數學方法論十二講

第一講 數學方法論引論
§1 研究數學方法論的意義和目的
§2 宏觀的方法論與微觀的方法論
§3 略論希爾伯特成功的社會兇素
§4 淺談微觀的數學方法論
第二講 略論數學模型方法
§1 數學模型的意義
§2 數學模型的類別及簡單例子
§3 MM的構造過程及特點
§4 怎樣培訓構造MM的能力
第三講 關系映射反演原則的應用
§1 何謂“關系映射反演原則”
§2 數學中的RMI原則
§3 若干較簡單的例子
§4 幾個較難一點的例子
§5 用RMI原則分析“不可能性命題”
§6 關于1RMI原則的補充說明
第四講 略論數學公理化方法
§1 公理化方法的意義和作用
§2 公理化方法的發(fā)展簡史
§3 公理化方法的基本內容
§4 重要例子——幾何學公理化方法
§5 關-p公理系統(tǒng)的相容性問題
§6 略談自然科學中的公理化方法
第五講 關于數學的結構主義
§1 結構主義學派的形成過程
§2 布爾巴基學派的一般觀點
§3 數學結構的分類
§4 數直線結構分析
§5 略談拓撲結構
§6 略談同構概念
§7 略評結構主義
第六講 代數方程根式解法與伽羅瓦的群論思想方法
§1 代數基本定理與根式解法研究簡史
§2 拉格朗日的思想方法與阿貝爾定理
§3 伽羅瓦的思想方法
§4 方程式可解性理論簡介
第七講 關于非標準數域與非康托型自然數模型的構造方法
§1 略論“無限”概念蘊含的矛盾
§2 非標準數域的構造方法
§3 非康托型自然數序列模型的構造法
§4 關于一個引伸的芝諾悖論的解釋
§5 略論無限的兩種形態(tài)
第八講 悖論與數學基礎問題
§1 悖論的定義和起源
§2 悖論舉例和數學三次危機
§3 策莫洛對悖論的解決方案
§4 羅素對悖論的解決方案
§5 塔斯基及其語義學
§6 哥德爾的不完備性定理與悖論
§7 悖論的成因與研究悖論的重要意義
第九講 論數學基礎諸流派及其無窮觀
§1 數學系統(tǒng)的相對相容性證明與諸流派形成的歷史近因
§2 邏輯主義派的觀點和方法
§3 直覺主義派的觀點和方法
§4 略論形式公理學派的觀點和主張
§5 關于三大流派的簡短評論
第十講 略論數學發(fā)明創(chuàng)造的心智過程
§1 何謂數學上的發(fā)明或創(chuàng)造
§2 龐卡萊關于數學創(chuàng)造的論點
§3 略談數學創(chuàng)造的一般心智過程
第十一講 數學抽象度概念與抽象度分析法
§1 引言
§2 抽象與嚴格偏序
§3 抽象度的一般概念
§4 略論抽象法則與抽象難度
§5 抽象度分析法概述
第十二講 “數學模式觀”與數學教育及哲學研究中的有關問題
§1 數學模式的含義
§2 模式論觀點與數學教育及教學
§3 模式觀與數學真理問題
附錄
附錄Ⅰ 數學研究的藝術
附錄Ⅱ 數學研究中的創(chuàng)造性思維規(guī)律
附錄Ⅲ 徐利治與數學方法學
參考文獻