數(shù)學(xué)女孩：哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ恚?）

序言 

第1章　鏡子的獨(dú)白　　1 

1.1　誰(shuí)是老實(shí)人　　1 

1.1.1　鏡子呀鏡子　　1 

1.1.2　誰(shuí)是老實(shí)人　　3 

1.1.3　相同的回答　　7 

1.1.4　回答是沉默　　8 

1.2　邏輯謎題　　9 

1.2.1　愛(ài)麗絲、博麗絲和克麗絲　　9 

1.2.2　用表格來(lái)想　　10 

1.2.3　出題者的心思　　14 

1.3　帽子是什么顏色　　15 

1.3.1　不知道　　15 

1.3.2　對(duì)出題者的驗(yàn)證　　18 

1.3.3　鏡子的獨(dú)白　　19 

第2章　皮亞諾算術(shù)　　23 

2.1　泰朵拉　　23 

2.1.1　皮亞諾公理　　23 

2.1.2　無(wú)數(shù)個(gè)愿望　　27 

2.1.3　皮亞諾公理 PA1　　28 

2.1.4　皮亞諾公理 PA2　　29 

2.1.5　養(yǎng)大　　32 

2.1.6　皮亞諾公理PA3　　34 

2.1.7　小的？　　35 

2.1.8　皮亞諾公理 PA4　　36 

2.2　米爾嘉　　39 

2.2.1　皮亞諾公理PA5　　42 

2.2.2　數(shù)學(xué)歸納法　　43 

2.3　在無(wú)數(shù)腳步之中　　50 

2.3.1　有限？無(wú)限？　　50 

2.3.2　動(dòng)態(tài)？靜態(tài)？　　51 

2.4　尤里　　52 

2.4.1　加法運(yùn)算？　　52 

2.4.2　公理？　　54 

第3章　伽利略的猶豫　　57 

3.1　集合　　57 

3.1.1　美人的集合　　57 

3.1.2　外延表示法　　58 

3.1.3　餐桌　　60 

3.1.4　空集　　61 

3.1.5　集合的集合　　62 

3.1.6　公共部分　　64 

3.1.7　并集　　67 

3.1.8　包含關(guān)系　　69 

3.1.9　為什么要研究集合　　71 

3.2　邏輯　　72 

3.2.1　內(nèi)涵表示法　　72 

3.2.2　羅素悖論　　74 

3.2.3　集合運(yùn)算和邏輯運(yùn)算　　77 

3.3　無(wú)限　　79 

3.3.1　雙射鳥(niǎo)籠　　79 

3.3.2　伽利略的猶豫　　83 

3.4　表示　　86 

3.4.1　歸途　　86 

3.4.2　書(shū)店　　87 

3.5　沉默　　88 

3.5.1　美人的集合　　88 

第4章　無(wú)限接近的目的地　　91 

4.1　家中　　91 

4.1.1　尤里　　91 

4.1.2　男生的“證明”　　92 

4.1.3　尤里的'證明'　　93 

4.1.4　尤里的'疑惑'　　96 

4.1.5　我的講解　　97 

4.2　超市　　99 

4.2.1　目的地　　99 

4.3　音樂(lè)教室　　104 

4.3.1　字母的導(dǎo)入　　104 

4.3.2　極限　　106 

4.3.3　憑聲音決定音樂(lè)　　108 

4.3.4　極限的計(jì)算　　111 

4.4　歸途　　119 

4.4.1　前途　　119 

第5章　萊布尼茨之夢(mèng)　　123 

5.1　若尤里，則非泰朵拉　　123 

5.1.1　“若……則……”的含義　　123 

5.1.2　萊布尼茨之夢(mèng)　　126 

5.1.3　理性的界限？　　128 

5.2　若泰朵拉，則非尤里　　129 

5.2.1　備戰(zhàn)高考　　129 

5.2.2　上課　　131 

5.3　若米爾嘉，則米爾嘉　　133 

5.3.1　教室　　133 

5.3.2　形式系統(tǒng)　　135 

5.3.3　邏輯公式　　137 

5.3.4　“若……則……”的形式　　140 

5.3.5　公理　　142 

5.3.6　證明論　　144 

5.3.7　推理規(guī)則　　145 

5.3.8　證明和定理　　147 

5.4　不是我，還是我　　150 

5.4.1　家中　　150 

5.4.2　形式的形式　　151 

5.4.3　含義的含義　　153 

5.4.4　若“若……則……”，則……　　153 

5.4.5　邀約　　157 

第6章　ε- δ 語(yǔ)言　　159 

6.1　數(shù)列的極限　　159 

6.1.1　從圖書(shū)室出發(fā)　　159 

6.1.2　到達(dá)階梯教室　　160 

6.1.3　理解復(fù)雜式子的方法　　164 

6.1.4　看“絕對(duì)值”　　166 

6.1.5　看“若……，則……”　　169 

6.1.6　看“所有”和“某個(gè)”　　170 

6.2　函數(shù)的極限　　174 

6.2.1　ε-δ　　174 

6.2.2　ε-δ 的含義　　177 

6.3　摸底考試　　178 

6.3.1　上榜　　178 

6.3.2　靜寂的聲音、沉默的聲音　　179 

6.4　“連續(xù)”的定義　　181 

6.4.1　圖書(shū)室　　181 

6.4.2　在所有點(diǎn)處都不連續(xù)　　184 

6.4.3　是否存在在一點(diǎn)處連續(xù)的函數(shù)　　186 

6.4.4　逃出無(wú)限的迷宮　　187 

6.4.5　在一點(diǎn)處連續(xù)的函數(shù)！　　188 

6.4.6　訴衷腸　　192 

第7章　對(duì)角論證法　　197 

7.1　數(shù)列的數(shù)列　　197 

7.1.1　可數(shù)集　　197 

7.1.2　對(duì)角論證法　　201 

7.1.3　挑戰(zhàn)：給實(shí)數(shù)編號(hào)　　209 

7.1.4　挑戰(zhàn)：有理數(shù)和對(duì)角論證法　　213 

7.2　形式系統(tǒng)的形式系統(tǒng)　　215 

7.2.1　相容性和完備性　　215 

7.2.2　哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ怼　?22 

7.2.3　算術(shù)　　224 

7.2.4　形式系統(tǒng)的形式系統(tǒng)　　226 

7.2.5　詞匯的整理　　229 

7.2.6　數(shù)項(xiàng)　　230 

7.2.7　對(duì)角化　　231 

7.2.8　數(shù)學(xué)的定理　　233 

7.3　失物的失物　　233 

7.3.1　游樂(lè)園　　233 

第8章　兩份孤獨(dú)所衍生的產(chǎn)物　　229 

8.1　重疊的對(duì)　　229 

8.1.1　泰朵拉的發(fā)現(xiàn)　　229 

8.1.2　我的發(fā)現(xiàn)　　235 

8.1.3　誰(shuí)都沒(méi)發(fā)現(xiàn)的事實(shí)　　236 

8.2　家中　　237 

8.2.1　自己的數(shù)學(xué)　　237 

8.2.2　表現(xiàn)的壓縮　　237 

8.2.3　加法運(yùn)算的定義　　241 

8.2.4　教師的存在　　244 

8.3　等價(jià)關(guān)系　　245 

8.3.1　畢業(yè)典禮　　245 

8.3.2　對(duì)衍生的產(chǎn)物　　247 

8.3.3　從自然數(shù)到整數(shù)　　248 

8.3.4　圖　　249 

8.3.5　等價(jià)關(guān)系　　254 

8.3.6　商集　　257 

8.4　餐廳　　261 

8.4.1　兩個(gè)人的晚飯　　261 

8.4.2　一對(duì)翅膀　　262 

8.4.3　無(wú)力考試　　264 

第9章　令人迷惑的螺旋樓梯　　267 

9.1　π 弧度　　267 

9.1.1　不高興的尤里　　267 

9.1.2　三角函數(shù)　　269 

9.1.3　sin45°　　272 

9.1.4　sin60°　　276 

9.1.5　正弦曲線(xiàn)　　280 

9.2　π 弧度　　284 

9.2.1　弧度　　284 

9.2.2　教人　　286 

9.3　π 弧度　　287 

9.3.1　停課　　287 

9.3.2　余數(shù)　　288 

9.3.3　燈塔　　290 

9.3.4　海邊　　292 

9.3.5　消毒　　293 

第10章　哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ怼　?95 

10.1　雙倉(cāng)圖書(shū)館　　295 

10.1.1　入口　　295 

10.1.2　氯　　296 

10.2　希爾伯特計(jì)劃　　298 

10.2.1　希爾伯特　　298 

10.2.2　猜謎　　300 

10.3　哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ怼　?04 

10.3.1　哥德?tīng)枴　?04 

10.3.2　討論　　306 

10.3.3　證明的概要　　308 

10.4　春天——形式系統(tǒng)P　　308 

10.4.1　基本符號(hào)　　308 

10.4.2　數(shù)項(xiàng)和符號(hào)　　310 

10.4.3　邏輯公式　　311 

10.4.4　公理　　312 

10.4.5　推理規(guī)則　　315 

10.5　午飯時(shí)間　　316 

10.5.1　元數(shù)學(xué)　　316 

10.5.2　用數(shù)學(xué)研究數(shù)學(xué)　　317 

10.5.3　蘇醒　　317 

10.6　夏天——哥德?tīng)枖?shù)　　319 

10.6.1　基本符號(hào)的哥德?tīng)枖?shù)　　319 

10.6.2　序列的哥德?tīng)枖?shù)　　320 

10.7　秋天——原始遞歸性　　323 

10.7.1　原始遞歸函數(shù)　　323 

10.7.2　原始遞歸函數(shù)（謂詞）的性質(zhì)　　326 

10.7.3　表現(xiàn)定理　　328 

10.8　冬天——通往可證明性的漫長(zhǎng)之旅　　331 

10.8.1　整理行裝　　331 

10.8.2　數(shù)論　　332 

10.8.3　序列　　334 

10.8.4　變量·符號(hào)·邏輯公式　　336 

10.8.5　公理、定理、形式證明　　346 

10.9　新春——不可判定語(yǔ)句　　350 

10.9.1　“季節(jié)”的確認(rèn)　　350 

10.9.2　種子——從含義的世界到形式的世界　　352 

10.9.3　綠芽——p 的定義　　354 

10.9.4　枝杈——r 的定義　　355 

10.9.5　葉子——從A1往下走　　356 

10.9.6　蓓蕾——從B1開(kāi)始往下走　　357 

10.9.7　不可判定語(yǔ)句的定義　　357 

10.9.8　梅花——?IsProvable(g)　　358 

10.9.9　桃花——?IsProvable(not(g)) 的證明　　360 

10.9.10　櫻花——證明形式系統(tǒng)P是不完備的　　362 

10.10　不完備定理的意義　　364 

10.10.1　“'我'是無(wú)法證明的”　　364 

10.10.2　第二不完備定理的證明之概要　　368 

10.10.3　不完備定理衍生的產(chǎn)物　　371 

10.10.4　數(shù)學(xué)的界限？　　372 

10.11　帶上夢(mèng)想　　374 

10.11.1　并非結(jié)束　　374 

10.11.2　屬于我　　375 

尾　聲　　379 

后　記　　383 

參考文獻(xiàn)和導(dǎo)讀　　387