輕松學點微積分

目錄
第1章 極限與連續(xù) 1
1.1 微積分的起源 1
1.2 數(shù)列的極限 5
1.3 連續(xù)函數(shù)與函數(shù)的極限 16
1.4 極限的嚴格定義 30
1.4.1 極限的定義 30
1.4.2 用極限定義作證明 35
1.5 連續(xù)函數(shù)的性質 40
1.6 自然指數(shù)與自然對數(shù) 45
1.6.1 自然指數(shù) 45
1.6.2 自然對數(shù) 48
1.6.3 利用e的定義解極限 49
1.6.4 e之趣談 52
1.7 等價無窮小代換 56
1.7.1 動機介紹 56
1.7.2 無窮小的分階 57
1.7.3 等價無窮小代換 58
1.8 漸近線 63
1.8.1 水平漸近線 64
1.8.2 鉛直漸近線 66
1.8.3 斜漸近線 67
第2章 微分學 73
2.1 導數(shù)的定義 73
2.2 導數(shù)的性質與冪函數(shù)的導函數(shù) 80
2.3 三角函數(shù)與指對數(shù)函數(shù)的導函數(shù) 91
2.4 高階導數(shù) 96
2.5 鏈式法則 99
2.6 單側導數(shù) 103
2.7 隱函數(shù)的求導 111
2.8 反函數(shù)的求導 117
2.9 取對數(shù)求導法 122
2.10 參數(shù)式求導 125
2.11 微分 131
第3章 微分學的應用 135
3.1 切線與法線 135
3.2 變率問題 140
3.3 函數(shù)的單調性與凹凸性 143
3.3.1 函數(shù)的單調性 143
3.3.2 函數(shù)的凹凸性 147
3.4 極值問題 153
3.4.1 一階檢定法 155
3.4.2 二階檢定法 157
3.5 繪制函數(shù)圖形 160
3.6 微分中值定理 165
3.7 洛必達法則 170
3.7.1 洛必達法則的使用介紹 170
3.7.2 洛必達法則的誤用探討 176
第4章 積分學 181
4.1 積分的定義 181
4.2 積分的基本性質 191
4.3 微積分基本定理 196
4.3.1 微積分基本定理第一部分 196
4.3.2 微積分基本定理第二部分 200
4.4 不定積分 202
4.5 曲線間所圍面積 206
第5章 積分技巧 211
5.1 分部積分 211
5.2 變量代換 217
5.2.1 第一換元法 217
5.2.2 第二換元法 223
5.3 三角代換 225
5.4 有理函數(shù)的積分：部分分式法 232
5.5 三角函數(shù)的積分 243
5.5.1 三角函數(shù)的冪次 243
5.5.2 含有sin(x)及cos(x)的有理式 252
5.5.3 巧妙的換元 254
5.6 反常積分 256
5.6.1 第一類反常積分(積分范圍無界) 256
5.6.2 第二類反常積分(函數(shù)無界) 259
5.6.3 反常積分的斂散性 261
5.7 積分技巧雜談 265
第6章 積分學的應用 276
6.1 曲線弧長 276
6.2 求體積 283
6.3 旋轉體體積 287
6.3.1 圓盤法 287
6.3.2 剝殼法 291
6.4 旋轉體的表面積 295
第7章 特殊函數(shù) 299
7.1 雙曲函數(shù) 299
7.1.1 雙曲函數(shù)的定義 299
7.1.2 雙曲函數(shù)的基本公式 302
7.1.3 雙曲函數(shù)的導函數(shù) 306
7.1.4 反雙曲函數(shù) 306
7.1.5 反雙曲函數(shù)的導函數(shù) 308
7.1.6 雙曲函數(shù)在大一微積分中的應用 309
7.2 伽馬函數(shù) 310
第8章 無窮級數(shù) 313
8.1 無窮級數(shù)的收斂與發(fā)散 313
8.2 積分審斂法 321
8.3 比較審斂法 326
8.4 比值審斂法與根值審斂法 331
8.5 交錯級數(shù)審斂法 335
8.6 條件收斂與絕對收斂 341
8.7 冪級數(shù) 349
第9章 泰勒展開 356
9.1 泰勒展開：多項式逼近函數(shù) 356
9.1.1 泰勒展開式 356
9.1.2 間接展開法 360
9.2 多項式逼近的應用 368
9.3 泰勒定理與余項 373
9.4 冪級數(shù)的和函數(shù) 381
第10章 極坐標 390
10.1 極坐標簡介 390
10.2 極坐標中的常見曲線 399
10.3 極坐標求面積 402
10.4 極坐標求弧長 409
第11章 多元函數(shù)的微分學 413
11.1 多元函數(shù)簡介 413
11.2 多元函數(shù)的極限 416
11.3 偏導數(shù) 422
11.4 全微分 429
11.4.1 通俗不嚴謹?shù)挠懻?429
11.4.2 理論探討 431
11.5 多元函數(shù)的鏈式法則 434
11.6 多元函數(shù)的隱函數(shù)求導 439
11.7 梯度、方向導數(shù)與切平面 443
11.7.1 梯度的定義 443
11.7.2 方向導數(shù) 443
11.7.3 切平面 449
11.8 多元函數(shù)的極值問題 450
11.9 條件極值：拉格朗日乘數(shù)法 456
第12章 重積分 466
12.1 二重積分 466
12.2 三重積分 480
12.3 重積分的換元法 488
12.4 極坐標代換 499
12.5 圓柱坐標代換 504
12.6 球坐標代換 508