非線性可積系統(tǒng)的構(gòu)造性方法

目錄
前言
第1章 可積性與求解法 1
1.1 何謂可積 1
1.1.1 Lax可積系統(tǒng)的構(gòu)造性生成與超對(duì)稱(chēng)擴(kuò)展 1
1.1.2 Liouville完全可積系統(tǒng)的判定與Hamilton結(jié)構(gòu) 3
1.1.3 Painlevé可積系統(tǒng)的判定與共振公式 5
1.2 非線性可積系統(tǒng)的構(gòu)造性解法 6
1.2.1 B.cklund變換 6
1.2.2 Darboux變換 7
1.2.3 反散射變換 8
1.2.4 雙線性方法 11
1.2.5 其他構(gòu)造性解法 13
第2章 C-D對(duì)與輔助方程法 15
2.1 C-D對(duì)簡(jiǎn)述 15
2.2 C-D對(duì)在方程轉(zhuǎn)化中的應(yīng)用 15
2.3 輔助方程法的C-D對(duì) 20
2.3.1 輔助方程法C-D對(duì)的一般格式 21
2.3.2 輔助方程法C-D對(duì)的展開(kāi)次數(shù)與平衡原則 22
2.3.3 輔助方程法C-D對(duì)的舉例 23
第3章 擴(kuò)展KdV方程和Fokas方程的Painlevé檢驗(yàn) 26
3.1 孤子與KdV方程 26
3.2 孤子解的存在性與系統(tǒng)可積性之間的聯(lián)系 29
3.3 非線性可積系統(tǒng)的穩(wěn)定性與怪波解 30
3.4 擴(kuò)展KdV方程的Painlevé檢驗(yàn)與孤子解 31
3.4.1 Painlevé可積性條件 31
3.4.2 孤子解 32
3.5 Fokas方程的Painlevé檢驗(yàn)、雙線性化與多孤子解 33
3.5.1 Painlevé可積性判定 34
3.5.2 孤子解 36
3.5.3 雙線性化 38
3.5.4 多孤子解 38
第4章 雙線性方法與DT的新應(yīng)用 43
4.1 WBK方程的雙線性方法與多孤子解 43
4.1.1 方程轉(zhuǎn)化與雙線性化 43
4.1.2 簡(jiǎn)化的雙線性形式與多孤子解 45
4.1.3 具有一般性的雙線性形式與多孤子解 47
4.2 廣義BK方程的DT與多孤子退化 50
4.2.1 N-重DT 51
4.2.2 2N-孤子解 56
4.2.3 2N-孤子解的奇偶孤子退化 58
4.3 半離散方程的DT與無(wú)窮多守恒律 61
4.3.1 DT 62
4.3.2 精確解 66
4.3.3 無(wú)窮多守恒律 66
第5章 數(shù)學(xué)機(jī)械化的應(yīng)用與HBM的修正 69
5.1 數(shù)學(xué)機(jī)械化簡(jiǎn)述 69
5.1.1 什么是數(shù)學(xué)機(jī)械化 69
5.1.2 數(shù)學(xué)機(jī)械化的基本任務(wù)與發(fā)展歷程 69
5.1.3 數(shù)學(xué)機(jī)械化與計(jì)算機(jī)代數(shù) 71
5.2 數(shù)學(xué)機(jī)械化在非線性微分系統(tǒng)求解中的應(yīng)用 71
5.2.1 求解軟件包與完全自動(dòng)化 72
5.2.2 機(jī)械化求解中的“AC=BD”理論與吳特征列方法 72
5.3 修正HBM構(gòu)造變系數(shù)Gardner方程的多孤子解 73
5.3.1 HBM簡(jiǎn)述 73
5.3.2 變系數(shù)Gardner方程的多孤子解 76
5.3.3 修正HBM構(gòu)造多波解的步驟 82
第6章 基于多重有理擬形的多波解與怪波解 84
6.1 指數(shù)函數(shù)法與有理指數(shù)函數(shù)解 84
6.1.1 指數(shù)函數(shù)法簡(jiǎn)述 84
6.1.2 有理指數(shù)函數(shù)解的H-秩判定法 85
6.2 多重有理指數(shù)函數(shù)擬解構(gòu)造多波解 87
6.2.1 多重有理指數(shù)函數(shù)擬解 87
6.2.2 2+1維BK方程的N-波解 88
6.3 半離散多重有理指數(shù)函數(shù)擬解構(gòu)造多波解 94
6.3.1 半離散多重有理指數(shù)函數(shù)擬解 94
6.3.2 Toda鏈方程的多波解 94
6.4 復(fù)多重有理指數(shù)函數(shù)擬解構(gòu)造孤波解、多波解和怪波解 98
6.4.1 復(fù)多重有理指數(shù)函數(shù)擬解 99
6.4.2 變系數(shù)NLS方程的孤波解 100
6.4.3 變系數(shù)NLS方程的多波解 102
6.4.4 變系數(shù)NLS方程的怪波解 104
第7章 負(fù)冪展開(kāi)法及其推廣應(yīng)用 106
7.1 負(fù)冪展開(kāi)法 106
7.1.1 負(fù)冪展開(kāi)法的主要步驟 106
7.1.2 擬解負(fù)冪展開(kāi)的平衡公式 107
7.1.3 算例 108
7.2 構(gòu)造行波解 109
7.2.1 Mikhauilov-Novikov-Wang方程的行波解 109
7.2.2 2+1維色散長(zhǎng)波方程的行波解 110
7.2.3 Maccari方程的行波解 112
7.2.4 Tzitzeica-Dodd-Bullough方程的行波解 113
7.3 構(gòu)造非行波解 114
7.3.1 3+1維Jimbo-Miwa方程的非行波解 114
7.3.2 變系數(shù)Sawada-Kotera方程的非行波解 116
7.4 構(gòu)造半離散解 116
7.4.1 半離散負(fù)冪展開(kāi)擬解 117
7.4.2 晶格方程的半離散解 117
7.4.3 Toda晶格方程的半離散解 118
第8章 輔助方程法的改進(jìn)與隨機(jī)波解的構(gòu)造 119
8.1 改進(jìn)的F-展開(kāi)法與KD方程的精確解 119
8.1.1 輔助橢圓方程及其特解 119
8.1.2 改進(jìn)的F-展開(kāi)法的步驟 120
8.1.3 2+1維KD方程的精確解 121
8.2 改進(jìn)的Fan輔助方程法與KP方程的精確解 124
8.2.1 Fan輔助方程及其特例 124
8.2.2 改進(jìn)的Fan輔助方程法的擬解與步驟 125
8.2.3 3+1維KP方程的精確解 126
8.3 改進(jìn)的離散擴(kuò)展tanh方法與Toda晶格方程的精確解 128
8.3.1 構(gòu)造非線性半離散方程擬解的一般性原則 128
8.3.2 改進(jìn)的離散擴(kuò)展tanh方法 130
8.3.3 含任意函數(shù) 2+1維Toda晶格方程的精確解 131
8.4 Wick型隨機(jī)方程的對(duì)稱(chēng)、相似約化與輔助方程法 133
8.4.1 知識(shí)準(zhǔn)備 133
8.4.2 Wick型隨機(jī)方程的相容性方法 136
8.4.3 Wick型隨機(jī)KdV方程的對(duì)稱(chēng)、相似約化 137
8.4.4 約化方程的F-展開(kāi)法與隨機(jī)波解 138
第9章 KdV系統(tǒng)的推廣及其BT與IST 142
9.1 變系數(shù)超KdV方程的Lax表示及其IST 142
9.1.1 Lax表示 142
9.1.2 正散射分析 143
9.1.3 聯(lián)系Riemann-Hilbert問(wèn)題的反散射分析 146
9.1.4 多孤子解 147
9.2 廣義等譜KdV方程族的推導(dǎo)與雙線性BT 148
9.2.1 Lax格式生成 148
9.2.2 雙線性BT 150
9.2.3 多孤子解 151
9.3 含自相容源混合譜KdV方程族的推導(dǎo)與IST 153
9.3.1 Lax格式生成 153
9.3.2 正散射問(wèn)題與反散射問(wèn)題 157
9.3.3 無(wú)反散射勢(shì)與N-孤子解 164
第10章 AKNS系統(tǒng)和KN系統(tǒng)的一些推廣 167
10.1 廣義等譜AKNS方程族的推導(dǎo)及其IST 167
10.1.1 Lax格式生成 167
10.1.2 雙線性形式 169
10.1.3 多波解 170
10.2 廣義非等譜AKNS方程族的推導(dǎo)及其IST 172
10.2.1 Lax格式生成 173
10.2.2 散射數(shù)據(jù)隨時(shí)間的發(fā)展規(guī)律 174
10.2.3 N-波解 177
10.3 變系數(shù)等譜KN方程族的推導(dǎo)與Liouville可積性 179
10.3.1 Tu格式生成 180
10.3.2 Hamilton結(jié)構(gòu)與Liouville可積性 182
第11章 Toda晶格推廣系統(tǒng)的生成與求解 184
11.1 含任意函數(shù) 2+1維Toda晶格方程的推導(dǎo)及其求解 184
11.1.1 方程推導(dǎo) 184
11.1.2 指數(shù)函數(shù)法與楔形波 185
11.1.3 雙線性方法與多扭結(jié)孤子 186
11.2 廣義等譜Toda晶格方程族的推導(dǎo)及其IST 188
11.2.1 Lax格式生成 189
11.2.2 散射數(shù)據(jù)隨時(shí)間的發(fā)展規(guī)律 191
11.2.3 N-孤子解 194
11.2.4 孤子動(dòng)力演化 196
11.3 變系數(shù)非等譜Toda晶格方程族的推導(dǎo)及其IST 197
11.3.1 Lax格式生成 198
11.3.2 散射數(shù)據(jù)隨時(shí)間的發(fā)展規(guī)律 199
11.3.3 N-孤子解 203
參考文獻(xiàn) 204