證明方法與理論

緒論 1
0.1　對證明論學(xué)科發(fā)展的一些看法 1
0.2　本書的一些嘗試 9
參考文獻 11
第1部分  預(yù)備知識
第1章　基本概念的定義和舉例 14
參考文獻 23
第2章　基礎(chǔ)知識 24
2.1　集合論概述 24
2.2　邏輯學(xué)概述 29
參考文獻 32
第2部分　證明方法
第3章　關(guān)系運算證明方法 38
參考文獻 44
第4章　三段論證明方法 45
4.1　亞里士多德三段論簡述 45
4.2  亞里士多德三段論的改進 51
4.3  量化擴展的三段論有效命題的確定方法 56
參考文獻 63
第5章　數(shù)學(xué)歸納法 65
5.1　數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)展概況 65
5.2　第一、第二數(shù)學(xué)歸納法 65
5.3　超窮（超限）歸納法（廣義歸納法） 68
5.4　結(jié)構(gòu)歸納法 72
參考文獻 75
第6章　反證法 76
第7章　構(gòu)造性證明方法 78
參考文獻 80
第8章　同態(tài)證明方法和解釋性證明方法 81
8.1　同態(tài)證明方法 81
8.2　解釋性證明方法 82
參考文獻 83
第9章　系統(tǒng)化證明方法（含截消方法） 84
9.1　系統(tǒng)化證明方法導(dǎo)論 84
9.2　亞里士多德的三段論自然演繹系統(tǒng)和形式系統(tǒng) 86
9.3　量化擴展的三段論自然推理系統(tǒng) 91
9.4　弗雷格的形式系統(tǒng)F 96
9.5　羅素的形式系統(tǒng)R 100
9.6　希爾伯特公理系統(tǒng)H 105
9.7　根岑的自然演繹系統(tǒng)G與截消證明方法 106
9.8　算術(shù)形式系統(tǒng)舉例 113
9.9　幾何證明公理系統(tǒng)舉例 119
參考文獻 122
第10章　歸結(jié)證明方法 125
10.1　歸結(jié)的基礎(chǔ)理論 125
10.2　歸結(jié)定理與歸結(jié)方法 134
參考文獻 137
第11章　自動化證明方法 138
11.1　自動化證明方法的思想淵源 138
11.2　自動證明機器原型之一：圖靈機 139
11.3　自動證明機器原型之二：線性有界自動機 143
11.4　自動證明機器原型之三：下推自動機 146
11.5　自動證明機器原型之四：確定型有窮自動機 148
11.6　自動證明機器原型之五：不確定型有窮自動機 150
11.7　自動機接受的語言 153
11.8　自動機與數(shù)學(xué)證明的關(guān)系 155
11.9　定理證明器和推理機基本原理和證明實例 156
參考文獻 161
第3部分　證明理論
第12章　可判定性理論 165
12.1　基本概念和歷史背景 165
12.2　可計算性理論 166
12.3　一階語言的可判定理論 181
12.4　不可判定理論 186
12.5　可判定性與可證明性的關(guān)系 189
參考文獻 190
第13章　相容性理論 192
13.1　相容性問題產(chǎn)生的根源、過程和現(xiàn)狀 192
13.2　悖論的結(jié)構(gòu)和特征 196
13.3　解悖理論（1）—— 類型理論 201
13.4　解悖理論（2）—— 情境語義學(xué)理論 205
13.5　解悖理論（3）—— ZFC公理系統(tǒng) 208
13.6　解悖理論（4）—— 新基礎(chǔ)公理系統(tǒng) 214
13.7　集合論公理系統(tǒng)概覽 215
13.8　數(shù)學(xué)系統(tǒng)相容性的其他障礙及其解決 216
13.9　算術(shù)系統(tǒng)的相容性 221
13.10　幾何系統(tǒng)的相容性 238
參考文獻 239
第14章　不完全性理論 242
14.1　哥德爾第一不完全性定理 242
14.2　哥德爾第二不完全性定理 247
14.3　哥德爾第一不完全性定理的發(fā)展和爭議 248
14.4　哥德爾第二不完全性定理的爭議和某些應(yīng)用 250
參考文獻 252
第15章　可靠性理論與完全性理論 254
參考文獻 258
第4部分　附　錄
附錄1　算術(shù)公理系統(tǒng) 260
附錄2　On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica
and Related Systems（Ⅰ） 265
附錄3　論《數(shù)學(xué)原理》及其相關(guān)系統(tǒng)的形式不可判定命題（Ⅰ） 286
附錄4　人名索引 301
附錄5　定義索引 308
附錄6　核心命題索引 313
附錄7　例題索引 316