數(shù)學(xué)極客 探索數(shù)字、邏輯、計(jì)算之美

序

譯者簡(jiǎn)介

前言

第一部分　數(shù)　　字

第1章　自然數(shù)　/2

1.1　自然數(shù)的公理化定義　/3

1.2　使用皮亞諾歸納法　/6

第2章　整數(shù)　/8

2.1　什么是整數(shù)　/8

2.2　自然地構(gòu)造整數(shù)　/10

第3章　實(shí)數(shù)　/14

3.1　實(shí)數(shù)的非正式定義　/14

3.2　實(shí)數(shù)的公理化定義　/17

3.3　實(shí)數(shù)的構(gòu)造性定義　/20

第4章　無(wú)理數(shù)與超越數(shù)　/23

4.1　什么是無(wú)理數(shù)　/23

4.2　聚焦無(wú)理數(shù)　/24

4.3　無(wú)理數(shù)和超越數(shù)有什么意義，為什么它們很重要　/26

第二部分　有趣的數(shù)字第5章　零　/30

5.1　零的歷史　/30

5.2　一個(gè)令人生厭的困難數(shù)字　/33

第6章　e：不自然的自然數(shù)　/36

6.1　無(wú)處不在的數(shù)字　/36

6.2　e的歷史　/38

6.3　e有什么含義　/39

第7章　φ：黃金比例　/41

7.1　什么是黃金比例　/42

7.2　荒唐的傳奇　/44

7.3　黃金比例真正存在的地方　/46

第8章　i：虛數(shù)　/48

8.1　i的起源　/48

8.2　i是做什么的　/50

8.3　i有什么意義　/51

第三部分　書(shū) 寫(xiě) 數(shù) 字

第9章　羅馬數(shù)字　/56

9.1　進(jìn)位系統(tǒng)　/56

9.2　這場(chǎng)混亂來(lái)自哪里　/58

9.3　計(jì)算很簡(jiǎn)單（但是算盤(pán)更簡(jiǎn)單）　/59

9.4　傳統(tǒng)的過(guò)失　/63第10章　埃及分?jǐn)?shù)　/66

10.1　一場(chǎng)4000年前的數(shù)學(xué)考試　/66

10.2　斐波那契的貪婪算法　/67

10.3　有時(shí)美勝過(guò)實(shí)用　/69第11章　連分?jǐn)?shù)　/70

11.1　連分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)介　/71

11.2　更干凈，更清晰，純粹是為了好玩　/73

11.3　作計(jì)算　/75

第四部分　邏　　輯

第12章　斯波克先生與不符合邏輯　/80

12.1　什么是真正的邏輯　/82

12.2　一階謂詞邏輯　/83

12.3　展示一些新東西　/88

第13章　證明、真理和樹(shù)　/93

13.1　用樹(shù)來(lái)建立簡(jiǎn)單的證明　/94

13.2　零基礎(chǔ)的證明　/96

13.3　家族關(guān)系的例子　/98

13.4　分支證明　/100

第14章　使用邏輯編程　/103

14.1　計(jì)算家族關(guān)系　/104

14.2　使用邏輯計(jì)算　/109

第15章　時(shí)序推理　/118

15.1　隨時(shí)間變化的命題　/119

15.2　CTL擅長(zhǎng)什么　/124

第五部分　集　　合

第16章　康托爾對(duì)角化：無(wú)窮不僅是無(wú)窮　/128

16.1　樸素的集合　/128

16.2　康托爾對(duì)角化　/132

16.3　不要保持簡(jiǎn)單和直接　/136

第17章　公理化集合論：取其精華，去其糟粕　/139

17.1　ZFC集合論公理　/140

17.2　瘋狂的選擇　/147

17.3　為什么　/150

第18章　模型：用集合作為搭建數(shù)學(xué)世界的積木　/151

18.1　構(gòu)建自然數(shù)　/152

18.2　從模型到模型：從自然數(shù)到整數(shù)，以及超越　/154

第19章　超限數(shù)：無(wú)限集的計(jì)數(shù)和排序　/158

19.1　超限基　/158

19.2　連續(xù)統(tǒng)假設(shè)　/160

19.3　無(wú)限何在　/161

第20章　群論：用集合尋找對(duì)稱(chēng)性　/164

20.1　費(fèi)解的對(duì)稱(chēng)性　/164

20.2　不同的對(duì)稱(chēng)性　/168

20.3　走入歷史　/170

20.4　對(duì)稱(chēng)性之源　/172

第六部分　機(jī)械化數(shù)學(xué)

第21章　有限狀態(tài)機(jī)：從簡(jiǎn)單機(jī)器開(kāi)始　/178

21.1　最簡(jiǎn)單的機(jī)器　/178

21.2　實(shí)際使用的有限狀態(tài)機(jī)　/182

21.3　跨越鴻溝：從正則表達(dá)式到機(jī)器　/185

第22章　圖靈機(jī)　/192

22.1　添加磁帶讓一切都變得不同　/193

22.2　變?cè)耗７聶C(jī)器的機(jī)器　/198

第23章　計(jì)算的核心與病態(tài)　/204

23.1　BF：偉大的、光榮的、完全愚蠢的　/206

23.2　圖靈完備還是毫無(wú)意義　/209

23.3　從莊嚴(yán)到荒謬　/210

第24章　微積分：不是那個(gè)微積分，是λ演算　/213

24.1　寫(xiě)λ演算：幾乎就是編程　/214

24.2　求值：運(yùn)行　/218

24.3　編程語(yǔ)言與λ策略　/221

第25章　數(shù)字、布爾運(yùn)算和遞歸　/224

25.1　λ演算是圖靈完備的嗎　/224

25.2　計(jì)算自身的數(shù)字　/225

25.3　決定？回到Church　/228

25.4　遞歸　/231

第26章　類(lèi)型，類(lèi)型，類(lèi)型：對(duì)λ演算建模　/238

26.1　類(lèi)型簡(jiǎn)介　/239

26.2　證明　/244

26.3　類(lèi)型擅長(zhǎng)什么　/246

第27章　停機(jī)問(wèn)題　/248

27.1　一個(gè)杰出的失敗　/249

27.2　是否停機(jī)　/251

參考文獻(xiàn)　/256