牛爸思維訓(xùn)練（二年級(jí)）

　　再版序古人云：“天不生仲尼，萬(wàn)古如長(zhǎng)夜。”如果人類沒(méi)有數(shù)學(xué)，那人類很可能還生活在愚昧之中，數(shù)萬(wàn)年來(lái)一直過(guò)著“如長(zhǎng)夜”般的生活。 數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的重要性毋庸置疑，可是校內(nèi)數(shù)學(xué)還不夠嗎，為什么咱家的孩子還要學(xué)奧數(shù)呢？關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，不同的人有不同的回答，也會(huì)做出不同的選擇。無(wú)論是抱著功利的目的，想在升學(xué)之路上取得先機(jī)或不被拋下；還是純粹為了培養(yǎng)興趣、拓展思維；抑或?qū)W數(shù)很不屑，敬而遠(yuǎn)之。凡此種種，都可以理解。然而相對(duì)于小學(xué)校內(nèi)數(shù)學(xué)，奧數(shù)體系在數(shù)學(xué)的廣度和深度上都大大地拓展了，在系統(tǒng)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，孩子不僅可以接觸到很多重要的數(shù)學(xué)思想，還能了解很多知識(shí)點(diǎn)背后的數(shù)學(xué)歷史，對(duì)培養(yǎng)孩子的數(shù)學(xué)興趣和能力，無(wú)疑是大有裨益的，試舉例說(shuō)明如下。 ■分類與枚舉 對(duì)于小學(xué)生而言，分類可以說(shuō)是除了計(jì)算能力之外*重要的數(shù)學(xué)能力！法國(guó)的數(shù)學(xué)大師笛卡爾在方法論中告訴我們： 研究復(fù)雜問(wèn)題，應(yīng)盡量將其分解為多個(gè)比較簡(jiǎn)單的小問(wèn)題，一個(gè)一個(gè)地分開(kāi)解決；對(duì)于小問(wèn)題，要從簡(jiǎn)單到復(fù)雜排列，先從容易解決的問(wèn)題著手。在小學(xué)奧數(shù)中，有很多知識(shí)模塊特別鍛煉孩子的合理分類與有序枚舉的能力，比如幾何圖形計(jì)數(shù)、加乘原理、各種與數(shù)字性質(zhì)相關(guān)的題型。 ■假設(shè) 先對(duì)題目中的已知條件或問(wèn)題作出某種假設(shè)，然后按照題中的已知條件進(jìn)行推算，如果出現(xiàn)矛盾，加以適當(dāng)調(diào)整，*后找到正確答案。假設(shè)法在真假型邏輯推理、雞兔同籠以及其他二元問(wèn)題上有廣泛的應(yīng)用，同時(shí)在豎式謎、數(shù)論等題目中，如果涉及復(fù)雜的條件判定，逐一假設(shè)也是常用的手段。 ■數(shù)形結(jié)合 中國(guó)近代的大數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)寫過(guò)一首小詩(shī)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。”這首小詩(shī)講的是數(shù)學(xué)中*古老的對(duì)象“數(shù)”與“形”之間的緊密聯(lián)系，通常稱為“數(shù)形結(jié)合”。“數(shù)”精確、“形”直觀，在解題時(shí)如果能雙劍合璧，就可以發(fā)揮無(wú)窮威力！小學(xué)奧數(shù)體系當(dāng)中，有許多知識(shí)模塊可以鍛煉孩子的數(shù)形結(jié)合能力，比如還原問(wèn)題、復(fù)雜平均數(shù)問(wèn)題、和差倍問(wèn)題、年齡問(wèn)題、行程問(wèn)題，以及平面幾何中的代數(shù)解法等。數(shù)形結(jié)合，特別強(qiáng)調(diào)動(dòng)手畫圖（以線段圖居多），這需要孩子能理解題意、抽取出關(guān)鍵要素并通過(guò)畫圖體現(xiàn)出來(lái)，對(duì)孩子的動(dòng)手能力、抽象能力也是有益的鍛煉。 ■代換與代數(shù)思想 回顧我們自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程就會(huì)發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上我們是從具象一步步走向抽象，數(shù)學(xué)能力也就隨之同步提升。在很小的時(shí)候，計(jì)算要靠數(shù)手指頭這樣的實(shí)物，后來(lái)變成了書本上蘋果等形象化的實(shí)物，再后來(lái)借助正方形、三角形等這樣略具抽象的形狀，隨后逐步走向符號(hào)化，進(jìn)而進(jìn)入代數(shù)的世界。在小學(xué)奧數(shù)低年級(jí)的體系中，經(jīng)常出現(xiàn)的等量代換題目就是初等的代數(shù)思想；在很多題型當(dāng)中，我們強(qiáng)調(diào)用字母來(lái)表示未知的量，一來(lái)方便書寫，二來(lái)也是在培養(yǎng)基本的代數(shù)思想；到了小學(xué)中高年級(jí)，開(kāi)始接觸方程解法，更是從算術(shù)方法逐漸向代數(shù)方法過(guò)渡。 ■數(shù)學(xué)建模思想 大家口中經(jīng)常說(shuō)某些題是套路題，隱約間套路就和只會(huì)照搬、不會(huì)靈活運(yùn)用畫上了等號(hào)，這其中怕是有些誤解。實(shí)際上，套路本身更多的時(shí)候體現(xiàn)的是一種數(shù)學(xué)建模思想，如何從變化多端的外在題型中抽取出其數(shù)學(xué)本質(zhì)，轉(zhuǎn)換成自己所熟知的基本數(shù)學(xué)模型，這是一種很高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn)。歐拉從七座橋問(wèn)題提煉出了一筆畫與多筆畫，伯努利從裝錯(cuò)信封問(wèn)題總結(jié)出一般的錯(cuò)排規(guī)律，柳卡在哈佛開(kāi)會(huì)期間想出柳卡圖……這些數(shù)學(xué)大神們從日常生活問(wèn)題中抽取數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)而得出數(shù)學(xué)模型的能力真是讓人神往。對(duì)于小學(xué)生而言，可能還無(wú)法做到面對(duì)一個(gè)模式的數(shù)學(xué)題型，從中總結(jié)出其數(shù)學(xué)基本模型，然而這是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所要追求的目標(biāo)。要想接近這個(gè)目標(biāo)，就要從熟悉各種基本模型（套路）開(kāi)始。比如將各種各樣的盈虧變種問(wèn)題轉(zhuǎn)換成基本盈虧問(wèn)題，將不是整倍數(shù)的倍數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成整倍數(shù)，將不符合裂項(xiàng)基本型的問(wèn)題想辦法轉(zhuǎn)換成裂項(xiàng)基本型，用遞推模型思想來(lái)理解斐波那契數(shù)列、漢諾塔、爬樓梯、覆蓋、環(huán)形染色等計(jì)數(shù)問(wèn)題…… ■整體思想 無(wú)論是在學(xué)習(xí)上還是工作上，人們?nèi)菀?ldquo;拘泥于細(xì)微，失之于大局”。在數(shù)學(xué)上，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的觀察和分析從宏觀和大處著手，整體把握，化零為整，往往不失為一種更便捷、更省時(shí)的方法，這在奧數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中也是可以鍛煉到的能力。如“一條小狗在相向而行的兩人之間來(lái)回跑動(dòng)，到兩人相遇小狗跑動(dòng)了多長(zhǎng)的距離”就是一個(gè)典型的例子，再比如巧算中的整體換元、工程問(wèn)題中的整體效率等。 實(shí)際上，在小學(xué)奧數(shù)體系中能鍛煉的數(shù)學(xué)思想還有很多，比如“對(duì)應(yīng)”“集合”“化歸”“極值”“歸納”等。不管是否有比賽、是否有禁奧令，也不管你學(xué)與不學(xué)，奧數(shù)就在那里；上面提到的這些重要的數(shù)學(xué)思想在奧數(shù)中有深刻的體現(xiàn)。但是怎么學(xué)，用什么教材學(xué)呢？這就是另外一個(gè)話題了。 牛爸當(dāng)初也沒(méi)有想到自己編寫教材，但是在將市面上的教材都翻了一個(gè)遍之后，發(fā)現(xiàn)基本都是各種習(xí)題集，偶爾有的書中夾雜點(diǎn)吸引孩子的圖片、小故事，但也僅此而已。于是牛爸就下定決心編寫一本真正適合孩子的奧數(shù)輔導(dǎo)書籍。說(shuō)易行難，從哪里開(kāi)始呢？ 牛爸的思路很簡(jiǎn)單： 學(xué)數(shù)學(xué)如同登山看風(fēng)景，爬得越高，欣賞的風(fēng)景就越美。那我們就不在山腳下、半山腰徘徊了，直奔山頂而去吧。因此牛爸把目標(biāo)直接定在了歷年的競(jìng)賽真題上（競(jìng)賽沒(méi)有了，但是真題還在；如同恐龍沒(méi)有了，但是化石還在）。 開(kāi)始行動(dòng)后，牛爸業(yè)余時(shí)間全部撲在了上面，搜集了大量的競(jìng)賽真題，并把每道題目都做了一個(gè)遍。為了能站在小孩子的角度上來(lái)解題，牛爸還自廢武功，放棄了所有“高級(jí)”的解題方法，像什么方程、反證法、歸納法什么的統(tǒng)統(tǒng)不用，只用牛牛這個(gè)小學(xué)生能夠掌握的招法。接下來(lái)就是分類整理分析了，把同類型的題目歸集到一塊兒，有的大類里頭還分不同的小類，比如植樹(shù)問(wèn)題里面就有鋸木頭、敲鐘、爬樓梯等不同的小類別。在把分好類的題目由易到難排好順序之后，就開(kāi)始了*艱難的一部分： 把解題思路詳細(xì)地寫下來(lái)！為了讓牛牛通過(guò)獨(dú)立閱讀就能夠理解，并且*好被吸引住，牛爸沒(méi)少花心思。在語(yǔ)言上盡量輕松活潑，避免干巴巴的說(shuō)教；解題上有時(shí)故意露出破綻，模擬小朋友常見(jiàn)的錯(cuò)誤，期待著被牛?？雌疲辉诮忸}過(guò)程上也努力做到詳盡，把每一步的來(lái)龍去脈都寫清楚，畢竟當(dāng)時(shí)牛牛只是一個(gè)二年級(jí)的小學(xué)生啊，沒(méi)點(diǎn)東西吸引他，他很快就會(huì)厭惡排斥的。就這樣，牛爸用了3個(gè)月的時(shí)間（把業(yè)余時(shí)間全用上了）完成了初稿。每寫完一講，就給牛牛學(xué)一講，小家伙還真是喜歡上了自己爸爸寫的資料，不僅能夠毫無(wú)障礙地獨(dú)立學(xué)習(xí)，時(shí)不時(shí)還能發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤呢！這就是本書*初的由來(lái)。 那么是什么讓牛爸的資料從家里的書房走向書店，又在眾多奧數(shù)教輔書籍中嶄露頭角呢？想來(lái)有如下幾點(diǎn)原因。 ◆趣味性 牛爸創(chuàng)作的初衷是給自己當(dāng)時(shí)上二年級(jí)的兒子看的，要想讓一個(gè)低年級(jí)小朋友愿意看書不難，難的是要讓他喜歡看奧數(shù)書！因此在牛爸系列圖書中引入了風(fēng)趣幽默的父子情景對(duì)話，字里行間描述了一對(duì)父子在奧數(shù)學(xué)習(xí)之路上遇到的各種趣事，小朋友讀來(lái)會(huì)倍感親切（想必有些類似的事情在自己的生活中也出現(xiàn)過(guò)）。除此之外，在涉及一些有歷史淵源的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，牛爸會(huì)引入與之相關(guān)的背景故事，小朋友讀來(lái)會(huì)覺(jué)得津津有味，對(duì)這些知識(shí)當(dāng)然記得會(huì)更深刻啦。 ◆實(shí)戰(zhàn)真題 牛爸系列圖書是緊跟各大競(jìng)賽的，所選題目90%以上均取自上海、北京等地重要杯賽的*競(jìng)賽真題，題目的難度*是夠夠的！那么牛爸選擇了哪些競(jìng)賽呢？ 上海地區(qū)的競(jìng)賽以鼎盛時(shí)期的四大杯賽為主（中環(huán)杯、亞太杯、小機(jī)靈杯、走美杯）。 北京地區(qū)的杯賽為數(shù)學(xué)花園探秘（迎春杯）。 全國(guó)范圍的競(jìng)賽為華杯賽。 上述杯賽有的已經(jīng)不復(fù)存在，但這些真題對(duì)鍛煉數(shù)學(xué)思維起到的作用猶在！ ◆原理與解題并重 牛爸非常注重?cái)?shù)學(xué)原理的證明或推導(dǎo)，無(wú)論是在書中還是課堂上，只要證明過(guò)程沒(méi)有超出小學(xué)生的理解范圍，牛爸總是用大量的篇幅介紹這些知識(shí)點(diǎn)的來(lái)龍去脈，期望讓小朋友們能理解數(shù)學(xué)的證明之美，從小培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。牛爸認(rèn)為，如果能深入各個(gè)知識(shí)點(diǎn)背后，抓住其數(shù)學(xué)原理的實(shí)質(zhì)，那很多表面上看起來(lái)零零散散的知識(shí)就可以被串起來(lái)了。比如數(shù)論中的各種整除、余數(shù)規(guī)律，如果小朋友理解了背后的推導(dǎo)，就不僅能把整除和求余統(tǒng)一起來(lái)，或是對(duì)幾位一切、是求和還是求差了然于胸，還能進(jìn)一步對(duì)位值原理、進(jìn)位制等其他知識(shí)加深認(rèn)識(shí)。練就了從原理上理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)功，再掌握了各種招數(shù)（解題技巧），那武功不是得蹭蹭蹭地往上竄嘛！ ◆從小朋友的視角出發(fā) 《冷齋夜話》中有一個(gè)故事，說(shuō)大詩(shī)人白居易“每作詩(shī)，令一老嫗解之，問(wèn)曰：‘解否？’嫗曰解，則錄之；不解，則易之。”牛爸在寫這一系列圖書時(shí)，也是竭力從小學(xué)生的角度來(lái)講解每一道題，力求牛牛能夠看懂。為此，牛爸對(duì)于題目，尤其是難題，均做了非常細(xì)致的分析，絕非普通的奧數(shù)教材可以比擬。不僅如此，書中還穿插了孩子們?cè)谌粘W數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中的常見(jiàn)錯(cuò)誤、不良學(xué)習(xí)習(xí)慣，以及具體解題時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)等。這樣就能使小朋友們養(yǎng)成比較好的習(xí)慣，做題時(shí)能遠(yuǎn)離各種陷阱，使得奧數(shù)學(xué)習(xí)事半功倍！毫不夸張地說(shuō)，不僅家長(zhǎng)看了之后可以自己輔導(dǎo)孩子，甚至孩子自己都可以拿來(lái)自學(xué)了。 有許多家長(zhǎng)作為牛爸系列圖書的忠實(shí)分子追隨著牛爸的足跡一路走來(lái)，對(duì)此牛爸特別想對(duì)他們說(shuō)聲感謝！像江蘇的宸媽、澄媽、涵媽、球球媽、澤爸、錢媽，山東的元媽，四川的儀媽，浙江的多媽、源媽、悠媽、晨媽、曼曼媽，廣東的翔媽、延?jì)?、琳媽、廷?hellip;…上海的家長(zhǎng)自然就更多了，不再一一列舉。所有牛爸系列圖書的小讀者、大讀者，都是牛爸不計(jì)成本、奮力前行的*動(dòng)力。 *后，特別感謝杭州的家長(zhǎng)林小入（她本人是一名美術(shù)工作者）為本書設(shè)計(jì)了一個(gè)可愛(ài)的小牛圖標(biāo)，也特別感謝南京的澄媽為本書做了細(xì)致的校對(duì)。牛牛爸爸 2018年5月

　　牛牛爸爸，簡(jiǎn)稱牛爸，本名孫躍勇，復(fù)旦大學(xué)計(jì)算機(jī)系本科、研究生畢業(yè)，牛爸教育創(chuàng)始人。曾在英特爾任職十多年，先后擔(dān)任高級(jí)軟件工程師、項(xiàng)目經(jīng)理等職務(wù)。牛爸學(xué)生時(shí)代是學(xué)霸一枚，高考時(shí)為市狀元，近些年來(lái)在努力雞娃之余，將奧數(shù)心得總結(jié)下來(lái)，先后出版《決戰(zhàn)春蕾杯》《牛爸講奧數(shù)（三年級(jí)）》《牛爸講奧數(shù)并贏得數(shù)萬(wàn)粉絲。牛爸同時(shí)開(kāi)設(shè)有奧數(shù)、編程等在線課程，以死磕的精神、幽默的語(yǔ)言，從專業(yè)的角度，做獨(dú)特的講解。不一樣的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，盡在牛爸教育。