高等數(shù)學(xué)深化訓(xùn)練與大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽教程

目 錄

第1章 函數(shù)1
1.1 知識(shí)要點(diǎn)1
1.1.1 函數(shù)1
1.1.2 常用不等式1
1.1.3 反函數(shù)2
1.1.4 復(fù)合函數(shù)2
1.1.5 關(guān)于函數(shù)表達(dá)式的求解2
1.1.6 一些常用的三角公式2
1.1.7 一些常用的代數(shù)公式3
1.2 典型例題分析4
1.2.1 題型一、函數(shù)表達(dá)式的求解與證明4
1.2.2 題型二、復(fù)合函數(shù)問題6
1.2.3 題型三、函數(shù)的四種幾何特性7
1.3 深化訓(xùn)練9
1.4 深化訓(xùn)練詳解10
第2章 極限與連續(xù)12
2.1 知識(shí)要點(diǎn)12
2.1.1 極限的概念與性質(zhì)12
2.1.2 無窮小量與無窮大量13
2.1.3 四個(gè)極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限14
2.1.4 幾個(gè)重要的結(jié)論15
2.1.5 施篤茲（O.Stolz）定理15
2.1.6 柯西（Cauchy）定理15
2.1.7 關(guān)于函數(shù)的連續(xù)性16
2.1.8 求極限的常用方法16
2.2 典型例題分析16
2.2.1 題型一、利用極限的分析定義求極限16
2.2.2 題型二、利用初等變換方法求極限18
2.2.3 題型三、利用四個(gè)極限存在準(zhǔn)則求極限19
2.2.4 題型四、利用施篤茲定理求極限22
2.2.5 題型五、利用兩個(gè)重要極限求極限23
2.2.6 題型六、利用等價(jià)無窮小量替換求極限24
2.2.7 題型七、利用中值定理求極限25
2.2.8 題型八、利用定積分的定義求極限28
2.2.9 題型九、函數(shù)的連續(xù)性問題29
2.2.10 題型十、連續(xù)函數(shù)的等式證明問題32
2.3 深化訓(xùn)練33
2.4 深化訓(xùn)練詳解36
第3章 導(dǎo)數(shù)與微分44
3.1 知識(shí)要點(diǎn)44
3.1.1 導(dǎo)數(shù)的概念44
3.1.2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義44
3.1.3 高階導(dǎo)數(shù)45
3.1.4 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則45
3.1.5 反函數(shù)求導(dǎo)法則45
*3.1.6 參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)46
3.1.7 幾個(gè)重要的結(jié)論46
3.1.8 達(dá)布（Darboux）定理46
3.2 典型例題分析46
3.2.1 題型一、導(dǎo)數(shù)的定義問題46
3.2.2 題型二、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問題48
3.2.3 題型三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義49
3.2.4 題型四、利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限50
3.2.5 題型五、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題51
3.2.6 題型六、高階導(dǎo)數(shù)問題51
3.2.7 題型七、隱函數(shù)的求導(dǎo)問題54
3.2.8 題型八、導(dǎo)數(shù)的等式證明問題54
3.2.9 題型九、導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性問題55
*3.2.10 題型十、導(dǎo)數(shù)的參數(shù)方程問題56
3.2.11 題型十一、導(dǎo)數(shù)的綜合問題57
3.3 深化訓(xùn)練58
3.4 深化訓(xùn)練詳解60
第4章 微分中值定理64
4.1 知識(shí)要點(diǎn)64
4.1.1 中值定理64
4.1.2 一些常用的麥克勞林公式65
4.1.3 一些常用的結(jié)論或公式66
4.2 典型例題分析66
4.2.1 題型一、利用中值定理證明等式問題66
4.2.2 題型二、利用中值定理證明不等式問題69
4.2.3 題型三、利用中值定理證明恒等式73
4.2.4 題型四、函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根的問題74
4.2.5 題型五、利用泰勒公式求極限75
4.2.6 題型六、利用泰勒公式證明等式80
4.2.7 題型七、利用泰勒公式證明不等式80
4.2.8 題型八、泰勒公式的其他應(yīng)用82
4.3 深化訓(xùn)練82
4.4 深化訓(xùn)練詳解84
第5章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用89
5.1 知識(shí)要點(diǎn)89
5.1.1 洛必達(dá)法則89
5.1.2 函數(shù)的單調(diào)性89
5.1.3 函數(shù)的極值與最值89
5.1.4 曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)89
5.1.5 曲線的漸近線90
5.1.6 函數(shù)圖形的描繪90
*5.1.7 曲率、曲率圓與曲率半徑90
5.2 典型例題分析91
5.2.1 題型一、洛必達(dá)法則的應(yīng)用91
5.2.2 題型二、利用單調(diào)性或極值證明不等式94
5.2.3 題型三、函數(shù)的極值問題96
5.2.4 題型四、函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根的問題99
5.2.5 題型五、凹凸性問題100
5.2.6 題型六、漸近線問題100
5.2.7 題型七、函數(shù)圖形的描繪102
5.2.8 題型八、方程的近似解102
*5.2.9 題型九、曲率問題103
5.3 深化訓(xùn)練104
5.4 深化訓(xùn)練詳解105
第6章 不定積分113
6.1 知識(shí)要點(diǎn)113
6.1.1 不定積分的定義與性質(zhì)113
6.1.2 換元積分法113
6.1.3 分部積分法114
6.1.4 有理函數(shù)的積分法114
6.1.5 三角函數(shù)有理式的積分法114
6.1.6 簡單無理函數(shù)的積分法115
6.1.7 常用積分公式表115
6.2 典型例題分析116
6.2.1 題型一、利用換元法、分部積分法求解不定積分116
6.2.2 題型二、利用等式求解不定積分120
6.2.3 題型三、利用三角替換方法求解不定積分121
6.2.4 題型四、求解三角有理函數(shù)的不定積分123
6.2.5 題型五、遞推公式問題124
6.2.6 題型六、分段函數(shù)問題125
6.2.7 題型七、隱函數(shù)的積分126
6.3 深化訓(xùn)練126
6.4 深化訓(xùn)練詳解128
第7章 定積分134
7.1 知識(shí)要點(diǎn)134
7.1.1 定積分的概念134
7.1.2 定積分的基本性質(zhì)135
7.1.3 積分中值定理135
7.1.4 變上限積分函數(shù)136
7.1.5 定積分的計(jì)算136
7.1.6 反常積分（或廣義積分）136
7.1.7 函數(shù)137
7.1.8 定積分的應(yīng)用137
7.1.9 幾個(gè)重要的結(jié)論139
7.2 典型例題分析140
7.2.1 題型一、定積分的求解140
7.2.2 題型二、 變限積分問題141
7.2.3 題型三、積分不等式問題142
7.2.4 題型四、積分等式問題146
7.2.5 題型五、反常積分問題148
7.2.6 題型六、積分的應(yīng)用問題149
7.2.7 題型七、定積分的其他問題153
7.3 深化訓(xùn)練156
7.4 深化訓(xùn)練詳解158
第8章 多元函數(shù)微分學(xué)166
8.1 知識(shí)要點(diǎn)166
8.1.1 二元函數(shù)的極限與連續(xù)性166
8.1.2 偏導(dǎo)數(shù)166
8.1.3 高階偏導(dǎo)數(shù)167
8.1.4 全微分168
*8.1.5 方向?qū)?shù)與梯度168
8.1.6 多元復(fù)合函數(shù)微分法169
8.1.7 隱函數(shù)微分法169
8.1.8 多元函數(shù)的極值169
8.1.9 條件極值與拉格朗日乘數(shù)法170
8.1.10 多元函數(shù)的最值170
8.2 典型例題分析170
8.2.1 題型一、多元函數(shù)的極限與連續(xù)問題170
8.2.2 題型二、偏導(dǎo)數(shù)的概念問題172
8.2.3 題型三、多元函數(shù)的全微分問題174
*8.2.4 題型四、多元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度的求解176
8.2.5 題型五、多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)與隱函數(shù)求導(dǎo)問題177
8.2.6 題型六、多元函數(shù)的極值和最值問題183
8.2.7 題型七、多元函數(shù)微分學(xué)的綜合問題185
8.3 深化訓(xùn)練187
8.4 深化訓(xùn)練詳解189
第9章 多元函數(shù)積分學(xué)192
9.1 知識(shí)要點(diǎn)192
9.1.1 二重積分的概念192
9.1.2 二重積分的性質(zhì)192
9.1.3 直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算193
9.1.4 極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算193
9.1.5 二重積分的對(duì)稱性原理194
*9.1.6 二重積分的換元公式194
*9.1.7 三重積分的概念195
*9.1.8 三重積分的計(jì)算195
*9.1.9 三重積分的換元法196
*9.1.10 三重積分的對(duì)稱性原理196
9.2 典型例題分析197
9.2.1 題型一、二重積分的概念與性質(zhì)問題197
9.2.2 題型二、二重積分的基本計(jì)算方法198
9.2.3 題型三、分段函數(shù)的二重積分200
9.2.4 題型四、利用對(duì)稱性原理計(jì)算二重積分201
9.2.5 題型五、二重積分的換元積分法205
9.2.6 題型六、二重積分的應(yīng)用問題206
9.2.7 題型七、二重積分的相關(guān)證明207
9.2.8 題型七、二重積分的綜合問題209
*9.2.9 題型八、三重積分的性質(zhì)與計(jì)算214
9.3 深化訓(xùn)練218
9.4 深化訓(xùn)練詳解220
第10章 常微分方程224
10.1 知識(shí)要點(diǎn)224
10.1.1 微分方程的基本概念224
10.1.2 一階微分方程的解法224
10.1.3 可降階的二階微分方程225
10.1.4 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)226
10.1.5 二階常系數(shù)線性微分方程的解法226
*10.1.6 高階線性微分方程227
*10.1.7 歐拉方程227
10.2 典型例題分析228
10.2.1 題型一、可分離變量微分方程與齊次微分方程的求解228
10.2.2 題型二、一階線性微分方程與伯努利方程的解法229
10.2.3 題型三、全微分方程的解法231
10.2.4 題型四、可降階的二階微分方程的解法232
10.2.5 題型五、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)233
10.2.6 題型六、二階常系數(shù)線性微分方程的解法234
10.2.7 題型七、微分方程的綜合問題237
*10.2.8 題型八、微分方程建模問題242
10.3 深化訓(xùn)練245
10.4 深化訓(xùn)練詳解247
第11章 無窮級(jí)數(shù)252
11.1 知識(shí)要點(diǎn)252
11.1.1 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義與性質(zhì)252
11.1.2 級(jí)數(shù)斂散性的判別253
11.1.3 三個(gè)重要的級(jí)數(shù)254
11.1.4 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念254
11.1.5 冪級(jí)數(shù)的有關(guān)概念255
11.1.6 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)255
11.1.7 初等函數(shù)展開成xx0的冪級(jí)數(shù)256
*11.1.8 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及性質(zhì)256
*11.1.9 傅里葉級(jí)數(shù)257
11.2 典型例題分析259
11.2.1 題型一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判定259
11.2.2 題型二、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判定265
11.2.3 題型三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域的求解268
11.2.4 題型四、級(jí)數(shù)收斂充要條件的應(yīng)用269
11.2.5 題型五、求解數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和273
11.2.6 題型六、冪級(jí)數(shù)收斂半徑及收斂域的求解276
11.2.7 題型七、求解冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)278
11.2.8 題型八、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開283
*11.2.9 題型九、傅里葉級(jí)數(shù)的相關(guān)問題286
11.2.10 題型十、無窮級(jí)數(shù)的應(yīng)用問題287
11.3 深化訓(xùn)練288
11.4 深化訓(xùn)練詳解291
*第12章 空間解析幾何與向量代數(shù)302
12.1 知識(shí)要點(diǎn)302
12.1.1 向量的概念及線性運(yùn)算302
12.1.2 平面方程及其相關(guān)概念303
12.1.3 直線及其表示303
12.1.4 曲面及其表示304
12.1.5 空間曲線304
12.2 典型例題分析305
12.2.1 題型一、向量的運(yùn)算問題305
12.2.2 題型二