數(shù)學(xué)旅行家

引言
第一章 我們是如何計(jì)數(shù)的
詞匯……… 005
自然數(shù)……… 006
計(jì)數(shù)的特征……… 008
大腦是如何計(jì)數(shù)的……… 012
我們是如何學(xué)會(huì)計(jì)數(shù)的……… 015
 
第二章 早期的計(jì)數(shù)
我們的遠(yuǎn)祖……… 018
手指和身體計(jì)數(shù)……… 025
數(shù)詞計(jì)數(shù)……… 028
作為修飾語(yǔ)的數(shù)……… 031
農(nóng)耕時(shí)代之前的數(shù)……… 032
小結(jié)……… 035
 
第三章 其他物種的計(jì)數(shù)行為
它們究竟有多聰明……… 037
特殊案例……… 039
直接感知理解……… 041
它們能否學(xué)會(huì)計(jì)數(shù)……… 045
 
第四章 古代的數(shù)字
農(nóng)業(yè)的誕生……… 050
蘇美爾人發(fā)明文字……… 056
蘇美爾人的數(shù)學(xué)……… 060
杰出的古巴比倫人……… 062
古埃及人……… 067
數(shù)、計(jì)算和問(wèn)題……… 073
我們已走了多遠(yuǎn)……… 077
 
第五章 中國(guó)與新大陸的數(shù)
古代中國(guó)……… 078
中國(guó)的數(shù)系……… 079
中國(guó)數(shù)學(xué)……… 082
新大陸的數(shù)學(xué)……… 085
瑪雅文明……… 086
印加帝國(guó)……… 092
獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)……… 094
畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的貢獻(xiàn)……… 113
不可通約……… 116
亞歷山大時(shí)期……… 119
 
第六章 天堂的問(wèn)題
早期希臘文明……… 096
古希臘數(shù)系……… 098
哲學(xué)、科學(xué)和數(shù)學(xué)的誕生……… 102
偉大的畢達(dá)哥拉斯……… 105
畢達(dá)哥拉斯學(xué)派關(guān)于數(shù)的概念……… 107
 
第七章 負(fù)數(shù)
數(shù)線……… 121
古印度的數(shù)……… 124
外部影響……… 126
印度 - 阿拉伯?dāng)?shù)系……… 127
數(shù)系向歐洲進(jìn)發(fā)……… 129
回到數(shù)線……… 133
 
第八章 直面無(wú)窮
不同類型的無(wú)窮……… 134
無(wú)窮大量……… 136
關(guān)于無(wú)窮大的見(jiàn)解……… 138
無(wú)限可分性……… 141
將無(wú)窮大變成無(wú)窮小……… 145
陷入泥潭……… 146
窮竭法與限制……… 148
 
第九章 狄德金分割
無(wú)理數(shù)……… 159
歐多克索斯的比例……… 163
美妙的狄德金分割……… 167
小數(shù)系統(tǒng)的趣味……… 171
 
第十章 π 的故事：超越數(shù)
其他種類的方程式……… 179
定義難以捉摸的……… 181
審視 π 和 e……… 183
究竟有多少超越數(shù)……… 186
才華卓絕的格奧爾格·康托爾……… 192
代數(shù)數(shù)可數(shù)嗎……… 193
有多少超越數(shù)……… 195
第二個(gè)證明……… 199
? 0 與 ?1 之間還存在什么……… 201
 
第十一章 王國(guó)的擴(kuò)展：復(fù)數(shù)
解析幾何的誕生……… 205
高斯定位復(fù)數(shù)……… 208
有多少?gòu)?fù)數(shù)……… 213
哈密爾頓的四元數(shù)……… 215
 
第十二章 超乎想象的大數(shù)：超限數(shù)
定義超限數(shù)……… 219
一些超乎想象的大數(shù)……… 222
康托爾為超限數(shù)而做的努力……… 226
 
第十三章 天才計(jì)算家
普通人中的計(jì)算家……… 231
質(zhì)數(shù)與合數(shù)……… 234
約翰和邁克爾的案例……… 237
這些究竟意味著什么……… 240
未來(lái)的計(jì)算……… 243
 
第十四章 數(shù)到底意味著什么
明確問(wèn)題的實(shí)質(zhì)……… 245
歷史的進(jìn)程……… 251
我們所說(shuō)的存在究竟是何含義……… 252
進(jìn)化的角度……… 259
 
第十五章 數(shù)的過(guò)去、現(xiàn)在和未來(lái)
進(jìn)入 20 世紀(jì)……… 262
悖論……… 264
跨越 20 世紀(jì)……… 266
機(jī)器數(shù)學(xué)……… 267
凝視上帝的眼睛……… 269
費(fèi)馬大定理……… 276
我們還能走多遠(yuǎn)……… 277
 
注釋……… 279
參考文獻(xiàn)……… 287