從矢量到張量：細說矢量與矢量分析，張量與張量分析

第一部分 矢量代數(shù)理論

第一章 數(shù)、矢量和矢量的加法與數(shù)乘運算
§1．1 數(shù)與數(shù)域
§1．2 矢量及其表示
§1．3 矢量的加法與減法
§1．4 矢量的數(shù)乘運算
§1．5 應(yīng)用：歐拉線

第二章 矢量構(gòu)成向量空間
§2．1 向量空間
§2．2 向量的線性相關(guān)與無關(guān)
§2．3 向量空間的基
§2．4 矢量：二維平面，三維空間，以及矢量的分解
§2．5 坐標(biāo)系與同構(gòu)
§2．6 直角坐標(biāo)系
§2．7 右手系與左手系

第三章 矢量的內(nèi)積和矢量積
§3．1 矢量內(nèi)積的定義
§3．2 內(nèi)積與射影
§3．3 矢量的內(nèi)積滿足分配律
§3．4 用坐標(biāo)來計算矢量的內(nèi)積
§3．5 矢量的矢量積
§3．6 矢量積的分配律以及矢量積的坐標(biāo)表達式
§3．7 二類矢量

第四章 矢量的矢量混合積和矢量三重積
§4．1 三個矢量的矢量混合積及其幾何意義
§4．2 矢量的矢量混合積的坐標(biāo)計算公式
§4．3 矢量的矢量混合積的一些性質(zhì)
§4．4 計算［A B C］2
§4．5 矢量混合積給出的幾何和代數(shù)關(guān)系
§4．6 矢量的矢量三重積
§4．7 應(yīng)用：球面三角形的正弦定理

第二部分 矢量三重系，矢量三重系的變換和張量，以及笛卡兒張量與4維張量

第五章 矢量三重系
§5．1 矢量三重系和愛因斯坦求和規(guī)約
§5．2 度規(guī)gij
§5．3 度規(guī)矩陣及其行列式
§5．4 （gij）的逆矩陣（gij）
§5．5 三重系e1，　e2，　e3的對偶系e1，　e2，　e3
§5．6 三重系與其對偶系之間的一些代數(shù)關(guān)系
§5．7 三重系與其對偶系之間的一個幾何關(guān)系
§5．8 矢量在三重系及其對偶系下的分量

第六章 三重系之間的變換
§6．1 三重系之間的變換以及相應(yīng)的對偶系之間的變換
§6．2 矢量的逆變分量的變換方式
§6．3 矢量的協(xié)變分量的變換方式
§6．4 對偶系之間的變換
§6．5 度規(guī)gij的變換方式——張量概念的一個模型
§6．6 量gij的變換方式

第七章 三重系變換下的張量
§7．1 三重系變換下張量的定義
§7．2 三重系下張量的加法、減法、張量積和數(shù)乘
§7．3 張量的縮并
§7．4 張量的內(nèi)積運算
§7．5 張量的商法則
§7．6 相伴張量、對稱張量、反對稱張量
§7．7 從張量的運算看矢量的矢量積

第八章 三維空間正交變換下的張量——笛卡兒張量
§8．1 三維空間中的正交歸一基
§8．2 三維空間中的正交變換
§8．3 正交變換的幾何意義——保持矢量的內(nèi)積不變
§8．4 正交變換的一些特殊元：轉(zhuǎn)動、鏡面反射、反演變換
§8．5 二維空間中轉(zhuǎn)動的矩陣表示和矢量
§8．6 2階笛卡兒張量的一個模型
§8．7 三維空間中的轉(zhuǎn)動變換給出的笛卡兒張量
§8．8 2階張量的矩陣表示
§8．9 （γij）的一個性質(zhì)
§8．10 A×B在轉(zhuǎn)動下的變換
§8．11 O（3）的兩類笛卡兒張量

第九章 閔可夫斯基空間中的張量
§9．1 慣性系之間的洛倫茲變換
§9．2 閔可夫斯基空間
§9．3 龐加萊空間
§9．4 4維張量
§9．5 4維矢量與4維2階張量的結(jié)構(gòu)
§9．6 4維不變量
§9．7 相對性原理和物理規(guī)律的協(xié)變性

第三部分 數(shù)量場的梯度，矢量場的散度與旋度

第十章 變矢量的微分運算
§10．1 變矢量和導(dǎo)矢量
§10．2 矢量求導(dǎo)運算在三重系下的表達式
§10．3 矢量求導(dǎo)運算的公式
§10．4 弧長作為參數(shù)時曲線的切線矢量
§10．5 曲線的曲率與主法線矢量
§10．6 副法線矢量和曲線上的活動坐標(biāo)系
§10．7 曲線的撓率以及弗雷內(nèi)—塞雷公式
§10．8 應(yīng)用：螺旋線
§10．9 應(yīng)用：空間曲面的法矢量

第十一章 數(shù)量場的梯度
§11．1 數(shù)量場和矢量場
§11．2 數(shù)量場的梯度
§11．3 算子Δ以及梯度的運算性質(zhì)
§11．4 數(shù)量場的方向?qū)?shù)
§11．5 矢量場可能有的勢

第十二章 矢量場的散度
§12．1 矢量場散度的定義
§12．2 散度的意義
§12．3 散度的兩個公式
§12．4 拉普拉斯算子和調(diào)和函數(shù)


第十三章 矢量場的旋度
§13．1 矢量場旋度的定義
§13．2 旋度的兩個公式
§13．3 從一個特例看旋度的意義
§13．4 有關(guān)梯度、散度、旋度的一些重要公式

第四部分 矢量場的線積分和面積分

第十四章 矢量場的線積分與面積分
§14．1 變矢的通常積分
§14．2 數(shù)量場的線積分
§14．3 矢量場的切線線積分
§14．4 應(yīng)用：保守矢量場
§14．5 保守矢量場的充要條件是場無旋
§14．6 數(shù)量場的面積分
§14．7 矢量場給出的面積分

第十五章 散度定理、斯托克斯定理和格林恒等式
§15．1 一條重要的引理
§15．2 有關(guān)梯度的一個積分定理
§15．3 散度定理
§15．4 有關(guān)旋度的一個積分定理
§15．5 應(yīng)用：連續(xù)性方程
§15．6 平面中的斯托克斯定理——格林定理
§15．7 斯托克斯定理
§15．8 斯托克斯定理的逆定理
§15．9 格林第一恒定式和第二恒等式

第五部分 曲線坐標(biāo)和協(xié)變微分

第十六章 曲線坐標(biāo)
§16．1 一個例子——平面極坐標(biāo)
§16．2 曲線坐標(biāo)的概念
§16．3 柱面坐標(biāo)
§16．4 球面坐標(biāo)
§16．5 曲線坐標(biāo)下的矢量三重系
§16．6 基本度量形式以及正交曲線坐標(biāo)系
§16．7 雅可比矩陣、雅可比行列式，以及體積元
§16．8 拉梅系數(shù)
§16．9 應(yīng)用：柱面坐標(biāo)
§16．10 應(yīng)用：球面坐標(biāo)
§16．11 矢量關(guān)于正交曲線坐標(biāo)系的物理分量
§16．12 矢量關(guān)于活動坐標(biāo)系的幾何分量

第十七章 曲線坐標(biāo)系的變換和基本方程
§17．1 曲線坐標(biāo)系的變換
§17．2 矢量分量的變換方式
§17．3 度規(guī)張量gij
§17．4 曲線坐標(biāo)系下的基本方程
§17．5 用度規(guī)張量表示克氏符號
§17．6 克氏符號的變換性質(zhì)
§17．7 克氏符號的一個重要性質(zhì)

第十八章 曲線坐標(biāo)下的協(xié)變微分
§18．1 曲線坐標(biāo)與協(xié)變微分
§18．2 矢量場逆變分量的協(xié)變微分和協(xié)變導(dǎo)數(shù)
§18．3 矢量場協(xié)變分量的協(xié)變微分和協(xié)變導(dǎo)數(shù)
§18．4 張量場的協(xié)變微分和協(xié)變導(dǎo)數(shù)
§18．5 gij和gij的協(xié)變微分
§18．6 張量的和與張量積的協(xié)變微分和協(xié)變導(dǎo)數(shù)
§18．7 應(yīng)用：曲線坐標(biāo)下的梯度
§18．8 應(yīng)用：曲線坐標(biāo)下的散度
§18．9 應(yīng)用：曲線坐標(biāo)下的旋度
§18．10 應(yīng)用：曲線坐標(biāo)下的拉普拉斯算子

第六部分 黎曼空間中的張量

第十九章 n維空間Rn及其中的坐標(biāo)變換
§19．1 n維空間Rn
§19．2 Rn中的坐標(biāo)變換
§19．3 一些例子
§19．4 容許變換下的向量
§19．5 容許變換下的張量
§19．6 容許變換下張量的代數(shù)運算
§19．7 容許坐標(biāo)變換的一些特例

第二十章 黎曼空間和張量分析
§20．1 逆變向量沿曲線上的通常導(dǎo)數(shù)
§20．2 線元和度量形式
§20．3 黎曼空間
§20．4 歐幾里得空間作為黎曼空間
§20．5 gij和gij
§20．6 向量的內(nèi)積
§20．7 向量的長度、兩個向量之間的夾角，以及曲線的弧長
§20．8 相對張量和絕對張量
§20．9 克氏符號
§20．10 克氏符號的變換法則
§20．11 應(yīng)用：黎曼空間中的測地線
§20．12 數(shù)量場和協(xié)變向量場的協(xié)變微分
§20．13 逆變向量場和張量場的協(xié)變微分
§20．14 張量場沿一條曲線的絕對導(dǎo)數(shù)
§20．15 張量場在一條曲線上的平行移動
§20．16 曲率張量
§20．17 協(xié)變曲率張量
§20．18 協(xié)變曲率張量的對稱性
§20．19 里奇公式
§20．20 比安基第二恒等式
§20．21 里奇張量和曲率標(biāo)量
§20．22 愛因斯坦張量及其性質(zhì)
§20．23 應(yīng)用：愛因斯坦引力場方程

附錄
附錄1 證明矢量的矢量積對加法滿足分配律
附錄2 對于任意三階矩陣A和B證明AB＝AB
附錄3 三個變量的正定二次形式
附錄4 群的概念與龐加萊群及其子群
附錄5 旋度的物理意義
附錄6 ∫cF·dr與積分路徑無關(guān)是F是保守矢量場的充分條件
附錄7 矢量場A是保守場的充要條件：A是無旋的
附錄8 證明§15．7中的引理15．7．1：∮cfdx＝∫∫sfzdzdx－fydxdy
附錄9 3×3對稱滿秩矩陣的逆矩陣以及關(guān)于它的行列式導(dǎo)數(shù)的一個表達式
附錄10 置換符號與置換張量
附錄11 變分法中的歐拉—拉格朗日方程
附錄12 淺說外微分形式及其外積與外微分

參考文獻