第1篇 高 等 數(shù) 學(xué)
1.1 函數(shù)、極限、連續(xù)
1.1.1 求幾類與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的函數(shù)表示式
題型1.1.1.1 已知f(x)和φ(x),求f［φ(x)］或φ［f(x)］
題型1.1.1.2 求分段點(diǎn)相同的兩分段函數(shù)的復(fù)合函數(shù)
題型1.1.1.3 已知f(x),f［φ(x)］,求φ(x)
題型1.1.1.4 已知φ(x)和f［φ(x)］，求f(x)
1.1.2 函數(shù)的奇偶性
題型1.1.2.1 判別（證明）函數(shù)的奇偶性
題型1.1.2.2 奇、偶函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
1.1.3 討論函數(shù)的有界性和周期性
題型1.1.3.1 判定有限開區(qū)間內(nèi)連續(xù)函數(shù)的有界性
題型1.1.3.2 判定無窮區(qū)間內(nèi)連續(xù)函數(shù)的有界性
題型1.1.3.3 討論函數(shù)的周期性
1.1.4 理解極限概念
題型1.1.4.1 正確理解極限定義中的“ε、N”，“ε、δ”，“ε、X”語言的含義
題型1.1.4.2 正確區(qū)別無窮大量與無界變量
1.1.5 求未定式極限
題型1.1.5.1 求0/0型或∞/∞型極限
題型1.1.5.2 求0?∞型極限
題型1.1.5.3 求∞--∞型極限
題型1.1.5.4 求冪指函數(shù)（00型，∞0型,1∞型)極限
1.1.6 求數(shù)列極限
題型1.1.6.1 求數(shù)列通項(xiàng)為n項(xiàng)和的極限
題型1.1.6.2 求由遞推關(guān)系式給出的數(shù)列極限
1.1.7 求幾類特殊子函數(shù)形式的函數(shù)極限
題型1.1.7.1 求須先考察左、右極限的函數(shù)極限
題型1.1.7.2 含根式差的函數(shù)極限
題型1.1.7.3 求含或可化為含指數(shù)函數(shù)差的函數(shù)極限
題型1.1.7.4 求含lnf(x)的函數(shù)極限，其中l(wèi)imx→□f(x)=1
題型1.1.7.5 求含有界變量因子的函數(shù)極限
1.1.8 求含參變量的函數(shù)極限limn→∞φ(n,x)
題型1.1.8.1 求limn→∞φ(n,x),其中φ(n,x)為或可化為F(x)g(n)指數(shù)函數(shù)型
題型1.1.8.2 求limn→∞φ(n,x),其中φ(n,x)為或可化為g(n)F(x)冪函數(shù)型
題型1.1.8.3 求limt→t0φ(t,x)，其中φ(t,x)可化為g(n)F(x)型或F(x)g(t)型
題型1.1.8.求limn→∞φ(n,x)或limt→t0φ(t,x)，其中φ(n,x)=F(n,x)g(x,n)或φ（t,x)=F(t,x)g(t,x)
1.1.9 已知一極限求其待定常數(shù)或含未知函數(shù)的另一極限
題型1.1.9.1 由含未知函數(shù)的一(些)極限，求含該函數(shù)的另一極限
題型1.1.9.2 已知極限式的極限，求其待定常數(shù)
1.1.10 比較和確定無窮小量的階
題型1.1.10.1 比較無窮小量的階
題型1.1.10.2 確定無窮小量為幾階無窮小量
1.1.11 討論函數(shù)的連續(xù)性及間斷點(diǎn)的類型
題型1.1.11.1 判別函數(shù)的連續(xù)性
題型1.1.11.2 討論分段函數(shù)的連續(xù)性
題型1.1.11.3 判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型
1.1.12 連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的兩點(diǎn)應(yīng)用
題型1.1.12.1 證明存在ξ∈［a,b］，使含ξ的等式成立
題型1.1.12.2 證明方程實(shí)根的存在性
習(xí)題1.1
1.2 一元函數(shù)微分學(xué)
1.2.1 導(dǎo)數(shù)定義的三點(diǎn)應(yīng)用
題型1.2.1.1 判斷函數(shù)在某點(diǎn)的可導(dǎo)性
題型1.2.1.2 利用導(dǎo)數(shù)定義求某些函數(shù)的極限
題型1.2.1.3 利用導(dǎo)數(shù)定義討論函數(shù)性質(zhì)
1.2.2 討論分段函數(shù)的可導(dǎo)性及其導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性
題型1.2.2.1 討論分段函數(shù)的可導(dǎo)性
題型1.2.2.2 討論分段函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性
題型1.2.2.3 討論一類特殊分段函數(shù)在其分段點(diǎn)的連續(xù)性、可導(dǎo)性及其導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性
1.2.3 討論含絕對值函數(shù)的可導(dǎo)性
題型1.2.3.1 討論絕對值函數(shù)|f(x)|的可導(dǎo)性
題型1.2.3.2 討論函數(shù)f(x)=|φ(x)|g(x)的可導(dǎo)性
1.2.4 求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分
題型1.2.4.1 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
題型1.2.4.2 求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
題型1.2.4.3 求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
題型1.2.4.4 求分段函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)
題型1.2.4.5 求冪指函數(shù)及含多個(gè)因子連乘積的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
題型1.2.4.6 求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
題型1.2.4.7 求某些簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)
題型1.2.4.8 求一元函數(shù)的微分
1.2.5 利用函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性確定其待定常數(shù)
題型1.2.5.1 利用函數(shù)的連續(xù)性確定其待定常數(shù)
題型1.2.5.2 根據(jù)函數(shù)的可導(dǎo)性確定其待定常數(shù)
1.2.6 利用微分中值定理的條件及其結(jié)論解題
1.2.7 利用羅爾定理證明中值等式
題型1.2.7.1 證明中值等式f′(ξ)=0或f″(ξ)=0
題型1.2.7.2 證明存在ξ∈(a,b)，使cf′(ξ)=bg′(ξ)，其中c,b為常數(shù)
題型1.2.7.3 證明存在ξ∈(a,b)，使
題型1.2.7.4 證明存在ξ∈(a,b)，使f(ξ)g′(ξ)+f′(ξ)g(ξ)=0
題型1.2.7.5 證明存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ)g(ξ)-f(ξ)g′(ξ)=0 (g(ξ)≠0)
題型1.2.7.6 證明存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ)+g′(ξ)f(ξ)=0
題型1.2.7.7 證明存在ξ∈(a,b)，使nf(ξ)+ξf′(ξ)=0(n為正整數(shù))
題型1.2.7.8證明存在ξ∈(a,b)，使f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ)，即f(ξ)g″(ξ)-f″(ξ)g(ξ)=0
題型1.2.7.9 證明存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ)+g′(ξ)［f(ξ)-bξ］=b
題型1.2.7.10 證明與定積分有關(guān)的中值等式
1.2.8 拉格朗日中值定理的應(yīng)用
題型1.2.8.1 證明與函數(shù)改變量(增量)有關(guān)的中值（不）等式
題型1.2.8.2 證明函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
題型1.2.8.3 求解與函數(shù)差值有關(guān)的問題
題型1.2.8.4 證明多個(gè)中值所滿足的中值等式
題型1.2.8.5 求中值的極限位置
1.2.9 利用柯西中值定理證明中值等式
題型1.2.9.1 證明兩函數(shù)差值（增量）比的中值等式
題型1.2.9.2 證明兩函數(shù)導(dǎo)數(shù)比的中值等式
1.2.10 泰勒定理的兩點(diǎn)應(yīng)用
題型1.2.10.1 證明與高階導(dǎo)數(shù)有關(guān)的中值（不）等式
題型1.2.10.2 計(jì)算按常規(guī)方法不好求的未定式極限
1.2.11 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
題型1.2.11.1 證明函數(shù)不等式
題型1.2.11.2 證明數(shù)值不等式
1.2.12 討論函數(shù)的性態(tài)
題型1.2.12.1 證明函數(shù)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)
題型1.2.12.2 證明(判別)函數(shù)的單調(diào)性
題型1.2.12.3 討論函數(shù)是否取得極值
題型1.2.12.4 利用二階微分方程討論函數(shù)是否取極值，其曲線是否有拐點(diǎn)
題型1.2.12.5 求曲線凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)
題型1.2.12.6 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值
題型1.2.12.7 求曲線的漸近線
1.2.13 利用函數(shù)性態(tài)討論方程的根
題型1.2.13.1 討論不含參數(shù)的方程實(shí)根的存在性及其個(gè)數(shù)
題型1.2.13.2 討論含參數(shù)的方程實(shí)根的存在性及其個(gè)數(shù)
1.2.14 函數(shù)性態(tài)與函數(shù)圖形
題型1.2.14.1 利用函數(shù)性態(tài)作函數(shù)圖形
題型1.2.14.2 利用函數(shù)的圖形，確定其導(dǎo)函數(shù)的圖形
題型1.2.14.3 利用導(dǎo)函數(shù)的圖形，確定原來函數(shù)的性態(tài)
1.2.15 一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用
題型1.2.15.1 求平面曲線的切線方程和法線方程
題型1.2.15.2 求解與切線在坐標(biāo)軸上的截距有關(guān)的問題
題型1.2.15.3 求解與兩曲線相切的有關(guān)問題
題型1.2.15.4 求解與平面曲線的曲率有關(guān)的問題
習(xí)題1.2
1.3 一元函數(shù)積分學(xué)
1.3.1 原函數(shù)與不定積分的關(guān)系
題型1.3.1.1 原函數(shù)的概念及其判定
題型1.3.1.2 求分段函數(shù)的原函數(shù)或不定積分
題型1.3.1.3 利用積分運(yùn)算與微分運(yùn)算的互逆關(guān)系求解與原函數(shù)有關(guān)的問題
1.3.2 各類被積函數(shù)不定積分的算法
題型1.3.2.1 求被積函數(shù)為f(x)/g(x)的不定積分,其中f(x)=g′(x)或f′(x)=1/g(x)
題型1.3.2.2 計(jì)算被積表達(dá)式中出現(xiàn)或可化為f(φ(x))和φ′(x)dx乘積的不定積分
題型1.3.2.3 計(jì)算被積函數(shù)僅為一類函數(shù)或?yàn)閮深惒煌瘮?shù)乘積的不定積分
題型1.3.2.4 計(jì)算簡單無理函數(shù)的不定積分
題型1.3.2.5 求∫1(ax+b)kf1(ax+b)k-1dx，其中k≠1為正實(shí)數(shù)
題型1.3.2.6 求被積函數(shù)的分母為或可化為相差常數(shù)的兩函數(shù)乘積的積分
題型1.3.2.7 求三角函數(shù)的不定積分
題型1.3.2.8 求被積函數(shù)含復(fù)合對數(shù)函數(shù)或復(fù)合反三角函數(shù)為因子函數(shù)的積分
題型1.3.2.9 有理分式函數(shù)∫P(x)Q(x)dx(其中P(x),Q(x)為多項(xiàng)式)的積分算法
1.3.3 利用定積分性質(zhì)計(jì)算定積分
題型1.3.3.1 利用其幾何意義計(jì)算定積分
題型1.3.3.2 計(jì)算對稱區(qū)間上的定積分
題型1.3.3.3 計(jì)算周期函數(shù)的定積分
題型1.3.3.4 利用定積分的常用計(jì)算公式計(jì)算定積分
題型1.3.3.5 計(jì)算被積函數(shù)含函數(shù)導(dǎo)數(shù)的積分
題型1.3.3.6 比較和估計(jì)定積分的大小
題型1.3.3.7 求解含積分值為常數(shù)的函數(shù)方程
題型1.3.3.8 計(jì)算幾類須分子區(qū)間積分的定積分
題型1.3.3.9 計(jì)算含參數(shù)的定積分
題型1.3.3.10 計(jì)算需換元計(jì)算的定積分
題型1.3.3.11 求由定積分表示的變量極限
1.3.4 求解與變限積分有關(guān)的問題
題型1.3.4.1 計(jì)算含變限積分的極限
題型1.3.4.2 求變限積分的導(dǎo)數(shù)
題型1.3.4.3 求變限積分的定積分
題型1.3.4.4 討論變限積分函數(shù)的性態(tài)
1.3.5 證明定積分等式
題型1.3.5.1 證明定積分的變換公式
題型1.3.5.2 證明含定積分的中值等式
1.3.6 證明定積分不等式
題型1.3.6.1 證明積分限相等時(shí)不等式兩端成為零的積分不等式
題型1.3.6.2 證明∫baf(x)dx或∫baf(x)dx≤k(或≥k)，k為常數(shù)
題型1.3.6.3 證明題設(shè)中有二階導(dǎo)數(shù)大（或小）于等于零的定積分不等式
1.3.7 計(jì)算反常積分
題型1.3.7.1 計(jì)算無窮區(qū)間上的反常積分
題型1.3.7.2 判別無界函數(shù)的反常積分的斂散性，如收斂計(jì)算其值
題型1.3.7.3 判別混合型反常積分的斂散性，如收斂計(jì)算其值
1.3.8 定積分的應(yīng)用
題型1.3.8.1 已知曲線方程，求其所圍平面圖形的面積
題型1.3.8.2 已知曲線所圍平面圖形的面積(或其旋轉(zhuǎn)體體積)反求該曲線
題型1.3.8.3 計(jì)算平面曲線的弧長
題型1.3.8.4 計(jì)算平行截面面積已知的立體體積
題型1.3.8.5 求旋轉(zhuǎn)體體積
題型1.3.8.6 求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)(表)面積
題型1.3.8.7 求解幾何應(yīng)用與最值問題相結(jié)合的應(yīng)用題
題型1.3.8.8 計(jì)算變力所做的功
題型1.3.8.9 計(jì)算液體的側(cè)壓力
題型1.3.8.10 計(jì)算細(xì)桿對質(zhì)點(diǎn)的引力
題型1.3.8.11 計(jì)算函數(shù)在區(qū)間上的平均值
習(xí)題1.3
1.4 向量代數(shù)和空間解析幾何
1.4.1 向量代數(shù)及其簡單應(yīng)用
題型1.4.1.1 用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算
題型1.4.1.2 計(jì)算向量的數(shù)量積、向量積、混合積
題型1.4.1.3 利用向量運(yùn)算證明(確定)向量關(guān)系
1.4.2 求平面方程
題型1.4.2.1 求過已知點(diǎn)的平面方程
題型1.4.2.2 求過已知直線的平面方程
題型1.4.2.3 根據(jù)平面在坐標(biāo)軸上的相對位置求其方程
題型1.4.2.4 求過兩平面交線的平面方程
1.4.3 求直線方程
題型1.4.3.1 求過已知點(diǎn)的直線方程
題型1.4.3.2 求過已知點(diǎn)且與已知直線相交的直線方程
題型1.4.3.3 求與兩直線相交的直線方程
題型1.4.3.4 求直線在平面上的投影直線方程
1.4.4 討論直線與平面的位置關(guān)系
題型1.4.4.1 討論平面間的位置關(guān)系
題型1.4.4.2 討論直線與直線的位置關(guān)系
題型1.4.4.3 討論直線與平面的位置關(guān)系
1.4.5 求點(diǎn)到平面或到直線的距離
題型1.4.5.1 求點(diǎn)到平面的距離
題型1.4.5.2 求點(diǎn)到直線的距離
1.4.6 求二次曲面方程和空間曲線在坐標(biāo)面上的投影方程
題型1.4.6.1 求坐標(biāo)面上曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程
題型1.4.6.2 求空間曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面方程
題型1.4.6.3 求母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程
題型1.4.6.4 求空間曲線在坐標(biāo)面上的投影方程
1.4.7 求解空間解析幾何與線性代數(shù)、微積分相結(jié)合的綜合題
習(xí)題1.4
1.5 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用(156)
1.5.1 正確理解二元函數(shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)及可微之間的關(guān)系(156)
題型1.5.1.1 依定義判別二元函數(shù)在某點(diǎn)是否連續(xù)、可偏導(dǎo)及可微(156)
題型1.5.1.2 判別二元函數(shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微之間的關(guān)系(157)
1.5.2 計(jì)算多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分(158)
題型1.5.2.1利用隱函數(shù)存在定理確定隱函數(shù)(158)
題型1.5.2.2求抽象復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(158)
題型1.5.2.3計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(161)
題型1.5.2.4作變量代換將偏導(dǎo)數(shù)滿足的方程變形(163)
題型1.5.2.5求方向?qū)?shù)和梯度(164)
題型1.5.2.6求二元函數(shù)的全微分(165)
1.5.3多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用(166)
題型1.5.3.1已知空間曲線的參數(shù)方程，求其切線或法平面方程(166)
題型1.5.3.2已知空間曲線為兩曲面的交線，求其切線或法平面方程(167)
題型1.5.3.3已知空間曲面方程，求其切平面或法線方程(168)
題型1.5.3.4求二元函數(shù)的極值和最值(169)
題型1.5.3.5求二(多)元函數(shù)的條件極值(171)
習(xí)題1.5(172)
1.6多元函數(shù)積分學(xué)(174)
1.6.1利用區(qū)域的對稱性化簡多元函數(shù)的積分(174)
題型1.6.1.1計(jì)算積分區(qū)域具有對稱性，被積函數(shù)具有奇偶性的重積分(174)
題型1.6.1.2計(jì)算積分區(qū)域關(guān)于直線y=x對稱的二重積分(176)
題型1.6.1.3計(jì)算積分區(qū)域具有輪換對稱性的三重積分(176)
題型1.6.1.4計(jì)算積分曲線（面）具有對稱性的第一類曲線（面）積分(177)
題型1.6.1.5計(jì)算平面積分曲線關(guān)于y=x對稱的第一類曲線積分(178)
題型1.6.1.6計(jì)算空間積分曲線（曲面）具有輪換對稱性的第一類曲線（曲面）積分(178)
題型1.6.1.7計(jì)算積分曲線具有對稱性的第二類曲線積分(178)
題型1.6.1.8計(jì)算積分曲面具有對稱性的第二類曲面積分(180)
1.6.2交換積分次序及轉(zhuǎn)換二次積分(180)
題型1.6.2.1交換二次積分的積分次序(180)
題型1.6.2.2轉(zhuǎn)換二次積分(182)
1.6.3計(jì)算二重積分(183)
題型1.6.3.1計(jì)算被積函數(shù)分區(qū)域給出的二重積分(183)
題型1.6.3.2計(jì)算圓域或部分圓域上的二重積分(184)
1.6.4計(jì)算三重積分(185)
題型1.6.4.1計(jì)算積分區(qū)域的邊界方程均為一次的三重積分(185)
題型1.6.4.2計(jì)算積分區(qū)域?yàn)樾D(zhuǎn)體的三重積分(186)
題型1.6.4.3計(jì)算積分區(qū)域由球面或球面與錐面所圍成的三重積分(186)
題型1.6.4.4計(jì)算被積函數(shù)至少缺兩個(gè)變量的三重積分(187)
題型1.6.4.5計(jì)算易求出其截面區(qū)域上的二重積分的三重積分(188)
1.6.5計(jì)算曲線積分(189)
題型1.6.5.1計(jì)算第一類平面曲線積分(189)
題型1.6.5.2求解平面上與路徑無關(guān)的第二類曲線積分有關(guān)問題(190)
題型1.6.5.3計(jì)算平面上與路徑有關(guān)的第二類曲線積分(193)
題型1.6.5.4計(jì)算空間第二類曲線積分(195)
1.6.6計(jì)算曲面積分(196)
題型1.6.6.1計(jì)算第一類曲面積分(196)
題型1.6.6.2計(jì)算第二類曲面積分(199)
題型1.6.6.3已知第二類曲面積分的值，求被積式中的未知函數(shù)(205)
1.6.7多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用(206)
題型1.6.7.1計(jì)算空間曲線的弧長(206)
題型1.6.7.2求曲面面積(206)
題型1.6.7.3計(jì)算立體體積(207)
題型1.6.7.4求質(zhì)量、重心及轉(zhuǎn)動慣量(209)
題型1.6.7.5計(jì)算變力沿曲線所做的功(210)
題型1.6.7.6計(jì)算物體對質(zhì)點(diǎn)的引力(212)
題型1.6.7.7計(jì)算向量場的散度與流量(通量)(213)
題型1.6.7.8計(jì)算向量場的旋度與環(huán)流量(214)
習(xí)題1.6(215)
1.7級數(shù)(218)
1.7.1判別三類常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性(218)
題型1.7.1.1判別正項(xiàng)級數(shù)的斂散性(218)
題型1.7.1.2判別交錯級數(shù)的斂散性(222)
題型1.7.1.3判別任意項(xiàng)級數(shù)的斂散性(224)
1.7.2證明常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性(226)
題型1.7.2.1證明一般項(xiàng)為或可化為相鄰兩項(xiàng)代數(shù)和的級數(shù)的斂散性(226)
題型1.7.2.2已知一級數(shù)收斂，證明相關(guān)級數(shù)收斂(226)
題型1.7.2.3已知一般項(xiàng)有極限，證明該級數(shù)的斂散性(227)
題型1.7.2.4證明(判別)一般項(xiàng)為(含)定積分的級數(shù)的斂散性(227)
題型1.7.2.5證明一般項(xiàng)用遞推關(guān)系式給出的級數(shù)的斂散性(228)
題型1.7.2.6已知函數(shù)高階可導(dǎo)，證明由該函數(shù)值組成的級數(shù)的斂散性(228)
1.7.3冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法(229)
1.7.4求冪級數(shù)與數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和(231)
題型1.7.4.1求∑∞n=1P(n)xn的和函數(shù)，P(n)為n的多項(xiàng)式(231)
題型1.7.4.2求∑∞n=01Q(n)xn的和函數(shù)，Q(n)n的多項(xiàng)式(232)
題型1.7.4.3求含階乘因子的冪級數(shù)的和函數(shù)(234)
題型1.7.4.4求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和(236)
1.7.5將簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)(239)
題型1.7.5.1求反三角函數(shù)的冪級數(shù)展開式(239)
題型1.7.5.2將對數(shù)函數(shù)展成冪級數(shù)(239)
題型1.7.5.3將有理分式函數(shù)展成冪級數(shù)(240)
題型1.7.5.4將三角函數(shù)展成冪級數(shù)(240)
題型1.7.5.5利用冪級數(shù)展開式求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)(240)
1.7.6傅里葉級數(shù)(241)
題型1.7.6.1將周期函數(shù)展為傅里葉級數(shù)(241)
題型1.7.6.2求傅里葉系數(shù)(245)
題型1.7.6.3求傅里葉級數(shù)的和函數(shù)在某點(diǎn)的值(245)
習(xí)題1.7(246)
1.8常微分方程(248)
1.8.1求解一階線性微分方程(248)
題型1.8.1.1求解可分離變量的微分方程(248)
題型1.8.1.2求解齊次方程(249)
題型1.8.1.3求解一階線性方程(249)
題型1.8.1.4求解幾類可化為一階線性方程的方程(250)
題型1.8.1.5求解方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0(252)
題型1.8.1.6求解由變量的增量關(guān)系給出的一階方程(254)
題型1.8.1.7求滿足某種性質(zhì)的一階微分方程的特解(254)
1.8.2求解線性微分方程(255)
題型1.8.2.1利用線性微分方程解的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)求解有關(guān)問題(256)
題型1.8.2.2求解可降階的二階微分方程(256)
題型1.8.2.3求解高階常系數(shù)齊次線性方程(257)
題型1.8.2.4求解二階常系數(shù)非齊次線性方程(259)
題型1.8.2.5求解歐拉方程(262)
題型1.8.2.6求解含變限積分的方程(263)
題型1.8.2.7求解可化為一階線性微分的函數(shù)方程(263)
1.8.3已知特解反求其常系數(shù)線性方程(264)
題型1.8.3.1已知特解反求其齊次方程(264)
題型1.8.3.2已知特解反求其非齊次方程(264)
1.8.4用微分方程求解幾何和物理中的簡單應(yīng)用題(265)
習(xí)題1.8(269)
第2篇 線 性 代 數(shù)
2.1 計(jì)算行列式
2.1.1計(jì)算數(shù)字型行列式(272)
題型2.1.1.1計(jì)算非零元素主要在一條或兩條對角線上的行列式(272)
題型2.1.1.2計(jì)算非零元素在三條線上的行列式(273)
題型2.1.1.3計(jì)算行(列)和相等的行列式(274)
題型2.1.1.4計(jì)算范德蒙行列式(275)
題型2.1.1.5求代數(shù)余子式線性組合的值(276)
題型2.1.1.6計(jì)算n階可逆矩陣的所有代數(shù)余子式的和(277)
2.1.2計(jì)算抽象矩陣的行列式(277)
題型2.1.2.1求由行(列)向量表示的矩陣的行列式的值(278)
題型2.1.2.2計(jì)算與伴隨矩陣有關(guān)的矩陣行列式(278)
題型2.1.2.3計(jì)算含零子塊的四分塊矩陣的行列式(279)
題型2.1.2.4證明方陣的行列式等于零，或不等于零(279)
2.1.3克萊姆法則的應(yīng)用(280)
習(xí)題2.1(282)
2.2矩陣(283)
2.2.1證明矩陣的可逆性(283)
題型2.2.1.1已知一矩陣等式證明有關(guān)矩陣可逆,并求其逆矩陣(283)
題型2.2.1.2證明矩陣A可逆，且A-1=B(284)
題型2.2.1.3證明和(差)矩陣可逆(285)
題型2.2.1.4求矩陣的逆矩陣,該矩陣含一(些)矩陣的逆矩陣(285)
題型2.2.1.5證明方陣為不可逆矩陣(286)
2.2.2矩陣元素給定，求其逆矩陣的方法(286)
2.2.3求解與伴隨矩陣有關(guān)的問題(287)
題型2.2.3.1計(jì)算與伴隨矩陣有關(guān)的矩陣行列式(288)
題型2.2.3.2求與伴隨矩陣有關(guān)的矩陣的逆矩陣(289)
題型2.2.3.3求與伴隨矩陣有關(guān)的矩陣的秩(289)
題型2.2.3.4求伴隨矩陣(289)
2.2.4計(jì)算n階矩陣的高次冪(289)
題型2.2.4.1計(jì)算能分解為一列向量與一行向量相乘的矩陣的高次冪(289)
題型2.2.4.2計(jì)算能相似對角化的矩陣的高次冪(290)
題型2.2.4.3計(jì)算能分解為兩可交換矩陣之和的矩陣的高次冪(291)
題型2.2.4.4計(jì)算其平方等于原矩陣或單位矩陣倍數(shù)的矩陣高次冪(292)
2.2.5求矩陣的秩(293)
題型2.2.5.1求元素具體給定的矩陣的秩(293)
題型2.2.5.2求含抽象矩陣或含待定常數(shù)的矩陣的秩(293)
題型2.2.5.3已知矩陣的秩，求其待定常數(shù)(296)
2.2.6分塊矩陣乘法運(yùn)算的應(yīng)用舉例(296)
2.2.7求解矩陣方程(297)
題型2.2.7.1求解含單位矩陣加項(xiàng)的矩陣方程(298)
題型2.2.7.2求解只含一個(gè)未知矩陣的矩陣方程(299)
題型2.2.7.3求解含多個(gè)未知矩陣的矩陣方程(300)
題型2.2.7.4求與已知矩陣可交換的所有矩陣(303)
題型2.2.7.5已知一矩陣方程，求方程中某矩陣的行列式(303)
2.2.8初等變換與初等矩陣的關(guān)系的應(yīng)用(303)
題型2.2.8.1用初等矩陣表示相應(yīng)的初等變換(303)
題型2.2.8.2利用初等矩陣的逆矩陣的性質(zhì)計(jì)算矩陣(304)
習(xí)題2.2(305)
2.3向量(307)
2.3.1判別向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)(307)
題型2.3.1.1用線性相關(guān)性定義做選擇題、填空題(307)
題型2.3.1.2判別分量已知的向量組的線性相關(guān)性(308)
題型2.3.1.3證明幾類向量組的線性相關(guān)性(309)
題型2.3.1.4已知向量組的線性相關(guān)性，求其待定常數(shù)(313)
2.3.2判定向量能否由向量組線性表示(314)
題型2.3.2.1判定分量已知的向量能否由向量組線性表示(314)
題型2.3.2.2判斷一抽象向量能否由向量組線性表示(315)
題型2.3.2.3判別一向量組能否由另一向量組線性表示(316)
2.3.3兩向量組等價(jià)的判別方法及常用證法(316)
2.3.4向量組的秩與極大線性無關(guān)組(319)
題型2.3.4.1求分量給出的向量組的秩及其極大線性無關(guān)組(319)
題型2.3.4.2將向量用極大線性無關(guān)組線性表示(320)
題型2.3.4.3證明抽象向量組的秩有關(guān)問題(321)
題型2.3.4.4證某向量組為一極大無關(guān)組(322)
2.3.5向量空間(323)
題型2.3.5.1求解空間的基、標(biāo)準(zhǔn)正交基(規(guī)范正交基)(323)
題型2.3.5.2求過渡矩陣(325)
題型2.3.5.3求向量在某組基下的坐標(biāo)(326)
習(xí)題2.3(328)
2.4線性方程組(329)
2.4.1判定線性方程組解的情況(329)
題型2.4.1.1判定齊次線性方程組解的情況(329)
題型2.4.1.2判定非齊次線性方程組解的情況(331)
2.4.2由其解反求方程組或其參數(shù)(332)
題型2.4.2.1已知AX=0的解的情況，反求A中參數(shù)(333)
題型2.4.2.2已知AX=b的解的情況，反求方程組中參數(shù)(333)
題型2.4.2.3已知其基礎(chǔ)解系，求該方程組的系數(shù)矩陣(334)
2.4.3證明一組向量為基礎(chǔ)解系(335)
2.4.4基礎(chǔ)解系和特解的簡便求法(336)
2.4.5求解含參數(shù)的線性方程組(337)
題型2.4.5.1求解方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等的含參數(shù)的線性方程組(338)
題型2.4.5.2求解方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)不等的含參數(shù)的線性方程組(338)
題型2.4.5.3求解參數(shù)僅出現(xiàn)在常數(shù)項(xiàng)的線性方程組(339)
題型2.4.5.4求含參數(shù)的方程組滿足一定條件的通解(340)
2.4.6求抽象線性方程組的通解(340)
題型2.4.6.1A沒有具體給出，求AX=0的通解(340)
題型2.4.6.2已知AX=b的特解，求其通解(341)
題型2.4.6.3利用線性方程組的向量形式求(證明)其解(343)
2.4.7求兩線性方程組的非零公共解(344)
題型2.4.7.1求兩齊次線性方程組的非零公共解(344)
題型2.4.7.2證明兩齊次線性方程組有非零公共解(346)
題型2.4.7.3討論兩方程組同解的有關(guān)問題(346)
習(xí)題2.4(348)
2.5矩陣的特征值、特征向量(351)
2.5.1求矩陣的特征值、特征向量(351)
題型2.5.1.1求元素給出的矩陣的特征值、特征向量(351)
題型2.5.1.2證明(判別)抽象矩陣的特征值、特征向量(352)
2.5.2由特征值和(或)特征向量反求其矩陣(354)
題型2.5.2.1由特征值和(或)特征向量反求矩陣的待定常數(shù)(354)
題型2.5.2.2已知特征值、特征向量，反求其矩陣(355)
題型2.5.2.3計(jì)算Anβ,其中β為列向量,A為方陣(357)
2.5.3求相關(guān)聯(lián)矩陣的特征值、特征向量(357)
2.5.4判別同階方陣是否相似(359)
題型2.5.4.1判別或證明方陣是否可對角化(359)
題型2.5.4.2判別兩同階方陣是否相似(361)
2.5.5相似矩陣性質(zhì)的簡單應(yīng)用(362)
2.5.6與兩矩陣相似有關(guān)的計(jì)算(362)
題型2.5.6.1矩陣A可相似對角化，求A中待定常數(shù)及可逆矩陣P，使P-1AP=diag(λ1,λ2,…，λn),其中λ1,λ2,…,λn為A的特征值
題型2.5.6.2A為實(shí)對稱矩陣，求A中待定常數(shù)及正交矩陣Q，使Q-1AQ=QTAQ=diag(λ1,λ2,…，λn)，其中λ1，λ2，…，λn為A的特征值
題型2.5.6.3A為實(shí)對稱矩陣，求與其相似的對角矩陣Λ
題型2.5.6.4已知矩陣A和可逆矩陣P滿足一等式，求矩陣B，使P-1AP=B(365)
習(xí)題2.5(365)
2.6二次型(367)
2.6.1化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形(367)
題型2.6.1.1化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形(367)
題型2.6.1.2已知二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，確定該二次型(374)
2.6.2判別或證明實(shí)二次型（實(shí)對稱矩陣）的正定性(375)
題型2.6.2.1判別或證明具體二次型（或?qū)崒ΨQ矩陣）的正定性(376)
題型2.6.2.2判別或證明抽象的二次型(或?qū)崒ΨQ矩陣)的正定性(378)
題型2.6.2.3確定參數(shù)的取值范圍使二次型或其矩陣正定(379)
題型2.6.2.4證明與正定矩陣相關(guān)聯(lián)的矩陣的正定性(380)
2.6.3合同矩陣(381)
題型2.6.3.1判別兩實(shí)對稱矩陣合同(381)
題型2.6.3.2討論矩陣等價(jià)、相似及合同的關(guān)系(382)
習(xí)題2.6(383)
第3篇 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)
3.1隨機(jī)事件和概率(386)
3.1.1隨機(jī)事件間的關(guān)系及運(yùn)算(386)
題型3.1.1.1描繪隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間(386)
題型3.1.1.2用式子表示事件關(guān)系及其運(yùn)算(386)
題型3.1.1.3利用事件運(yùn)算的性質(zhì)或圖示法簡化事件算式(387)
題型3.1.1.4求滿足一定條件的事件關(guān)系(387)
3.1.2直接計(jì)算隨機(jī)事件的概率(387)
題型3.1.2.1計(jì)算古典型概率(387)
題型3.1.2.2計(jì)算幾何型概率(389)
題型3.1.2.3計(jì)算伯努利概型中事件的概率(390)
3.1.3間接計(jì)算隨機(jī)事件的概率(391)
題型3.1.3.1計(jì)算和、差、積事件的概率(391)
題型3.1.3.2求與包含關(guān)系有關(guān)的事件的概率(393)
題型3.1.3.3計(jì)算與互斥事件有關(guān)的事件的概率(394)
題型3.1.3.4求與條件概率有關(guān)的事件的概率(394)
題型3.1.3.5求與他事件有關(guān)的單個(gè)事件的概率(394)
題型3.1.3.6判別或證明事件概率不等式(394)
3.1.4幾個(gè)計(jì)算概率公式的實(shí)際應(yīng)用(395)
題型3.1.4.1用加法公式求解實(shí)際應(yīng)用題(395)
題型3.1.4.2用條件概率與概率的乘法公式求解實(shí)際應(yīng)用題(395)
題型3.1.4.3用全概公式和逆概(貝葉斯)公式求解實(shí)際應(yīng)用題(396)
題型3.1.4.4利用抽簽原理計(jì)算事件概率(399)
3.1.5判別事件的獨(dú)立性(400)
題型3.1.5.1判別(證明)兩事件相互獨(dú)立(400)
題型3.1.5.2判別(證明)n(n>2)個(gè)事件相互獨(dú)立(401)
習(xí)題3.1(402)
3.2一維隨機(jī)變量及其分布(405)
3.2.1分布列、概率密度及分布函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用(405)
題型3.2.1.1判別分布列、概率密度及分布函數(shù)(406)
題型3.2.1.2證明某實(shí)函數(shù)為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)(407)
題型3.2.1.3利用分布的性質(zhì)，確定待定常數(shù)或所滿足的條件(407)
題型3.2.1.4求隨機(jī)變量落在某點(diǎn)或某區(qū)間上的概率(408)
3.2.2求分布列(概率分布)、概率密度及分布函數(shù)(410)
題型3.2.2.1求概率分布(分布律)及其分布函數(shù)(410)
題型3.2.2.2求連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)或其取值(411)
題型3.2.2.3求概率密度(413)
3.2.3利用常見分布計(jì)算有關(guān)事件的概率(413)
題型3.2.3.1利用二項(xiàng)分布計(jì)算伯努利概型中事件的概率(413)
題型3.2.3.2利用超幾何分布計(jì)算事件的概率(416)
題型3.2.3.3利用幾何分布計(jì)算事件的概率(416)
題型3.2.3.4利用泊松分布計(jì)算事件的概率(417)
題型3.2.3.5利用均勻分布計(jì)算事件的概率(418)
題型3.2.3.6利用指數(shù)分布計(jì)算事件的概率(418)
題型3.2.3.7利用正態(tài)分布計(jì)算事件的概率(420)
題型3.2.3.8利用相關(guān)分布與二項(xiàng)分布相結(jié)合計(jì)算事件的概率(423)
3.2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布(423)
題型3.2.4.1已知一離散型隨機(jī)變量的分布,求其函數(shù)(另一離散型隨機(jī)變量)的分布
(423)
題型3.2.4.2已知一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，求其函數(shù)(另一連續(xù)型隨機(jī)變量)的分布
(425)
題型3.2.4.3已知一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,求其函數(shù)(離散型隨機(jī)變量)的分布(428)
題型3.2.4.4討論隨機(jī)變量函數(shù)分布的性質(zhì)(428)
習(xí)題3.2(429)
3.3二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布(432)
3.3.1求二維隨機(jī)變量的分布(432)
題型3.3.1.1求二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律(432)
題型3.3.1.2求二維隨機(jī)變量的邊緣分布(435)
題型3.3.1.3由聯(lián)合分布、邊緣分布求條件分布(439)
題型3.3.1.4由條件分布反求聯(lián)合分布、邊緣分布(442)
題型3.3.1.5已知分區(qū)域定義的聯(lián)合密度，求其分布函數(shù)(443)
3.3.2隨機(jī)變量的獨(dú)立性(444)
題型3.3.2.1判別兩隨機(jī)變量的獨(dú)立性(444)
題型3.3.2.2利用獨(dú)立性確定聯(lián)合分布中的待定常數(shù)(447)
3.3.3計(jì)算二維隨機(jī)變量取值的概率(448)
題型3.3.3.1計(jì)算兩離散型隨機(jī)變量運(yùn)算后取值的概率(448)
題型3.3.3.2求二維連續(xù)型隨機(jī)變量落入平面區(qū)域內(nèi)的概率(449)
題型3.3.3.3求與max(X,Y)或(和)min(X,Y)有關(guān)的概率(450)
題型3.3.3.4求系數(shù)為隨機(jī)變量的二次方程有根、無根的概率(451)
3.3.4求二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布(451)
題型3.3.4.1已知(X，Y)的聯(lián)合分布律，求Z=g(X,Y)的分布律(451)
題型3.3.4.2求兩隨機(jī)變量之和的分布(452)
題型3.3.4.3已知X，Y的分布，求max(X,Y)或(和)min(X,Y)的分布(456)
習(xí)題3.3(458)
3.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征(461)
3.4.1求一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征(461)
題型3.4.1.1求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差(461)
題型3.4.1.2求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差(465)
題型3.4.1.3計(jì)算隨機(jī)變量的矩(467)
3.4.2求二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征(467)
題型3.4.2.1求(X，Y)的函數(shù)g(X，Y)的數(shù)學(xué)期望和方差(467)
題型3.4.2.2計(jì)算協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)(470)
3.4.3計(jì)算兩類分布的數(shù)字特征(476)
題型3.4.3.1計(jì)算正態(tài)分布的數(shù)字特征(476)
題型3.4.3.2計(jì)算Z=max(X,Y)或(和)W=min(X,Y)的數(shù)字特征(477)
3.4.4討論隨機(jī)變量相關(guān)性與獨(dú)立性的關(guān)系(480)
題型3.4.4.1確定兩隨機(jī)變量相關(guān)與不相關(guān)(480)
題型3.4.4.2討論相關(guān)性與獨(dú)立性的關(guān)系(481)
3.4.5已知數(shù)字特征，求分布中的待定常數(shù)(482)
3.4.6求解兩類綜合應(yīng)用題(483)
題型3.4.6.1求解與數(shù)字特征有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題(483)
題型3.4.6.2求解概率論與其他數(shù)學(xué)分支的綜合應(yīng)用題(485)
習(xí)題3.4(486)
3.5大數(shù)定律和中心極限定理(489)
3.5.1用切比雪夫不等式估計(jì)事件的概率(489)
3.5.2大數(shù)定律成立的條件和結(jié)論(491)
題型3.5.2.1利用三個(gè)大數(shù)定律成立的條件解題(493)
題型3.5.2.2求隨機(jī)變量序列依概率的收斂值(494)
3.5.3兩個(gè)中心極限定理的簡單應(yīng)用(496)
題型3.5.3.1利用棣莫弗?拉普拉斯定理近似計(jì)算事件概率(496)
題型3.5.3.2已知隨機(jī)變量取值的概率，估計(jì)取值范圍(497)
題型3.5.3.3應(yīng)用列維?林德伯格中心極限定理的條件、結(jié)論解題(498)
題型3.5.3.4近似計(jì)算n個(gè)隨機(jī)變量之和取值的概率(499)
題型3.5.3.5已知n個(gè)隨機(jī)變量之和取值的概率，求個(gè)數(shù)n(499)
習(xí)題3.5(500)
3.6數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步(502)
3.6.1求解與統(tǒng)計(jì)量分布有關(guān)的問題(502)
題型3.6.1.1求解與統(tǒng)計(jì)量分布有關(guān)的基本概念問題(502)
題型3.6.1.2求統(tǒng)計(jì)量的分布及其分布參數(shù)(504)
題型3.6.1.3求統(tǒng)計(jì)量取值的概率(509)
題型3.6.1.4求統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征(511)
題型3.6.1.5求經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)(512)
3.6.2 參數(shù)估計(jì)(513)
題型3.6.2.1 求總體分布中未知參數(shù)的矩估計(jì)量(值)(513)
題型3.6.2.2 求未知參數(shù)的極(最)大似然估計(jì)量(值)
題型3.6.2.3 判別估計(jì)量的無偏性、有效性和一致性(相合性)
題型3.6.2.4 求正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間及其有關(guān)參數(shù)
3.6.3 假設(shè)檢驗(yàn)
題型3.6.3.1 計(jì)算簡單情形下的兩類錯誤概率
題型3.6.3.2 對單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)
題型3.6.3.3 對兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)
題型3.6.3.4 用檢驗(yàn)方法及其結(jié)論做填空題與選擇題
習(xí)題3.6
習(xí)題答案與提示
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