非線性偏微分方程引論

第1章 典型方程及其孤立波解1
1.1 歷史回顧1
1.2 孤立波--非線性會聚和色散現象的巧妙平衡5
1.2.1 波動中的非線性會聚現象5
1.2.2 波動中的色散6
1.2.3 兩種效應的平衡--KdV方程的解釋8
1.3 KdV方程及其孤立波解9
1.3.1 KdV方程的導出10
1.3.2 KdV方程的孤立波解14
1.3.3 廣義KdV方程的孤立波解17
1.4 非線性Schrdinger方程與光纖孤立子21
1.4.1 非線性Schrdinger方程的導出21
1.4.2 非線性Schrdinger方程的單孤立波解28
1.4.3 非線性Schrdinger方程行波形式的孤立波解30
1.5 非線性Sine-Gordon方程32
1.5.1 Josephson效應和非線性Sine-Gordon方程33
1.5.2 非線性Sine-Gordon方程的孤立波解35
1.5.3 非線性Sine-Gordon方程的呼吸孤立子解38
1.6 Burgers方程及其孤立波解40
1.6.1 交通模型--Burgers方程的導出40
1.6.2 Burgers方程的孤立波解42
1.6.3 Hopf-Cole變換43
第2章 反演散射方法與多孤立波解45
2.1 散射與反散射問題46
2.1.1 單孤立子解462.1.2 雙孤立子解47
2.2 散射數據隨時間的演化53
2.3 反散射法解KdV方程的具體過程 反演定理的證明58
2.4 KdV方程的n孤立子解66
2.4.1 單孤立子解66
2.4.2 雙孤立子解68
2.4.3 n孤立子解71
2.5 反演散射方法的推廣79
2.5.1 Lax方程79
2.5.2 AKNS方法81
2.6 非線性Schrdinger方程的反演散射解法87
2.6.1 基本思路87
2.6.2 非線性Schrdinger方程Lax對的確定88
2.6.3 直接散射問題（本征值問題）90
2.6.4 散射數據隨時間t的演化93
2.6.5 逆散射變換95
2.6.6 孤立子解的構造99
第3章 Backlund變換105
3.1 Backlund變換的定義106
3.2 KdV方程的Bcklund變換110
3.3 Backlund變換與AKNS系統(tǒng)113
3.4 非線性疊加公式117
3.4.1 KdV方程的非線性疊加公式117
3.4.2 Sine-Gordon方程的非線性疊加公式118
3.4.3 互換定理的證明119
3.5 Backlund變換與反散射變換之間的關系122
第4章 可積性與Painlevé性質127
4.1 概述127
4.2 WTC方法133
4.3 實例136
4.3.1 討論Burgers方程是否具有Painlevé性質136
4.3.2 討論KdV方程的Painlevé性質138
4.4 變系數非線性偏微分方程的Painlevé性質140
4.4.1 廣義變系數KP方程的Painlevé分析和可積性討論140
4.4.2 描述順流方向可變剪切流動的一類變系數Boussinesq方程的Painlevé分析143
第5章 相似變換與相似解146
5.1 群的概念及其在微分方程中的應用簡介147
5.1.1 微分方程的不變群147
5.1.2 無窮小的延拓變換152
5.1.3 微分方程的不變性154
5.2 偏微分方程的經典Lie群變換法155
5.3 非經典無窮小變換方法168
5.4 求相似解的直接方法（CK方法）174
第6章 特殊變換法求解非線性偏微分方程186
6.1 Hirota雙線性方法186
6.1.1 Hirota雙線性變換的相關概念與性質186
6.1.2 Hirota雙線性方法的具體步驟187
6.2 Darboux變換方法198
6.2.1 概述198
6.2.2 KP方程的Darboux變換205
6.2.3 Darboux變換的約化及KP方程的孤立子解209
6.3 齊次平衡方法211
6.3.1 方法概述211
6.3.2 用齊次平衡方法求解KdV-Burgers方程212
6.3.3 用齊次平衡方法求解非線性方程組215
6.4 函數展開方法216
6.4.1 tanh函數法217
6.4.2 Jacobi橢圓函數展開法218
6.4.3 函數展開法的擴展221
6.5 首次積分法226
6.5.1 首次積分法的基本原理227
6.5.2 利用首次積分法求解Fitzhugh-Nagumo方程229
6.5.3 Fisher方程的精確解234
附錄A 橢圓函數與橢圓方程238
A1 橢圓函數238
A1.1 問題的提出238
A1.2 橢圓積分的定義239
A1.3 橢圓函數240
A1.4 橢圓函數的性質240
A2 Jacobi橢圓函數與橢圓方程243
附錄B 首次積分與一階偏微分方程246
B1 一階常微分方程組的首次積分246
B1.1 首次積分的定義246
B1.2 首次積分的性質和存在性248
B2 一階線性偏微分方程的解法255
B2.1 一階線性齊次偏微分方程255
B2.2 一階擬線性偏微分方程258
附錄C 與波動相關的概念和術語261
C1 基本概念261
C2 線性波與非線性波263
C3 色散波264
C4 線性波和非線性波的色散267
C4.1 線性波的色散267
C4.2 非線性波的色散271
附錄D 微擾方法簡介273
附錄E 超幾何函數與超幾何級數274
參考文獻276