數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)：數(shù)學(xué)探索中的合情推理

目錄

目錄

第一章歸納∥1

§1觀察和歸納∥1

§2探索接觸∥3

§3檢驗(yàn)接觸∥4

§4歸納的態(tài)度∥6

§5歸納的作用—?dú)w納認(rèn)識(shí)∥7

§6歸納的作用—?dú)w納發(fā)展∥9

注釋、問題與課題∥11

第二章推廣一限定一類比∥20

§1一個(gè)例子∥20

§2推廣∥21

§3限定∥21

§4類比∥22

§5推廣、限定和類比∥23

§6用類比來發(fā)現(xiàn)∥25

§7類比和歸納∥27

注釋、問題與課題∥28

第三章平面幾何中的歸納法∥42

§1中國古算∥42

§2歸納中的演繹∥45

§3洞淵九容∥45

§4類比、歸納和演繹∥48

§5公理的誕生∥50

§6演繹中的歸納∥53

§7類比、演繹和數(shù)學(xué)問題∥54

§8全等與運(yùn)動(dòng)∥55

§9從全等到相似∥59

§10完全的歸納與組合∥61

 注釋、問題與課題61

第四章從平面到空間∥67

§1類比與推廣∥67

§2一個(gè)驚人的發(fā)現(xiàn)∥68

§3檢驗(yàn)∥70

§4空間的劃分∥73

§5歸納法、提示演繹法,部分情況提示一般的證明∥77

注釋、問題與課題∥79

第五章面積和體積∥83

§1面積縱橫∥83

§2面積組成問題∥85

§3歸納中的線索∥88

§4“面積"開發(fā)∥89

§5丌的奧妙∥92

§6丌的啟示∥98

§7體積問題∥100

§8化歸∥103

§9歸納、類比與化歸∥104

注釋、問題與課題∥105

第六章算術(shù)中的歸納法∥14

§1深入地觀察∥114

§2形同實(shí)異的問題∥119

§3沙里淘金：兔子問題研究∥122

§4一道民間算題∥124

§5確定型問題∥127

§6數(shù)學(xué)模型∥129

注釋、問題與課題∥132

第七章代數(shù)中的歸納法∥145

§1歷史回顧∥145

§2字母代數(shù)∥146

§3意想不到的事情∥148

§4歸納與數(shù)學(xué)習(xí)慣∥150

§5從賈憲到楊輝∥153

§6從牛頓到華羅庚∥155

§7孤立觀察∥157

§8四個(gè)二次∥159

§9配方法∥161

§10根與系數(shù)的關(guān)系∥162

注釋、問題與課題∥166

第八章抽象—精致的類比∥177

§1歐拉“過橋”的故事∥177

§2抽象∥179

§3類比、推廣與抽象∥180

§4直覺與抽象∥181

§5思想實(shí)驗(yàn)∥183

§6抽象的層次∥185

§7數(shù)學(xué)模型(續(xù))∥187

注釋、問題與課題∥188

第九章極大與極小∥195

§1極值問題∥195

§2思路分析∥196

§3等值切線模式∥199

§4最大多邊形和異面直線問題∥201

§5部分改變模型∥203

§6生活中的極值問題∥205

§7二次模型∥208

§8運(yùn)輸中心問題∥211

§9定值模型∥216

注釋、問題與課題∥217

第十章等周問題∥225

§1觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想∥225

§2考查推論∥228

§3確證推論∥230

§4非常貼近∥233

§5等周定理的三種形式∥234

§6副產(chǎn)品∥235

§7應(yīng)用和問題∥236

§8向空間類推∥237

注釋、問題與課題∥237

第十一章最優(yōu)化問題∥246

§1自然書∥246

§2優(yōu)選問題∥249

§3兩點(diǎn)創(chuàng)新∥253

§4統(tǒng)籌方法∥254

§5簡單性∥257

§6中國郵遞員問題∥258

§7最優(yōu)化問題∥260

注釋、問題與課題∥261

第十二章計(jì)數(shù)∥267

§1枚舉計(jì)數(shù)法∥267

§2由法則到公式∥271

§3格圖中的計(jì)數(shù)問題∥274

§4游戲中的數(shù)學(xué)∥278

§5整邊三角形的計(jì)數(shù)∥282

§6計(jì)數(shù)問題綜觀∥287

注釋、問題與課題∥287

第十三章組合∥297

§1賬單和立方體切割的啟示∥297

§2組合因素與組合思想∥299

§3運(yùn)算中的組合因素∥300

§4數(shù)學(xué)關(guān)系中的組合因素∥303

§5邏輯與組合∥307

§6公式與順序∥308

§7幾何證明中的組合因素∥1311

§8坐標(biāo)系∥313

§9歸納與組合∥316

注釋、問題與課題∥317

第十四章數(shù)學(xué)全息現(xiàn)象∥327

§1觀察與聯(lián)想∥327

§2算術(shù)中的全息現(xiàn)象∥328

§3代數(shù)中的全息現(xiàn)象∥332

§4幾何中的全息現(xiàn)象∥35

§5全息元和數(shù)學(xué)全息律∥33

§6歸納、類比、推廣與數(shù)學(xué)全息律∥340

注釋、問題與課題∥343

第十五章數(shù)學(xué)的追求∥350

§1對(duì)方法的品評(píng)∥350

§2數(shù)學(xué)的三項(xiàng)追求∥354

§3兩個(gè)幾何公式∥355

§4內(nèi)在美和形式美∥360

§5“行列式”誕生之謎∥363

§6數(shù)學(xué)中的奇巧∥366

注釋、問題與課題∥370

第十六章合情推理模式∥382

§1合情推理∥382

§2歸納推理模式∥382

§3類比推理模式∥387

§4演繹推理與歸納推理∥389

§5合情推理模式間的邏輯聯(lián)系∥392

§6余新河數(shù)學(xué)題賞析∥393

注釋、問題與課題∥400

第十七章歸納與數(shù)學(xué)教學(xué)∥407

§1演繹、歸納與數(shù)學(xué)教學(xué)∥407

§2探索式的教學(xué)方式∥410

§3實(shí)驗(yàn)、直覺與邏輯414

§4波利亞式的解題教學(xué)∥416

§5數(shù)學(xué)方法論的教育方式∥420

§6歸納的學(xué)習(xí)方式∥422

§7給教師的幾點(diǎn)建議∥424

注釋、問題與課題∥425

參考解答與提示∥434

第一章歸納∥434

第二章推廣一限定一類比∥436

第三章平面幾何中的歸納法∥441

第四章從平面到空間∥443

第五章面積和體積∥447

第六章算術(shù)中的歸納法∥449