正切己則己辛與丙辛等為小員之半徑即等為句線矣于己甲句股和內(nèi)截己辛為句則辛甲必為股故此法不誤也
　　又論曰半員內(nèi)所容句股形以半方形為最大【即甲戊丙也其余皆半長方形之句股故小】其句股和亦最大【丙戊句甲戊股相等其和甲戊庚為最大其余股長者句反甚小故其和皆小于甲戊庚】即?上方冪之斜徑也【甲未庚丙為?上平方冪甲戊庚為其斜徑】以此為象限之半徑【如辰庚亥象限其半徑辰甲及亥甲并與庚戊甲等】則能容?上平方【如甲未庚丙平方必在辰庚亥象限內(nèi)】又戊心所作平方外切之平圓亦能容?上平方【此員以戊為心以平方四角為界其全徑甲戊庚即平方之斜徑也】三者相切于庚防惟相切不相割其余句股和并小【如乙甲和必小于辰丙】不能包平方之角即不能外切平員而與之相割矣【如乙甲和為半徑作乙己卯象限不能包庚防即與平員相割如己】其自庚至丙并可為相割之己防而四十五度之句股具焉【八線表所列之句股只四十五度互相為正余句為正?股即余?也分言正?則初度小而九十度最大也若合正?余?為和數(shù)則初度與九十度皆最小惟四十五度最大】己足以盡句股之變態(tài)矣【若過庚向末亦四十五度己防至此其和數(shù)反小而與前四十五度為正余】句股和之最大者以略小于?上斜線而止【凡句股有和有較皆長方形之半非正半方也若半方形則有和無較可無用算非句股所設(shè)】其最小者以稍大于?線而止【若同?線即無句股】無有不割平圓故可以己防取之也
　　又論曰以方斜為半徑作象限則能容平方以方斜為半徑作半圓則能容方斜上平圓【如庚己丙甲未平圓其徑甲戊庚方斜是即方斜上之平圓也若以甲戊庚半徑作大半圓即能容之】凡半圓內(nèi)所容之圓度每以兩度當(dāng)外周半圓之一度何則論度必以角惟在心之角一度為一度若在邊之角則兩度為一度【如辰庚亥半圓從甲心出兩線一至庚一至辰作辰甲庚角其度辰庚四十五度是一度為一度也若庚己丙甲未圓從甲邊出兩線一遇戊至庚一至丙作庚甲丙角其度庚己丙象限只作四十五度是兩度當(dāng)一度以同用甲角故也】凖此論之則?上半圓所作之戊甲丙角亦必四十五度矣【既同用甲角則戊辛丙象限亦兩度當(dāng)一度】若是則庚己丙之度與
　　戊辛丙等【并同用甲角以庚辰為度故也】而
　　己防所割之己丙弧及辛丙
　　弧亦必等度矣【己丙為方外切員之度辛
　　丙為方內(nèi)切員之度大小不同而同用甲角以己乙為其
　　度角等者度亦等】
　　又引辛丙至寅則寅丑甲與辛戊甲兩弧亦必等度【以同用丙角故也】而同為甲角之余【丙角原為甲角之余乃甲角減象限是以己甲乙減象限得己甲卯角與辛丙甲角等也其度則兩度為一度乃甲角之倍度減半周是以寅庚減半周得寅丑甲以丙辛弧減半周得辛戊甲也】又己庚丑未弧原為己丙減半周之余即與寅丑甲等于此兩弧內(nèi)各減寅丑未則己庚寅與未癸甲亦等于是作己寅線與未甲等亦即與丙甲等而寅己丙與甲丙己又等【于寅己及甲己各加一己丙】則丙辛寅及己辛甲兩直線亦等【皆句股和也】兩和線相交于辛則交角等【皆十字正角】
　　又作己丙線成己辛丙三角形而己角丙角等【己甲丙三角形與己寅丙等則對丙甲之己角對己寅之丙角亦等】則角所對己辛邊丙辛邊亦等矣　凖上論己辛與丙辛必等故用己防以求辛防而和數(shù)中句股可分也
　　又論曰凡句股和所作象限與斜方上平員相割有二防其一為己其一為丑自丑作直線至甲心【象限心也】割半員于壬作丙壬線即成丙壬甲句股形與甲辛丙等【丑甲丙角為丙甲壬角之余與壬丙甲角等而其度丑卯與己乙等是丙甲辛角與壬丙甲等也辛壬又皆正角又同以丙甲為?是兩句股形等也】凖此論之凡半員內(nèi)所作句股皆兩兩相似【句股之正角必負(fù)員周亦兩兩相對如辛防在戊丙象限內(nèi)即有壬防在戊甲象限與之相對皆與象限上己防丑?相應(yīng)其所作句股形亦兩相似】故四十五度能盡句股之變也【戊丙與戊甲兩象限并兩度當(dāng)一度其真度在庚辰及庚亥兩半象限中故皆四十五度】試以壬為心丑為界作員界必過丙是丙壬股即丑壬而丑甲為和也丑壬股大于戊丙而丑甲和小于庚甲以是知和數(shù)之大至庚甲而極也
　　凖上論又足以證己庚丑癸員能盡割員句股之理

　　句股和較
　　?與句股較【相和即　加句即　減股即　內(nèi)減?存?較和　股?和　句?較　句股較相較即　減句即　加股即　用減?存?較較　股?較　句?和　句股較】
　　?與句股和【相和即　減?即　減股即　減句即?和和　句股和　句?和　股?和相較即　加句?　加股?　加句?較股?和較　較即股　較即句　?較即?】
　　?與句?較相和　　【加句即　減句即兩　減?即兩?　　句?較　　句?較】
　　相較【即句】
　　句與股?較【相和即　加句股　　減股?　加句?較減句較和　較即?　　較即句　股?較即股相較即　加句股較股　加股?　加句股較股?句較較　?較即股　　較即句　較較即?】
　　句與股?和【相和即　減?即　減股即　減句即句和和　句股和　句?和　股?和
　　相較即　減股即　減?即　加句即句和較　句?較　句股較　股?和】
　　句與句股較【相和即股】
　　相較　　【加句股　加兩句股較即句　較即股】
　　句與句股和相和
　　相較【即　減股即　加股即兩股　兩句　　句股和】
　　句與句?較相和【即?】
　　相較　【加句?　加兩句?較即句　較即?】
　　句與句?和相和
　　相較【即?】
　　句股較句?較【相較即股?較】　　句股較股?較【相較即句?和內(nèi)減兩句又兩股?較
　　相和即股?　　　　　　相和即和內(nèi)減兩句　　　　　　句?較】
　　句?較股?較【相較即句股較】
　　【相和即兩?內(nèi)減一句一股】
　　句股和句?和【相較即股?較】　　句股和股?和【相較即句?較
　　相和即兩句　　　　　　　相和即兩股一股一?　　　　　　　　一句一?】
　　句?和股?和【相較即句股較】
　　【相和即兩?一句一股】
　　句股較與【句股】和【相和即兩股】　句股較與【句?】和【相和即股?和】　句股較與股?和相和
　　【相較即　　　　　　　　　　　　　　　　　相較即兩句　　　　　　　　　　　　　　　　　　句?和】
　　句?較句?和【相和即兩?】　句?較與【句股】和【相和即股?和】　句?較與股?和相和
　　【相較即兩句】　　　　　　　相較　　　　　　　　【相較即句股和】
　　?和較?和和【相和半之為句股和】　?和較?較和【相和半之為股
　　相較半　　　　　　　　相較半之之為?　　　　　　　　為句?較】
　　?和較?較較【相和半之為句】　　?和較句較和【相和半之為句
　　相較半之　　　　　　　相較半之為股?較　　　　　　　為股?較】
　　?和較句和較【相和半之為句】　　?和較句較較【相和半之仍為?和較
　　相較半之為股?較】　　　　　　　相較即減盡
　　?和和?較和【相和半之為股?和】　?和和?較較【相和半之為句?和
　　相較半之為句】　　　　　　　　相較【半之為股】
　　?和和句較和【相和半之為句?和】　?和和句和較【相和半之即股?和
　　相較半之為股】　　　　　　　　相較【半之為句】
　　?和和句較較【相和半之即句股和】　?較和?較較【相和半之為?
　　相較半　　　　　　　　相較半之之為?　　　　　　　　為句股較】
　　?較和句較和【相和半之為?】　　?較和句和較【相和半之為股與句?較或?與句股較】
　　【相較半之為句股較】　　　　　　　相較恰盡
　　?較和句較較【相和半之為股】　　?較較句較和【相和半之為句與股?較
　　相較半之為句?較】　　　　　　　相較恰盡
　　?較較句和較【相和半之為?】　　?較較句較較【相和半之為句
　　相較半之　　　　　　相較半之為句股較　　　　　　為股?較】
　　句較和句和較【相和半之為?】　句較和句較較【相和半之為句
　　相較半之　　　　　　相較半之為句股較　　　　　　為股?較】
　　句和較句較較【相和半之為股】
　　【相較半之為句?較】

　　厯算全書卷四十七
　　欽定四庫全書
　　厯算全書卷四十八
　　宣城梅文鼎撰
　　句股闡微卷三
　　句股法解幾何原本之根
　　句股羃與?羃相等圖
　　甲乙丙句股形　乙辛大方為?羃　?羃內(nèi)兼有句股二羃
　　論曰試于?羃作對角之乙
　　子線與甲丙股平行而等又
　　作丙丁對角線與甲乙句平
　　行與乙子線遇于子成十字
　　正角則丙子與甲乙句相等
　　成乙子丙句股形與甲乙丙句股形等又作辛癸及庚戊兩線皆與丙丁等亦與乙子等而皆與甲丙股等又辛丁及癸庚及戊乙皆與丙子等即皆與甲乙句等則?冪內(nèi)所作四句股形皆與原設(shè)句股形等于是以丙丁辛形移作乙壬庚以癸庚辛形移作甲乙丙成甲丙
　　丁癸庚壬磬折形末引丁癸
　　至巳截成大小二方形則丙
　　巳方形即股冪癸壬小方即
　　句冪也
　　若先有丙巳股冪癸壬句冪
　　則聯(lián)為磬折形而移乙壬庚
　　句股補(bǔ)于丙丁辛之位移甲乙丙句股補(bǔ)于癸庚辛之位即復(fù)成乙辛大方而為?冪
　　又法
　　甲乙丙句股形　乙丙?　其冪乙戊丁丙
　　甲丙股其冪甲壬辛丙　甲乙句其冪乙庚癸甲法于原形之甲正角作十字線分?冪為兩長方【一為丑子丁丙】凖股冪【一為丑子戊乙】凖句冪又引之至己又自庚癸自壬辛并引之至巳而成方角
　　次移甲丑丙句股補(bǔ)巳子丁虛形又移巳壬甲句股補(bǔ)丁辛丙虛形即成股冪而與丑子丁丙長方等積又移甲丑乙句股補(bǔ)己子戊虛形再移己卯戊句股補(bǔ)戊癸寅虛形又移戊卯甲癸形補(bǔ)癸寅乙庚虛形即成句冪而與丑子戊乙等積

　　解幾何二卷第五題　第六題
　　甲丙為?　丁丙為句
　　丁甲句?和　乙丁句?
　　較【丁甲同丁壬甲癸并同】
　　庚辛戊己?冪也　己句
　　冪也　戊庚辛較乗和之
　　長方冪也
　　移戊補(bǔ)戊移庚辛補(bǔ)庚辛而?冪內(nèi)凈多一己形即句冪也故?冪內(nèi)有和較相乗之長方又有句冪也論曰凡大小方形相減則其余必為兩形邊和較相乗之長方是故己形者句自乗之小方也戊庚辛句?較乗句?和之長方也合之成戊庚辛巳形即?自乗之大方矣
　　幾何二卷第五題以倍?為甲乙原線以甲丙?為平分之線以甲丁和乙丁較為任分之兩線以丁丙句為分內(nèi)線其理一也
　　第六題以子丁倍句為原線以丁丙句為平分線以句?較乙丁【即子甲】為引増線以丁甲句?和為全線其理亦同
　　以數(shù)明之　甲丙?八　丁丙句五　乙丁較三　丁甲和十三　和較相乗三十九　句自乗二十五　以句冪加和較長方共六十四與甲丙?冪等
　　又論曰用股?和較亦同

　　解幾何二卷第七題
　　甲丁股冪【即甲乙元線上方】子戊
　　句冪【即甲乙方內(nèi)所作已辛方乃任分線甲丙
　　上方也】并之成癸寅?冪【即所
　　謂兩直角方形并也】
　　?冪內(nèi)有戊甲股【即甲乙原線】戊癸句【即任分之甲丙線】相乗長
　　方形二【即己甲長方及丁辛長方亦即甲乙偕甲丙矩形二也】及句股較乙丙上方一【即壬丙小方亦即所謂分余線上方也】
　　何以明之曰試于戊癸線引長至丑令丑癸如已丁較【即乙丙】遂作子丑小長方【與丁庚等】以益亥癸成亥丑長方【與丁辛等亦與已甲等】
　　次于癸寅內(nèi)作甲酉寅辰午未癸卯四線皆與甲乙股等　自然有甲卯寅酉午辰癸未四線皆與戊癸句等又自有未卯卯酉等句股較與乙丙較等　即顯?
　　冪內(nèi)有句股形四較冪一也
　　試于?鼏內(nèi)移午辰寅句股補(bǔ)癸戊甲之位成戊卯長方【與己甲等】又移癸未午句股補(bǔ)甲戌寅之位成戌酉長方【與亥丑等】而較冪未酉小方元與壬丙等又子丑小長方元與丁庚等
　　合而觀之豈非丁甲股冪及子戊句冪并即與己甲亥丑兩長方及壬丙小方等積乎

　　解幾何二卷第八題
　　庚甲乙句股形　取丁乙如
　　庚甲句則丁甲為句股和
　　和之冪為丁己大方【即元線甲乙偕
　　初分線上直角方也】于大方周線取戊
　　丑己子皆與庚甲句等即丑
　　丁戊子己庚皆與甲乙股等【即甲乙元線也句線則初分線】
　　次作丑癸庚辛乙壬子卯四線皆與外周四股線平行而等
　　自有丑壬子癸庚卯乙辛四線皆與外周四句線平行而等
　　又有壬癸癸卯卯辛辛壬四句股較線自相等【即分余線也】丁已和冪內(nèi)有長方形四皆句乗股之積【即元線偕初分線矩內(nèi)形四也】又有句股較自乗冪一即分余線上方形也

　　解幾何二卷第九題
　　甲丙為股　丁丙為句
　　丁甲句股和　乙丁句股
　　較　壬庚為句冪　辛丙
　　為股冪　丑丁較冪　丁
　　癸和冪　戊巳線上方為
　　句冪之倍　戊甲上方為
　　斜線上方倍于元方圖　　股冪之倍并和較冪倍大于句冪股冪之并古法倍?冪內(nèi)減句股和冪開方得較若減較冪亦開方得和即其理也
　　論曰己丁較上方與丁
　　甲和上方并之即己甲
　　上方也戊巳線上方與
　　戊甲線上方并亦即巳
　　甲上方也　而戊巳為句冪斜線戊甲為股冪斜線凡斜線上方形倍于原方故較冪并和冪亦倍大于句冪股冪之并也而句冪股冪并之即?冪古人所以用倍?冪也
　　此第十題與前題同法　甲
　　丙即句　丁丙即股　丁甲
　　全線即和　丁乙引増線即
　　較
　　準(zhǔn)前論丁庚【即丁乙】較上方冪與丁甲和上方冪并成庚甲線上冪而庚甲冪內(nèi)原兼有丙丁股【即巳戊亦即己庚】及丙甲句二冪【己壬為股冪辛丙為句冪】之倍數(shù)【庚戊為股斜線其冪必倍于股冪戊甲為句斜線其冪必倍于句冪】故庚甲冪內(nèi)能兼戊庚及戊甲二冪
　　丙丙線皆?也丙丙方?冪
　　也甲丙之長者皆股也【亦即丙丁
　　丁】甲丙之短者皆句也【亦即丙丁】丁丁線句股較也丁丁小方
　　較冪也甲丙甲句股和也甲甲大方和冪也
　　丁甲長方皆句股相乗即倍句股形積也
　　合而觀之則?冪內(nèi)有句股積四及較冪一也和冪內(nèi)有句股積八及較冪一也　若倍?冪則有句股積八及較冪二也故以和冪減倍?冪得較冪　若以較冪減之亦得和冪矣

　　以句股法解理分中末線之根
　　即幾何二卷第十一題　六卷第三十題四卷第十第十一題
　　古法句?較　　　　　癸庚?　其鼏庚乙　丙癸
　　乘句?和開　　　　　句　其鼏丙戊
　　方得股之圖　　　　　引庚甲?至壬使甲壬如丙
　　癸句則庚壬為句?和丙庚
　　原為句?較　以較乗和成
　　丙壬長方　長方內(nèi)截甲丁
　　小長方與戊辛等　其余庚辛
　　合而觀之是?鼏內(nèi)兼有句?較乗和之積及句鼏也
　　夫?鼏內(nèi)原有句股二鼏而今以句?較乗和之積可代股鼏是句?較乗和即同股鼏也
　　句?和及股　　　　用法
　　及句?較為　　　　有句?和　有句?較
　　連比例圖　　　　　求股法以較乗和開方得股
　　或有股有句?和求句求
　　?法以股自乗為實(shí)以句
　　?和除之得較以較減和
　　半之得句句加較得?若
　　先有較以除股鼏亦得和矣
　　如圖　丙戊丁句股形　丙丁?與丁乙等【亦與丁庚等】丁戊句　亥戊為倍句　乙戊為句?較與庚亥等戊庚為句?和與亥乙等
　　亥巳為句股和乗句?較之
　　積與戊癸等
　　丙戊股　其方鼏甲丙
　　準(zhǔn)前論甲丙方與亥巳長方
　　等積【戊癸亦同】則庚戊和與丙戊股若丙戊股與戊乙較也一　句?和　庚戊
　　二　股　　　丙戊
　　三　股　　　丙戊
　　四　句?較　戊乙
　　以戊乙較減亥乙和余亥戊倍句折半為句【丁戊或丁亥】或戊乙較與丙戊股若丙戊股與庚戊和也
　　一　句股較　戊乙
　　二　股　　　丙戊
　　三　股　　　丙戊
　　四　句股和　庚戊
　　又論曰以二圖合觀之凡倍句加句?較即句?和以倍句減句?和余即句?較
　　此不論句小股大如前圖或句大股小如后圖并同此可以明倍句與句?較必為句?和之兩分線故以句?和為全線則其內(nèi)兼有倍句及句?較之兩線矣但倍句有時而大于較有時而小于較故不能自為
　　連比例而必借股以通之
　　今于句?和全線內(nèi)取倍句如股則先以股線為和較之中率者今以如股之倍句當(dāng)之而倍句原系句?和全線之大分于是和與倍句之比例若倍句與較亦即為全與大分若大分與小分此理分中末線所由出也下文詳之
　　丙戊線上取理分中末線
　　先以丙戊線命為股　以丙戊折半成丁戊命為句取丙丁?與丁乙等則戊乙為句?較
　　變股為倍句成　　　亥戊倍句與丙戊股等　以理分中末線圖　　　加較成亥乙即句?和
　　亥巳為和較相乗積與丙亥
　　股鼏等【丙亥為丙戊股之方即為亥戊倍句之方】準(zhǔn)前論亥乙和與丙戊股
　　若丙戊股與戊乙較
　　今亥戊即丙戊則又為亥乙
　　和與亥戊倍句若亥戊倍句與戊乙較也
　　夫亥乙者全線也亥戊其大分戊乙其小分也合之則是全線與其大分若大分與其小分
　　論曰此以丙戊股線為理分中末之大分而求得其全線亥乙與其小分戊乙也而大分與小分之比例原若
　　理分中末線　　　　全線與大分故即可以丙戊
　　比例圖　　　　　　大分為全線而以小分戊子
　　【即戊乙也】為大分則子丙自為小
　　分矣
　　以亥乙為全線【亥戊大分即丙戊亦即乙】
　　【甲　戊乙小分即戊子】
　　亥乙與乙甲【即亥戊大分】若亥戊與子戊也【即亥戊與戊乙】
　　理分中末線　　　　此用亥乙甲大句股比亥戊
　　相生不窮圖　　　　子小句股
　　若丙戊為全線
　　則又戊子為大分【亦即子巳】子丙
　　為小分【亦即巳甲】為亥戊與戊子
　　【即丙戊與戊子】若子巳與巳甲也【即子戊與子丙】
　　此用亥戊子大句股比子巳甲小句股
　　亥戊與戊乙若戊子與子丙又相視之理也
　　又若子巳為全線
　　則子庚又為大分　庚巳又為小分
　　其法但于大分子巳內(nèi)截取子庚如小分丙子作丙庚小方則戊子【即子巳】與子丙若子庚與庚巳
　　似此推之可至無窮

　　解幾何三卷第二十七題
　　甲乙丙句股形　以乙丙句
　　折半于巳　作已戊線與股
　　平行平分甲丙?于戊　又
　　作戊庚線與句平行平分甲
　　乙股于庚成巳庚長方此即半句乗半股為句股積之半也
　　凡句股形內(nèi)依正角作長方惟此為大　若于形內(nèi)別作長方皆小【皆不及句股半積也】
　　今仍作卯丁形則小于巳庚何以知之曰試作丑戊線與丙巳半句平行而等又作丑丙線與戊巳半股平行而等又引壬辰至寅引壬卯至午即顯壬丑形與壬巳形等又乙辰原與巳寅等則以巳寅加壬丑而成丑午壬辰巳之磬折形即亦與卯丁形等矣夫磬折形在丑巳方形內(nèi)而缺午辰之一角即相同磬折之卯丁形以較已庚半積方形亦缺戊未之一角也葢丑巳等巳庚而所缺之午辰小方亦等戊未也　準(zhǔn)此言之即凡作長方于丙戊界內(nèi)者皆小于巳庚半積形也
　　又作子癸形則亦小于巳庚何以知之曰試作戊乙對角線引之至酉即顯癸未形與卯未形等即卯丁形與子癸形亦等而其小于巳庚形為所缺之戊未小方亦等矣　準(zhǔn)此言之即凡作長方于甲戊界內(nèi)者皆小于巳庚半積形也
　　又知句股內(nèi)容方之積亦皆小于半積惟句股相等如半方者容方即為半積
　　論曰此磬折形依?線而成葢即幾何所謂有闕依形也所闕之小方午辰及戊未皆與丑巳形相似而體勢等以有?線為之對角也然以句股解之殊簡
　　又論曰若壬角在?線上去戊角更逺則所缺之午辰小方亦更大而其形皆相似而體勢等辛角亦然

　　解幾何三卷三十五題
　　甲丙乙句股形　以
　　甲乙?為半徑作員
　　則甲丙股為正?
　　丙乙句為余?
　　己丙矢為句?較丁
　　丙大矢為句?和
　　依句股法　較乗和開方得甲丙股而丙戊亦甲丙也故甲丙乗丙戊與巳丙乗丁丙等積也
　　幾何三卷第三十五題言員內(nèi)兩線相交則其各分之線相乗等積即此理也
　　巳丁過員心線
　　有庚壬斜線相交
　　于丙【分丙巳及丙丁又丙庚及
　　丙壬】皆分為兩法自
　　員心乙作十字線
　　至辛平分庚壬為兩【辛庚辛壬】皆斜線之半
　　辛庚半線內(nèi)又分辛丙為小線
　　以辛丙減辛庚余庚丙為較以辛丙加辛壬成丙壬為和
　　以大小二方相較之理言之庚辛方內(nèi)有庚丙較乗丙壬和之積及辛丙方
　　乙辛庚句股形以乙庚為??冪內(nèi)兼有庚辛及乙辛句股二冪即兼有庚丙乗丙壬之積及辛丙乙辛二方也又乙辛丙小句股形以乙丙為?則乙丙方內(nèi)兼有辛乙辛丙二方而甲丙乙句股形以同庚乙之甲乙為??冪內(nèi)兼有甲丙及乙丙二方　此兩?者既等其冪必等而其所兼之辛丙乙辛二方又與乙丙方等則各減等率而其所余之庚丙乗丙壬積亦必與甲丙方等矣
　　而已丙乗丙丁原與甲丙方等則巳丙乗丙丁亦必與庚丙乗丙壬等矣
　　辛戊線　庚壬線
　　相交于丙則戊丙
　　乗丙辛與庚丙乗
　　丙壬亦等
　　何以知之曰試作
　　一丁巳過心線與
　　兩線交于丙凖前論戊丙乗丙辛之積及庚丙乗丙壬之積皆能與丁丙乗乙丙之積等則亦必自相等矣
　　丁巳員徑　有
　　庚壬斜線相交
　　于丙則庚丙乗
　　丙壬與巳丙乗
　　丙丁等
　　如法作乙辛及
　　乙庚線成乙辛庚句股　又成乙辛丙小句股以丙辛句減庚辛句余庚丙為較　以同丙辛句之辛戊加庚辛句成庚戊為和【即丙壬】
　　又以乙丙?【即乙子亦即乙癸】減庚乙?余子庚為較　又兩?相加成庚癸為和【即子丑】以庚子較乗庚癸和與庚丙較乗丙壬和之積必等【詳后條】而巳丙即庚子丙丁即子丑【亦即庚癸】故巳丙乗丙丁與庚丙乗丙壬亦等
　　又大小方相減之理　庚乙方內(nèi)兼有庚子乗庚癸之積及乙子方即如兼有庚丙乗丙壬之積及乙丙方也【乙丙即乙子】
　　而同庚乙之甲乙?冪內(nèi)原兼有甲丙方及乙丙方此庚乙甲乙兩積內(nèi)各減去乙丙方則所存者一為庚丙乗丙壬之積一為甲丙自乗積此所余兩積亦必相同可知矣
　　又巳丙乗丙丁之積原與甲丙方等則亦與庚丙乗丙壬等矣
　　先解兩方相減
　　寅辛大方內(nèi)減子巳小方【寅辰為兩方邊之較卯辰為兩方之和即子辛】法以小方邊【乙子】為度于大方邊截取【乙長乙戊】作辰午線及
　　戊未線成辰戊
　　小方與巳子等
　　為減去之積其
　　余為寅午長方
　　【即二方較線寅長乗大方邉之
　　積】及未辛長方
　　【即較線午未乗小方邉之積】
　　末取未辛長方移補(bǔ)丑卯之位成卯寅長方【即較乗和之積】又庚甲大方內(nèi)減己癸小方【丁辛為兩方較已辛為兩方和亦即辛丙】如法作丁壬癸戌二線減去丁癸小方與已癸等其余辛壬壬癸兩長方又移癸壬為丙壬成丁丙長方即較乗和之積也
　　凖此論之凡大小二方相減其所余者必皆為較乗和之積
　　次解兩句股形相減　凡兩句股同髙即可相加減【謂股數(shù)同也】
　　乙庚辛句股內(nèi)減乙庚丁句股　則以丁庚句減辛庚句余【辛丁】為兩句之較　又以同【丁庚】之巳庚句加辛庚句成辛已為兩句之和　和乗較成丁丙長方
　　又以乙丁?減辛乙?余辛戊為兩?之較　又兩?相加成辛子為兩?之和【戊乙子乙并同丁乙】　和乗較成卯寅長方
　　此兩長方者其積必等【無論乙為正角或鈍角或鋭角并同】
　　何以明其然也曰依句股法乙辛?上方兼有乙庚庚辛上二方又乙巳?上方兼有乙庚庚巳上一方今既以乙巳上方減乙辛上方則各所兼之乙庚方巳相同而減盡故乙辛上方之多于乙巳上方者即是庚辛上方多于庚巳上方之?dāng)?shù)也
　　又所用者是兩分之乙庚辛句股及乙庚已句股【即乙庚丁】故不論乙角銳鈍其法悉同也

　　解幾何三卷三十六三十七題
　　甲乙丙句股形　以丙乙
　　句為半徑作員　則甲丙
　　股為切線　甲乙?為割
　　線
　　甲乙割線內(nèi)減丁乙半徑
　　則甲丁為句?較　甲乙割線加戊乙半徑成甲戊為句?和　和較相乗平方開之得甲丙股
　　幾何三卷第三十六題三十七題之理葢出于此若割員線不過乙心　如甲庚　則以他句股明之法自乙心向割員線作乙巳為十字正交線則割線之
　　在員內(nèi)者平分為兩【子巳巳庚】并為員內(nèi)線子庚之半
　　又作乙子半徑成子巳乙
　　小句股則子乙小?上方
　　冪兼有子巳小股乙巳小
　　句兩冪又甲庚總線既分于巳則甲巳大線內(nèi)減子巳小線其余甲子在員外者為較　以小線巳庚加大線甲巳成甲庚總為和
　　凡大小二方相較則大方內(nèi)兼有較乗和及小方之積
　　則是甲巳冪內(nèi)必兼有甲
　　子乗甲庚之長方及子巳
　　方也
　　又甲巳乙亦句股形其甲
　　乙?內(nèi)原兼有甲巳及乙已句股二冪即是兼有甲子乗甲庚之長方及子巳方與乙巳方也而子巳及巳乙二方原合之成一子乙方子乙即丙乙也是合丙乙方與甲子成甲寅之長方而成甲乙方也
　　又甲丙乙句股形　同以甲乙為?原合丙乙方與甲丙方而成甲乙方
　　兩形之甲乙方內(nèi)各去其相等之丙乙方則其余積一為甲子乗甲寅之長方一為甲丙自乗方是二者不得不等矣
　　用法
　　凡測平員形　既得甲丙切線　自乗為實(shí)　以甲丁之距為法除之得甲戊之距以甲丁距減之得丁戊員徑
　　若欲測庚物之在員周者亦以甲丙切線自乗為實(shí)以甲子為法除之即得甲庚之距
　　又法用兩句股相加減
　　甲乙丙句股形　以乙丙句為半徑作員　又以甲乙?為半徑作外員　自外員任取甲防作過心員徑至戊　又任作一不過心斜線入內(nèi)員至庚　則以兩員
　　間距線乗其全線皆與
　　股冪等而亦自相等
　　如以甲丁乗甲戊或甲
　　壬乗甲庚其積皆等又
　　皆與甲丙切線上方冪等
　　法以兩句股相加減
　　先自乙心作乙辛十字正線平分壬庚線于辛成乙辛甲句股
　　又作乙壬乙庚二線成乙辛壬小句股與乙辛庚等法以辛壬與甲辛相減余甲壬為兩句之較
　　又相加成甲庚全線為兩句之和則以甲壬乗甲庚為句之較乗和也
　　又以乙壬與甲乙相減余甲丁為兩?之較
　　亦相加成甲戊全線為兩?之和則以甲丁乗甲戊為?之較乗和也
　　此句與?之和較相乗兩積必等
　　而甲丁乗甲戊原與甲丙自乗等【以甲丙乙句股言之也】故三積俱等
　　凖此論之凡自甲防任作多線入內(nèi)員其法并同　不但此也但于外員周任作線入內(nèi)員亦同如于丑作丑戊線則丑卯乗丑戊亦與甲丙冪等
　　何以知之曰試于丑作丑寅過心線即諸數(shù)并同甲戊矣而丑卯戊之于丑辰寅猶甲壬寅之于甲丁戊故也

　　簡法
　　庚壬斜線交丁巳員徑于
　　丙　如法作乙辛線　成
　　乙辛庚句股形及乙辛丙
　　小句股形
　　又以丙辛小句與辛庚大句相減得庚戊較又相加成庚丙和
　　再以乙丙小?【即乙癸亦即乙子】與庚乙大?相減得子庚較又相加成癸庚和
　　依大小兩句股相加減法庚戊較乗庚丙和與子庚較乗庚癸和同積
　　而壬丙原同庚戊又巳丙原同子庚而丁丙亦同癸庚則壬丙乗庚丙亦必與巳丙乗丁丙同積矣
　　又簡法
　　壬庚線斜交已丁員徑于丙　依法作乙辛又作乙壬線　成乙辛壬句股及乙辛丙小句股皆如前
　　今自庚別作一過乙心線如
　　庚戊則乙辛庚與乙辛壬成
　　相同之兩句股即顯壬丙為
　　大小兩句之較而丙庚為其
　　和
　　又顯戊癸為兩?之較而與巳丙等則巳丙亦較也又癸庚為兩?之和而與丙丁等則丙丁亦和也是故壬丙乗丙庚較乗和也已丙乗丙丁亦較乗和也而其積必等

　　厯算全書卷四十八
　　欽定四庫全書
　　歴算全書卷四十九
　　宣城梅文鼎撰
　　句股闡微卷四
　　幾何増解
　　方斜較求原方【幾何約論線第十四條有用法今解其理】
　　甲乙丙丁正方形　甲乙其對角線　戊乙為方斜之較　于戊乙上作庚癸乙戊小方則丙庚與庚戊等
　　論曰法于方之一角甲
　　作員而以丙甲方徑為
　　員之半徑則乙丙為切
　　員線乙辛為自員外割
　　員之全線乙戊較為割
　　員在外之余線而兩線
　　皆出一防則乙戊乗乙
　　辛之矩形與乙丙切線方形等
　　夫乙丙即原設(shè)方也今以同乙戊之癸乙為橫乙辛為直作乙已長方【即乙戊乗乙辛之矩】又移切甲己長方為子甲長方又移卯補(bǔ)午移辰補(bǔ)酉移丑補(bǔ)寅則復(fù)成乙丙甲丁方形矣而丑卯午酉等斜剖半方形皆以乙戊較為半方形之邊是庚戊及丙庚皆與乙戊等而亦自相等又何疑焉
　　用法　有方斜之較乙戊求原方形之一邊法以乙戊較作小方形取其斜乙庚再引長之截丙庚如乙戊得乙丙如所求
　　從此圖生一測員之法　假有員城八面開門正西門如戊門外有塔如乙其距如乙戊西南門如丙距塔若干歩如乙丙問城徑
　　法以乙丙之距自乗得數(shù)為實(shí)以乙戊之距為法法除實(shí)得乙辛于乙辛內(nèi)減去乙戊即員城之徑　防法但倍乙丙即得城徑
　　有員城正西之門如戊西南之門如丙人立于庚可兩見之而庚丙與庚戊皆等問城徑
　　法以庚戊自乗成戊癸小方以方斜之法求其斜距為乙庚以乙庚加庚丙為乙丙即城半徑
　　按此即幾何約之用法也
　　又以句股法解之
　　又論曰試于庚丙上作丙子較線上方引庚戊至丁則丁庚又為丙子方之斜而丁戊與乙丙等從丁戊作丁壬甲戊為元方如所求
　　又論曰此即句?和較相乗
　　開方得股也　乙甲丁甲皆
　　如?　戊甲甲辛【甲丙甲壬】皆如
　　句　乙戊如句?較【丁丙同】乙辛如句?和　和較相乗
　　成癸辛長方　開方得丁戊
　　股【乙丙同】

　　切線角與員周角交互相應(yīng)【幾何三卷三十二三十三増題】
　　乙丙丁三角形在員內(nèi)有甲乙切員線則所作丙乙甲
　　角與丙丁乙角同大又丁乙戊
　　角與丁丙乙角同大所謂交互
　　相應(yīng)也
　　論曰丁角以乙丙弧分論度而
　　丙乙甲角亦以乙丙弧分之度為度故丙乙甲角即丁角也丙角以丁乙弧分為度而丁乙戊角亦以丁乙弧分為度故丁乙戊角即丙角也　凡用員周度為角度皆以兩度為一度詳后第三増題
　　若丁為鈍角則丙乙甲亦鈍角兩鈍角同以丙辛乙弧為度故也其丙銳角與丁乙戊銳角則同以丁乙弧為
　　度
　　又増題　員內(nèi)三角形一角移
　　動則余二角變而本角度分不
　　變交互相應(yīng)之角度亦不變
　　如上圖【三圖】丁角移至辛則丙
　　角加大而相應(yīng)之辛乙戊角亦
　　從之而大以辛丁乙弧大于丁
　　乙弧也辛乙戊大則辛乙丙小
　　矣其較皆為丁辛弧　若丁角雖移至辛而其度不變相應(yīng)之丙乙甲角亦不變以所用之丙乙弧不變也又丙角移至壬則丁角加大相應(yīng)之壬乙甲亦從之而大以壬丙乙弧大于丙乙弧也壬乙甲大則壬乙丁小矣其較皆為丙壬弧　若丙角雖移至壬其度不變相應(yīng)之丁乙戊亦不變以所用之丁乙弧不變也

　　此圖同論但丁角移則丙角變
　　小丙角移亦然

　　又増題　切員線作角與員周弧度相應(yīng)圖
　　有子甲戊員有干艮線相切于子從子防出線與切線作角必割員周之度其大小皆相應(yīng)但皆以員周兩度當(dāng)角之一度
　　如用子午正線則所作兩防子角皆正角【百八十度分兩正角各皆九十度】而亦剖員為半周【兩半員并百八十度】是兩度當(dāng)一度又如用子辛線作辛子艮鈍角【四十五度】而本線割員周于辛為九十度象限亦兩度當(dāng)一度
　　又如用子辛線作辛子干鈍角形【百三十五度】而線割辛午干員分【為二百七十度】三象限亦兩度當(dāng)一度
　　又如于員內(nèi)任作辛子乙角形乙辛子角所乗之子甲乙弧六十度干子乙角同用子甲乙弧亦六十度然其實(shí)度是坎寅弧實(shí)只三十度亦兩當(dāng)一也
　　又子乙辛角乗子癸壬辛弧【一象限】艮子辛角亦割子癸壬辛弧【一象限】然其實(shí)度為震酉弧只四十五度亦兩當(dāng)一也所以者何曰試作辛乙線移角于辛則所乗弧【子甲
　　乙】六十度皆實(shí)度也今也
　　角在心是員周也非員心
　　也凡員周之角小于員心
　　一倍故也
　　論曰員周至員心正得員
　　徑之半故所作角為折半
　　比例試作乙丙線成辛乙
　　丙句股形又從心作心周
　　線與辛乙平行則所作周心丙角與乙辛丙等而此心周線平剖乙丙句亦平分乙周丙于周而正得其半矣系句股形平分?線作點(diǎn)從此作線與股平行即平分句線為兩
　　又論曰查角度之法皆以切點(diǎn)為心作半員即見真度此不論半員大小或作于員內(nèi)或作于員外并同　作于員外其度開明易于簡查
　　又論曰試于所切圈心作橫徑線與切線平行如辛丙線引長之出員外而以查角度之線割員周而過之則皆成大小句股形而所過橫線上防皆即八線中之切線為句股形之股角度斜線為橫線所截處即八線中割線常為?而切點(diǎn)至員心之半徑常為句
　　如子辛角度線割橫線于辛成辛心子句股形其所當(dāng)角度為酉中四十五度則辛心即四十五度之切線辛子即四十五度之割線余并同　其子心即半徑也又論曰角度半員有大小而子心半徑常為句者以所作橫線在員心欲用員度相較也若于半員之端【如中如外】作橫線與切線平行其所作切線割線亦同比例而即以各半員之半徑為句矣
　　不但此也即任于子心外直線上任作一橫線其所作句股并同但皆以十字交處距子防之度命為半徑此八線割員之法所由以立也

　　量無法四邊形防法
　　甲乙丙丁形求其容　先作
　　乙丁對角線分為兩三角形
　　次自丙作丙戊橫線與乙
　　丁線相交于丑為十字正角
　　而取戊防與甲齊平則戊丑即甲庚也次以丙戊防折半于己　次作壬癸線與乙丁平行而等　又作壬辛癸子二線皆與己丙平行而等　得辛癸長方即原形之容

　　取平行線簡法
　　法曰乙丙線欲于甲防作
　　線與之平行法于線外任
　　取巳防為心甲防為界作
　　辛甲丁庚圈分次以庚為
　　心取甲辛之度為界截員分得丁防末自丁作戊丁甲線此線必與乙丙平行矣
　　論曰凡圈內(nèi)兩直線相距之度等則其線必平行如【丁甲】與【庚辛】兩線俱在一圈之內(nèi)而所距之【甲辛】圈分與【庚丁】圈分等是相距之度等而其線平行也因讀數(shù)度衍得此法似較他處為防
　　補(bǔ)測量全義斜坡用切線法【系勿庵補(bǔ)】
　　斜三角形有一角兩邊求余邊
　　法用切線分外角求得余
　　角即以得邊可不用垂線
　　如甲乙己斜角形　有乙
　　甲及己甲二邊　有甲角求乙己邊
　　法以己甲線引長之成乙甲丙角為原有甲角之外角【以元有甲角減半周得】次分外角之度而半之為半外角而求其切線為三率并乙甲己甲二邊為首率又以二邊相較為次率次率乗三率為實(shí)首率為法除之得半較角之切線以查表得半較角之度以減半外角得己角末用正?法得己乙邊　法為己角正?與乙甲若甲角正?與乙己
　　三率法
　　一　兩線之和　　　己丙
　　二　兩線之較　　　己丁
　　三　半外角之切線　戊癸
　　四　半較角之切線　壬戊
　　用外角者乙己兩角之和度而較角者乙己兩角之較度【以用切線故半之也】
　　論曰又如后圖己甲引至丙而乙甲亦引至辛則乙甲丙及丁甲寅兩角皆原有甲角之外角再作甲戊線平分外角則丁甲戊及寅甲戊皆半外角　又作甲壬線
　　與乙已平行則壬
　　甲癸角即同己角
　　壬甲辛角即同乙
　　角再于甲戊半徑
　　之端作癸戊辛十
　　字線切員于戊則
　　戊癸及戊辛皆半外角之切線也再以壬甲癸角減壬甲辛角其較為壬甲子角則壬甲戊即半較角而壬戊其切線也
　　其比例為己丙【二邊和】與己丁【二邊較】若癸辛【外角全切線即乙己丁角和度之全切】與壬子【較角度之全切線】則亦若癸戊【半外角切線】與壬戊【即半較角之切線】何也全與全若半與半也

　　理分中末線
　　甲乙線求作理分中末線
　　法以甲乙全線折半于庚乃
　　作垂線于甲端為丙甲如半
　　線甲庚之度為句全線為
　　股次作丙乙線為?
　　次以丙為心乙為界作乙丁圈界　次引丙甲句至丁則丙丁即丙乙也　末以甲為心丁為界作丁戊己圈分則甲己為理分中末之大分己乙為小分其比例為甲乙與甲己若甲己與己乙也
　　逓加法　借右圖以乙為心甲為界運(yùn)規(guī)截丁已圈分于戊自戊作線向甲成甲戊線與甲丁等乃自戊作戊乙線與乙甲等成甲乙戊三角形
　　此形甲戊兩角悉倍于乙角乃平分戊角作戊辛線此線與甲戊并大亦與乙辛同大成辛戊甲相似三角形則甲乙與乙辛【即戊辛】若乙辛與辛甲也又平分辛角作
　　辛壬線與壬戊與辛甲
　　皆同大則成甲辛壬三
　　角形與辛戊甲相似則
　　乙辛【即戊辛亦即戊甲】與辛甲
　　【即辛壬戊壬】若辛甲與壬甲
　　也如此逓半則其角比例并同
　　一【乙甲】　　　二【乙戊即戊辛戊甲】　三【辛甲即辛壬戊壬】　四【辛癸即壬癸壬甲】五【癸甲即癸子壬子】　六【癸丑即丑子子甲】　七【丑甲即丑寅寅子】　八【丑卯即卯寅寅甲】九【卯甲】　若能知其數(shù)則以大分逓乗全數(shù)除之得細(xì)數(shù)
　　先得甲乙為大分而求乙己全分及
　　乙庚小分　用此圖亦為半圓內(nèi)求
　　容方法則以乙巳全分加乙庚小分
　　折半于戊得戊己為半徑若先得戊
　　己則以戊己【即戊丁】為?作丁甲戊句股使戊甲句半于丁甲股則丁甲即為戊己理分中末之大分
　　解曰甲庚【即乙己】全數(shù)與丁甲【大分】若丁甲【大分即甲乙】與甲己小分【即乙庚】也
　　以量分
　　甲乙線十?dāng)?shù)求作理分中末線
　　先依甲乙線作甲乙丁丙正
　　方形【四面皆十?dāng)?shù)】　次任用一面
　　平分之如甲丙平分于壬【甲壬
　　及壬丙皆五數(shù)】甲乙之半數(shù)也【甲丙與甲】
　　【乙等其分亦等】　次自壬向乙角作乙壬斜線其數(shù)一十一【一八○三三九】　次自壬量甲壬或丙壬之度【即甲乙之一半】移置于乙壬線上截壬癸如甲壬則其余癸乙即理分中末之大分其數(shù)六【一八○三三九】末以癸乙之度移置于甲乙線上如乙戊則乙戊為大分戊甲為小分其數(shù)三【八一九六六○】
　　簡法
　　作句股形　令甲壬句如甲乙股之
　　半乃以壬為心甲為界作虛線圓分
　　截乙壬?于癸
　　末以乙為心癸為界作圓分截甲乙線于戊
　　則乙戊為大分甲戊為小分
　　又簡法
　　以甲乙全線為半徑作半圓形則乙庚乙辛皆與甲乙等
　　次平分乙辛于己
　　次以己為心庚為界運(yùn)規(guī)割甲乙
　　線于戊【戊己之度即同己庚】
　　則乙戊為大分　甲戊為小分
　　又簡法
　　作子寅丑卯十字線相交于乙
　　次以乙為心甲為界運(yùn)規(guī)截十字
　　線于甲于庚于辛則乙庚乙辛皆
　　與設(shè)線甲乙等乃折半【乙辛】于己
　　以己為心庚為界運(yùn)規(guī)截甲乙于戊　則乙戊大分甲戊小分皆得矣　此法可于平面圓器上求之
　　附長方變正方法
　　甲乙丙丁長方形欲變正方以長方形之橫邊【乙丙】直邊【丙丁】二線取其中比例即所求
　　取中比例法以丙丁乙丙【即戊
　　丙】聯(lián)為一直線【丁戊】而折半于
　　己以己為心丁若戊為界作
　　半圓次引乙丙橫線至圓界
　　截圓界于庚成丙庚線即乙
　　丙及丙丁二線之中比例線
　　次于丙庚線上作小方形其容與甲乙丙丁長方形等如右圖丙庚線上方形為丙壬乃子壬癸句股形內(nèi)之容方也而甲丙長方形則子壬癸句股外之余方也余方與容方等積
　　簡法
　　先引丁丙邊至午引乙丙邊至
　　未次以丙角為心乙為界作小
　　員界虛線截引長線于戊
　　次以丁戊線折半于己次引乙丙至未次以己為心戊為界運(yùn)規(guī)作小圓界截引長線于庚　則丙庚即所變方形之一邊　末依丙庚線作方形與甲乙丙丁長方形等積　其法以丙為心庚為界運(yùn)規(guī)截丙辛與丙庚等
　　理分中末線用法
　　一用以分平圓為十平分
　　法為半徑與三十六度之分圓若全分與理分中末之大分也
　　一用以分平圓為五平分
　　歴書言以全分為股理分中末之大分為句求其?即半徑全數(shù)為股三十六度之分圓為句求得七十二度之分圓為?
　　一用以量十二等面體
　　法為立方邊與所容十二等面邊若理分中末之全分與其小分也又十二等面體之邊與內(nèi)容立方邊若理分中末之大分與其全分也又立方內(nèi)容十二等面體其內(nèi)又容小立方則外立方與內(nèi)立方若理分中末之全與其大分也
　　一用以量二十等面體
　　法為立方邊與所容二十等面邊若理分中末之全與其大分也
　　一用以量圓燈
　　法為圓燈邊與其自心至角線若理分中末之大分與其全分也此自心至角之線即為外切立方立圓及十二等面二十等面之半徑又為內(nèi)切八等面之半徑圓燈為有法之形即此可見
　　用理分中末線説
　　言西學(xué)者以幾何為第一義而傳只六卷其有所秘耶抑為義理淵深翻譯不易而姑有所待耶測量全義言有法之體五其面其積皆等其大小相容相抱與球相似幾何十一十二十三十四卷諸題極論此理又幾何六卷言理分中末線為用甚廣量體所必需幾何十三卷諸題全頼之古人目為神分線又言理分中末線求法見本卷三十題而與二卷十一題同理至二卷十一題則但云無數(shù)可解詳見九卷其義皆引而未發(fā)故雖有此線莫適所用疑之者十余年辛未嵗養(yǎng)病山阿游心算學(xué)于量體諸法稍得窺其奧爰證厯書之誤數(shù)端于十二等面二十等面得理分中末之用及諸體相容之確數(shù)故以立方為主其內(nèi)容十二等面邊得理分線之末二十等面邊得理分線之中反覆推求了無凝滯始信幾何諸法可以理解而彼之秘為神授及吾之屏為異學(xué)皆非得其平也其理與法詳幾何補(bǔ)編

　　遙量平面法
　　甲乙庚辛為
　　所欲量之平
　　面而不能到
　　如仰視殿
　　上承塵而人
　　在殿外又如峭壁懸崖之上有碑若碣凡平面之物人從地面斜視灼然可見而不能到
　　或平面在下如田池之類人從臺上俯視可見或臨深崖瞰谷底其理不異但倒用其圖即是
　　欲量甲乙庚辛平面而不能到可到者丙丁則先知丙丁之距及丙丁所作各角即可以知之
　　先求甲乙線　法于丙于丁各安平圓儀各以指尺向甲向乙又自相向各作角成甲丙丁甲丁乙乙丁丙凡三角形者三依第一法用甲丙丁形此形有丙丁線【兩測之距】有丙角有丁角自有甲角可求甲丁線法為甲角之正?與丙丁若丙角之正?與甲丁也
　　次仍依第一法用乙丁丙形此形亦有丙丁線【兩測之距】有丙角有丁角自有乙角可求乙丁線
　　法為乙角之正?與丙丁若丙角之正?與乙丁也【此丙角與前形之丙角不同】
　　次仍依第一法用甲丁乙形此形有甲丁乙丁兩線及兩線間所作之丁角【與前形丁角不同】可求甲乙線為所測之一邊　法自甲角作甲戊垂線至戊分乙丁線為兩而甲丁乙三角形分為兩句股形　其一甲戊丁句股形有丁角　有甲丁線為?可求甲戊句戊丁股
　　法為全數(shù)與甲丁?若丁角之正?與甲戊句　又全數(shù)與甲丁?亦若丁角之余?與戊丁股也
　　其一甲戊乙句股形有甲戊句　有乙戊股【戊丁減乙丁得之】可求甲乙?
　　法以甲戊句乙戊股各自乗而并之開方得甲乙即所測平面之一邊
　　第二求庚辛線　法亦于丙于丁各安平員儀【即先所安之元處】各以指尺向庚向辛又自相向各作角成庚丙丁庚丁辛　辛丙丁　凡三角形亦三
　　依第一法用庚丙丁形　此形有丙丁線【兩測之距】有丙角有丁角自有庚角可求庚丁線
　　法為庚角之正?與丙丁若丙角之正?與庚丁也【此丙角與前兩丙角不同】
　　依上法用辛丙丁形　此形有丙角【此丙角又與上不同】有丁角自有辛角　可求辛丁線【丁角與前不同】
　　法為辛角之正?與丙丁若丙角之正?與辛丁也仍依上法用庚丁辛形此形有庚丁辛丁兩線及兩線間所作丁角【此丁角又不同】可求庚辛線為所測之又一邊法自庚角作庚己垂線至己分辛丁線為兩而庚丁辛三角形分為兩句股形
　　其一庚己丁句股形有丁角有庚丁線為?可求庚己句己丁股
　　法為全數(shù)與庚丁?若丁角之正?與庚己句亦若丁角之余?與己丁股也
　　其一庚己辛句股形有庚己句有辛己股【己丁減辛丁得之】可求庚辛?
　　法以庚己句辛己股各自乗而并之開方得庚辛為所測平面之又一邊【即甲乙之對邉】
　　第三求甲庚線
　　法于丁防側(cè)安平儀以指尺向甲向庚作甲丁庚角成甲丁庚形此形有甲丁庚丁兩線及兩線所作之丁角【此丁角在甲丁庚丁兩線間】可求甲庚線為所測形之側(cè)邊
　　法自庚角作甲丁之垂線至壬分甲丁線為兩而甲丁庚三角形分為兩句股形
　　其一庚壬丁句股形　有庚丁線為?有丁角可求庚壬句壬丁股【法同前用丁角之正?余?】
　　其一庚壬甲句股形　有庚壬句甲壬股【丁壬減甲丁得甲壬】依句股法可求甲庚?線為所測平面之側(cè)邊
　　第四求乙辛線
　　法亦于丁防側(cè)安平儀指尺向乙向辛作乙丁辛角成乙丁辛形　此形有乙丁辛丁兩線及兩線所作之丁角此【丁角在辛丁乙丁兩線間】可求乙辛線為所測形之又一側(cè)邊法自辛角作乙丁之垂線至癸分乙丁線為兩而乙丁辛三角形分為兩句股形
　　其一辛癸丁句股形有辛丁線為?有丁角可求辛癸句癸丁股【法亦同前用丁角之正?余?】
　　其一辛癸乙句股形有辛癸句乙癸股【癸丁減乙丁得乙癸】依句股法可求乙辛?線為所測平面之又一側(cè)邊
　　如此則所測形之四邊皆具乃用后法求其冪
　　第五求乙庚線
　　法仍于丁防斜立平儀以指尺向乙向庚作乙丁庚角成乙丁庚形此形有庚丁乙丁兩線及兩線所作之丁角【此丁角又在乙丁庚丁兩線間】可求乙庚線為所測形內(nèi)之對角斜線
　　乙庚丁角形內(nèi)自庚角作乙丁之垂線至卯分乙丁線為兩而乙庚丁三角形亦分為兩句股形
　　其一庚卯丁句股形　有庚丁線為?有丁角可求庚卯句卯丁股【依上法用丁角之正?余?】
　　其一庚卯乙句股形　有庚卯句有卯乙股【卯丁減乙丁得卯乙】依句股法可求乙庚?線為所測平面形內(nèi)對角之斜線
　　既有乙庚線則所測甲乙辛庚平面形分為兩三角形可以求其冪積
　　其一乙甲庚形有乙庚底　有甲庚甲乙兩腰　法以兩腰相減為較相并為和和乗較為實(shí)乙庚底為法除之得乙午以減乙庚得午庚半之得子庚乃用句股法以甲庚子庚各自乗相減為實(shí)開方得甲子垂線垂線半之以乗乙庚底得乙甲庚形平積
　　其乙辛庚形有乙庚底　有乙辛辛庚兩腰如上法以乙辛辛庚相減為較又相并為和和乗較為實(shí)乙庚底為法除之得乙辰為底較以減乙庚得辰庚半之得丑庚乃用句股法以丑庚庚辛各自乗相減為實(shí)開方得丑辛垂線垂線半之以乗乙庚底得乙辛庚形平積末以兩三角形積并之為所測甲乙辛庚平面四不等形之總積
　　右法可以不用丈量而遙知畝歩即有種種異態(tài)以三角御之足矣新法厯書言測量詳矣然未著斯法意者其在幾何后數(shù)卷中為未譯之書歟
　　庚午蠟月既望晤逺西安先生談及算數(shù)云量田可以不用履畝初聞之甚不以為然歸而思之得此法然未知其所用者即此與否而此法固己足用矣若用有縱衡細(xì)分之測器指尺一量即得無煩布算矣

<子部,天文算法類,推步之屬,歷算全書,卷四十九>
<子部,天文算法類,推步之屬,歷算全書,卷四十九>
　　測量用影差義疏
　　凡方形內(nèi)從角剖成兩句股形必相似而等【正方或長方并同】

　　方形內(nèi)作對角斜線分為兩句股又于斜線上任取一防作直線縱橫相交如十字而悉與方邊平行分方形為大小四句股形此四句股形各兩兩相似而等【大形丙與丁等小形庚與辛等】
　　則其四句股旁之兩余方形雖不
　　相似而其容必等
　　解曰于原斜線所分相等句股內(nèi)
　　各減去相等之大小兩句股則其余亦等【丙戊庚形內(nèi)減去大形丙小形庚余戊又于丁己辛形內(nèi)減去大形丁小形辛余己原形既等所減又等則其余必等故戊己兩長方雖不相似而其容必等也】
　　句股測逺
　　有甲乙之距人在戊立
　　表又立表于丁使戊丁
　　乙為一直線再于丙立
　　表使丙丁與乙戊如十字之半而與甲乙平行則丁戊小股與丙丁小句若丙庚大股與甲庚大句也
　　法以丙丁小句為二率乙丁大股為三率【即丙庚】相乗為實(shí)戊丁小股為一率為法法除實(shí)得大句甲庚再以庚乙加之得甲乙
　　假如丙丁兩表相距【三歩】人在戊窺丁到乙逺【戊丁十二歩丁乙十八歩】欲求甲乙之距
　　法以丙丁【三歩】乗乙丁【十八歩】得【五十四歩】為實(shí)戊丁【十二歩】為法除之得【四十五歩】為甲庚加丙丁【三歩即乙庚】共四十八歩為甲乙
　　解曰此以乙丙長方形變?yōu)楸镆惨狼罢撘冶麑?shí)形丙癸虛形不相似而容積等故也
　　重測法

　　有巽乙甲井方池欲遙望測其甲乙之一面方并乙丁之距
　　法立表于丁望測方池之東北角乙至東南角巽使丁乙巽為一直線　再于丁橫過立一表于丙使丙丁為乙丁之橫立正線【丙丁橫六歩四分】次從丁退而北行至【戊】量得【十二歩】　從戊斜望池西北隅【甲】不能當(dāng)【丙】表而出其間如【戌】又于戌立表【戌丁】之距【四歩】　再退而北行至【己】從【己】窺【甲】正過【丙】表己丙甲為一直線量得己丁之距【三十六歩】
　　法以【丙丁六歩四分】為一率【丁己三十六歩】為二率【戊丁四歩】為三率　二三相乗得【一百四十四歩】為實(shí)一率【六歩四分】為法除之得【二十二歩半】為辛己于辛己內(nèi)減丁戊【十二歩】余【十歩半】為壬己是為景差
　　次以【戌丁四歩】減【丙丁六歩四分】余【丙戌二歩四分】以戊丁【十二歩】乗之得【二十八歩八分】為句實(shí)　景差【十歩半】為法除句實(shí)得二歩【八分弱】為甲申大句之距加丙丁【六歩四分即申乙】得共【九歩二分弱】為甲乙即方池一面之濶
　　次以辛己【二十二歩半】減丁己【三十六歩】余【十三歩半】辛丁為二率丁戊【十二歩】為三率相乗得【一百六十二歩】為股實(shí)　景差【十歩半】為法除之得【十五歩八分半弱】為乙丁大股之距
　　解曰此以四表重測改為三表乃巧算也　若測髙則重測本為前后二表者亦改用一表故當(dāng)先知本法然后明其所以然下文詳之
　　試先明四表本法
　　有甲乙之濶先立【丁】表從戊測之戊【人目】丁【表】乙【逺物之末端】三者參相直　次于【丁】表橫過與【甲乙】平行作戊丁乙直線之橫直線此線上取戊立表人目從【戊】過【戌】表窺甲逺物之西端亦參相直但于戊丁乙線為斜?成句股形　量得戌丁兩表橫距【四歩】丁戊【人目距東表】直距【十二歩】
　　次于丁戊直線退而北行至己　又于西表戌作戌干癸直線與丁戊平行此平行線內(nèi)取癸立西后表人目從【己】過【癸】至甲參相直成己甲癸斜?　亦從【癸】橫行至【丁己】線尋【辛】立東后表此后兩表【癸辛】之距為前表【戌丁】等【四歩】　又量得【辛己】為東后表距人目之?dāng)?shù)【辛丁二十二歩半】次以丁戊【十二】減辛己【二十二半】得【十歩半】為壬己景差　末以己辛【二十二半】減【己丁三十六】余【十三歩半】為前后表間之距　以表橫距【四歩】乗之得【五十四歩】為表間積【即丁癸長方】　置表間積為實(shí)以景差【十歩半】為法除之得【五歩一半弱】加表橫距【四歩】　　得共【九歩二分弱】為所測逺物甲乙之濶解曰前表測得成【戊乙甲】句股形內(nèi)有戌乙余方與形外戌坤余方等積　后表測得【己乙甲】句股形內(nèi)有癸乙余方與形外酉癸余方等積　于【癸乙】內(nèi)減【戌乙】于【酉癸】內(nèi)減【寅癸即丑戌】則所余之【癸丁】及【酉辰】兩余方亦必等積也故以【丁癸】變【辰酉】而得【辰寅】亦即【甲庚】也
　　次明改用三表之理
　　用三表者于【丙丁】兩表間増一【戌】表其實(shí)則于【戌丁】兩表外増一【丙】表也前増一表而無后表則無從而得景差故以三率法求而得之其實(shí)【癸辛】即后表也其理與四表同
　　然不用【癸子】形而用【戌子】形何也曰準(zhǔn)前論【辰酉】形與【丁癸】形等積而【午癸】形與【丁癸】形亦等積【兩余方在己丙丁句股形內(nèi)外故等】則【酉辰】與【午癸】亦等積矣各減同用之【卯未】則所余之【酉卯】與【卯癸】二形亦自相等積而【卯癸】原與【戌子】等故用【戌子】變?yōu)椤久稀慷谩久考吹谩炯咨辍恳邮枪省拘缱印靠擅鋵?shí)也
　　其以【辛丁】乗【戊丁】為股實(shí)何也曰此三率法也【丁乙】外加【丁辛】前后兩測之表距故【辛壬即戊丁】外亦加【壬己】兩測之景差法為壬己與辛丁若戊丁與丁乙也凖此測髙可用一表而成兩測【即借前測逺之圖而以橫為直】
　　假如有【甲乙】髙立【丙丁】表人目在【戊】測之則表之端不相值而參相直于表之若干度如【戊】退若干歩至【己】測之正對表端【丙】其法并同
　　因看數(shù)度衍中破勾測逺條疑其圖不真因作此以證明其説
　　測量圖説
　　一測股六十四尺
　　八寸【壬丁】　二測
　　句四十三尺二寸
　　【丙丁】　三大股三
　　千六百八十五尺
　　二寸【乙丁即丙午】四大
　　句二千四百五十
　　六尺八寸【甲午】加【午乙】
　　得二千五百尺為甲乙之髙
　　解曰癸丁長方形即古人所謂表間積也以景差壬辛【即丑子】除之變?yōu)橐有问且优c癸丁同積也　而申癸形原與癸丁同積則寅子與申癸亦同積也　于內(nèi)各減同用之申子而寅未與未癸亦同積矣夫未癸即氐己也是戊丁【即亥己】乗丙己之積也故可命為句實(shí)而以景差壬辛【即申未】除之得甲午句也【甲午即戌酉】其取股實(shí)何也曰三率法也表在丁其景丁戊　后表在庚則其景庚壬后表之逺于前表者為庚丁故后景之大于前景者為辛壬則其比例為辛壬與庚丁若丁戊【即庚辛】與丁乙也
　　試引癸庚至箕截庚箕如庚壬又截尾箕如壬辛于尾于箕各作與庚乙平行線而于乙作垂弧為乙牛聯(lián)之作長方形又作丁心線截之作箕乙線斜分之則其理著矣

　　三角形求外切圓法
　　設(shè)如銳角形有甲丙邊七十五尺甲乙邊六十一尺
　　乙丙邊五十六尺　問外切
　　圓徑若干　畣曰外切圓半
　　徑三十八尺一寸二分五牦
　　法先求得甲丁中長線六十
　　尺為一率甲乙邊六十一尺
　　為三率甲丙邊折半得戊甲三十七尺五寸為三率二率與三率相乗一率除之得四率【三八一二五】為甲乙圓半徑
　　解曰此甲丁乙三角形與甲己戊三角形同式故其線為相比例率也若甲為鈍角其理亦同
　　以甲丙折半為三率故四率亦為半徑若以甲丙全線為三率則四率必得甲辛為全徑矣葢甲辛丙形與甲乙丁形同式也何以見甲乙丁形與甲辛丙形同式葢兩形之乙角辛角同當(dāng)甲庚丙弧分則二角必相等而丁丙又同為直角則兩甲角亦必等而為同式無疑矣又界角比心角所當(dāng)之弧大一倍今己心角所當(dāng)甲庚弧適當(dāng)乙界角所對甲庚丙之一半則兩角為等可知而戊為直角與丁角等則兩甲角必等故甲己戊與甲乙丁亦為同式形也
　　三角舉要有量法未著算例因作此補(bǔ)之
　　又如甲乙丙鈍角形　求外切員徑【甲辛】　半徑【甲己】法先求得中長線【乙丁】得【乙丁丙】句股形
　　次作【乙辛】線成【甲乙辛】大句股
　　形
　　又甲乙半之于戊從員心
　　【己】作直線過戊至庚又成
　　【甲戊己】句股形
　　一率　乙丁股【形內(nèi)垂線】

　　三率　甲戊股【即甲乙之半】
　　四率　甲辛?【即外切員徑】　　四率　甲己?【即切員半徑】解曰三句股形皆相似故可以三率比例求之
　　問何以知其為相似形也曰原設(shè)形之丙角與甲乙辛形之辛角所當(dāng)者同為甲庚乙員分則兩角等而乙丁丙形之丁角與甲乙辛大形之乙角又皆正角則余角亦等而為相似形
　　又甲己為甲辛之半甲戊為甲乙之半戊正角與大形乙正角等又同用甲角則己戊亦乙辛之半而為相似形
　　一系凡三角形求得形內(nèi)垂線為法　垂線左右兩原邊相乗　為實(shí)　法除實(shí)得外切員徑　銳鈍同法假如甲乙丙鈍角形求得中垂線乙丁六分為法　左右兩斜邊【甲乙十八分乙丙十分】相乗【一百八十分】為實(shí)　法除實(shí)得外切員徑甲辛三十分　即可借用前圖【分寸畸零稍為整頓】

<子部,天文算法類,推步之屬,歷算全書,卷四十九>
<子部,天文算法類,推步之屬,歷算全書,卷四十九>

　　歴算全書卷四十九
　　欽定四庫全書
　　厯算全書卷五十
　　宣城梅文鼎撰
　　三角形舉要法卷一
　　測算名義
　　古用句股有割員弧背?矢諸名今用三角其類稍廣不可以不知爰摘綱要列于首簡
　　防
　　防如針芒無長短濶狹可論然算從此起譬如算日月行度只論日月中心一點(diǎn)此防所到即為躔離真度線
　　線有弧直二種皆有長短而無濶狹自一防引而長之至又一防止則成線矣

　　如測日月相距度皆自太陽心算至太隂心是為弧線如測日月去人逺近皆自人目中一防算至太陽太隂天是為直線
　　凡句股三角之法俱論線線兩端各一防故線以防為其界
　　面
　　面有方員各種之形皆有長短有濶狹而無厚薄故謂之冪冪者所以冒物如量田疇界域只論土面之大小

　　面之方員各類皆以線限之故面以線為界【面之線亦曰邉】惟員面是一線所成乃弧線也若直線必三線以上始能成形體
　　體或方或員其形不一皆有長短有濶狹又有厚薄【或淺深髙下之類】員體如球如柱方體如柜如防或如員塔方塔皆以面為界【圖后】

　　以上四者【謂防線面體】略盡測量之事矣然其用皆在線如論防則有距線論面則有邉線論體則有棱線【面與面相得則成棱線】凡所謂長短濶狹厚薄淺深髙下皆以線得之三角法者求線之法也
　　長短濶狹厚薄等類皆以量而得而量者必于一線正中若稍偏于兩旁則其度不真矣故凡測量所求者皆線也三角形
　　欲明三角之法必詳三角之形

　　兩直線不能成形成形者必三線以上而三線相遇則有三角故三角形者形之始也

　　多線皆可成形析之皆可成三角至三角則無可析矣故三角能盡諸形之理
　　凡可算者為有法之形不可算者為無法之形三角者有法之形也不論長短斜正皆可以求其數(shù)故曰有法若無法之形析之成三角則可量故三角者量法之宗也角
　　三角法異于句股者以用角也故先論角
　　兩線相遇則成角【平行兩直線不能作角何也線既平行則雖引而長之至于無窮終無相遇之理角安從生是故作角者必兩線相遇必不平行也】
　　角有三類一正方角一銳角一鈍角

　　如右圖以兩線十字縱橫相遇皆為正方角【亦曰直角亦曰方角】

　　如右圖以兩線斜相遇則一為銳角一為鈍角
　　凡銳角必小于正方角凡鈍角必大于正方角
　　正方角止一銳角鈍角則有多種而算法生焉
　　弧
　　角在小形與在大形無以異也故無丈尺可言必量之以對角之弧
　　法以角之端為員心用規(guī)作員員周分三百六十度乃視本角所對之弧于全員三百六十度中得幾何度分其弧分所對正得九十度者為正方角【九十度者全員四之一謂之象限】若所對弧分不滿九十度者為銳角【自八十九度以至一度并銳角也】所對弧分在九十度以上者為鈍角【自九十一度至百七十九度并鈍角也】
　　如圖丁為角即用為員心以作員形
　　其庚丁丙角【凡論角度并以中一字為所指之角此言庚丁
　　丙即丁為角也】所對者庚丙弧在全員為四
　　之一正得象限九十度是為正方角
　　若乙丁丙角所對者乙丙弧在象限庚丙弧之內(nèi)小于象限九十度是為銳角
　　又乙丁壬角所對乙庚壬弧過于壬庚弧【壬庚亦象限九十度弧故庚丁壬亦方角】大于象限九十度是為鈍角
　　角之度生于割員
　　割員弧矢
　　有弧則有矢弧矢者古人割員之法也
　　如圖以乙子直線割平員則成弧
　　矢形
　　所割乙丙子員分如弓之曲古謂
　　之弧背以弧背半之則為半弧背
　　【如乙丙】
　　通?正?
　　割員直線如弓之?謂之通?【如乙子】
　　通?半之古謂之半弧?今曰正?【如乙甲】
　　矢線
　　正?以十字截半徑成矢【如丁丙橫半徑為乙甲正?所截成甲丙矢】謂之正矢
　　【以上二條俱仍前圖】
　　正弧余弧正角余角

　　所用之弧度為正弧以正弧減象限
　　為余弧【如庚丙象限內(nèi)減乙丙正弧則其余乙庚為余弧】

　　正弧所對為正角【如正弧乙丙對乙丁丙角則為正角】
　　以正角減正方角為余角【如以乙丁丙正角去減庚丁丙方角則其余乙丁庚角為余角】
　　正?余?正矢余矢

　　有正弧正角即有正?【如乙甲】有正矢
　　【如甲丙】亦即有余?【如乙己】有余矢【如己庚】

　　正?正矢余?余矢皆乙丙弧所有亦即乙丁丙角所有
　　自一度至八十九度并得為乙丙并得為正弧即正余?矢畢具
　　若用乙庚為正弧則乙丙反為余弧
　　角之正余亦同
　　割線切線
　　每一弧一角各有正?余?正矢余矢己成四線于平員內(nèi)【古人用句股割員即此法也蓋此四線己成倒順二句股】
　　再引半徑透于平員之外與切員直線相遇為割線切線而各有正余復(fù)成四線【正割正切余割余切復(fù)成倒順二句股】共為八線故曰割員八線也
　　如圖庚乙丙平員切戊丙直線于丙
　　又引乙丁半徑透出員周外使兩線相
　　遇于戊則戊丙為乙丙弧之正切線
　　亦即為乙丁丙角之正切線而戊丁
　　為乙丙弧之正割線亦即為乙丁丙角之正割線又以平員切庚辛直線于庚與乙丁透出線相遇于辛則庚辛為乙丙弧之余切線亦即為乙丁丙角之余切線而辛丁為乙丙弧之余割線亦即為乙丁丙角之余割線割員八線
　　凡用一弧即對一角用一角亦對一弧故可互求凡一弧即有八線【正?正矢正割正切余?余矢余割余切】角亦然
　　凡一弧之八線即成倒順?biāo)木涔山且嗳?br />　　如圖庚丙象弧共九十度庚丁丙
　　為九十度十字正方角
　　任分乙丙為正弧乙丁丙為正角
　　則乙庚為余弧乙丁庚為余角
　　正?【乙甲　同丁己】　正矢【甲丙】正切【戊丙】　正割【戊丁】余?【乙己　同丁甲】　余矢【庚己】余切【辛庚】　余割【辛丁】
　　以上八線為乙丙弧所用亦即為乙丁丙角所用【自一度至八十九度并同】若用乙庚弧亦同此八線但以余為正以正為余
　　乙甲丁句股形乙丁【半徑】為?乙甲【正?】為
　　股丁甲【余?】為句　戊丙丁句股形戊丁
　　【正割】為?戊丙【正切】為股丙丁【半徑】為句
　　以上兩順句股形同用乙丁甲角故其
　　比例等【凡句股形一角等則余角并等】
　　乙己丁倒句股形乙丁【半徑】為?己丁【正?】為
　　股乙己【余?】為句　辛庚丁倒句股形辛丁
　　【余割】為?丁庚【半徑】為股辛庚【余切】為句　以上兩
　　倒句股形同用乙丁巳角故其比例亦等
　　乙甲丁句股形乙丁【半徑】為?乙甲【正?】為股甲
　　丁【余?】為句　丁己乙倒句股形乙丁【半徑】為
　　?己丁【正?】為股乙己【余?】為句　此倒順兩句股形等邉又等角【倒形之丁角即順形丁角之余倒形之乙角即順形乙角之余】竟如一句股也凖此論之則倒順?biāo)木涔芍壤酂o不等矣
　　角度
　　凡三角形并三角之度皆成兩象限【共一百八十度】
　　假如乙甲丁句股形其丁角五十五
　　度【當(dāng)乙丙弧】則乙角必三十五度【當(dāng)乙庚余弧】兩角共一象限九十度其甲角正方
　　原系九十度合三角成一百八十度
　　乙角何以必三十五度也試引乙丁?過心至夘則夘丁丑角與丁乙甲角等【夘丁乙同為一線丁丑線又與乙甲平行則所作之角必等】而夘丁丑固三十度也則乙角亦三十度矣
　　又假如丙乙丁三角形從乙角作乙
　　甲直線至丁丙邉分為兩句股形【乙甲
　　丁乙甲丙】凖前論乙甲丁句股形以乙分
　　角與丁角合之成一象限九十度又
　　乙甲丙句股形以乙分角與丙角合之成一象限九十度然則以乙全角【即兩分角之合】與丁丙兩角合之必兩象限一百八十度矣【乙為鈍角并同】
　　以此推知三角形有兩角即知余角【并兩角以減半周一百八十度得之】句股形有一角即知余角【句股原有正方角九十度則余兩角共九十度故得一可知其二】相似形
　　既知角可以論形有兩三角形其各角之度相等則為相似形而兩形中各邉之比例相等【謂此形中各邉自相較之比例亦如彼形中各邉自相較之比例也】
　　比例
　　兩數(shù)相形則比例生比例者或相等或大若干或小若干乃兩數(shù)相比之差數(shù)也有兩數(shù)于此又有兩數(shù)于此數(shù)雖不同而其各兩數(shù)自相差之比例同謂之比例等或兩小數(shù)相等又有兩大數(shù)相等是為相等之比例數(shù)雖有大小其相等之比例均也或兩小數(shù)相差三倍又有兩大數(shù)亦相差三倍是為三倍之比例或兩小數(shù)相差為一倍有半又有兩大數(shù)相差亦一倍有半是為一倍有半之比例數(shù)雖有大小其為三倍之比例及一倍有半之比例均也
　　論八線之比例有二
　　一為八線自相生之比例
　　乙甲丁小句股形與戊丙丁大句
　　股形相似【見前條】故以半徑乙丁比
　　正?乙甲若割線戊丁與切線戊
　　丙之比例也【此為以小?比小股若大?與大股】股
　　求?亦同
　　又以半徑丙丁比正切戊丙若余?甲丁與正?乙甲之比例也【此為以大句比大股若小句比小股】股求句亦同余仿此以故凡八線中但得一線則余皆可求觀圖自明一為八線算他形之比例
　　乙丁甲角所有八線為表中原設(shè)之?dāng)?shù)亢丁房句股形為今所算之?dāng)?shù)
　　或先有丁角有亢丁?而求房丁句則為以乙丁半徑
　　比甲丁余?若亢丁?與房丁句
　　也【以角與句求?亦同】以上是用八線以求
　　他形
　　或先有亢丁?有亢房股而求丁
　　角則為以亢丁?比亢房股若乙
　　丁半徑與丁角之正?乙甲也【得乙
　　甲得丁角矣】或先有亢房股與房丁句
　　而求丁角則為以亢房股比房丁
　　句若丁庚半徑與庚辛余切也【得庚辛亦得丁角】以上二者是用他形轉(zhuǎn)求八線
　　總而言之皆以先有兩數(shù)之比例為后兩數(shù)之比例其乗除之法皆依三率也
　　三率
　　三率算術(shù)古謂之異乗同除今以句股解之
　　丁戊大股【十四尺】丙戊大句【十一尺二寸】截丁乙小股【十尺】問乙甲截句
　　答曰八尺
　　術(shù)以所截小股乗大句得數(shù)
　　為實(shí)以大股為法除之即得截句

　　若先以原股【十四尺】除原句【十一尺二寸】得八寸為每一尺之句再以截股【十尺】乗之亦得八尺但先除后乗多有不盡之?dāng)?shù)故改用先乗后除乃古九章中通用之綱要也
　　先乗后除何以又謂之異乗同除曰今但有截股而不知句故以原有之句乗之股與句異名故曰異乗然后以原有之股除之股與股同名故曰同除然則又何以謂之三率曰本是以原有之股與句比今截之股與句共四件也然見有者只三件【原有之股與句及今截之股】故必以見有之三件相為乗除而得所不知之第四件故曰三率
　　三率乗除圖式
　　一率　原有股十四尺　　為法
　　二率　原有句十一尺二寸【相乗】
　　三率　今截股十尺　　　【為實(shí)】
　　四率　所求截句八尺　　法除實(shí)得所求
　　術(shù)曰以原股比原句若截股與截句也
　　凡言以者為一率言比者為二率言若者為三率言與者為四率
　　二率三率常相乗為實(shí)一率常為法法除實(shí)得四率四率乃所求之?dāng)?shù)其三率者所以求之也三率與異乗同除非有二理但以橫列為異然數(shù)既平列即可以四率為法除二三相乗之實(shí)而得一率并可以一率四率相乗為實(shí)用二率為法除之而得三率或用三率為法除之亦得二率是故一四二三之位可以互居【四可為一二可為三】法實(shí)可以迭用【二與三可居一四之位一與四可居二三之位】變動不居惟用所適而各有典常于異乗同除之理尤深切而著明者也
　　三率互用圖
　　反之　　　　　更之　　　　　又反之
　　一句八尺　　　一股十尺　　　一句十一尺二寸二股十尺　　　二句八尺　　　二股十四尺三句十一尺二寸三股十四尺　　三句八尺
　　四股十四尺　　四句十一尺二寸四股十尺
　　右并以二率三率相乗為實(shí)一率為法除之而得四率
　　八線表
　　八線為各弧各角之句股所成故八線表者即句股形之立成數(shù)也古人用句股開方巳盡測量之理然句股?皆邉線耳邉之?dāng)?shù)無方放之則彌四逺近之則陳幾案故所傳算術(shù)皆以一端示例而已不能備詳其數(shù)也今變而用角則有弧度三百六十以限之而以象限盡全周有合于舉一反三之防又析象限之度各六十分凡為句股形二千七百角度五千四百【九十度之分五千四百而句股形并有兩角故其形二千七百而角數(shù)倍之】為正?為切線為割線共一萬六千二百【三項各五千四百正余互用也】而句股之形略備用之殊便也銳角分兩句股鈍角補(bǔ)成句股然惟有八線表中豫定之句股故但得其角度則諸數(shù)厯然可于無句股中尋出句股矣
　　半徑全數(shù)
　　全數(shù)即半徑也不言半徑而言全數(shù)者省文也凡八線生于角度而有角有弧則有半徑八線之?dāng)?shù)皆依半徑而立也半徑常為一【或五位則為一萬或六位則為十萬】則正?常為半徑之分【正?必小于半徑】而不得為全數(shù)惟半徑可稱全數(shù)也【割切二線皆依正?而生亦皆有畸零不得為全數(shù)】
　　用全數(shù)為半徑有數(shù)善焉一立表時易于求數(shù)也一用表時便于乗除也【三率中全數(shù)為除法則但降位可省一除若全數(shù)為乗法則但升位可省一乗】
　　厯書中多言全數(shù)【或但曰全】以從省便今算例中直云半徑以欲明比例之理故質(zhì)言之

　　補(bǔ)遺
　　正?為八線之主
　　割圜之法皆作句股于圜內(nèi)以先得正?故古人祗用正?亦無不足今用割切諸線而皆生于正?
　　平圜徑二尺【即戊壬】半之一尺【即戊丙庚
　　丙等】為圜里六孤之一面【即乙戊】半徑
　　【戊丙】為?半面【戊丁】為句句?求股得
　　股【丁丙】轉(zhuǎn)減半徑【庚丙】得余【庚丁】為小句
　　半面【戊丁】又為小股句股求?得小?【戊庚】是為割六弧成十二弧之一面如是累析為二十四弧四十八弧至九十六弧以上定為徑一尺周三尺一寸四分有竒論曰九章算經(jīng)載劉徽割圜術(shù)大畧如此其以半徑為六弧之一面與八線理合半徑恒為一即全數(shù)半面為股則正?也
　　平方徑十寸其積百寸內(nèi)作同徑之平圜平圜內(nèi)又作平方正得外方之半其積五十寸平方開之得七寸○
　　七有竒【即離震等四等面之通?】乃自
　　四隅之旁増為八角曲圜
　　為第一次【即八等面通?】至第二
　　次則為曲十六【即十六等面通?】第三次為曲三十二每次
　　加倍至十二次則為曲一
　　萬六千三百八十四于是方不復(fù)方漸變?yōu)猷饕悠浞ㄖ鸸?jié)以大小句股?冪相求至十二次所得小?以一萬六千三百八十四乗之得三十一寸四分一?五毫九絲二忽為徑十寸之圜周與祖沖之徑一百一十三周三百五十五合
　　論曰元趙友欽革象新書所撰乾象周髀法大略如此所得周徑與西術(shù)同其逐節(jié)所求皆通?所用小股皆正?也
　　又論曰劉徽祖沖之以割六孤起數(shù)趙友欽以四角起數(shù)今西術(shù)作割圜八線以六宗率則兼用之可見理之至者先后一揆法之精者中西合轍西人謂古人但知徑一圍三未深攷也
　　又論曰中西割圜之法皆以句股法求通?通?半之為正?割圜諸率皆自此出總之為句股之比例而巳鈍角正?
　　鈍角不立正?而即以外角之正?為正?
　　鈍角之正?在形外即外角之正?也故乙丙已鈍角與乙丙甲外角同以乙丁為正?【以鈍角減半周得外角假如鈍角一百二
　　十度其所用者即六十度之正?】乙丁線能為乙
　　丙甲角正?又能為乙丙已鈍角
　　正?八線表止于象限以此【因鈍角與
　　外角同正?故表雖一象限而實(shí)有半周之用】
　　鈍角余?
　　鈍角既以外角之正?為正?即以外角之余?為余?如前圖乙庚為外角【乙丙甲】余?而即為鈍角【乙丙己】余?
　　捷法以正角【戊丙巳】減鈍角【乙丙巳】得余角【戊丙乙】即得余?
　　過弧
　　鈍角之弧為過弧
　　巳戊為象限弧而乙戊巳為乙丙
　　巳鈍角之弧是越象限弧而過之
　　也故曰過弧

　　大矢
　　鈍角之矢為大矢
　　如前圖以乙丁辛?分全圜即全徑亦分為二則丁甲為小半圜【乙甲辛】之徑謂之正矢丁巳為大半圜【乙已辛】之徑謂之大矢大矢者鈍角所用也　鈍角與外角同用乙丁正?乙庚余?所不同者惟矢【乙丙巳角用大矢丁已乙丙甲角用正矢丁甲】
　　捷法以乙庚【即丁丙】余?加已丙半徑即得【丁巳】大矢【若以余?減半徑亦得正矢】
　　正角以半徑全數(shù)為正?
　　八線起○度一分至八十九度五十九分并有正?而九十度無正?非無正?也蓋即以半徑全數(shù)為其正?故凡算三角
　　有用半徑與正?相為比例者皆正
　　角也【其法與銳角形鈍角形用兩正?為比例同理并詳后卷】八十九度竒之正?至九九九九九
　　而極迨滿一象限始能成半徑全數(shù)是故半徑全數(shù)者正角九十度之正?也其數(shù)為一○○○○○

　　厯算全書卷五十
　　欽定四庫全書
　　厯算全書卷五十一
　　宣城梅文鼎撰
　　三角法舉要卷二
　　算例
　　三角形有三類
　　一曰句股形
　　即直角三邉形也有正方角一余并銳角
　　一曰銳角形
　　三角并銳
　　一曰鈍角形
　　三角內(nèi)有鈍角一余并銳角
　　以上三類總謂之三角形其算之各有術(shù)

　　句股形第一術(shù)　有一角一邉求余角余邉
　　內(nèi)分二支
　　一先有之邉為?
　　一先有之邉為句【或先有股亦同】
　　假如【壬癸丁】句股形有丁角【五十七度】壬丁?【九十一丈八尺】
　　求余角余邉
　　一求癸丁邉
　　術(shù)曰以半徑全數(shù)比丁角之余?
　　若壬丁?與癸丁句【半徑即丁乙余?即甲丁
　　以丁乙比甲丁若壬丁比丁癸】
　　一率【原設(shè)?】半徑　　　　一○○○○○為法
　　二率【原設(shè)句】丁角【五十七度】余?　五四四六四【相乘】
　　三率【今有?】壬丁邉　　　九十一丈八尺【為實(shí)】
　　四率【今所求句】癸丁邉　　　五十丈　　　法除實(shí)得所求一求壬癸邉
　　術(shù)曰以半徑比丁角之正?若壬丁?與壬癸股
　　一率【原設(shè)股】半徑　　　　一○○○○○　為法二率【原設(shè)股】丁角【五十七度】正?　八三八六七　【相乗】三率【今有?】壬丁邉　　　九十一丈八尺　【為實(shí)】四率【今所求股】壬癸邉　　　七十七丈　　法除實(shí)得所求一求壬角
　　以丁角【五十七度】與象限九十度相減得余三十三度爲(wèi)壬角
　　計開
　　先有之三件
　　癸正方角【九十度】　丁角【五十七度】　壬丁?【九十一丈八尺】
　　今求得三件
　　癸丁旬【五十丈】　壬癸股【七十七丈】　壬角【三十三度】
　　右例先得?以求句股也是為句股形第一術(shù)之第一支

　　假如【壬癸丁】句股形有丁角【六十二度】癸丁句【二十四丈】求余角余邉
　　一求壬角
　　以丁角【六十二度】與象限相減得余二十八度為壬角
　　【戊丙丁句股形以戊丙切線為股丙丁半徑為句戊丁割線為
　　?是丁角原有之線】
　　【今壬癸丁句股形既同丁角則其比例等】
　　一求壬丁邉
　　術(shù)為以半徑比丁角之割線若癸丁句與壬丁?
　　一【原設(shè)句】半徑　　　　　一○○○○○　為法二【原設(shè)?】丁角【六十二度】割線　二一三○○五　【相乗】
　　三【今有句】癸丁邉　　　　二十四丈　　　【為實(shí)】
　　四【所求?】壬丁邉　　　　五十一丈二尺　法除實(shí)得所求一求壬癸邉
　　術(shù)為以半徑比丁角之切線若癸丁句與壬癸股
　　一【原設(shè)句】半徑　　　　　一○○○○○為法
　　二【原設(shè)股】丁角【六十二度】切線　一八八○七三　【相乗】
　　三【今有句】癸丁邉　　　　二十四丈　　　【為實(shí)】
　　四【所求股】壬癸邉　　　　四十五丈一尺　法除實(shí)得所求計開
　　先有之三件
　　癸正方角　丁角【六十二度】　癸丁句【二十四丈】
　　今求得三件
　　壬角【二十八度】　壬丁?【五十一丈一尺】　壬癸股【四十五丈一尺】右例先得句以求?及股也或先得股以求?及句亦同是為句股形第一術(shù)之第二支

　　句股形第二術(shù)　有邉求角
　　亦分二支
　　一先有二邉
　　一先不知正方角而有三邉【新増】
　　假如【壬癸丁】句股形有壬丁?【一百零二丈二】癸丁句【尺四十八】
　　求二角一邉
　　一求丁角
　　術(shù)為以壬丁?比癸丁句若半
　　徑乙丁與丁角之余?甲丁
　　一　壬丁邉　　一百○二丈二尺　今有之?為法二　癸丁邉　　　四十八丈　　　今有之句【丈相】三　半徑　　　一○○○○○　　原設(shè)之?【乘為】四　丁角余?　　四六九六六　　法除實(shí)得所求原設(shè)句
　　依術(shù)求得丁角六十二度【實(shí)以所得余?撿表即】
　　一求壬角
　　以丁角【六十二度】與象限相減得余二十八度為壬角一求壬癸邉
　　術(shù)為以半徑比丁角之正?若壬丁?與壬癸股
　　一　半徑　　　　　一○○○○○
　　二　丁角【六十二度】正?　　八八二九五
　　三　壬丁邉　　　　一百○二丈二尺
　　四　壬癸邉　　　　　九十丈○二尺三寸
　　計開
　　先有之三件
　　壬丁?【一百○二丈二尺】　癸丁句【四十八丈】　癸正方角
　　今求得三件
　　丁角【六十二度】　壬角【二十八度】　壬癸股【九十丈○二尺三寸】
　　右例以邉求角而先知方角故只用二邉也是為句股形第二術(shù)之第一支【此先有二邉為?與句故用正余?若先有者是句與股則用切線其比例之理一也】

　　假如【壬癸丁】三角形有壬丁邉【一百○六丈】壬癸邉【九十丈】癸丁邉【五十六丈】求角
　　一求癸角
　　術(shù)以壬丁大邉與丁癸邉相加得【一
　　百六十二丈】為總又相減得【五十
　　丈】為較以較乗總得【八千一百丈】為實(shí)以壬癸邉【九十丈】為法除之
　　仍得【九十丈】與壬癸邉數(shù)等即知
　　癸角為正方角
　　依術(shù)求得癸角為正方角定為句股形
　　一求丁角
　　術(shù)為以丁癸邉比壬癸邉若半徑與丁角之切線
　　一　丁癸句　　五十六丈
　　二　壬癸股　　九十丈
　　三　半徑　　　一○○○○○
　　四　丁角切線　一六○七一四
　　依術(shù)求得丁角五十八度○六分【以所得切線撿表即得】
　　一求壬角
　　以丁角【五十八度○六分】與象限相減得余三十一度五十四分為壬角
　　計開
　　先有三邉
　　壬丁邉【一百零六丈】　壬癸邉【九十丈】　癸丁邉【五十六丈】
　　求得三角
　　癸正方角　丁角【五十八度零六分】　壬角【三十一度五十四分】右例亦以邉求角而先不知其為句股形故兼用三邉是為句股形第二術(shù)之第二支

　　銳角形第一術(shù)　有兩角一邉求余角余邉
　　假如【乙丙丁】銳角形有丙角【六十度】丁角【五十度】丙丁邉【一百二十尺】
　　先求乙角
　　術(shù)以丙角【六十度】丁角【五十度】相
　　并得【一百一十度】以減半周一百
　　八十度余七十度為乙角

　　次求乙丁邉
　　術(shù)為以乙角正?比丙丁邉若丙角正?與乙丁邉
　　一　乙角【七十度】正?　九三九六九
　　二　丙丁邉【即乙角對邉】　一百二十尺
　　三　丙角【六十度】正?　八六六○三
　　四　乙丁邉【即丙角對邉】　一百一十尺○六寸
　　次求乙丙邉
　　術(shù)為以乙角正?比丙丁邉若丁角正?與乙丙邉
　　一　乙角【七十度】正?　九三九六九
　　二　丙丁【乙角對邉】　　　一百二十尺
　　三　丁角【五十度】正?　七六六○四
　　四　乙丙【丁角對邉】　　　　九十七尺八寸
　　計開
　　先有之三件
　　丙角【六十度】　丁角【五十度】　丙丁邉【一百二十尺】
　　今求得三件
　　乙角【七十度】　乙丁邉【一百一十尺零六寸】　乙丙邉【九十七尺八寸】右例先有之邉在兩角之間也若先有之邉與一角相對亦同蓋三角形有兩角即有第三角故無兩法

　　銳角形第二術(shù)　有一角兩邉求余角余邉
　　此分二支
　　一先有之角與一邉相對
　　一先有之角不與邉相對
　　假如【甲乙丙】銳角形有丙角【六十度】甲丙邉【八千尺】甲乙邉【七千零三十四尺】
　　先求乙角

　　術(shù)為以甲乙邉比甲丙邉若丙角
　　正?與乙角正?

　　一　甲乙【丙角對邉】　　　七千○三十四尺
　　二　甲丙【乙角對邉】　　　八千尺
　　三　丙角【六十度】正?　八六六○三
　　四　乙角　　正?　九八四九六
　　撿正?表得乙角八十度○三分
　　次求甲角
　　以丙角乙角相并得【一百四十度○三分】以減半周余三十九度五十七分為甲角
　　次求乙丙邉
　　術(shù)為以乙角之正?比甲角之正?若甲丙邉之與乙丙邉
　　一　乙角【八十度○三分】正?　九八四九六
　　二　甲角【三十九度五十七分】正?　六四二一二
　　三　甲丙【乙角對邉】　　　　　八千尺
　　四　乙丙【甲角對邉】　　　　　五千二百一十五尺計開
　　先有之三件
　　丙角【六十度】　甲丙邉【八千尺】　乙甲邉【七千○三十四尺】
　　今求得三件
　　乙角【八十度○三分】　甲角【三十九度五十七分】　乙丙邉【五千二百一十五尺】右例有兩邉一角而角與一邉相對是為銳角形第二術(shù)之第一支

　　假如【甲乙丙】銳角形有甲丙邉【四百尺】乙丙邉【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】　角在兩邉之中不與邉對求甲乙邉
　　先求中長線分為兩句股形
　　術(shù)為以半徑比丙角正?若甲
　　丙邉與甲丁中長線

　　一　半徑　　　　　一○○○○○
　　二　丙角【六十度】正?　○八六六○三
　　三　甲丙邉　　　　四百尺
　　四　甲丁中長線　　三百四十六尺四寸一分次求丙丁邉【即所分甲丁丙形之句而甲丙為之?】
　　術(shù)為以半徑比丙角余?若甲丙邉與丙丁邉
　　一　半徑　　　　　一○○○○○
　　二　丙角【六十度】余?　　五○○○○
　　三　甲丙邉　　　　四百尺
　　四　丙丁邉　　　　二百尺
　　次求乙丁邉【即所分甲丁乙形之句而甲丁為之股】
　　以丙丁與丙乙相減余六十一尺○八分為乙丁次求丁甲乙分角【即分形甲丁乙句股之甲角】
　　術(shù)為以甲丁中長線比乙丁分邉若半徑與甲分角切線
　　一　甲丁中長線　三百四十六尺四寸一分
　　二　乙丁分邉　　　六十一尺○八分
　　三　半徑　　　　一○○○○○
　　四　甲分角切線　　一七六三三
　　撿切線表得一十度為甲分角
　　末求甲乙邉
　　術(shù)為以半徑比甲分角割線若甲丁中長線與甲乙邉
　　一　半徑　　　　　　一○○○○○
　　二　甲分角【十度】割線　一○一五四三
　　三　甲丁中長線　　　三百四十六尺四寸一分
　　四　甲乙邉　　　　　三百五十一尺七寸五分求甲全角
　　以丙角【六十度】之余角三十度【即分形甲丁丙之甲分角】與求到甲分角【一十度】相并得四十度為甲全角
　　求乙角
　　以甲分角【一十度】減象限得八十度為乙角【或并丙甲二角減半周亦同】
　　計開
　　先有之三件
　　甲丙邉【四百尺】　乙丙邉【二百六十一尺○八分】　丙角【六十度】
　　今求得三件
　　甲乙邉【三百五十一尺七寸五分】　甲角【四十度】　乙角【八十度】右例有兩邉一角而角在兩邉之中不與邉對故用分形以取句股是為銳角形第二術(shù)之第二支
　　又術(shù)【新増】　用切線分外角
　　假如【甲乙丙】銳角形有甲丙邉【四百尺】乙丙邉【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】　此即前例但求甲角
　　術(shù)以【甲丙乙丙】兩邉相并為總相減為
　　較又以丙角【六十度】減半周得外
　　角【一百二十度】半之得半外角【六
　　十度】撿其切線依三率法求得半
　　較角以減半外角得甲角
　　一　兩邉總　　　六百六十一尺○八分
　　二　兩邉較　　　一百三十八尺九寸二分
　　三　半外角切線　一七三二○五
　　四　半較角切線　　三六三九七
　　撿切線表得【二十度】為半較角轉(zhuǎn)與半外角【六十度】相減得甲角四十度
　　次求乙角
　　并甲丙二角共【一百度】以減半周得余八十度為乙角次求甲乙邉
　　一　甲角【四十度】正?　六四二七九
　　二　丙角【六十度】正?　八六六○三
　　三　乙丙邉　　　　二百六十一尺○八分
　　四　甲乙邉　　　　三百五十一尺七寸五分

　　銳角形第三術(shù)　有三邉求角
　　假如【甲乙丙】銳角形有乙丙邉【二十丈】甲丙邉【一十七丈五尺八寸五分】乙甲邉【一十三丈○五寸】
　　術(shù)曰任以【乙丙】大邉為底從甲角
　　作甲丁虛垂線至底分為兩句股
　　形
　　一甲丁丙形以甲丙邉為?丁丙
　　為句
　　一甲丁乙形以甲乙邉為?丁乙為句
　　兩?相并為總相減為較　兩句相并【即乙丙邉原數(shù)】為句總求兩句相減之?dāng)?shù)為句較
　　術(shù)為以句總比?總?cè)?較與句較也
　　一　兩句之總【即乙丙】　二十丈
　　二　兩?之總　　　三十丈○六尺三寸五分三　兩?之較　　　四丈五尺三寸五分
　　四　兩句之較【即丙戊】　六丈九尺四寸六分
　　求分形之兩句
　　以句較【六丈九尺四寸六分】減句總【二十丈即乙丙】余乙戊【一十三丈○五寸四分】半之得丁乙【即戊丁】六丈五尺二寸七分為【甲丁乙】分形之句
　　又以戊丁【六丈五尺二寸七分】加句較【六丈九尺四寸六分　即戊丙】得丁丙一十三丈四尺七寸三分為【甲丁丙】分形之句
　　求丙角
　　術(shù)為以甲丙?比丁丙句若半徑與丙角之余?
　　一　甲丙邉　　一十七丈五尺八寸五分
　　二　丁丙分邉　一十三丈四尺七寸三分
　　三　半徑　　　一○○○○○
　　四　丙角余?　　七六六一六
　　撿余?表得丙角四十度
　　求甲角
　　術(shù)先求分形大半之甲角
　　以丙角【四十度】減象限余五十度為【丁甲丙】分形之甲角
　　次求分形小半之甲角
　　術(shù)為以甲乙?比丁乙句若半徑與分形甲角之正?
　　一　甲乙邉　　　一十三丈○五寸
　　二　丁乙分邉　　　六丈五尺二寸七分
　　三　半徑　　　　一○○○○○
　　四　甲分角正?　　五○○一五
　　撿正?表得三十度為【丁甲乙】分形之甲角
　　并分形兩甲角【先得五十度后得三十度】得共八十度為甲全角求乙角
　　倂丙甲二角共【一百二十度】以減半周得余六十度為乙角計開
　　先有三邉
　　甲丙邉【一十七丈五尺八寸五分】　乙丙邉【二十丈】乙甲邉【一十三丈○五寸】
　　求得三角
　　丙角【四十度】　甲角【八十度】　乙角【六十度】

　　鈍角形第一術(shù)　有兩角一邉求余角余邉
　　假如【乙丙丁】鈍角形有丙角【三十六度半】乙角【二十四度】丁乙邉【五十四丈】
　　先求丁角
　　術(shù)以丙乙二角并之共【六十度半】以減半周得余一百一十九度半
　　為丁鈍角

　　次求乙丙邉
　　術(shù)為以丙角正?比丁角正?若乙丁邉與乙丙邉
　　一　丙角【三十六度二十分】正?　五九四八二
　　二　丁角【一百十九度三十分】正?　八七○三六
　　三　乙丁邉　　　　　　五十四丈
　　四　乙丙邉　　　　　七十九丈○一寸
　　右所用丁角正?即六十度半正?以鈍角度減半周用之凡鈍角并同
　　求丁丙邉
　　術(shù)為以丙角正?比乙角正?若乙丁邉與丁丙邉
　　一　丙角【三十六度三十分】正?　五九四八二
　　二　乙角【二十四度】正?　四○六七四
　　三　乙丁邉　　　　　五十四丈
　　四　丁丙邉　　　　　三十六丈九尺二寸
　　計開
　　先有之三件
　　丙角【三十六度半】　乙角【二十四度】　丁乙邉【五十四丈】
　　今求得三件
　　丁鈍角【一百一十九度半】　乙丙邉【七十九丈○一寸】　丁丙邉【三十六丈九尺二寸】

　　鈍角形第二術(shù)　有一角兩邉求余角余邉
　　亦分二支
　　一先有對角之邉
　　一先有二邉皆角旁之邉而不對角
　　假如【甲乙丙】鈍角形有乙角【九十九度五十七分】甲丙對邉【四千尺】甲乙邉【三千五百一十七尺】
　　求丙角

　　術(shù)為以甲丙對邉比甲乙邉若
　　乙角正?與丙角正?

　　一　甲丙邉　　　　　　四千尺
　　二　甲乙邉　　　　　　三千五百一十七尺三　乙角【九十九度五十七分】正?　九八四九六【即八十度三分正?】
　　四　丙角　　　　正?　八六六○三
　　撿表得丙角六十度
　　求甲角
　　并乙丙二角【共一百五十九度五十七分】以減半周得余二十度○三分為甲角
　　求乙丙邉
　　術(shù)為以乙角之正?比甲角之正?若甲丙對邉與乙丙邉
　　一　乙角【九十九度五十七分】正?　九八四六九
　　二　甲角【二十○度三分】正?　三四二八四
　　三　甲丙邉　　　　　　四千尺
　　四　乙丙邉　　　　　　一千三百九十二尺計開
　　先有之三件
　　乙鈍角【九十九度五十七分】　甲丙邉【四千尺】　甲乙邉【三千五百一十七尺】
　　今求得三件
　　丙角【六十度】　甲角【二十度○三分】　乙丙邉【一千三百九十二尺】右例有兩邉一角而先有對角之邉是為鈍角形第二術(shù)之第一支

　　假如【乙丁丙】鈍角形有乙丁邉【一千零八十尺】乙丙邉【一千五百八十二尺】乙角【二十四度】　角在兩邉之中不與邉對
　　術(shù)先求形外之虛垂線補(bǔ)成正方角
　　從不知之丙角作虛垂線于形外
　　如丙戊亦引乙丁線于形外如丁
　　戊兩虛線遇于戊成正方角
　　術(shù)為以半徑比乙角正?若乙丙邉
　　與丙戊
　　一　半徑　　　　　一○○○○○
　　二　乙角【二十四度】正?　　四○六七四
　　三　乙丙邉　　　　一千五百八十二尺
　　四　丙戊邉【即虛垂線】　　　六百四十三尺
　　又以半徑比乙角之余?若乙丙邉與乙戊
　　一　半徑　　　　　一○○○○○
　　二　乙角【二十四度】余?　　九一三五五
　　三　乙丙邉　　　　一千五百八十二尺
　　四　乙戊邉【即乙丁引長線】　一千四百四十五尺
　　以原邉乙丁【一千○八十尺】與引長乙戊邉相減得丁戊【三百六十五尺】為形外所作虛句股形之句【則先得丙戊垂線為股而原邉丁丙為之?】
　　求丁丙邉
　　依句股求?術(shù)以丙戊股自乗【四十一萬三千四百四十九尺】丁戊句自乗【一十三萬三千二百二十五尺】并之得數(shù)【五十四萬六千六百七十四尺】為實(shí)平方開之得?七百三十九尺為丁丙邉
　　求丙角
　　術(shù)為以丁丙邉比丁乙邉若乙角正?與丙角正?
　　一　丁丙邉　　　　　七百三十九尺
　　二　丁乙邉　　　　一千○八十尺
　　三　乙角【二十四度】正?　四○六七四
　　四　丙角　　正?　五九四四二
　　撿表得丙角三十六度二十九分
　　求丁角
　　并乙丙二角共【六十度二十九分】以減半周得余一百一十九度三十一分為丁鈍角
　　計開
　　先有之三件
　　乙丁邉【一千零八十尺】　乙丙邉【一千五百八十二尺】　乙角【二十四度】
　　今求得三件
　　丁丙邉【七百三十九尺】　丙角【三十六度二十九分】　丁鈍角【一百一十九度三十一分】
　　右例有兩邉一角而兩邉并在角之兩旁不與角對是為鈍角形第二術(shù)之第二支

　　又術(shù)【新增】　用切線分外角
　　假如【乙丙丁】鈍角形有丁乙邉【五百四十尺】丙乙邉【七百九十一尺】乙角【二十四度】　角在兩邉之中不與邉對求丙角

　　以【丁乙丙乙】兩邉相并為總相減為較又以乙角【二十四度】減半周得外角【一百五十六度】半之得半外角【七十八度】撿其切線得四七○四六三
　　術(shù)為以邉總比邉較若半外角切線與半較角切線
　　一　兩邉之總　　一千三百三十一尺
　　二　兩邉之較　　　二百五十一尺
　　三　半外角切線　四七○四六三
　　四　半較角切線　　八八七一九
　　撿表得半較角【四十一度三十五分】以轉(zhuǎn)減半外角【七十八度】得余三十六度二十五分為丙角
　　求丁角
　　并乙丙二角共【六十度二十五分】以減半周得一百一十九度三十五分為丁鈍角
　　求丁丙邉
　　術(shù)為以丙角正?比乙角正?若乙丁邉與丁丙邉
　　一　丙角【三十六度二十五分】正?　五九三六五
　　二　乙角【二十四度】正?　四○六七四
　　三　乙丁邉　　　　　　五百四十尺
　　四　丁丙邉　　　　　　三百六十九尺九寸八分計開
　　先有之三件
　　丁乙邉【五百四十尺】　丙乙邉【七百九十一尺】　乙角【二十四度】
　　今求得三件
　　丙角【三十六度二十五分】　丁鈍角【一百一十九度三十五分】　丁丙邉【三百六十九尺九寸八分】

　　鈍角形第三術(shù)　有三邉求角【新式】
　　假如【乙丙丁】鈍角形有乙丙邉【三百七十五尺】乙丁邉【六百○七尺】丁丙邉【三百尺】
　　術(shù)自乙角作虛垂線至甲又引丁
　　丙線橫出遇于甲而成正方角則
　　成乙甲丁句股形
　　又引橫線至辛使甲辛如丙甲成
　　乙甲辛句股形則丁辛為兩句之
　　總而所設(shè)丁丙邉為兩句之較
　　又乙丁邉為大形【乙甲丁】之?乙丙邉為小形【乙甲辛即乙甲丙】之?兩?相并為總相減為較
　　術(shù)為以句較比?較若?總與句總
　　一　句較【即丁丙邉】　　　　三百尺
　　二　?較【即乙丁內(nèi)減乙丙之余】　二百三十二尺
　　三　?總【即乙丁乙丙二邉相并】　九百八十二尺
　　四　句總　　　　　　七百五十九尺四寸
　　以句較【三百尺】減所得句總【七百五十九尺四寸】余數(shù)【五百二十九尺四寸】為大形之句甲丁
　　求丁角【用乙甲丁大形】
　　術(shù)為以乙丁?比丁甲句若半徑與丁角之余?
　　一　乙丁?　　六百○七尺
　　二　甲丁句　　五百二十九尺七寸
　　三　半徑　　　一○○○○○
　　四　丁角余?　　八七二六五
　　撿表得丁角二十九度一十四分
　　求丙角【用乙甲丙小形】
　　術(shù)為以甲丙句比乙丙?若半徑與丙角之割線
　　一　甲丙句　　二百二十九尺七寸
　　二　乙丙?　　三百七十五尺
　　三　半徑　　　一○○○○○
　　四　丙角割線　一六三二五六
　　撿表得丙角【五十二度一十四分】為本形之丙外角以減半周得丙鈍角一百二十七度四十六分
　　求乙角
　　并丁丙二角所得度分【共一百五十七度】以減半周得余二十三度為乙角
　　計開
　　先有三邉
　　乙丙邉【三百七十五尺】　乙丁邉【六百七尺】　　丁丙邉【三百尺】
　　求得三角
　　丁角【二十九度一十四分】　丙鈍角【一百二十七度四十六分】　乙角【二十三度】
　　右例鈍角形三邉求角作垂線于形外徑求鈍角乃新式也若以大邉為底從鈍角分中長線同銳角第三術(shù)

　　厯算全書卷五十一
　　欽定四庫全書
　　厯算全書卷五十二
　　宣城梅文鼎撰
　　三角法舉要卷三
　　內(nèi)容外切【三角測量之用在邉與角而其內(nèi)容外切亦所當(dāng)明故次于算例之后】內(nèi)容有二曰本形曰他形
　　一三角求積
　　積謂之冪亦謂之面乃本形所有
　　一三角容員
　　一三角容方
　　以上皆形內(nèi)所容之他形
　　外切惟一
　　一三角形外切之員

　　三角求積第一術(shù)
　　底與髙相乗折半見積
　　內(nèi)分二支
　　一句股形即以句股為底為髙
　　一銳角鈍角形任以一邉為底而求其垂線為髙
　　假如句股形甲乙股【一百二十尺】乙丙句【三十五尺】求積
　　術(shù)以甲乙股乙丙句相乗【四千二百尺】折半得積
　　凡求得句股形積二千一百尺
　　如圖甲乙股與乙丙句相乗成甲
　　乙丙丁長方形其形半實(shí)半虛故
　　折半見積
　　或以句折半【十七尺半】乗股亦得積【二千
　　一百尺】
　　如圖乙丙句折半于戊以乙戊乗
　　甲乙成甲乙戊丁形是移丙戊己
　　補(bǔ)甲丁己也
　　或以股折半【六十尺】乗句亦得積【二千
　　一百尺】
　　如圖甲乙股折半于己以己乙乗
　　乙丙成己乙丙丁形是移甲己戊
　　補(bǔ)戊丁丙也
　　右句股形以句為底以股為髙若以股為底則句又為髙可互用也
　　句股形有立有平若平地句股以句為濶以股為長其理無二
　　論曰凡求平積皆謂之冪其形如網(wǎng)目又似窓櫺之空皆以橫直相交如十字亦如機(jī)杼之有經(jīng)緯而成布帛故句股是其正法何也句股者方形斜剖之半也折半則成正剖之半方形矣其他銳角鈍角或有直無橫有橫無直必以法求之使成句股然后可算故句股者三角法所依以立也

　　假如銳角形甲乙邉【二百三十二尺】甲丙邉【三百四十尺】乙丙邉【四百六十八尺】求積
　　術(shù)先求垂線用銳角第三術(shù)任以
　　乙丙邉為底以甲丙甲乙為兩?
　　兩?之較數(shù)【一百零八尺】總數(shù)【五百七十二尺】相乗【六萬一千七百七十六尺】為實(shí)以乙丙底
　　為法除之得數(shù)【一百三十二尺】轉(zhuǎn)減乙丙余數(shù)【三百三十六尺】半之得乙丁【一百六十八尺】依句股法以乙丁自乗【二萬八千二百二十四尺】與甲乙自乗【五萬三千八百二十四尺】相減余數(shù)【二萬五千六百尺】平方開之得甲丁垂線【一百六十尺】以甲丁垂線折半乗乙丙底得積凡求得銳角形積三萬七千四百四十尺
　　如圖移辛補(bǔ)壬移庚補(bǔ)癸則成長
　　方形即垂線折半乗底之積
　　右銳角形任以乙丙邉為底取垂
　　線求積若改用甲乙或甲丙邉為
　　底則所得垂線不同而得積無異故可以任用為底假如鈍角形甲乙邉【五十八步】甲丙邉【八十五步】乙丙邉【三十三步】求積
　　術(shù)求垂線立于形外用鈍角第三
　　術(shù)以乙丙為底甲乙甲丙為兩?
　　總數(shù)【一百四十三步】較數(shù)【二十七步】相乗【三千八百
　　六十一步】為實(shí)乙丙底為法除之得數(shù)
　　【一百一十七步】內(nèi)減乙丙余數(shù)【八十四步】折半
　　【四十二步】為乙丁【即乙丙引長邉】依句股法乙丁自乗【一千七百六十四步】甲乙自乗【三千三百六十四步】相減余數(shù)【一千六百步】平方開之得甲丁【四十步】為形外垂線以乙丙底折半【十六步半】乗之得積
　　凡求得鈍角形積六百六十步
　　如圖甲乙丙鈍角形移戊補(bǔ)庚移
　　庚己補(bǔ)壬癸又移壬子補(bǔ)辛成辛
　　癸丑長方即乙丙底折半乗中長
　　甲丁之積
　　右鈍角形以乙丙為底故從甲角作垂線若以甲乙為底則自丙角作垂線亦立形外而垂線不同然以之求積并同若以甲丙為底從乙角作垂線則在形內(nèi)如銳角矣其垂線必又不同而其得積無有不同故亦可任用一邉為底
　　凡用垂線之髙乗底見積必其線上指天頂?shù)拙€之橫下應(yīng)地平兩線相交正如十字故其所乗之冪積皆成小平方可以虛實(shí)相補(bǔ)而求其積數(shù)鈍角形引長底線以作垂線立于形外則兩線相遇亦成十字正方之角矣
　　總論曰三角形作垂線于內(nèi)則分兩句股鈍角形作垂線于外則補(bǔ)成句股皆句股法也

　　三角求積第二術(shù)
　　以中垂線乗半周得積謂之以量代算
　　假如鈍角形乙丙邉【五十八步】甲乙邉【一百一十七步】甲丙邉【八十五步】求積
　　術(shù)平分甲乙兩角各作線防于心從
　　心作十字垂線至乙甲邉【如心庚】即中
　　垂線也乃量取中垂線【心庚】得數(shù)【一十八步】
　　合計三邉而半之【一百三十步】為半周以半周乗中垂線得積
　　凡求得鈍角形積二千三百四十步
　　又術(shù)如前取中垂線【心庚】為濶半周為
　　長【如乙癸及丁壬】別作一長方形【如乙壬丁癸】即
　　與【甲乙丙】鈍角形等積
　　解曰凡自形心作垂線至各邉皆等故中垂線乗半周為一切有法之形所公用方員及五等面六等面至十等面以上并同故以中垂線為濶半周為長其所作長方形即與三角形等積
　　又解曰中垂線至邉皆十字正方角即分各邉成句股形以乗半周得積即句股相乗折半之理
　　附分角術(shù)　有甲角欲平分之
　　術(shù)以甲角為心作虛半規(guī)截角旁兩
　　線得辛壬二防乃自辛自壬各用為
　　心作弧線相遇于癸作癸甲線即分
　　此角為兩平分
　　三角求心術(shù)
　　如上分角術(shù)于甲角平分之于乙角
　　又平分之兩平分之線必相遇成一
　　防此一防即三角形之心
　　解曰試再于丙角如上法分之則亦
　　必相遇于原防

　　三角求積第三術(shù)
　　以三較連乗又乗半總開方見積
　　假如鈍角形甲乙邉【一百一十六尺】甲丙邉【一百七十尺】乙丙邉【二百三十四尺】求積
　　術(shù)合計三邉而半之【二百六十尺】為半總
　　以與甲乙邉相減得較【一百四十四尺】與甲
　　丙邉相減得較【九十尺】與乙丙邉相減
　　得較【二十六尺】三較連乗【以兩較相乗得數(shù)又以余一較】
　　【乗之也】得數(shù)【三十三萬六千九百六十尺】又以半總較之得數(shù)【八千七百六十萬零九千六百尺】平方開之得積
　　凡求得鈍角形積九千三百六十尺
　　若系銳角同法
　　解曰此亦中垂線乗半周之理但所得為冪乗冪之?dāng)?shù)故開方見積詳或問

　　三角容員第一術(shù)
　　以?與句股求容員徑【此術(shù)惟句股形有之凡句股相并為和以和與?并為?和和以和與?相減為?和較】
　　假如【甲乙丙】句股形甲丙句【二十步】乙甲股【二十一步】乙丙?【二十九步】求容員徑
　　術(shù)以句股和【四十一步】與?相減得數(shù)為容員徑
　　凡求得內(nèi)容員徑一十二步
　　解曰此以?和較為容員徑
　　如圖從容員心作半徑至邉又作
　　分角線至角成六小句股形則各
　　角旁之兩線相等【如丙戊丙庚兩線在丙角旁則
　　相等乙庚乙己在乙角旁甲戊甲己在甲角旁并兩線相等】
　　其在正方角旁者【甲戊甲己】乃?和較也【于乙丙?內(nèi)分丙庚以對丙戊又分乙庚以對乙己則其余為甲戊及甲己此即句股和與乙丙?相較之?dāng)?shù)也】然即為內(nèi)容員徑何也各角旁兩線并自相等而正方角旁之兩線又皆與容員半徑等【正方角旁兩小形之角皆平分方角之半則句股自相等而甲戊等心戊甲己等心己】然則?和較者正方角旁兩線【甲戊甲己】之合即容員兩半徑【心戊心己】之合也故?和較即容員徑也
　　試以甲戊為半徑作員則戊心亦
　　半徑而其全徑【癸戊甲】與容員徑【丁心
　　己】等以甲己為半徑作員則己心
　　亦半徑而其全徑【辛己甲】與容員徑
　　【戊心壬】亦等

　　三角容員第二術(shù)
　　以周與積求容員徑
　　內(nèi)分二支
　　一句股形以?和和為用【亦可用半】
　　一銳角鈍角形以全周半周為用
　　假如【甲乙丙】句股形甲丙句【一十六步】甲乙股【三十步】乙丙?【三十四步】求容員徑
　　術(shù)以句股相乗得數(shù)【四百八十步】為實(shí)并句股?數(shù)【共八十歩】為法除之得數(shù)倍之為容員徑
　　凡求得容員徑一十二步
　　解曰此以?和和除句股倍積得容員半徑也
　　如圖從容員心作對角線分其形為三【一甲心丙一甲心乙一丙心乙】乃于甲丙句線兩端各引長之截子甲如乙甲股截丙丑如丙乙?則子丑線即?和和也乃自員心作癸壬直線與丑子平行兩端各聫之成長方又作辛丙線分為三長方形其濶并如員半徑其長各如句如股如?
　　而各為所分三小形之倍積【甲辛長方
　　如甲丙句之長而以心戊半徑為濶即為甲心丙分形之倍甲癸長
　　方如乙甲股之長而以同心己之半徑為濶即為乙心甲形之倍丙
　　壬長方如丙乙?之長而以同心庚之半徑為濶即為乙心丙形之
　　倍】合之即為本形倍積與句股相
　　乗同也【句股相乗為倍積見求積條】故以?和
　　和除句股相乗積得容員半徑

　　假如【甲乙丙】句股形甲丙句【八十八尺】甲乙股【一百零五尺】乙丙?【一百三十七尺】求容員徑
　　術(shù)以句股相乗而半之得積【四千六百二十尺】為實(shí)并句股?數(shù)而半之【一百六十五尺】為法除之得數(shù)倍之為容員徑凡求得內(nèi)容員徑五十六尺
　　解曰此以半周除句股形積而得容員半徑也【半周即?和和之半】
　　如圖從容員心分本形為六小句股則同角之句股各
　　相等可以合之而各成小方形【同甲角之
　　兩句股成丁己小方形同丙角之兩句股可合之成丁辛長方形以心辛
　　丙形等丙戊心也同乙角之兩句股可合之成己庚長方形以乙庚心形
　　等心戊乙也】乃移己庚長方為辛癸長方
　　則癸甲即同半周而癸己大長方即
　　為半周乗半徑而與句股積等也【六小形之句皆原形之周變?yōu)殚L方則兩兩相得而各用其半是半周也癸甲及壬己之長并半周壬癸及己甲辛丙之間并同心丁是半周乗半徑也辛癸長方與己庚等積即與乙角旁兩句股等積又丁辛長方與丙角旁兩句股等積再加丁己形即與原設(shè)乙甲丙句股形等積矣】然則以句股相乗而半之者句股形積也故以半周除之即容員半徑矣
　　或以?和和除四倍積得容員全徑并同前論
　　論曰句股形古法以?和較為容員徑與?和和互相乗除乃至精之理測員海鏡引伸其例以為測望之用其變甚多三角容員蓋從此出故為第一支

　　假如【甲乙丙】銳角形乙丙邉【五十六尺】甲丙邉【七十五尺】甲乙邉【六十一尺】求容員徑
　　術(shù)以乙丙邉為底求得甲丁中長線【六十尺○法見求積】以乗底得數(shù)【三千三百六十尺】倍之【六千七百二十尺】為實(shí)合計三邉【共一百九十二尺】為法除之得容員徑
　　凡求得內(nèi)容員徑三十五尺
　　解曰此以全周除四倍積得容員
　　徑也
　　如圖自容員心作對角線分為
　　小三角形三各以員半徑為髙
　　各邉為底若于各邉作長方而
　　各以邉為長半徑為濶必倍大
　　于各小三角形【如壬丙長方倍大于丙心乙形
　　丙丑長方倍大于丙心甲形甲丁長方倍大于甲心乙形】又
　　作加一倍之長方則四倍大于
　　各小三角【如未乙長方倍大于丙壬長方必四倍于】
　　【丙心乙三角則夘甲亦四倍于丙心甲而甲酉亦四倍于甲心乙】于是而通為一大長方【移夘甲長方為亥丙移甲酉為乙辰則成亥午大長方形矣】必四倍原形之冪而以三邉合數(shù)為長以容員之徑為濶然則以中長線乗底而倍之者正為積之四倍也以三邉除之豈不即得員徑乎
　　或以全周除倍積得容員半徑
　　或以半周除積得容員半徑并同
　　若鈍角形亦同上法
　　論曰銳角鈍角并以周為法此與句股形用?和和同但必先求中長線故為第二支

　　三角容員第三術(shù)
　　以中垂線為員半徑曰以量代算
　　假如【甲乙丙】三角形求容員徑【既不用算故不言邉角之?dāng)?shù)】
　　如求積術(shù)均分甲乙二角之度各
　　作虛線交于己即己為容員之心
　　次以己為心盡一邉為界運(yùn)規(guī)作
　　員此員界必切三邉
　　于是從己心向三邉各作十字垂線必俱在切員之防而等為員半徑知半徑知全徑矣【半徑各如己庚線】
　　論曰此容員心即三角形之心【故以容員半徑乗半總即得積也】又案此術(shù)亦句股及銳鈍兩角通用

　　三角容員第四術(shù)
　　用三較連乗
　　假如【甲乙丙】鈍角形乙丙邉【四百三十二尺】甲丙邉【五百尺】甲乙邉【一百四十八尺】求容員徑
　　術(shù)以半總【五百四十尺】求得乙丙邉較
　　【一百○八尺】甲丙邉較【四十尺】乙甲邉較
　　【三百九十二尺】三較連乗得數(shù)【一百六十九萬三千
　　四百四十尺】以半總除之得數(shù)【三千一百三十】
　　【六尺】四因之【一萬二千五百四十四尺】為實(shí)平方開之得容員徑凡求得內(nèi)容員徑一百一十二尺
　　銳角同法
　　解曰此所得者為容員徑上之自乗方冪故開方得徑

　　三角容方第一術(shù)
　　合底與髙除倍積得容方徑
　　內(nèi)分二支
　　一句股形即以句股為底為髙【即句股和也其容方依正方角】一三角形以一邉為底求其垂線為髙【句股形以?為底銳角形三邉皆可為底鈍角形以大邉為底其容方并依為底之邉】
　　假如【甲乙丙】句股形甲丙股【三十六尺】乙丙句【一十八尺】求容方依正方角而以容方之一角切于?
　　術(shù)以句股相乗得數(shù)【六百四十八尺】為實(shí)以句股和【五十四尺】為法除之得所求
　　求到內(nèi)容方徑一十二尺
　　如圖作寅乙線與股平行作寅甲
　　線與句平行成寅丙長方為句股
　　形倍積
　　次引寅甲線橫出截之于癸引乙
　　丙句橫出截之于夘使引出兩線
　　【甲癸及丙夘】皆如甲丙股仍作夘癸線聫之
　　乃從癸作斜線至乙割甲丙股于戊則戊丙為所求容方之邉又從戊作申未橫線與上下兩線平行割甲乙?于己則己戊為所求容方之又一邉末從己作午辛立線割丙乙句于辛則己辛及辛丙又為兩對邉而四邉相等為句股形內(nèi)所容之方
　　解曰寅夘大長方以癸乙斜線分兩句股則相等而寅戊與戊夘兩長方等則寅丙長方與申夘長方亦等【寅丙內(nèi)減寅戊而加相等之戊夘即成申夘】夫寅丙者句股倍積而申夘者句股和乗容方徑也【乙丙句丙夘股合之為申夘形之長申乙及未夘并同方徑為濶】故以句股和除倍積得容方徑
　　又解曰寅丙長方分兩句股而等則寅戊與午丙兩長方等【寅己與己丙既等則于寅戊內(nèi)減寅己而加相等之己丙即成午丙】而寅戊原等戊夘則午丙亦與戊夘等夫午丙形之丙甲與戊夘形之丙夘皆股也則兩形等積又等邉矣其長等其濶亦等【甲丙與丙夘既等則辛丙與戊丙亦等】而對邉悉等即成正方形
　　論曰此以句為底股為髙也若以股為底句為髙所得亦同其容方依正方角乃古法也三角以底濶合中長除積蓋生于此是為第一術(shù)之第一支
　　假如【甲乙丙】句股形乙丙?二十八尺其積一百六十八尺求容方依?線而以容方之兩角切于句股術(shù)以?除倍積【三百三十六尺】得對角線【一十二尺】與?相并【四十尺】為法倍積為實(shí)法除實(shí)得所求
　　求到容方徑八尺四寸
　　如圖作寅丑線與乙丙?平行又作
　　寅丙及丑乙與甲丁對角線平行成
　　丑丙長方為句股形倍積
　　次引乙丙?至夘引寅丑線至癸使
　　癸丑及夘乙并同甲丁仍作癸夘線
　　聫之
　　次從癸向丙作斜線割丑乙線于子遂從子作申未線與乙丙?平行割甲乙股于庚割甲丙句于己則庚己為容方之一邉末從庚作辰壬線從己作午辛線并與甲丁平行而割乙丙?于壬于辛則辛壬及庚壬及己辛三線并與庚己等而成正方
　　解曰寅子長方與子夘長方等積【癸丙線分寅夘形為兩句股而等則兩句股內(nèi)所作之方必等】午壬長方又與寅子等【寅丁形以甲丙線分為兩句股則寅己與己丁等又丑丁形以甲乙線分為兩句股則丑庚與丁庚等若移寅己作己丁移丑庚作丁庚則午丁等寅戊而辰丁等丑戊合之而午壬等寅子】則午壬亦與子夘等而午壬之邉【午辛及辰壬】子夘之邉【夘乙及未子】并等甲丁對角線則兩形【午壬子夘】等積又等邉矣其長等其濶亦等【辰壬既等夘乙則辛壬亦等子乙而庚壬及己辛亦不得不等】故四線必俱等也
　　又解曰寅子既與子夘等則寅乙必與申夘等【于寅乙內(nèi)移寅子居子夘之位即成申夘】而寅乙者倍積也申夘者底偕中長乗容方徑也【乙丙?也夘乙即甲丁對角中長線也合之為丙夘之長其兩端之濶申丙及未夘并同方徑】故合?與對角線為法以除倍積得容方徑
　　論曰此以一邉為底中長線為髙也既以一邉為底其容方即依此一邉而以兩方角切余二邉也句股形故以?為底若銳角形則任以一邉為底但依大邉則容方轉(zhuǎn)小亦如句股形依方角之容方必大于依?線之容方也鈍角形但可以大邉為底其求之則皆一法也是為第一術(shù)之第二支

　　三角容方第二術(shù)
　　以圖算
　　內(nèi)分二支
　　一以法截中長線得容方徑【句股形即截其邉】
　　一以法截兩斜邉得容方邊【句股形即截其?】
　　假如銳角形求容方任以一邉為底
　　如圖以乙丙最小邉為底先從對角甲作中長垂線至丁又從乙角作丑乙立線與甲丁平行而等乃從甲角
　　作橫線過丑至癸截丑癸亦如甲
　　丁乃從癸向丙角作斜線割丑乙
　　立線于子末以子乙之度截中長
　　線【甲丁垂線】于戊即戊丁為容方之徑
　　【從戊作己庚又從己作線至辛從庚作線至壬成庚己辛壬即所求
　　容方】
　　解曰甲戊與戊丁若甲丁與乙丙【子丑癸句股與子乙丙形有子交角必相似則丑子句與子乙句若丑癸股與乙丙股而丑子原與甲戊等子乙與戊丁等丑癸與甲丁等則甲戊與戊丁亦若甲丁與乙丙】又甲戊與己庚若甲丁與乙丙【甲己庚三角為甲丙乙之截形必相似則甲戊與己庚若甲丁與乙丙】
　　合兩比例觀之則甲戊與戊丁若甲戊與己庚而己庚即戊丁
　　以上并銳角形
　　凡銳角三邉并可
　　為底而皆一法

　　假如句股形求容方以股為底則于句端甲作橫線與股平行而截之于癸使癸甲如甲乙句乃自癸向丙作斜線割甲乙句于戊則戊乙即容方之一邉末作己戊與股平行作己辛與句平行即成容方【或以句為底則從股端丙作丙癸橫線與股等亦作癸甲斜線割丙乙股于戊其所得容方亦同圖如左】

　　論曰銳角鈍角皆截中長線為容方徑句股形以?為底亦然惟句股形以句為底即截其股為容方徑【用股為底即截句】不另求中長而與截中長之法并同是為第二術(shù)之第一支

　　假如乙丙丁三角求容方　依乙丙邉為底
　　如圖以乙丙底作正方形【即甲乙丙戊方】又作丁辛對角線次作甲辛及戊
　　辛兩斜線割原形之兩斜線于己
　　于庚乃作己庚線為所求容方之
　　一邉【末作己壬及庚癸兩線成小方形于形內(nèi)即所求】
　　解曰甲戊與己庚若子辛與午辛也【己庚辛三角形為甲戊辛之切形則其橫與直之比例相等】而甲戊與子辛同為方徑而等則己庚與午辛亦同為小方徑而等
　　若底上方形大則其徑亦大于對
　　角線則如第二圖引丁辛線至子
　　其理亦同
　　有此二法則三邉并可為底
　　鈍角形用大邉為底句股形用?為底并同第二圖
　　若句股形以句為底求容方如圖即用乙丙句作【丙辛庚乙】方形從方角庚向丙作斜線割丁乙?于壬從壬作癸
　　壬及甲壬二線即所容方【或用股上方則
　　引出句邉如股】
　　解曰庚丙線分丙角為兩平分則
　　其橫直線自相等【壬癸與癸丙相等壬甲與甲丙】
　　【相等則四線皆等】而成正方嘉禾陳防庵用分角法求容方與此同理
　　論曰此皆以底上方形為法而得所求小方也故不論頂之偏正其所得容方并同惟句股容方依正方角則中長線與原邉合而為一法雖小異其用不殊是為第二術(shù)之第二支

　　三角形外切平員第一術(shù)
　　句股形以?為徑
　　假如甲乙丙句股形乙丙?長四尺五寸二分求外切員
　　術(shù)以?折半取心得半徑二尺二寸六分其?長四尺五寸二分即外切平員全徑以平員周率三五五乗之徑率一一三除之得員周一十四尺二寸
　　如圖乙丙員徑即句股形之?折半于丁即員心也以
　　乙丁半徑為度從丁心運(yùn)規(guī)作員
　　必過甲而句股形之角皆切員周
　　矣

　　論曰凡平員徑上從兩端各作直線至員周相防則成正方角【如乙丙徑之兩端于丙于乙各作直線防于甲則甲角必為正角】而為句股形【假令兩線相遇于庚即成庚乙丙句股形于辛亦然以其皆正角故也】故不問句股長短而并以其?為外切員之徑
　　又論曰徑一百一十三而周三百五十五此鄭端清世子所述祖沖之術(shù)也【見律呂精義】按古率周三徑一李淳風(fēng)等釋古九章以為術(shù)從簡易舉大綱而言之誠為通論諸家所傳徑五十周一百五十七則魏劉徽所改謂之徽率徑七周二十二則祖沖之所定謂之宻率由今以觀沖之自有兩率【一為七與二十二一為一一三與三五五】蓋以其捷者為恒用之須而存其精者明測算之理亦可以觀古人之用心矣
　　三角形外切平員第二術(shù)
　　分邉取員心內(nèi)分二支并以圖算
　　一句股形但分一邉即得員心【其心在?】
　　一銳角形鈍角形并分二邉可得員心【銳角形員心在形內(nèi)鈍角形員心在形外】
　　假如甲乙丙句股形求外切員
　　術(shù)任于句或股平分之作十字正線此線過?線之防即為員心
　　如圖甲乙丙形以甲乙股平分于
　　戊從戊作庚丁正十字線至乙丙
　　?即分?為兩平分而丁即員心
　　從丁運(yùn)規(guī)作外切員則甲乙丙三
　　防并切員周而乙丁丙丁庚丁皆半徑
　　論曰若平分甲丙句于辛從辛作十字正線亦必至丁故但任分其一邉即可得心
　　又論曰若依第一術(shù)先得丁心從丁心作直線與句平行即此線能分股線為兩平分【如丁庚線與甲丙句平行過甲乙股即平分股線于戊】若與股平行而分句線亦然【如丁辛線與甲乙股平行即分句線于辛】右句股形外切平員之心在?線中央

　　假如銳角形求形外切員
　　術(shù)任以兩邉各平分之作十字線引長之必相遇于一防即為員心
　　如圖甲乙丙銳角形任以甲丙邉
　　平分之于戊作庚戊丁十字線又
　　任以乙丙邉平分之于壬作癸壬
　　丁十字線兩直線稍引長之相遇
　　于丁以丁為心作員則甲乙丙三角并切員周而丁癸丁庚皆半徑
　　論曰試于余一邉再平分之作十字正線亦必防于此防故此防必員心【如甲乙邉再平分之于辛作子辛丁十字線亦必相遇于丁防】
　　右銳角形外切平員之心在形之內(nèi)

　　假如鈍角形求形外切員　術(shù)同銳角
　　如圖甲乙丙形甲為鈍角任分甲
　　丙于戊分甲乙于辛各作十字線
　　防于丁心從丁作員則丁庚丁癸
　　皆半徑而三角并切員周若用大
　　邉平分于壬作壬丁子線亦同
　　論曰試于丁心作線至丙至乙至甲必皆成員半徑與丁庚丁癸同故丁為員心也
　　右鈍角形外切平員之心在形之外
　　總論曰此與容員之法不同何也內(nèi)容員之心即三角形之心故其半徑皆與各邉為垂線而不能平分其邉然從心作線至角即能分各角為兩平分此分角求心之法所由以立也外切員之心非三角形之心其心或在形內(nèi)或在形外距邉不等而能以十字線剖各邉為兩平分此分邉求心之法所由以立蓋即三防串員之法也
　　附三防串員
　　有甲乙丙三防欲使之并在員周
　　術(shù)任以甲為心作虛員分用元度
　　以丙為心亦作虛員分兩員分相
　　交于戊于辛作戊辛直線又任以
　　乙為心以丙為心各作同度之虛員分相交于庚于壬作庚壬直線兩直線相遇于丁以丁為心作員則三防并在員周
　　員周有三防不知其心亦用此法

　　厯算全書卷五十二
<子部,天文算法類,推步之屬,歷算全書>
　　欽定四庫全書
　　厯算全書卷五十三
　　宣城梅文鼎撰
　　三角法舉要卷四
　　或問【三角大意畧具首卷中而入算取用仍有疑端喜同學(xué)之好問事事必求其所以然故不憚為
　　之詳復(fù)以暢厥防】
　　一三角形用正?為比例之理
　　一和較相求之理
　　一用切線分外角之理
　　一三較連乗之理
　　附三較求角

　　問各角正?與各邉皆不平行何以能相為比例曰凡三角形一邉必對一角其角大者正?大而所對之邉亦大角小者正?小而所對之邉亦小故邉與邉之比例如正?與正?也
　　兩正?為兩邉比例圖
　　乙丙丁三角形丁乙邉大對丙角
　　丁丙邉小對乙角術(shù)為以丁乙邉
　　比丁丙邉若丙角之正?與乙角
　　之正?
　　解曰試以丁丙為半徑作丁甲線為丙角正?又截戊乙如丁丙半徑作戊己線為乙角正?丁甲正?大于戊己故丁乙邉亦大于丁丙
　　問丁甲何以獨(dú)為丙角正?也曰此以丁丙為半徑故也若以丁乙為半徑則丁甲即為乙角之正?如圖用丁乙為半徑作丁甲線為乙角正?又引丙丁至戊令戊丙如丁乙半徑作戊己線為丙角正?
　　即見乙角之正?丁甲小于戊己
　　故丁丙邉亦小于丁乙
　　解曰正?者半徑所生也故必兩
　　半徑齊同始可以較其大小前圖
　　截戊乙如丁丙此圖引丁丙如丁乙所以同之也
　　三正?逓相為三邉比例圖
　　乙丁丙鈍角形丁鈍角對乙丙大邉丙次大角對乙丁次大邉乙小角對丁丙小邉其各邉比例皆各角正?之比例
　　試以乙丁為半徑作丁甲線為乙
　　小角之正?又引丙丁邉至戊使
　　戊丙如乙丁作戊己線為丙角之
　　正?又展戊丙線至庚使庚丙如乙
　　丙作庚辛線為丁鈍角之正?【如此則三邉皆若?三正?皆若股】其比例為以乙丙大邉【同庚丙】比乙丁次邉【同戊丙】若丁鈍角之正?庚辛與丙角之正?戊己
　　又以乙丁次大邉【同戊丙】比丁丙小邉若丙角之正?戊己與乙角之正?丁甲
　　又以丁丙小邉比乙丙大邉【同庚丙】若乙小角之正?丁甲與丁鈍角之正?庚辛
　　問庚辛何以為丁角正?曰凡鈍角以外角之正?為正?試作乙癸線為丁角正?【乙丁癸角外角也故其正?即為丁鈍角正?】必與庚辛等何也庚丙辛句股形與乙丙癸形等【庚丙?既同乙丙又同用丙角辛與癸又同為方角故其形必等】則庚辛必等乙癸而乙癸既丁角正?矣等乙癸之庚辛又安得不為丁角正?乎【凡取正?必齊其半徑此以丁甲為乙角正?是用乙丁為半徑也而取丙角正?戊己必引戊丙如乙丁其丁角正?庚辛又即外角之正?乙癸是三半徑皆乙丁也】
　　試取壬丙如丁丙作庚壬線即同
　　乙丁半徑則壬角同丁角壬外角
　　即丁外角而庚辛正?之半徑仍
　　為乙丁【庚壬同乙丁故】
　　此以庚壬當(dāng)乙丁易乙丁丙形為
　　庚壬丙則庚辛正?亦歸本位與前圖互明
　　試以各角正?同居一象限較其弧度
　　如圖甲乙丙形丙角最大其正?乙丁亦最大所對甲乙邉亦最大甲角次大其正?丑壬亦次大所對
　　乙丙邉亦次大乙角最小其正?
　　丙夘亦小所對丙甲邉亦最小【丙乙
　　二角正?并乙丙為半徑甲角取正?截丑甲如乙丙亦以乙丙為
　　半徑】乃別作一象弧【如戊己】仍用乙丙
　　為半徑【取戊庚如乙丙】而以先所得各角
　　之余?取度于丁作乙丁為丙角
　　之正?于壬作丑壬為甲角之正
　　?于夘作丙夘為乙角之正?即
　　如元度而各角之差數(shù)覩矣【戊庚半徑既同乙丙則丁庚即丁丙而為丙角余?又壬庚即甲壬為甲角余?夘庚即夘乙為乙角余?】
　　解曰角無大小以弧而知其大小今乙丁正?其弧乙己是丙角最大也丑壬正?其弧丑己是甲角次大也丙夘正?其弧丙己是乙角最小也而對邉之大小亦如之故皆以正?為比例也
　　或疑鈍角之度益大其正?反漸小而其所對之邉則漸大何以能相為比例乎曰此易知也凡鈍角正?即外角之正?而外角度原兼有余兩角之度故鈍角之正?必大于余兩角而得為大邉之比例也如乙丙甲鈍角形丙鈍角最大其正?乙丁亦最大而所對乙甲邉亦最大乙角次大其正?丙夘亦次大而所對甲丙邉亦次大甲角最小其正?丑壬亦小而所對乙丙邉亦最小【截甲丑如乙丙從丑作丑壬即甲角正?】
　　乃從乙作乙庚弧【以丙為心乙丙為半徑】為
　　丙外角之度又作辛丙半徑與甲
　　乙平行分乙庚弧度為兩則辛庚
　　即甲角之弧度其余辛乙亦即乙
　　角之弧度從辛作辛未正?與丑
　　壬等又自庚截癸庚度如辛乙則
　　癸庚亦乙角之弧作癸子正?與丙夘等此顯丙外角之度兼有乙甲兩角之度其正?必大于兩角正?也雖丙鈍角加大而外角加小則乙甲兩角必又小于外角又何疑于鈍角正?必為大邉比例乎
　　試更以各角切員觀之則各角之對邊皆為其對弧之通?
　　如圖三角形以各角切員則乙丙邉為丙戊乙弧之通?而對甲角甲丙邉為丙己甲弧之通?而對乙
　　角甲乙邉為乙庚甲弧之通?而
　　對丙角則是各角之對邉即各角
　　對弧之通?也夫通?者正?之
　　倍數(shù)則三邉比例即三正?之比
　　例矣
　　又試以各邉平分之則皆成各角之正?
　　于前圖內(nèi)更以各邉所當(dāng)之弧皆平分之【丙戊乙弧平分于戊防丙己甲弧平分于己防乙庚甲弧平分于庚防】自員心【丁】各作半徑至其
　　防即分各邊為兩平分【以丁壬戊
　　半徑分乙丙邊于壬以丁辛己半徑分甲丙邊于辛以丁
　　癸庚半徑分甲乙邊于癸則所分之邊皆為兩平分】則
　　弧之平分者即原設(shè)各角之
　　度而邊之平分者即皆各角
　　之正?【丙丁戊角以丙戊為弧丙壬為正?而丙
　　丁戊角原為丙丁乙角之半必與甲角同大故丙戊半弧
　　即甲角之本度丙壬半邊即甲角之正?乙丁戊角亦然】
　　【凖此論之則甲丁己角原為甲丁丙角之半必與乙角同大故甲己半弧即乙角之本度甲辛半邊即乙角之正?己丁丙角亦然又乙丁庚角原為乙丁甲角之半必與丙角同大故乙庚半弧即丙角之本度乙癸半邊即丙角之正?庚丁甲角亦然】夫分其邊之半即皆成正?則邊與邊之比例亦必如正?與正?矣【全與全若半與半也】
　　問三角之本度皆用半弧何也曰量角度必以角為員心真度乃見今三角皆切員邊則所作通?之弧皆倍度也故半之乃為角之本度
　　如圖以甲角爲(wèi)心甲丁爲(wèi)半徑作員則其弧丑丁子乃甲角之本度也而平分之丙戊及戊乙兩弧并與丑丁子弧等【試作戊丙及乙戊兩?必相等又并與丑子?等凡?等者弧亦等】故乙
　　戊丙弧必爲(wèi)甲角之倍度
　　【余角類推】

　　問三邉求角何以用和較相乗也曰欲明和較之用當(dāng)先知和較之根凡大小兩方以其邉相并謂之和相減謂之較和較相乗者兩方相減之余積也
　　如圖甲癸小方丁癸大方于大方
　　內(nèi)依小方邉作己庚橫線又取己
　　辛如小方邉作辛壬線成己壬小
　　方與甲癸等大方內(nèi)減己壬小方
　　則所余者為乙庚及庚壬兩長方
　　形夫乙己及丁庚及庚辛并兩邉之較也甲己庚則和也若移庚壬長方為乙甲長方即成丁甲大長方而為較乗和之積故凡兩方相減之余積為實(shí)以和除之得較以較除之亦得和矣
　　依此論之若有兩方形相減又別有兩方相減而其余積等則為公積故以此兩方之和較相乗為實(shí)而以彼兩方之和為法除之得彼兩方之較或以彼兩方之較為法除之亦必得和
　　【如圖有方二十九之冪八百四十一與方二十七之冪七
　　百二十九相減成較二乗和五十六之積
　　又有方十六之冪二百五十六與方十二之冪一百四十
　　四相減成較四乗和二十八之積
　　兩積同為一百一十二故以先有之較二和五十六相乗】
　　【為實(shí)以今有之和二十八為法除之即得較四為今所求數(shù)】
　　是故三角形以兩?之和乗較為實(shí)以兩分底之和為法除之得較者為兩和較相乗同積也兩和較相乗同積者各兩方相減同積也
　　何以明之曰凡三角形以中長線分為兩句股則兩形同以中長線為股而各以分底線為句是股同而句不同也句不同者?不同也?大者句亦大?小者句亦小故兩?上方相減必與兩句上方相減之余積等而兩和較相乗亦等
　　如圖甲乙丙三角形以甲丁中長線分為兩句股形則丙乙為兩句之和【未寅及子夘并同】丙戊為兩句之較【未子及寅夘并
　　同】未夘長方為兩句之較乗
　　和也又丙己為兩?之和【辰壬
　　同】酉丙為兩?之較【辰癸及辛庚壬
　　午并同】癸壬長方為兩?之較
　　乗和也此兩長方必等積
　　問兩?上方大于兩句上方何以知其等積曰依句股法?上方冪必兼有句股上方冪是故甲丙?冪內(nèi)【即癸甲大方】必兼有甲丁股丙丁句兩冪乙甲?冪內(nèi)【即辛己小方】亦兼有甲丁股乙丁句兩冪則是甲丁股冪者兩?冪所同也其不同者句冪耳【股冪既同則?冪相減時股冪俱對減而盡使非句冪不同巳無余積】然則兩?冪相減之余積【于癸甲大方內(nèi)減己辛相同之申甲小方所余者癸辛申丙兩長方成磬折形】豈不即為兩句冪相減之余積乎【于丁子方內(nèi)減丁寅相同之戊丑小方所　所余者丑子及戊未兩長方成磬折形】由是言之兩和較相乗之等積信矣【于?冪相減之癸辛申丙磬折形內(nèi)移申丙補(bǔ)庚壬即成和較相乗之癸壬長方又于句冪相減之丑子未戊磬折形內(nèi)移戊未補(bǔ)丑夘即成和較相乗之未夘長方兩磬折形既等積則兩長方亦等積】
　　問和較之列四率與諸例不同何也曰此互視法也同文算指謂之變測古九章謂之同乗異除乃三率之別調(diào)也何則凡異乗同除皆以原有兩率之比例為今兩率之比例其首率為法必在原有兩率之中互視之術(shù)則反以原有之兩率為二為三以自相乗為實(shí)其首率為法者反系今有之率與異乗同除之序相反故曰別調(diào)也
　　然則又何以仍列四率曰以相乗同實(shí)也三率之術(shù)二三相乗與一四相乗同實(shí)故可以三率求一率【二三相乗以一除之得四以四除之即仍得一若一四相乗以二除之亦可得三以三除之亦仍得二】互視之術(shù)以原有之兩率自相乗與今有之兩率自相乗同實(shí)故亦以三率求一率【原兩率自相乗以今有之率除之得今有之余一率若今兩率自相乗以原有之率除之亦即得原有之余一率】但三率之術(shù)以比例成其同實(shí)互視之術(shù)則以同實(shí)而成其比例既成比例即有四率故可以列而求之也
　　如圖長方形對角斜剖成兩句股則相等而其中所成
　　小句股亦相等【甲壬戊與甲己戊等則甲
　　乙丙與甲辛丙等丙丁戊與丙庚戊等并長方均剖故也】即所成長方之積亦必相等
　　【于甲壬戊句股形內(nèi)減去相等之甲乙丙及丙丁戊兩小】
　　【句股存乙丙丁壬長方又于甲己戊句股形內(nèi)減去相等之甲辛丙及丙庚戊兩小句股存辛己庚丙長方所減之?dāng)?shù)等則所存之?dāng)?shù)亦等故兩長方雖長濶不同而知其必為等積】今以甲乙為首率乙丙為次率丙丁為三率丁戊為四率則乙丁長方【即乙丙丁壬形】為二三相乗之積【此形以乙丙二率為濶丙丁三率為長是二率三率相乗也】辛庚長方【即辛己庚丙形】為一四相乗之積【此形以辛丙為長丙庚為濶而辛丙原同甲乙乃一率也丙庚原同丁戊乃四率也是一率四率相乗也】既兩長方相等則二三相乗與一四相乗等實(shí)矣此列率之理也
　　一　　甲乙
　　二　　丙乙
　　三　　丙丁
　　四　　戊丁
　　在異乗同除本術(shù)則甲乙及丙乙為原有之?dāng)?shù)丙丁為今有之?dāng)?shù)戊丁為今求之?dāng)?shù)其術(shù)為以原有之甲乙股比原有之丙乙句若今有之丙丁股與戊丁句也故于原有中取丙乙句與今有之丙丁股以異名相乗為實(shí)又于原有中取同名之甲乙股為法除之即得今所求之丁戊句是先知四率之比例而以乗除之故成兩長方【二率乗三率成乙丁長方以首率除之必變?yōu)樾粮L方】故曰以比例成其同實(shí)也
　　互視之術(shù)則乙丙與丙丁為原有之?dāng)?shù)甲乙為今有之?dāng)?shù)丁戊為今求之?dāng)?shù)術(shù)為以乙丙較乗丙丁和之積若丙庚較【即丁戊】乗丙辛和【即甲乙】之積故以原有之乙丙較丙丁和自相乗為實(shí)以今有之甲乙和【即辛丙】為法除之即得今所求之丁戊較【即丙庚】是先知兩長方同積而以四率取之故曰以同實(shí)成其比例也
　　然則又何以謂之互視曰三率之用以原有兩件自相比之例為今有兩件自相比之例是視此之差等為彼之差等如相慕效故大句比大股若小句比小股【大句小于大股幾倍小句亦小于小股幾倍又大句大于小句幾倍大股亦大于小股幾倍】互視之用以原有一件與今一件相比之例為今又一件與原又一件相比之例是此視彼之所來以往彼亦視此之所往以來如互相酬報故?之較比句之較反若句之和比?之和【?之和大于句故句之較反大于?若和之?dāng)?shù)?大于句幾倍則較之?dāng)?shù)句大于?亦幾倍】是以別之為互視也
　　如圖以甲乙為一率丙乙為二率丙丁為三率丁戊為四率作甲戊?成兩句股次引甲乙及丁戊防于壬成
　　乙丁長方為二三相乗之積
　　亦引乙丙至庚引丁丙至辛
　　作甲辛及戊庚線并引長之
　　防于己成辛庚長方為一四
　　相乗之積是先有比例而成
　　同實(shí)之長方
　　如圖乙丙乗丙丁為乙丁長
　　方辛丙乗丙庚為辛庚長方
　　兩長方以角相連于丙次引
　　己辛及乙壬防于甲引己庚
　　及壬丁防于戊乃作甲戊線
　　則辛丙與丙丁若乙丙與丙
　　庚是先知同實(shí)而成其比例
　　也

　　問三角形兩又術(shù)用外角切線何也曰此分角法也一角在兩邉之中則角無所對之邉邉無所對之角不可以正?為比例今欲求未知之兩角故借外角分之也然則何以用半較角曰較角者本形中未知兩角之較也此兩角之度合之即為外角之度必求其較角然后可分而較角不可求故求其半知半較知全較矣此用半較角之理也
　　如圖甲丙乙形先有丙角則甲丙丁為外角外角內(nèi)作
　　丙辛線與乙甲平行則辛
　　丙丁角與乙角等辛丙甲
　　角與甲角等
　　其辛丙庚角為兩角之較而辛丙己角其半較也己丙丁及己丙甲皆半外角也以半較角與半外角相減成乙角【于丁丙己內(nèi)減辛丙己其余丁丙辛即乙角度】若相加亦成甲角【于己丙甲加辛丙己成辛丙甲即甲角度】
　　半較角用切線何也曰此比例法也角與所對之邉并以正?為比例今既無正?可論而有其所對之邉故即以邉為比例【角之正?可以例邉則邉之大小亦可以例角】是故乙丁者兩邉之總也乙癸者兩邉之較也而戊己者半外角之切線也壬己者半較角之切線也以乙丁比乙癸若戊己與壬己故以切線為比例也
　　然則何以不徑用正?曰凡一角分為兩角則正?因度離立不同在一線不可以求其比例其在一線者惟切線耳而邉之比例與切線相應(yīng)切線比例又原與正?相應(yīng)故用切線實(shí)用正?也
　　如圖甲丙丁外角其弧甲
　　己丁于辛作辛丙線分其
　　角為兩則小角之弧丁辛
　　其正?夘丁大角之弧辛
　　甲其正?甲丑【小角正?當(dāng)乙角之
　　對邉甲丙大角正?當(dāng)甲角之對邉乙丙】
　　今欲移正?之比例于一線先作甲丁通?割分角線于子則子甲與子丁若甲丑與夘丁【甲丑子與丁夘子兩句股形有子交角等丑夘皆正角即兩形相似而比例等然則子甲者大形之?子丁者小形之?而甲丑者大形之股夘丁者小形之股也?與?若股與股故子甲比子丁若丑甲與夘丁】而甲丁即兩正?之總【甲丁為子甲子丁之總亦即為甲丑夘丁之總】辰子即兩正?之較【以子丁減子甲其較辰子是辰子為子甲子丁之較亦即為甲丑夘丁之較】平分甲丁半之于酉則酉丁為半總酉子為半較其比例同也【全與全若半與半故甲丁與辰子為兩正?之總與較則半之而為酉丁與酉子亦必若兩正?之總與較】
　　于是作午戊切員線【引平分線丙酉至己分甲己丁弧于己自己作午戊線與己丙為十字垂線即此線為切員線】與甲丁平行引諸線至其上【引丙甲至午引丙丁至戊引丙辰割庚防至未引丙夘割辛防至壬】則午戊切線上比例與甲丁通?等而正?之比例在切線矣【先以甲丁與辰子當(dāng)兩正?之總與較今午戊與未壬亦可當(dāng)兩正?之總與較則先以酉丁與酉子為半總半較者今亦以己戊與己壬為半總半較矣】故曰用切線實(shí)用正?也【切線與正?所以能同比例者以有通?作之合也】問三較連乗之理曰亦句股術(shù)也以句股為比例而以三率之理轉(zhuǎn)換之則用法最精之處也故三較連乗即得容員半徑上方乗半總之積
　　假如甲乙丙三角形甲丙邉
　　一百五十甲乙邉一百二十
　　二乙丙邉一百一十二術(shù)以
　　半總一百九十二較各邉得
　　甲丙之較四十二甲乙之較
　　七十乙丙之較八十三較連
　　乗得數(shù)二十三萬五千二百
　　即容員半徑自乗又乗半總
　　之積也
　　置三較連乗數(shù)以半總除之得數(shù)【一千二百二十五】平方開之得容員半徑【三十五】倍之得容員徑【七十】
　　置三較連乗數(shù)以半總乗之得數(shù)【四千五百一十五萬八千四百】平方開之得三角形積【六千七百二十】
　　若如常法求得中長線【一百二十】以乗乙丙底而半之所得積數(shù)亦同
　　然則何以見其為句股比例曰試從形心如法作線分為六句股形【形心即容員心】又引甲丙邉至夘使夘丙如乙戊引甲乙邉至辰使乙辰如己丙則甲夘甲辰并半總【六小句股形之句各于其兩相同者而取其一即成半總】而丙夘為甲丙邉
　　之較【即乙戊或乙辛】乙辰為甲乙邉
　　之較【即己丙或辛丙】甲己為乙丙邉
　　之較【己丙同辛丙又丙夘同乙辛則夘己同乙丙而
　　甲己為其較若用辰戊以當(dāng)乙丙則甲戊為較亦同】又
　　從夘作夘壬十字垂線至壬
　　【此線與丁己員半徑平行】引甲丁分角線出形外遇于壬成甲夘壬大句股形與甲己丁小句股之比例等【從辰作辰壬線成甲辰壬大句股與甲戊丁小句股為比例亦同】術(shù)為以丁己比壬夘若甲己與甲夘也次以丁己自乗方為一率以丁己乗壬夘之長方為次率則其比例仍若甲己三率與甲夘四率也【乗之者并丁己故所乗之丁己與壬夘比例不變也】
　　以數(shù)明之甲己八十甲夘一百九十二為二倍四分比例丁己三十五壬夘八十四亦二倍四分比例丁己自乗一千二百二十五丁己乗壬夘二千九百四十亦二倍四分比例故曰比例等
　　又移辛防至癸截丙癸如丙夘則乙癸亦如乙辰引丙夘至午使夘午同乙辰【亦同乙癸】引乙辰至未使辰未同丙夘【亦同丙癸】則午丙及未乙并同乙丙又作丙壬乙壬午壬未壬四線成午丙壬及乙未壬及乙丙壬各三角形皆相等【丙夘壬句股形與未辰壬等則丙壬必等未壬又午夘壬句股形與乙辰壬等則午壬等乙壬而午丙壬及乙未壬兩三角形必等矣其乙丙壬三角形既以乙丙與兩三角形同
　　底又同用丙壬乙壬兩?亦不得不等】于是自
　　癸作癸壬垂線【夘壬辰壬并垂線故癸壬
　　亦必垂線】成丙癸壬句股形與丙
　　夘壬形等即成癸丙夘壬四
　　邉形與丁己丙辛小四邉形
　　為相似形【夘與癸俱方角而小形之己與辛亦方】
　　【角則大形之丙角與壬角合之亦兩方角也而小形之丙角原為大形丙角之外角合之亦兩方角也則小形之丙角與大形之壬角等而小形之丁角亦與大形之丙角等是大小兩形之四角俱等而為相似形】則丁己丙句股形與丙夘壬形亦相似而比例等【大小兩四邉形各均剖其半以成句股則其相似之比例不變?nèi)c全若半與半也】術(shù)為以丁己比己丙若丙夘與夘壬也
　　一　丁己
　　二　己丙
　　三　丙卯　即甲丙之較戊乙
　　四　卯壬
　　凡三率法中二三相乗一四相乗其積皆等則己丙乗丙卯之積即丁己乗卯壬之積可通用也先定以丁己自乗比丁己乗卯壬若甲己與甲卯今以三率之理通之為以丁己自乗比己丙乗丙卯亦若甲己與甲卯
　　一　丁己自乗方　　　即容員半徑自乗
　　二　己丙乗丙卯長方　即甲乙之較乗甲丙之?dāng)?shù)
　　三　甲己　　　　　　即乙丙之較
　　四　甲卯　　　　　　即半總
　　復(fù)以三率之理轉(zhuǎn)換用之則三較連乗之積【以己丙較乗戊乙較為二率又以甲己較為三率乗之是二三相乗即三較連乗】即容員半徑自乗方乗半總之積也【以丁己半徑自乗為首率以甲卯半總為四率乗之是一四相乗也凡一四相乗必與二三相乗之積等】
　　以數(shù)明之丁己【三十五】卯壬【八十四】相乗得二千九百四十己丙【七十】丙卯【四十二】相乗亦二千九百四十故可通用
　　己丙乗丙卯【二千九百四十】又以甲己【八十】乗之得二十三萬五千二百丁己自乗【一千二百二十五】又以甲卯【一百九十二】乗之亦二十三萬五千二百故可通用
　　問三較之術(shù)可以求角乎曰可其所求角皆先得半角即銳鈍通為一術(shù)矣
　　術(shù)曰以三邊各減半總得較各以所求角對邊之較乗半總為法以余兩較各與半徑全數(shù)相乗又自相乗為實(shí)法除實(shí)得數(shù)平方開之為半角切線撿表得度倍之為所求角
　　假如甲乙丙三角形甲丙邊
　　七十五甲乙邊五十六乙丙
　　邊六十一與半總九十六各
　　相減得甲丙之較二十一甲
　　乙之較四十乙丙之較三十
　　五
　　今求乙角術(shù)以乙角所對邊
　　甲丙之較【二一】乗半總【九六】得數(shù)
　　【二○一六】為法以余兩較【甲乙較四○乙
　　丙較三五】各乗半徑全數(shù)又自相
　　乗得數(shù)【一四○○○○○○○○○○○○】為
　　實(shí)法除實(shí)得數(shù)【六九四四四四四四四四】平方開之得數(shù)【八三三三三】為半
　　角切線撿表【三十九度四十八分一十九秒】倍之得乙角【七十九度三十六分三十八秒】
　　次求丙角術(shù)以丙角所對邊甲乙之較【四○】乗半總得數(shù)【三八四○】為法余兩較【甲丙二一乙丙三五】各乗半徑全數(shù)又自相乗得數(shù)【七三五○○○○○○○○○○】為實(shí)法除實(shí)得數(shù)【一九一四○六二五○○】平方開之得半角切線【四三七五○】撿表【二十三度三十七分五十二秒半】倍之得丙角【四十七度一十五分四十五秒】
　　次求甲角術(shù)以甲角所對邉乙丙之較【三五】乗半總得數(shù)【三三六○】為法余兩較【甲丙二一甲乙四○】各乗半徑全數(shù)又自相乗得數(shù)【八四○○○○○○○○○○○】為實(shí)法除實(shí)得數(shù)【二五○○○○○○○○】平方開之得半角切線【五○○○○】撿表【二十六度三十三分五十三秒】倍之得甲角【五十三度○七分四十六秒】
　　問前條用三較連乗今只用一較為除法何也曰前條求總積故三較連乗今有専求之角故以對邉之較為法也然則用對邉何也曰對邉之較在所求角之兩旁為所分小句股形之句今求半角切線故以此小句為法也
　　如求乙半角則所用者角旁小句股【心戊乙或心丁乙】其句【乙戊或乙丁】并二十一即對邉甲丙之較也術(shù)為以乙戊比心戊若半徑與乙角【小形之角即半角也】之切線
　　其與半總相乗何也曰將以半
　　總除之又以小形句【即對邉之較】除
　　之今以兩除法【一半總一對邉之較即小形句】相乗然后除之變兩次除為一
　　次除也【古謂之異除同除】
　　用兩次除亦有說乎曰前條三較連乗必以半總除之而得容員半徑之方冪今欲以方冪為用故亦以半總除也然則又何以對邉之較除曰非但以較除也乃以較之冪除也何以言之曰原法三較連乗為實(shí)今只以兩較乗是省一乗也既省一對邉之較乗又以對邉之較除之是以較除兩次也即如以較自乗之冪除之矣余兩較相乗先又各乗半徑何也曰此三率之精理也凡線與線相乗除所得者線也冪與冪相乗除所得者冪也先既定乙戊句為首率心戊股【即容員半徑】為次率半徑為三率乙角切線為四率而今無心戊之?dāng)?shù)惟三較連乗中有心戊【即容員半徑】自乗之冪【即三較連乗半總除之之?dāng)?shù)】故變四率并為冪以乙戊句冪為首率【即對邉之較除兩次】心戊股冪為次率【即半總除連乗數(shù)】半徑之冪為三率【即半徑自乗】得半角切線之冪為四率【即分形之乙角】
　　一　乙戊　　今用乙戊自乗
　　二　心戊　　　　心戊自乗
　　三　半徑　　　　半徑自乗
　　四　乙角切線　　切線自乗
　　故得數(shù)開方即成切線
　　又術(shù)
　　以三較連乗半總除之開方為中垂線【即容員半徑】以半徑全數(shù)乗之為實(shí)各以所求角對邊之較除之即得半角切線
　　一　乙戊【乙角對邊之較】　丙戊【丙角對邊之較】　甲己【甲角對邊之較】二　心戊中垂線　心戊中垂線　心己中垂線【亦即心戊】三　半徑全數(shù)　　半徑全數(shù)　　半徑全數(shù)四　乙半角切線　丙半角切縁　甲半角切線
　　此即用前圖可解乃本法也
　　論曰常法三邊求角倘遇鈍角必于得角之后又加審焉以鈍角與外角同一八線也今所得者既為半角則無此疑實(shí)為求角之防法

　　補(bǔ)遺
　　問以邉求角【句股第二術(shù)】因和較乗除而知正角乃定其為句股形何也曰古法句?較乗句?和開方得股今大邉【壬丁】與小邉【癸丁】以和較相乗為實(shí)癸壬邉為法除之而仍得癸壬是適合開方之積也則大邉小邉之和較即句?之和較而癸為正角成句股形矣【凡句股形?為大邉而對正角今丁壬邉最大即?也故所對之癸角為正角】
　　試再以丁壬與壬癸之和較求之
　　如法用丁壬壬癸相加得和【一百九十
　　六丈】相減得較【一十六丈】較乗和【三千一百三十
　　六丈】為實(shí)丁癸【五十六丈】為法除之亦仍
　　得五十六丈何則股?較乗和亦
　　開方得句故也
　　然則句股?和較之法又安從生曰生于割圜
　　試以丁壬?為半徑作戊丁丙己圜　全徑二百一十二　半徑一百○六　乙丁正?九十【即癸壬股】　乙壬余
　　?五十六【即癸丁句】　丙乙正矢五
　　十【即句?較】　乙庚大矢一百六十
　　二【即句?和】　正矢乗大矢得數(shù)八
　　千一百開方得正?【即句?和乗較開方
　　得股】
　　然則此八千一百者既為正矢大矢相乗之積又為正?自乗之積故以正?自乗為實(shí)而正矢除之可以得大矢大矢除之亦得正矢【即乙丁股自乗為實(shí)而以句?較丙乙除之得乙庚為句?和若以句?和除之亦得句?較】
　　更之則正矢乗大矢為實(shí)以正?除之仍得正?矣【即句?較丙乙乗句?和乙庚為實(shí)以乙丁股為法除之而仍復(fù)得股】
　　論曰句股形在平圜內(nèi)其半徑恒為?若正?余?則為句為股可以互用故其理亦可互明【以丁壬及丁癸二邉取和較求壬癸邉為句?求股以丁壬及壬癸二邉取和較求丁癸邉為股?求句一而已矣】
　　問數(shù)則合矣其理云何曰仍句股術(shù)也
　　如上圖于圜徑兩端【如丙如庚】各作通?線至正?【丁乙】之銳
　　【如庚乙丙乙】成丙乙庚大句股形又
　　因中有正?成大小兩句股形
　　【乙丁庚為大形乙丙丁為小形】而相似【以乙丁線分正
　　角為兩則小形乙角為大形乙角之余而與庚角等即大形乙
　　角亦與小形丙角等故兩形相似】則乙丁正?
　　既為小形之股又為大形之句其比例為丙丁【小形句】與乙丁【小形股】若乙丁【大形句】與丁庚【大形股】也故正矢【丁丙】乗大矢【丁庚】與正?【乙丁】自乗等積【丙庚全徑為正?所分其一丁丙正矢為小形之句而乙丁正?為其股其一丁庚大矢為大形之股而乙丁正?為其句】
　　一　丁丙正矢　小形句　　凡二率三率相乗與一二　乙丁正?　小形股　　四相乗等積故乙丁自三　乙丁正?　大形句　　乗即與丁丙丁庚相乗四　丁庚大矢　大形股　　等積也
　　論曰凡割圜算法専恃句股古法西法所同也故論句股者必以割圜而論割圜者仍以句股如根株華實(shí)之相須乃本法非旁證也
　　或疑切線分外角以正?為比例恐不可施于鈍角作此明之

　　甲丙乙鈍角形先有丙角及丙甲丙乙二邉求余角一率丁乙【邉總】二率癸乙【邉較】三率己戊【半外角切線】四率壬己【半較角切線】
　　論曰試作壬丙線與乙甲平行分外角為兩則壬丙丁即乙角其正?卯丁又甲丙壬即甲角其正?甲丑以兩句股【丑子甲卯子丁】相似之故能令兩正?【丑甲卯丁】之比例移于通?以成和較【丑甲與卯丁既若子甲與子丁則丁甲即兩正?之和辰子即兩正?之較】而半外角半較角之算以生【半外角為和半較角為較并與兩正?之和較同比例即與兩邉之和較同比例】并如銳角
　　又論曰此所分大角為鈍角故甲丑正?作于形外然雖在形外而引分角線至丑適與之防即能成丑子甲句股形與卯子丁相似而生比例

　　【丙乙甲形先有丙角求余角　法為邉總丁乙與邉較乙癸若半外角切線戊己與半較角切線未己此亦因所分為鈍角故卯丁正?在形外　又大邉為半徑故乙癸較亦在形外而丁乙為和余并同前】

　　【丙甲乙形先有丙角求余角　法為邉總丁乙與邉較乙癸若半外角切線己戊與半較角切線己壬　此因先得鈍角故所分之內(nèi)反無鈍角而正?所作之小句股并在外角之內(nèi)同銳角法矣】

　　【丙甲乙形先得丙角及丙甲句乙丙?如法作丙壬線與乙甲股平行分外角為兩則句?和丁乙與句?較癸乙若半外角切線己戊與半較角切線己壬　此以丙甲為半徑作外角弧而即用丙甲為正?知所得為正角】

　　【甲乙丙形先得丙角求余角　如法作丙庚線與乙甲句平行次截辛丁如庚甲作辛丙線分外角為兩則小角之正?卯丁大角之正?即丙甲而成兩句股相似為切線比例　法為句?和丁乙與句?較乙癸若半外角切線己戊與半較角切線己壬　此以丙甲為半徑作外角弧而即用丙甲為正?知辛丙甲為正角而丁辛同庚甲即辛丙甲同丁丙庚又即同丙乙甲而乙為正角矣以乙正角減外角余為甲角】
　　論曰右并以先不知其為句股形故求之而得正角凡正角之弧九十度別無正?而即以半徑全數(shù)為正?得此明之

　　【甲乙丙形先有正角求余角　法為句股和丁乙與句股較癸乙若半外角切線戊己與半較角切線己壬】論曰此因先得者為正角故其外角亦九十度而半外角四十五度之切線即同半徑全數(shù)余并同前
　　又論曰句股形求角本易不須外角而外角之用得此益明

　　【以大邉為半徑作外角弧分角線丙未與次大邉平行邉總乙丁與邉較乙癸若半外角切線戊己與半較角切線壬己】

　　【以次大邉為半徑作外角弧分角線丙未與小邉乙甲平行大邉總丁癸與邉較乙癸若半外角切線己戊與半較角切線己壬】
　　問平三角形以一邉為半徑得三正?比例不識大邉亦可以為半徑乎【小邉次邉為半徑已具前條故云】曰可
　　如乙丙丁鈍角形引乙丁至辰如
　　乙丙大邉而用為半徑以丁為心
　　作丑辰亥半弧從辰作辰午為丁
　　鈍角正?又作丁斗半徑與乙丙
　　平行則斗牛為丙角正?又截女
　　丑弧如辰斗作女丁半徑則女亢
　　為乙角正?合而觀之丁角正?【辰午】最大故對邉乙丙亦大丙角正?【斗?！烤哟喂蕦勔叶∫嗑哟我医钦?【女亢】最小故對邉丁丙亦小
　　又問若此則三邉任用其一皆可為半徑而取正?是已然此乃同徑異角之比例也若以三邉為?三正?為股則同角異邉之比例也兩比例之根不同何以相通曰相通之理自具圖中乃正理非旁證也試于前圖用乙丁次邉為?其股乙癸與斗牛平行而等則丙角
　　正?也又截酉丁如丁丙小邉為
　　?其股酉壬與女亢平行而等則
　　乙角正?也又辰丁大邉為?【即乙
　　丙】其股辰午原為丁大角正?也
　　于是三邉并為?三對角之正?
　　并為股成同角相似之句股形而
　　比例皆等可以相求矣
　　一大邉【乙丙即辰丁】　　　　一丁角正?【辰午】
　　二丁角正?【辰午】　　　　二大邉乙丙
　　三次邉乙丁　小邉【丁丙即酉丁】三丙角正?【乙癸】乙角正?【酉壬】四丙角正?【乙癸】乙角正?【酉壬】四次邉乙丁　小邉丁丙此如先得大邉【乙丙即辰丁】與所對大角【丁】故用辰午丁大句股形為法求余二句股也【乙癸丁酉壬丁】皆同用丁角而形相似故法可相求其實(shí)三正?皆大邉為半徑所得故其理相通未有理不相通而法可相求者故曰皆正理非旁證也
　　又試于乙丙丁形【或鈍角或鋭角同理】以丁丙小邉為半徑作房箕壁象弧【以乙為心】如上法取三正?【以尾壁弧為丁角度其正?尾虛又箕壁弧為丙角度其正?箕危又戍壁弧為乙角度其正?戍申】成同徑異角之比例又如法用三邉為?三正?為股【乙戍即丁丙小邉配乙角正?戍申原如?與
　　股又本形乙丁次邉為?則丁甲為股與箕危平行而等
　　丙角正?也又引乙丁至子成子乙即乙丙大邉以為?
　　則子寅為股與尾虛平行而等丁角正?也】則并
　　為相似之句股形而比例等
　　一小邉丁丙【即戍乙】
　　二【乙角正?】戍申
　　三大邉乙丙【即乙子】　次邉丁乙
　　四【丁角正?】子寅【即尾　丙角虛　　正?】丁甲【即箕?！?br />　　此如先得小邉【丁丙】與所對小角【乙】故以戍申乙小句股形為法求兩大句股也【丁甲乙子寅乙】皆同用乙角而形相似又試以乙丁次邉為半徑作象限如前【以丙為心】取三正?【張婁為丁角弧度張井其正?氐婁為丙角弧度氐參其正?室婁為乙角弧度室奎其正?】成同徑
　　異角之比例又仍用三邉為?三正
　　?為股【引丁丙至翌與大邉乙丙等成翌丙?其股翌胃與張井
　　平行而等丁角正?也又乙丁次邉成氐丙?其股氐參原為丙角正?
　　又丁丙小邉為?其股丁柳與室奎平行而等乙角正?也】即復(fù)
　　成相似之句股形而比例等
　　一次邉乙丁【即氐丙】
　　二【丙角正?】氐參
　　三大邉乙丙【即翌丙】　小邉丁丙
　　四【丁角正?】張井【即翌　乙角胃　　正?】丁柳【即室奎】
　　此如先得次邉【乙丁】及所對丙角故以氐參丙句股為法求大小二句股也【求翌胃丙為以小求大求丁柳丙為以大求小】皆同用丙角而比例等
　　問員內(nèi)三角形以對弧為角倍度設(shè)有鈍角小邉何以取之【或問內(nèi)原設(shè)銳角兩邉并大于半徑故云】曰法當(dāng)引小邉截大邉作角之通?【如圖乙甲丙鈍角形在平員內(nèi)以各角切員而乙甲邉小于半徑則引乙甲出員周之外乃以甲角為心平員心丁為界作子丁丑弧截引長邉于子截大邉于丑則丑甲子甲并半徑與丁甲等而丑子為
　　通?】又平分對邉作兩通?【從員心作
　　丁乙丁丙兩半徑截乙戊丙員周為甲角對邉所乗之弧而半
　　之于戊作乙戊丙戊二線成兩通?】則此兩通?
　　自相等又并與丑子通?等夫
　　子丁丑弧甲角之本度也丙戊
　　弧乙戊弧皆對弧之半度也而今乃相等【通?等者弧度亦等】是甲角之度適得對弧乙戊丙之半而乙戊丙對弧為甲角之倍度矣

　　厯算全書卷五十三
　　欽定四庫全書
　　厯算全書卷五十四
　　宣城梅文鼎撰
　　三角法舉要卷五
　　測量【三角用法算例已具茲則舉髙深廣逺以徴諸實(shí)事亦與算例互相補(bǔ)備也】
　　一測髙
　　一測逺
　　一測斜坡
　　一測深
　　附隔水量田
　　附解測量全義

　　三角測髙第一術(shù)
　　自平測髙
　　假如有塔不知其髙距三十丈立表一丈用象限儀測得髙二十六度三十四分弱依切線術(shù)求得塔髙一十六丈
　　一半徑　　　　　　一○○○○○
　　二戊角切線　　　　　五○○○○
　　三距塔根【丙乙即戊丁】　　　三十丈
　　四塔頂髙【甲丁　是截算表端以上】　十五丈
　　加戊丙表一丈【即丁乙】共得塔髙十六丈【甲乙】
　　凡用象限儀以垂線作角與用指尺同理【指尺即闚衡亦曰闚管亦曰闚筩】若戊丙表立于髙所當(dāng)更加立處之髙以為塔髙
　　省算法從表根丙平安象限
　　以一邉指塔根乙一邉指癸
　　乃順丙癸直線行至癸得三
　　十丈與丙乙等復(fù)于癸平安
　　象限作癸角與戊角等邉指
　　丙尺指壬則壬丙逺即甲丁之髙【亦加丁乙為塔髙】
　　論曰癸角同戊角丙癸同丙乙丙
　　與乙并正角則兩句股形等立面
　　與平面一也
　　又術(shù)自丙向癸卻行以象限平安
　　邉指丙尺指乙求作戊之余角得
　　己丙之距即同甲丁之髙
　　又省算法用有細(xì)分矩度自戊數(shù)至癸令其分如丙乙
　　之距【或兩倍三倍】從癸數(shù)壬癸直線之
　　分即甲丁之距也【先以二分為丈或三分為丈今
　　亦同之】

　　用矩度以垂線作角其用亦同

　　三角測髙第二術(shù)
　　平面則不知逺之髙法用重測
　　假如有山頂欲測其髙而不知所距之逺依術(shù)立二表相距一丈二尺用象限儀測得髙六十度十九分退測后表得五十八度三十七分查其兩余切線以相減得
　　較數(shù)為法表距乗半徑為實(shí)算
　　得山髙三十一丈
　　一　余切線較○○四○○○
　　二　半徑　　一○○○○○
　　三　表距戊己　一丈二尺
　　四　山髙甲丁　三十丈
　　加表一丈共三十一丈
　　省算法用矩度假令先測指線
　　交于辛后測指線交于庚成辛
　　庚戊三角形法于兩指線中間
　　以兩測表距【即戊己】變?yōu)榉秩缛?br />　　癸小線引長之至丙即丙戊所當(dāng)測髙
　　論曰此即古人重表法也或隔水量山或于城外測城內(nèi)之山并同

　　三角測髙第三術(shù)
　　從髙測髙　又謂之因逺測髙
　　假如人在山顛欲知此山之髙但知山左有橋離山半里用象限測橋得逺度一十八度二十六分強(qiáng)依切線法求得山髙一里半
　　一　甲角切線　半徑【一○○○○○】二　半徑　　　甲角余切【三○○○二八】三　橋逺【戊丁】　一百八十步
　　四　山髙【甲丁】　五百四十步【○五尺】省算法用矩度作壬癸線以當(dāng)
　　戊丁則己壬當(dāng)甲丁

　　三角測髙第四術(shù)
　　從髙測不知逺之髙　法用重測
　　假如人在山上欲知本山之髙然又無可防之逺但山有樓或塔量得去山二十一丈以象限儀指定一處于樓下測得五十五度二十六分又于樓上測得五十三度五十分用余切線求得山髙三百四十四丈五尺
　　一　兩余切較　　　四二
　　二　下一測余切　六八九
　　三　樓髙【兩測之距】　二十一丈
　　四　山髙　　　三百四十四
　　丈五尺
　　省算法用矩度上測交庚下測
　　交辛成辛己庚三角形法于兩
　　指線中間以上下兩測之距變
　　為分如壬癸小線引長之至丙
　　即壬丙當(dāng)所測本山之髙
　　三角測髙第五術(shù)
　　若山上無兩髙可測則先測其?【但山上有兩所可以并見此物即可測矣】
　　甲乙為山上兩所【不拘平斜但取直線】任
　　指一處如戊于甲于乙用噐兩
　　測之成甲乙戊形此形有甲乙
　　兩角又有甲乙之距為兩角一
　　邉可求甲戊邉法為戊角之正
　　?與甲乙邉若乙角之正?與甲戊
　　再用甲戊丁句股形為半徑與甲戊若甲角余?與甲丁即山之高也

　　三角測髙第六術(shù)
　　借兩逺測本山之髙
　　有山不知其髙亦無距山之逺但山前有大樹從此樹向山而行相去一百八十五丈又有一樹人在山上可見兩樹如一直線即于山上以象限儀測此二樹一測逺樹四十三度三十二分一測近樹三十度○七分用切線較得本山髙五百丈
　　一　切線較　　三七○○○
　　二　半徑　　　一○○○○○
　　三　兩逺之較　一百八十五丈
　　四　本山髙　　五百丈
　　省算作壬癸小線當(dāng)兩逺之距【己戊】而丙甲當(dāng)本山髙【甲丁】

　　三角測髙第七術(shù)
　　用山之前后兩逺測髙
　　甲為山顛可見戊己兩樹其樹
　　與山參相直【如山南樹直正子北樹直正午】而
　　不知其距但山外有路與此樹
　　平行為庚辛其長三里【如兩樹正南北
　　此路亦自南向正北行】即借庚辛之距為
　　兩樹之距以兩切線并為法求之
　　先從甲測巳得甲角一十七度○四分又從甲測戊得甲角三十四度三十四分法為兩切線并與己戊若半徑與甲丁也
　　一率兩切線并【○九九六○○】二率半徑【一○○○○○】三率己戊即庚辛【三里】求得四率甲丁【三里○四步又三之一強(qiáng)】

　　三角測髙第八術(shù)
　　測山上之兩髙
　　甲山上有塔如乙欲測其髙如
　　乙甲之距于戊安儀噐測乙測
　　甲得其兩戊角之度【一乙戊丁二甲戊丁】各取其切線相減得較法為半
　　徑比切線較若戊丁與乙甲
　　省算法數(shù)戊丙之分以當(dāng)戊丁作壬癸丙小線則壬癸之分即當(dāng)乙甲
　　用矩度亦同

　　三角測髙第九術(shù)
　　隔水測兩髙之橫距
　　有甲乙兩髙在水外欲測其相
　　距之逺任于丙用儀噐以邉向
　　丁窺筩指甲得甲丙丁角【一百二十
　　五度】又指乙得乙丙丁角【五十度】次
　　依丙丁直線行至丁【得一百步】再用
　　儀噐以邉向丙窺筩指甲得甲丁丙角【三十九度】又指乙得乙丁丙角【一百零八度】又甲丁乙角【六十九度】得三角形三【一甲丁丙二乙丁丙三甲丁乙】
　　今算甲丁丙形有丁丙邉丁丙二角求甲丁邉
　　一率甲角【一十六度】正?【二七五六四】二率丁丙【一百步】三率丙角【一百二十五度】正?【八一九一五】求得四率甲丁邉【二百九十七步】
　　次乙丁丙形有丁丙邉丙丁二角求乙丁邉
　　一率乙角【二十二度】正?【三七四六一】二率丁丙邉【一百步】三率丙角【五十度】正?【七六六○四】求得四率乙丁邉【二百○四步】
　　末乙丁甲形有甲丁邉【二百九十七步】乙丁邉【二百○四步】丁角【六十九度】先求甲角
　　一率兩邉之總【五百○一步】二率兩邉之較【九十三步】三率半外角【五十五度半】切線【一四五五○一】求得四率半較角切線【二七○○九】查表得一十五度○七分弱以減半外角得甲角四十度二十三分強(qiáng)
　　次求甲乙邉
　　一率甲角正?【六四七九○】二率乙丁邉【二百○四步】三率丁角正?【九三三五九】求得四率甲乙邉二百九十四步弱
　　論曰此所測甲丁及乙丁皆斜距也或甲乙兩髙并在一山之上于山麓測之或甲乙分居兩峯于兩峯間平地測之或甲在水之東乙在水之西于一岸測之并同若用有度數(shù)之指尺并可用省算之法

　　三角測髙第十術(shù)
　　隔水測兩髙之直距
　　有兩髙如乙與甲于戊于庚測
　　之
　　先以乙庚戊形求乙庚斜距次
　　以甲庚戊形求甲庚斜距末以
　　乙甲庚形【有乙庚邉甲庚邉及庚角】求乙甲邉即所求

　　三角測髙第十一術(shù)
　　若山之?髙顛為次髙所掩則用逓測
　　山前后左右地勢不同則用環(huán)
　　測環(huán)測者從髙測下與測深同
　　太髙之山則用屢測
　　癸極髙為甲次髙所掩則先測
　　甲復(fù)從甲測癸謂之逓測
　　乙丁與子丑居癸山之下為地
　　平而各不等則從癸四面測之如測癸辛之髙以辛乙為地平又測癸戍之髙以戌子丑為地平則乙丁與子丑之較為戍辛謂之環(huán)測
　　若山太髙太大則于乙測甲又于甲測癸或先測卯又測寅又測丑測子再從子丑測癸細(xì)細(xì)測之則真髙自見而地之髙下亦從可知矣謂之屢測

　　三角測逺第一術(shù)
　　平面測逺
　　有所測之物如乙于甲立表安象限以邉指乙余一邉對丁從甲乙直線上任取九歩如丁于丁復(fù)安象限以邉對甲闚管指乙得丁角七十一度三十四分用切線算得乙距甲二十七步
　　一　半徑
　　二　丁角切線
　　三　丁甲
　　四　乙甲

　　若欲知丁乙之距依句股法甲丁甲乙各自乗并而開方即得乙丁
　　若徑求乙丁則為以半徑比丁角之割線若甲丁與丁乙也是為以句求?
　　省算用矩度自丁數(shù)自癸取丁癸之分如丁甲之距【或以
　　分當(dāng)步或二分或三分當(dāng)一步皆可】作壬癸丁小
　　句股則壬癸之分即乙甲也【或一
　　分當(dāng)步或二分三分并如丁癸之例】而丁壬亦即
　　當(dāng)丁乙【若尺上有分?jǐn)?shù)即徑取之】
　　若先從丁測測以測噐向甲指尺向乙作丁角次依丁甲直線行至甲務(wù)令測噐之一邉順丁甲直線余一邉指乙則甲為正方角如前算之即得【若甲非正方角則于丁甲直線上或前或后移測求為正方角乃止】
　　三角測逺第二術(shù)
　　省算法
　　人在甲欲測乙之逺于甲置儀
　　噐一邉向乙一邉向丁成正方
　　角乃依甲丁直線行至丁以邉
　　向甲闚管指乙作四十五度角
　　即甲丁與甲乙等
　　若用矩度以乙丁線正對方角則丁角為正方角之半而甲丁等乙甲
　　論曰丁角為正方角之半則乙角亦正方角之半而句與股齊故但量甲丁即知甲乙
　　又省算法
　　于甲置儀噐以邉向丁闚管指
　　乙作六十度角順甲丁直線行
　　至丁復(fù)作六十度角則甲丁等
　　甲乙
　　論曰甲角丁角俱六十度則乙角亦六十度矣故三邉俱等
　　若丁不能到則于甲丁線上取丙以儀噐二邉對甲對乙成正方角則甲丙為乙甲之半

　　三角測逺第三術(shù)
　　平面測逺用斜角
　　人在甲測乙而兩旁無余地可
　　作句股則任指一可測之地如
　　丁量得丁甲二十丈于丁安儀
　　噐以邉向甲窺筩指乙得丁角
　　【四十六度】又于甲安儀噐以邉指丁窺筩指乙得乙甲庚角【二十一度】加象限【九十度】得甲鈍角【一百一十一度】法為以乙角之正?【二十三度乃甲丁二角減半周之余】比丁甲若丁角之正?與乙甲算得乙甲三十六丈八尺二寸
　　若求乙丁則為以乙角之正?比丁甲若甲角之正?與乙丁算得乙丁四十七丈七尺八寸【甲為銳角法同】
　　省算法于儀噐作壬甲線與乙丁平行作壬癸線與乙甲平行成壬癸甲小三角形與丁乙甲等則甲癸當(dāng)甲丁而壬癸當(dāng)甲乙又壬甲當(dāng)乙丁用矩度同【但于象限內(nèi)作橫直分用同矩度】
　　論曰壬角既同乙角【壬甲與乙丁平行壬癸與乙甲平行則作角必相等】癸鈍角又同甲角則兩三角相似而比例等
　　銳角形于甲測乙用矩度之邉指
　　丁作甲角另用一矩度【其矩須于兩面紀(jì)度】從丁測之以邉向甲闚筩指乙作
　　丁角末移丁角作癸角于噐上作
　　壬癸線與乙丁平行則癸甲當(dāng)丁
　　甲而壬甲當(dāng)乙甲壬癸當(dāng)乙丁
　　三角測逺第四術(shù)
　　平面測逺借他線為比例
　　甲乙為兩所順甲乙直線行任取
　　若干步至丙又于丙任作直線至
　　丁得若干步于丁安儀噐以邉對
　　甲闚衡指丙作丁角順此直線至
　　戊復(fù)安儀噐邉對乙衡指丙作戊
　　角令與丁角等則丙丁比丁戊若丙甲與甲乙
　　省算法于乙甲直線上取丙
　　又從丙作丙戊直線截丁丙
　　如乙丙于丁用象限闚乙作
　　丁角再于戊闚甲作戊角令
　　與丁角等則丁戊即甲乙
　　又法甲置儀噐指乙指丁作
　　角以減半周成外角【己戊為甲角之
　　度丙庚戊為外角之度】于丁置儀噐指
　　甲指乙使丁角如半外角之度但量甲丁即得甲乙論曰凡外角能兼內(nèi)余二角【乙丁】之度丁角既為外角之半則乙角亦外角之半矣角等者所對之邉亦等故甲丁等甲乙

　　三角測逺第五術(shù)
　　平面測逺借他形為比例法
　　從甲測乙任立一表于丙從甲
　　用儀噐以邉向乙闚管指丙得
　　甲角復(fù)于丁加儀噐以邉向戊
　　闚管指丙使丁丙甲為一直線
　　而作丁角與甲角等乃順儀噐邉取直線至戊令戊丙乙為一直線則丁丙與丁戊若丙甲與甲乙【鈍角形句股形并同一理】
　　論曰丙戊丁與丙甲乙兩三
　　角形相似以兩形之丙角為
　　交角必相等而丁角又等甲
　　角則戊角亦等乙角矣故其
　　比例等

　　三角測逺第六術(shù)　省算
　　有甲乙兩所欲測其距如前立丙
　　表以噐測得甲丙乙角之度又順
　　乙丙直線行至戊令丙戊之距同
　　甲丙而止再從戊行至丁從丁闚
　　丙至甲成一直線于此直線上進(jìn)退移測使乙丁丙角為乙丙甲角之半則但量丁戊即同乙甲【甲為鈍角或丙為鈍角并同】
　　論曰甲丙與丙戊既相等乙
　　丁丙角為乙丙甲外角之半
　　則丙乙丁角亦外角之半是
　　乙丙與丁丙亦等也而丙交
　　角又等是甲丙乙三角形與
　　戊丙丁形等角等邉也故丁
　　戊即乙甲

　　三角測逺第七術(shù)　重測
　　甲乙為兩所欲測其距而俱不能
　　到則兩測之于戊于丁量得戊丁
　　之距【十六步半】用噐測得戊角【五十度四十三
　　分】丁角【三十六度一十分】兩角之余切線
　　較【五五○○○】為一率半徑【一○○○○○】為二率戊丁【十六步半】為三率得四率為乙甲之距【三十步】
　　若求戊甲之距以兩測之余切較【五五○○○】為一率先測戊角之余切【八一八○○】為二率丁戊【十六步半】為三率得四率戊甲【二十四步五四】
　　論曰此即古人重表測逺法也必丁戊甲直線與乙甲線橫直相遇使甲為正角其算始真假如乙甲正南北距則丁戊甲必正東西斯能橫直相交而成正角也

　　三角測逺第八術(shù)
　　分兩處重測
　　乙岸在河?xùn)|欲測其距西岸之逺
　　如甲則任于甲之左右取丁戊兩
　　所與甲參相直而距河適均測得
　　丁角【五十度四十三分】戊角【五十五度四十三分】用
　　兩角度之余切線并【一五○○○○】為一
　　率半徑【一○○○○○】為二率丁戊之距【九十六步】為三率求得四率乙甲之距【六十四步】為兩岸闊
　　論曰此法但取丁戊直距與河岸平行則不必預(yù)求甲防而自有乙甲之距為丁戊之垂線尤便于測河視用切線較更簡捷而穏當(dāng)矣

　　三角測逺第九術(shù)
　　用髙測逺
　　甲乙為兩所不知其逺而先知丁
　　乙之髙于甲用儀噐測丁乙之髙
　　幾何度分即知甲乙法為半徑比
　　甲角之余切若丁乙髙與甲乙之逺
　　若人在髙處如丁用髙測逺則為半徑比丁角之切線若丁乙與甲乙其理并同但于丁加儀噐而用正切三角測逺第十術(shù)
　　用不知之髙測逺
　　欲知丁乙之逺而不能至乙乙之
　　上有庚又不知庚乙之髙法用重
　　測先于丁測之得丁角【三十八度一十三分】又依丁乙直線進(jìn)至甲測之得甲
　　角【五十三度五十二分強(qiáng)】兩余切較【○五四○○一】
　　為一率丁角余切【一二七○○一】為二率丁甲之距【二十步】為三率得四率丁乙【四十七步○三】　或丁后有余地退后測之亦同
　　省算作壬癸丙線以壬癸分當(dāng)丁甲之距壬丙當(dāng)丁乙之逺
　　若人在髙處如庚于庚測丁測甲以求丁乙其法亦同但于庚施儀噐而用正切【法為以兩庚角之切線較比丁庚乙之切線若丁甲與丁乙】

　　三角測逺第十一術(shù)
　　用髙上之髙測逺
　　甲乙為兩所而乙之根為物所掩
　　【如山麓有小阜坡陀礨砢林木蔽虧或島嶼盤糾荻葦深阻】難
　　得真距若用兩測甲外又無余地
　　但取其髙處如戊為山顛山上又
　　有石臺臺上有塔如丁丁戊之髙
　　原有定距以此為用從甲測丁又測戊得兩角【一丁甲乙二戊甲乙】求其切線法為以切線較比半徑若丁戊與乙甲省算作壬癸丙小線以壬癸當(dāng)丁戊則甲丙當(dāng)甲乙矩度同
　　若從髙測逺則于丁于戊兩用儀噐測甲用丁戊兩角之余切較以當(dāng)丁戊而半徑當(dāng)甲乙其理亦同

　　三角測逺第十二術(shù)
　　從髙測兩逺
　　甲乙兩逺人從髙處測之于丁用
　　儀器測甲測乙得兩丁角【一甲丁丙二乙
　　丁丙】法為以半徑比兩角之切線較
　　若丁丙髙與乙甲也
　　又法既得兩角則移儀噐窺戊作
　　戊丁甲角如甲丁丙之倍度又移窺己作己丁乙角如乙丁丙之倍度則但量己戊即知乙甲

　　三角測逺第十三術(shù)
　　連測三逺
　　丙乙為跨水長橋甲乙為橋端斜岸今于丁測橋之長
　　并甲乙岸闊及其距丁之逺近
　　法于丁安儀噐以邉指戊衡指
　　甲指乙指丙作丁角五【一甲丁戊二乙
　　丁戊三乙丁甲四戊丁丙五乙丁丙皆丁角而有大小】次順儀噐邉直行至戊得丁戊
　　之距于戊復(fù)用儀噐以邉指丁衡指丙指乙指甲作戊角三【一丁戊丙二乙戊丙三甲戊丁皆戊角而有大小】
　　一甲丁戊形有丁角戊角有丁戊邉可求甲丁邉一乙丁戊形有丁角戊角有丁戊邉可求乙丁邉一戊丁丙形有戊角丁角有丁戊邉可求丁丙邉以上并二角一邉求余邉得甲乙丙三處距丁之逺近
　　一乙丁丙形有丙丁邉乙丁邉有丁角可求乙丙邉一乙丁甲形有甲丁邉乙丁邉有丁角可求乙甲邉以上并二邉一角求余邉得岸闊與橋長

　　三角測斜坡第一術(shù)
　　斜坡上平面測兩所之距
　　斜坡上有甲乙兩所欲量其相距
　　之?dāng)?shù)任立丙表測得乙丙甲角度