游戲遇見數(shù)學：趣味與理性的微妙關(guān)系

第1部分數(shù)學游戲與抽象游戲 / 1

引言 / 1

生活中的謎題 / 7

第1章數(shù)學游戲：從歐拉到盧卡斯 / 11

歐拉與柯尼斯堡的橋 / 11

歐拉與馬的游歷問題 / 15

盧卡斯與數(shù)學游戲 / 20

盧卡斯單人對策游戲的數(shù)學計算 / 23

第2章四則抽象游戲 / 26

從杜德尼趣題到戈洛姆游戲 / 28

九子棋 / 30

六邊形棋 / 32

國際象棋 / 36

圍棋 / 42

第3章數(shù)學與游戲：神秘的聯(lián)系 / 48

游戲和數(shù)學的分析都可以在大腦中進行…… / 49

你能“預見”嗎？ / 51

一種新型對象 / 52

它們是抽象的 / 56

它們很難 / 57

規(guī)則 / 59

規(guī)則限定下的隱藏結(jié)構(gòu) / 60

論證與證明 / 61

確定性、謬誤與真理 / 63

玩家也會犯錯 / 65

推理、想象力和直覺 / 66

類比的力量 / 67

簡單、優(yōu)雅和美 / 68

一起探索科學與游戲 / 69

第4章為何國際象棋不是數(shù)學 / 70

競爭 / 70

問東問西 / 73

數(shù)學與游戲式數(shù)學 / 75

改變解題的觀念 / 76

創(chuàng)造新概念與新對象 / 77

遞增的抽象性 / 78

尋找共同結(jié)構(gòu) / 79

數(shù)學與科學的互動 / 80

第5章證明與查證 / 81

數(shù)學休閑游戲的局限性 / 82

抽象游戲與答案驗證 / 83

如何“證明”11是素數(shù)？ / 84

“5是素數(shù)”，這是巧合嗎？ / 85

證明vs.驗證 / 86

結(jié)構(gòu)、模式與表現(xiàn)形式 / 87

任意性與不可控性 / 88

邊界附近 / 90

第2部分數(shù)學：游戲化的、科學的和感性的 / 95

引言 / 95

第6章游戲化的數(shù)學 / 98

引言 / 98

技巧和策略 / 100

立方和與其內(nèi)在關(guān)聯(lián) / 103

歐拉的巨作 / 106

第7章歐幾里得與其幾何游戲規(guī)則 / 110

賽瓦定理 / 114

西蒙線 / 116

拋物線及其幾何特性 / 117

丹德林球面 / 120

第8章新概念與新對象 / 122

創(chuàng)造“新對象” / 124

它是存在的嗎？ / 126

不得不這么做 / 127

無窮與無窮級數(shù) / 128

微積分與切線概念 / 131

拋物線的形狀是什么？ / 134

第9章收斂級數(shù)與發(fā)散級數(shù) / 137

先驅(qū)者 / 137

調(diào)和級數(shù)發(fā)散 / 140

奇異的對象和神秘的情景 / 142

發(fā)散級數(shù)的實際用途 / 145

第10章數(shù)學的游戲化 / 146

歐拉與多面體 / 147

群論的發(fā)明——發(fā)現(xiàn) / 150

阿蒂亞麥克萊恩之爭 / 153

數(shù)學與幾何 / 155

第11章作為一門科學的數(shù)學 / 156

引言 / 156

三角幾何：三角形的歐拉線 / 158

現(xiàn)代三角幾何學 / 161

七圓定理與其他新的定理 / 165

第12章數(shù)字與數(shù)列 / 167

平方和 / 168

簡單問題，容易答案 / 170

素數(shù) / 171

素數(shù)對 / 173

猜想的局限性 / 174

波利亞猜想及其駁斥 / 176

數(shù)學實驗的局限性 / 177

證明vs.直覺 / 181

第13章計算機與數(shù)學 / 184

霍夫施塔德的“好問題” / 186

計算機與數(shù)學證明 / 188

計算機與“證明” / 190

結(jié)語：公式復公式 / 192

第14章數(shù)學與科學 / 193

科學家的抽象 / 193

數(shù)學先于科學與技術(shù) / 194

數(shù)學在科學中的成功應用 / 196

科學家如何應用數(shù)學？ / 198

純數(shù)學與應用數(shù)學中的方法和技巧 / 200

積分：求曲線下面積 / 202

擺線 / 206

科學激勵著數(shù)學的發(fā)展 / 210

第15章最短路徑：優(yōu)美的簡潔性 / 213

似曾相識的智力題 / 213

赫倫定理的發(fā)展 / 217

極值問題 / 219

帕普斯與蜂巢 / 220

第16章基石：感知、想象和洞察 / 221

阿基米德引理與用“看”來證明 / 223

通過剖分進行證明的中國人 / 224

拿破侖定理 / 226

多角數(shù) / 229

分拆問題 / 233

（再談）發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)？ / 236

第17章結(jié)構(gòu) / 237

畢達哥拉斯定理 / 239

歐幾里得坐標幾何學 / 244

中點問題 / 247

撓四邊形 / 249

第18章隱藏結(jié)構(gòu)，共同結(jié)構(gòu) / 252

素數(shù)與幸運數(shù) / 252

面紗背后的數(shù)學對象 / 254

證明一致性 / 257

結(jié)構(gòu)變換，視角轉(zhuǎn)換 / 259

第19章數(shù)學與美 / 263

哈代論數(shù)學和國際象棋 / 265

經(jīng)驗與期望 / 267

國際象棋和數(shù)學：美與才華 / 268

美、類比與結(jié)構(gòu) / 269

感知中的美和個體差異 / 271

“博大派”vs.“精深派” / 273

美，形式與理解 / 275

第20章起源：日常生活中的形式 / 277

游戲的心理學意義 / 280

形式性的起和落 / 283

宗教儀式、游戲與數(shù)學 / 284

形式性與數(shù)學 / 286

隱藏的數(shù)學 / 288

風格與文化，以及數(shù)學風格 / 290

系統(tǒng)精神vs.問題解決 / 292

視覺vs.語言：幾何vs.代數(shù) / 294

女性、游戲與數(shù)學 / 296

數(shù)學與抽象游戲：內(nèi)在的緊密聯(lián)系 / 298