微積分（上）

第1章 極限與連續(xù) 1
1.1 函數(shù) 1
1.1.1 數(shù)集 1
1.1.2 函數(shù)的概念 2
1.1.3 初等函數(shù) 3
1.1.4 極坐標(biāo) 8
習(xí)題1.1 10
1.2 數(shù)列的極限 11
習(xí)題1.2 15
1.3 數(shù)列極限的性質(zhì)及收斂準(zhǔn)則 15
1.3.1 收斂數(shù)列的性質(zhì) 15
1.3.2 收斂數(shù)列的四則運(yùn)算法則 17
1.3.3 收斂數(shù)列的判別法 19
習(xí)題1.3 26
*1.4 實(shí)數(shù)的基本定理 26
1.5 函數(shù)的極限 29
1.5.1 時(shí)函數(shù)的極限 29
1.5.2 時(shí)函數(shù)的極限 31
習(xí)題1.5 33
1.6 函數(shù)極限的性質(zhì)與兩個(gè)重要極限 33
1.6.1 函數(shù)極限的性質(zhì) 33
1.6.2 兩個(gè)重要極限 36
習(xí)題1.6 39
1.7 無窮小和無窮大 41
1.7.1 無窮小 41
1.7.2 無窮小的比較 42
1.7.3 無窮大 45
習(xí)題1.7 47

1.8 函數(shù)的連續(xù)性 47
1.8.1 連續(xù)與間斷 47
1.8.2 函數(shù)連續(xù)性的判定定理 50
1.8.3 連續(xù)在極限運(yùn)算中的應(yīng)用 51
1.8.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 52
1.8.5 一致連續(xù)性 55
習(xí)題1.8 57
綜合題 59
第2章 導(dǎo)數(shù)與微分 61
2.1 導(dǎo)數(shù)的概念 61
2.1.1 導(dǎo)數(shù)的引例 61
2.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義 63
習(xí)題2.1 67
2.2 導(dǎo)數(shù)的基本公式與四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 68
2.2.1 導(dǎo)數(shù)的基本公式 68
2.2.2 四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 70
習(xí)題2.2 73
2.3 其他求導(dǎo)法則 73
2.3.1 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 73
2.3.2 隱函數(shù)與參數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法則 75
*2.3.3 極坐標(biāo)下導(dǎo)數(shù)的幾何意義 78
2.3.4 相對變化率問題 79
習(xí)題2.3 80
2.4 高階導(dǎo)數(shù) 82
2.4.1 高階導(dǎo)數(shù)的定義 82
2.4.2 高階導(dǎo)數(shù)的公式 84
習(xí)題2.4 89
2.5 微分 89
2.5.1 微分的定義 89
2.5.2 微分的運(yùn)算 91
*2.5.3 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 93
*2.5.4 微分在誤差估計(jì)中的應(yīng)用 94
2.5.5 高階微分 95
習(xí)題2.5 96
綜合題 97

第3章 微分中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 99
3.1 微分中值定理 99
3.1.1 羅爾中值定理 99
3.1.2 拉格朗日中值定理 101
3.1.3 柯西中值定理 104
習(xí)題3.1 106
3.2 洛必達(dá)法則 108
3.2.1 和型未定式 108
3.2.2 其他類型未定式 110
習(xí)題3.2 112
3.3 泰勒中值定理 113
習(xí)題3.3 119
3.4 極值、最值、凹凸性及函數(shù)作圖 120
3.4.1 極值與最值 120
3.4.2 凸函數(shù)、曲線的凸向及拐點(diǎn) 124
3.4.3 曲線的漸近線 126
3.4.4 函數(shù)的分析作圖法 127
習(xí)題3.4 128
3.5 平面曲線的曲率 130
3.5.1 弧微分 130
3.5.2 曲線的曲率 131
習(xí)題3.5 135
綜合題 135
第4章 不定積分 137
4.1 原函數(shù)與不定積分 137
4.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念 137
4.1.2 不定積分的性質(zhì)與基本公式 139
習(xí)題4.1 141
4.2 換元積分法 142
習(xí)題4.2 147
4.3 分部積分法 148
習(xí)題4.3 153
4.4 幾類函數(shù)的積分 153
4.4.1 有理函數(shù)的積分 153
4.4.2 三角函數(shù)有理式的積分 156
4.4.3 簡單無理函數(shù)的積分 157
習(xí)題4.4 159
綜合題 160
第5章 定積分及其應(yīng)用 162
5.1 定積分的概念與性質(zhì) 162
5.1.1 定積分的概念 162
5.1.2 達(dá)布上和與達(dá)布下和 165
5.1.3 可積函數(shù) 169
5.1.4 定積分的性質(zhì) 172
習(xí)題5.1 175
5.2 微積分學(xué)基本定理 176
習(xí)題5.2 180
5.3 定積分的計(jì)算 182
5.3.1 定積分的換元積分法 182
5.3.2 定積分的分部積分法 185
習(xí)題5.3 189
5.4 廣義積分 191
5.4.1 無窮區(qū)間上的廣義積分 191
5.4.2 無窮區(qū)間上廣義積分?jǐn)可⑿耘袆e法 193
5.4.3 無界函數(shù)的廣義積分 195
5.4.4 函數(shù) 200
習(xí)題5.4 201
5.5 定積分的應(yīng)用 202
5.5.1 微元法 202
5.5.2 平面圖形的面積 202
5.5.3 立體體積 206
5.5.4 平均值與平面曲線的弧長 210
5.5.5 定積分在物理問題中的應(yīng)用 213
習(xí)題5.5 216
綜合題 217
第6章 微分方程 220
6.1 微分方程的基本概念 220
習(xí)題6.1 223
6.2 一階微分方程 223
6.2.1 可分離變量的方程 223
6.2.2 一階線性微分方程 224
6.2.3 變量代換 226
6.2.4 應(yīng)用實(shí)例 230
習(xí)題6.2 234
6.3 可降階的高階微分方程 235
6.3.1 型方程 236
6.3.2 型方程 236
6.3.3 型方程 237
6.3.4 應(yīng)用實(shí)例 238
習(xí)題6.3 241
6.4 線性微分方程及其解的結(jié)構(gòu) 242
6.4.1 二階線性微分方程舉例 242
6.4.2 線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 244
6.4.3 常數(shù)變易法 246
習(xí)題6.4 249
6.5 常系數(shù)線性微分方程 249
6.5.1 常系數(shù)齊次線性微分方程 249
6.5.2 常系數(shù)非齊次線性微分方程 251
6.5.3 歐拉方程 255
習(xí)題6.5 258
6.6 線性微分方程組 259
6.6.1 線性微分方程組的定義 259
6.6.2 線性微分方程組通解結(jié)構(gòu) 260
6.6.3 常系數(shù)齊次線性微分方程組 263
6.6.4 常系數(shù)非齊次線性微分方程組 265
習(xí)題6.6 267
綜合題 268