吳軍數(shù)學通識講義

總 序 001

前 言 009

基礎篇

第 1 章 理解數(shù)學的線索：從畢達哥拉斯講起

1.1 勾股定理：為什么在西方叫畢達哥拉斯定理 022

1.2 數(shù)學的預見性：無理數(shù)是畢達哥拉斯定理的推論 030

1.3 數(shù)學思維：如何從邏輯出發(fā)想問題 036

1.4 黃金分割：數(shù)學和美學的橋梁 045

1.5 優(yōu)選法：華羅庚化繁為簡的神來之筆 058

第 2 章 數(shù)列與級數(shù)：承上啟下的關鍵內(nèi)容

2.1 數(shù)學的關聯(lián)性：斐波那契數(shù)列和黃金分割 070

2.2 數(shù)列變化：趨勢比當下重要 075

2.3 級數(shù)：傳銷騙局里的數(shù)學原理 079

2.4 等比級數(shù)：少付一半利息，多獲得一倍回報 092

第 3 章 數(shù)學邊界：數(shù)學是萬能的嗎

3.1 數(shù)學的局限性：從勾定理到費馬大定理 104

3.2 探尋數(shù)學的邊界：從希爾伯特第十問題講起 108

數(shù)字篇

第 4 章 方程：新方法和新思維

4.1 雞兔同籠問題：方程這個工具有什么用 116

4.2 一元三次方程的解法：數(shù)學史上著名的發(fā)明權之爭 126

4.3 虛數(shù)：虛構(gòu)的工具有什么用 135

第 5 章 無窮大和無窮?。簭臄?shù)值到趨勢

5.1 無窮大：為什么我們難以理解無限大的世界 143

5.2 無窮小：芝諾悖論和它的破解 149

5.3 第二次數(shù)學危機：牛頓和貝克萊的爭論 156

5.4 極限：重新審視無窮小的世界 163

5.5 動態(tài)趨勢：無窮大和無窮小能比較大小嗎 171

幾何篇

第 6 章 基礎幾何學：公理化體系的建立

6.1 幾何學的起源：為什么幾何學是數(shù)學中最古老的分支 186

6.2 公理化體系：幾何學的系統(tǒng)理論從何而來 194

第 7 章 幾何學的發(fā)展：開創(chuàng)不同數(shù)學分支融合的先河

7.1 非歐幾何：換一條公理，幾何學會崩塌嗎 205

7.2 圓周率：數(shù)學工具的意義 214 

7.3 解析幾何：如何用代數(shù)的方法解決幾何問題 221

7.4 體系的意義：為什么幾何能為法律提供理論基礎 232

代數(shù)篇

第 8 章 函數(shù)：重要的數(shù)學工具

8.1 定義和本質(zhì)：從靜態(tài)到動態(tài)，從數(shù)量到趨勢 244

8.2 因果關系：決定性和相關性的差別 253

第 9 章 線性代數(shù)：超乎想象的實用工具

9.1 向量：數(shù)量的方向與合力的形成 262

9.2 余弦定理：文本分類與簡歷篩選 278

9.3 矩陣：多元思維的應用 284

微積分篇

第 10 章 微分：如何理解宏觀和微觀的關系

10.1 導數(shù)：揭示事物變化的新規(guī)律 300

10.2 微分：描述微觀世界的工具 307

10.3 奇點：變化連續(xù)和光滑是穩(wěn)定性的基礎 312

第 11 章 積分：從微觀變化了解宏觀趨勢

11.1 積分：微分的逆運算 323

11.2 積分的意義：從細節(jié)了解全局 327

11.3 最優(yōu)化問題：用變化的眼光看最大值和最小值 333

11.4 發(fā)明權之爭：牛頓和萊布尼茨各自的貢獻 342

*11.5 體系的完善：微積分公理化的過程 348

概率和數(shù)理統(tǒng)計篇

第 12 章 隨機性和概率論：如何看待不確定性

12.1 概率論：一門來自賭徒的學問 364

12.2 古典概率：拉普拉斯對概率的系統(tǒng)性論述 366

12.3 伯努利試驗：隨機性到底意味著什么 371

12.4 均值與方差：理想與現(xiàn)實的差距 378

第 13 章 小概率和大概率：如何資源共享和消除不確定性

13.1. 泊松分布：為什么保險公司必須有很大的客戶群 386

13.2 高斯分布：大概率事件意味著什么 393

*13.3 概率公理化：理論和現(xiàn)實的統(tǒng)一 404

第 14 章 前提條件：度量隨機性的新方法

14.1 前提條件：條件對隨機性的影響 415

14.2 差異：概率、聯(lián)合概率和條件概率 421

14.3 相關性：條件概率在信息處理中的應用 430

14.4 貝葉斯公式：機器翻譯是怎樣工作的 433

第 15 章 統(tǒng)計學和數(shù)據(jù)方法：準確估算概率的前提

15.1 定義：什么是統(tǒng)計學 442

15.2 實踐：怎樣做好統(tǒng)計 446

15.3 古德 - 圖靈折扣估計：如何防范黑天鵝事件 450

15.4 換個眼光看世界：概率是一種世界觀，統(tǒng)計是一種方法論 459

終篇

第 16 章 數(shù)學在人類知識體系中的位置

16.1 數(shù)學和哲學：一頭一尾的兩門學科 468

16.2 數(shù)學和自然科學：數(shù)學如何改造自然科學 474

16.3 數(shù)學和邏輯學：為什么邏輯是一切的基礎 480

16.4 數(shù)學和其他學科：為什么數(shù)學是更底層的工具 486

16.5 未來展望：希爾伯特的講演 493

附錄

附錄 1 黃金分割等于多少 497

附錄 2 為什么斐波那契數(shù)列相鄰兩項的比值收斂于黃金分割 498

附錄 3 等比級數(shù)求和算法 500

附錄 4 一元 N 次方程 x N =1 的解 501

附錄 5 積分的其他兩種計算方法 503

附錄 6 大數(shù)定律 505

附錄 7 希爾伯特退休講演的英文譯文 507

終篇

第 16 章 數(shù)學在人類知識體系中的位置

21.1 數(shù)學和哲學 /458 

21.2 數(shù)學和自然科學 /465 

21.3 數(shù)學和邏輯學 /469 

21.4 數(shù)學和其他學科 /473

21.5 著名數(shù)學家希爾伯特退休前的講演 /478