數(shù)理方程典型應用案例及理論分析

第1章熱傳導方程1

1．1熱傳導方程的導出3

1．1．1無內熱源熱傳導方程的導出3

1．1．2有內熱源熱傳導問題的導出4

1．2熱傳導方程的初邊值問題7

1．2．1定解條件7

1．2．2定解問題9

1．3熱傳導方程初邊值問題的分離變量法10

1．3．1疊加原理10

1．3．2分離變量法10

1．3．3非齊次熱傳導方程初邊值問題15

1．4熱傳導方程柯西問題的積分變換法18

1．4．1傅里葉變換的概念和性質18

1．4．2齊次熱傳導方程柯西問題20

1．4．3非齊次熱傳導方程柯西問題21

1．5熱傳導方程的基本理論24

1．5．1極值原理24

1．5．2初邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性25

1．5．3柯西問題解的唯一性和穩(wěn)定性26

1．6熱傳導方程的應用案例27

1．6．1無限大平壁導熱問題27

1．6．2大顆粒炭內部熱應力的分布及熱應力破碎理論31

1．6．3電流傳輸導熱問題33

1．6．4太陽能集熱器導熱問題35

1．6．5擴散問題41

1．6．6一維擴散反應問題43

1．6．7蔬菜大棚濕度擴散問題46

1．6．8非平衡截流子擴散問題49

小結52

習題52

第2章波動方程55

2．1波動方程的導出57

2．1．1弦振動方程的導出57

2．1．2膜振動方程的導出62

2．2弦振動方程的初邊值問題64

2．3弦振動方程的柯西問題的行波法66

2．3．1達朗貝爾公式66

2．3．2傳播波69

2．3．3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域69

2．3．4半無界弦及有界弦的振動問題70

2．3．5非齊次弦振動方程的柯西問題72

2．4弦振動方程的初邊值問題的分離變量法75

2．4．1弦振動方程的分離變量法75

2．4．2解的物理意義81

2．4．3非齊次弦振動初邊值問題82

2．4．4非齊次邊界條件83

2．5三維波動方程的柯西問題的球平均法85

2．5．1齊次三維波動方程的柯西問題85

2．5．2非齊次三維波動方程的柯西問題87

2．6二維波動方程的柯西問題的降維法89

2．7波的傳播與衰減90

2．7．1依賴區(qū)域、決定區(qū)域、影響區(qū)域和特征錐90

2．7．2泊松公式的物理意義、惠更斯原理92

2．8波動方程的基本理論93

2．8．1振動的動能和位能 93

2．8．2初邊值問題解的唯一性與穩(wěn)定性 94

2．8．3柯西問題解的唯一性與穩(wěn)定性 97

2．9波動方程的應用案例100

2．9．1波動方程在均勻傳輸線方程中的應用100

2．9．2弦振動方程在斜拉橋上的應用101

2．9．3波動方程在動力打樁中的應用106

2．9．4波動方程在琴弦發(fā)聲中的應用110

2．9．5波動方程在高頻輸電斷路中的應用113

小結114

習題114

第3章調和方程117

3．1調和方程的導出119

3．2調和方程的邊值問題120

3．3格林公式及其應用121

3．3．1格林公式121

3．3．2調和函數(shù)的基本性質122

3．4格林函數(shù)126

3．4．1格林函數(shù)的概念126

3．4．2格林函數(shù)的基本性質128

3．5靜電源像法129

3．5．1球域的格林函數(shù)129

3．5．2半空間的格林函數(shù)131

3．5．3二維區(qū)域的格林函數(shù)131

3．6調和方程的基本理論134

3．6．1極值原理134

3．6．2邊值問題解的唯一性136

3．7調和方程的應用案例137

3．7．1導體槽內的電位分布問題137

3．7．2油氣滲流問題139

小結139

習題139

第4章二階線性偏微分方程的分類141

4．1二階線性偏微分方程的分類與化簡143

4．1．1兩個自變量二階線性偏微分方程的分類143

4．1．2兩個自變量二階線性偏微分方程的化簡144

4．1．3化二階線性偏微分方程為標準型146

4．2三類方程的比較150

4．2．1線性方程的疊加原理150

4．2．2三類方程解的性質的比較152

4．2．3三類方程定解問題提法的比較155

小結158

習題159

參考文獻160